第04讲 双曲线方程及其性质（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 双曲线方程及其性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 双曲线的定义 3 知识点2 双曲线的方程及其性质 4 知识点3 离心率与渐近线夹角的关系 6 知识点4 通径 6 知识点5 双曲线的焦点到渐近线的距离 6 题型破译 7 题型1 双曲线的定义及其应用 7 【方法技巧】双曲线的定义及其应用 题型2 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题 8 题型3 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题 8 题型4 双曲线的几何性质 9 题型5 双曲线的离心率 9 【方法技巧】双曲线的离心率 题型6 双曲线的渐近线方程 11 题型7 求双曲线的标准方程 11 题型8 直线与双曲线的位置关系 12 题型9 双曲线中的最值问题 12 04真题溯源·考向感知 13 05课本典例·高考素材 13 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1） 求双曲线的离心率 （2） 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 （3） 根据离心率求双曲线的标准方程 单选题 填空题 解答题 北京卷T3（4分） 北京卷T13（5分） 北京卷T12（5分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空题（4~5 分，中档）考查。核心考查：双曲线的定义（到两焦点距离差的绝对 值为 2a），标准方程（焦点在 x 轴、y 轴的形式），几何性质（a、b、c 关系，离心率，渐近线，顶点，焦点）。 易错点：定义中忽略 2a<2c ，标准方程与椭圆混淆，渐近线方程形式记错（如焦点在 x 轴时为 y=±b/a x），离心 率范围误判（e>1）。 复习目标： 1.理解双曲线定义，能利用定义判断轨迹或求方程；​ 2.掌握双曲线标准方程，明确 a、b、c 的关系及焦点位置；​ 3.熟练运用几何性质（离心率、渐近线等）分析图形；​ 4.会求双曲线的渐近线方程，利用渐近线特征解题；​ 5.解决与双曲线性质相关的参数计算、范围问题。 知识点1 双曲线的定义 平面内与两个定点，的 等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的 ，两焦点间的距离叫作双曲线的 ． 集合，，其中a，c为常数，且，． 1．当 时，点P的轨迹是双曲线． 2．当 时，点P的轨迹是两条射线． 3．当 时，点P不存在． 自主检测1已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 自主检测2已知P为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为 （   ） A．4 B．6 C．8 D．10 知识点2 双曲线的方程及其性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 轴长 实轴长 ，虚轴长 焦点 焦距 范围 或， ，或 对称性 对称轴为 ，对称中心为 顶点 渐近线 离心率 自主检测1双曲线的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D． 自主检测2已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 自主检测3曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 自主检测4已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 自主检测5已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（   ） A． B． C． D． 自主检测6已知为双曲线的一个焦点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 自主检测7若双曲线的实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 知识点3 离心率与渐近线夹角的关系 知识点4 通径 （同椭圆） 通径长：， 半通径长： 知识点5 双曲线的焦点到渐近线的距离 双曲线的焦点到渐近线的距离为 题型1 双曲线的定义及其应用 例1-1（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 例1-2双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 方法技巧 （1）双曲线定义的核心是平面内到两个定点的距离之差的绝对值为常数，且该常数小于两定点间的距离。（2）依据定义可判断动点轨迹是否为双曲线，需验证距离差的绝对值是否为定值且满足与两定点间距的大小关系。​ （3）解题时，若涉及双曲线上点到两焦点的距离，可直接用定义中距离差的绝对值求解。​ （4）已知双曲线上一点到一个焦点的距离，能通过定义快速求出该点到另一个焦点的距离（注意有两解情况）。​ （5）需注意定义中 “常数小于两定点间距离”，若不满足，轨迹可能是两条射线或不存在。 【变式训练1-1】（2025·北京·模拟预测）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【变式训练1-2·变载体】复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．圆 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线 【变式训练1-3·变载体】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型2 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题 例2-1已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式训练2-1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为 ． 【变式训练2-2】已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 【变式训练2-3】已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于两点，若的周长为20，则线段的长为 . 题型3 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题 例3-1已知双曲线的左、右集点分别为，若双曲线上点使，则的面积是 ． 例3-2设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【变式训练3-1】设为双曲线（）的上一点，，（为左、右焦点），则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 题型4 双曲线的几何性质 例4-1双曲线的焦距为（   ） A． B． C．5 D．10 例4-2若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的虚轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】已知双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练4-2·变考法】双曲线的焦点弦长为的弦有（    ） A．8条 B．4条 C．2条 D．1条 【变式训练4-3】已知双曲线的离心率为，虚半轴长为2，则的焦距为（   ） A． B． C．4 D． 题型5 双曲线的离心率 例5-1（2025·北京海淀·一模）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 ． 例5-2（2025·北京·二模）设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D．2 例5-3（2025·北京海淀·三模）已知双曲线，若双曲线的左、右两支上各存在一点、，使为等边三角形，则该双曲线离心率的一个可能取值为（    ） A． B． C． D． 例5-4（2025·北京丰台·一模）图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分（忽略杯底部分）外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径（即杯口直径）约，下底直径约，腹部最细处直径约，主体部分高约，则下列各数中与双曲线C的离心率最接近的是（   ）（参考数据：，）    A． B．2 C． D．3 方法技巧 （1）离心率 e＝c/a，其中 c 为半焦距，a 为实半轴，且 e＞1。​ （2）求离心率需找到 a 和 c 的关系，可通过双曲线的几何性质、定义或已知条件推导。​ （3）已知 a 和 b，可利用 c²＝a²＋b² 求出 c，再计算离心率。​ （4）在焦点三角形问题中，结合正弦定理或余弦定理建立 a、c 的关系，进而求离心率。​ （5）离心率只与 a 和 c 有关，反映双曲线的形状。 【变式训练5-1·变载体】（2025·北京东城·二模）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】（2025·北京西城·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则 ；离心率 ． 【变式训练5-4】（2025·北京海淀·三模）若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为 ． 【变式训练5-4】（2025·北京朝阳·二模）若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为 ． 题型6 双曲线的渐近线方程 例6-1（2025·北京顺义·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且过点，则双曲线的渐近线方程为 . 例6-2（2025·北京大兴·三模）若双曲线（）的一条渐近线方程为，则 ． 【变式训练6-1】（2025·北京东城·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为 ；渐近线方程为 ． 【变式训练6-2】（2025·北京大兴·三模）设为双曲线的左、右焦点，且直线为双曲线的一条渐近线，点为上一点，如果，那么双曲线的方程为 ． 题型7 求双曲线的标准方程 例7-1（2025·北京海淀·模拟预测）已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，那么双曲线的方程为 ． 例7-2一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练7-2】（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-3】已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 题型8 直线与双曲线的位置关系 例8-1（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-1】（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-2】若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型9 双曲线中的最值问题 例9-1已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于，则该双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例9-2已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【变式训练9-1】已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 . 【变式训练9-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 4．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 1．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程． 2．已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 3．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 4．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 5．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，； (2)渐近线方程是，虚轴长为4. 6．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 7．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． 8．已知条件：“方程表示焦点在轴上的椭圆”.条件：“方程表示双曲线”，其中，. （1）若条件成立，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 9．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e． 10．如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围. 11．（1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段的垂直平分线l与直线相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ （2）当m变化时，指出方程表示的曲线的形状. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 双曲线方程及其性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 双曲线的定义 3 知识点2 双曲线的方程及其性质 4 知识点3 离心率与渐近线夹角的关系 7 知识点4 通径 7 知识点5 双曲线的焦点到渐近线的距离 8 题型破译 8 题型1 双曲线的定义及其应用 8 【方法技巧】双曲线的定义及其应用 题型2 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题 10 题型3 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题 12 题型4 双曲线的几何性质 14 题型5 双曲线的离心率 15 【方法技巧】双曲线的离心率 题型6 双曲线的渐近线方程 19 题型7 求双曲线的标准方程 20 题型8 直线与双曲线的位置关系 22 题型9 双曲线中的最值问题 24 04真题溯源·考向感知 26 05课本典例·高考素材 28 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1） 求双曲线的离心率 （2） 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 （3） 根据离心率求双曲线的标准方程 单选题 填空题 解答题 北京卷T3（4分） 北京卷T13（5分） 北京卷T12（5分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空题（4~5 分，中档）考查。核心考查：双曲线的定义（到两焦点距离差的绝对 值为 2a），标准方程（焦点在 x 轴、y 轴的形式），几何性质（a、b、c 关系，离心率，渐近线，顶点，焦点）。 易错点：定义中忽略 2a<2c ，标准方程与椭圆混淆，渐近线方程形式记错（如焦点在 x 轴时为 y=±b/a x），离心 率范围误判（e>1）。 复习目标： 1.理解双曲线定义，能利用定义判断轨迹或求方程；​ 2.掌握双曲线标准方程，明确 a、b、c 的关系及焦点位置；​ 3.熟练运用几何性质（离心率、渐近线等）分析图形；​ 4.会求双曲线的渐近线方程，利用渐近线特征解题；​ 5.解决与双曲线性质相关的参数计算、范围问题。 知识点1 双曲线的定义 平面内与两个定点，的 距离之差的绝对值 等于非零常数（小于）的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离叫作双曲线的 焦距 ． 集合，，其中a，c为常数，且，． 1．当 时，点P的轨迹是双曲线． 2．当 时，点P的轨迹是两条射线． 3．当 时，点P不存在． 自主检测1已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【答案】B 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 自主检测2已知P为双曲线上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，若，则的值为 （   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】由双曲线的定义及标准方程可知：，即， 解得或（舍去）. 故选：D. 知识点2 双曲线的方程及其性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 轴长 实轴长 ，虚轴长 焦点 焦距 范围 或， ，或 对称性 对称轴为 轴，轴 ，对称中心为 坐标原点 顶点 渐近线 离心率 自主检测1双曲线的虚轴长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为. 故选：C 自主检测2已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 自主检测3曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 自主检测4已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等轴双曲线可得： 且， 因为，所以， 又焦点在轴上，故得双曲线方程为：， 故选：B． 自主检测5已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且离心率为，则双曲线C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆方程，得其焦点为， 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线中， 又因为离心率为，所以，，， 所以双曲线方程为. 故选：D 自主检测6已知为双曲线的一个焦点，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】根据题意可得, 由双曲线,则， 所以， 则. 故选：B. 自主检测7若双曲线的实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，又实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列， 即，，化简可得， 等式左右同除，则，， 解得或（舍）． 故选：A. 知识点3 离心率与渐近线夹角的关系 知识点4 通径 （同椭圆） 通径长：， 半通径长： 知识点5 双曲线的焦点到渐近线的距离 双曲线的焦点到渐近线的距离为 题型1 双曲线的定义及其应用 例1-1（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 例1-2双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（   ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【详解】由题意可得，即，又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以． 故选：C. 方法技巧 （1）双曲线定义的核心是平面内到两个定点的距离之差的绝对值为常数，且该常数小于两定点间的距离。（2）依据定义可判断动点轨迹是否为双曲线，需验证距离差的绝对值是否为定值且满足与两定点间距的大小关系。​ （3）解题时，若涉及双曲线上点到两焦点的距离，可直接用定义中距离差的绝对值求解。​ （4）已知双曲线上一点到一个焦点的距离，能通过定义快速求出该点到另一个焦点的距离（注意有两解情况）。​ （5）需注意定义中 “常数小于两定点间距离”，若不满足，轨迹可能是两条射线或不存在。 【变式训练1-1】（2025·北京·模拟预测）双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（   ） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【详解】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故， 故选：A 【变式训练1-2·变载体】复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．圆 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【详解】设， 根据复数的几何意义知，表示复平面内点与点的距离， 表示复平面内点与点的距离， 则， 则由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的左支， 故复平面内对应的点的轨迹为双曲线的一支. 故选：B 【变式训练1-3·变载体】已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 题型2 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题 例2-1已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长，而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故选：C 【变式训练2-1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为 ． 【答案】4 【详解】由双曲线定义可得， 所以， 故周长为 故答案为：4 【变式训练2-2】已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 【答案】12 【详解】因为，， 所以直线为， 设， 由，得， 则， 所以 ， 因为，， 所以， 所以 故答案为：12 【变式训练2-3】已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于两点，若的周长为20，则线段的长为 . 【答案】6或 【详解】,，, 易得双曲线的实轴长焦距. 若都在右支上，则， 的周长, ； 否则，不妨设是如图的情况： ， 所以，所以， 设,则, 由余弦定理得,解得, 故答案为：6或 题型3 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题 例3-1已知双曲线的左、右集点分别为，若双曲线上点使，则的面积是 ． 【答案】16 【解析】由方程求出，结合双曲线的定义求出，结合勾股定理可求出，进而可求出三角形的面积. 【详解】由双曲线方程可知，，所以，设， 由双曲线定义可得，，，，． 故答案为: 16. 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了由双曲线方程求的值，属于基础题. 例3-2设 分别是双曲线 的上、下焦点，双曲线上的点 满足 ，则 的面积等于（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】D 【详解】由可得，故， 又，故,即， 故的面积为， 故选:D 【变式训练3-1】设为双曲线（）的上一点，，（为左、右焦点），则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线，则 不妨设是双曲线的右支上一点， 则由双曲线的定义，得 则, 所以 所以，即 所以 所以 故选：C 【点睛】本题考查三角形面积的求法，根据双曲线的定义结合余弦定理将条件进行转化是解决本题的关键，解题时要认真审题，注意双曲线定义、余弦定理的灵活运用，属于中档题． 【变式训练3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（    ） A．18 B．10 C．9 D．6 【答案】C 【详解】直线与双曲线交于，两点，若， 则四边形为矩形，所以，，    由双曲线可得，，则， 所以，所以， 又， 所以，解得， 所以． 故选：C． 题型4 双曲线的几何性质 例4-1双曲线的焦距为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】D 【详解】双曲线的焦距为． 故选：D. 例4-2若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的虚轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为，即. 点到渐近线（取这条渐近线计算，取另一条结果相同）的距离， 已知距离，则. 即，两边同时平方可得，解得. 把代入可得虚轴长为. 故选：B. 【变式训练4-1】已知双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：双曲线的一个焦点坐标为，可得， 可得 故选：D 【变式训练4-2·变考法】双曲线的焦点弦长为的弦有（    ） A．8条 B．4条 C．2条 D．1条 【答案】B 【详解】由，可得其通径为， 注意到左右顶点的距离为， 所以过一个焦点，可作满足题意与双曲线交于两支的弦有两条，交于一支的情况不存在， 结合双曲线的对称性，该双曲线满足题意的焦点弦共有4条. 故选：B. 【变式训练4-3】已知双曲线的离心率为，虚半轴长为2，则的焦距为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设的半焦距为，依题意，则，， 所以的焦距为. 故选：D 题型5 双曲线的离心率 例5-1（2025·北京海淀·一模）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】根据题意可知，该双曲线的一条渐近线方程为：，故， 则其离心率为. 故答案为：. 例5-2（2025·北京·二模）设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意知，，即 ，由于，解得. 故选：B. 例5-3（2025·北京海淀·三模）已知双曲线，若双曲线的左、右两支上各存在一点、，使为等边三角形，则该双曲线离心率的一个可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为等边三角形，由对称性可知，、关于轴对称， 如下图所示，要使为等边三角形，需，其中是轴正方向的单位向量． 故斜率为正的渐近线与轴正半轴的夹角应大于，所以渐近线斜率． 故．所以只有D选项符合题意． 故选：D. 例5-4（2025·北京丰台·一模）图1是出土于陕西西安的金筐宝钿团花纹金杯.它杯口外侈，器壁内弧，腹部内收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用复杂的金筐宝钿工艺，器腹以如意云头纹分割，内焊团花，边缘排满小金珠，是唐代金银器精品.图2是某校陶艺社团的同学仿照金筐宝钿团花纹金杯制作的一只团花纹陶艺杯，其主体部分（忽略杯底部分）外轮廓可近似看作双曲线C的一部分.经测量，该陶艺杯主体部分上底直径（即杯口直径）约，下底直径约，腹部最细处直径约，主体部分高约，则下列各数中与双曲线C的离心率最接近的是（   ）（参考数据：，）    A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为， 因为最小直径为，可得，即， 又因为主体部分高，上底直径为，下底直径约， 设点， 所以且， 解得，即， 故 故， 故选：B.    方法技巧 （1）离心率 e＝c/a，其中 c 为半焦距，a 为实半轴，且 e＞1。​ （2）求离心率需找到 a 和 c 的关系，可通过双曲线的几何性质、定义或已知条件推导。​ （3）已知 a 和 b，可利用 c²＝a²＋b² 求出 c，再计算离心率。​ （4）在焦点三角形问题中，结合正弦定理或余弦定理建立 a、c 的关系，进而求离心率。​ （5）离心率只与 a 和 c 有关，反映双曲线的形状。 【变式训练5-1·变载体】（2025·北京东城·二模）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，，解得. 故选：D. 【变式训练5-2】（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为， 可得，即，所以双曲线的离心率为. 故选：B. 【变式训练5-3】（2025·北京西城·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则 ；离心率 ． 【答案】 【详解】标准方程的一条渐近线方程为, 则,, 故. 故答案为：，. 【变式训练5-4】（2025·北京海淀·三模）若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】曲线，其渐近线方程为：； 曲线，其焦点在轴上，渐近线方程为，故， 故的离心率为. 故答案为：. 【变式训练5-4】（2025·北京朝阳·二模）若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【详解】的渐近线为，且焦点在轴上， 由题知：，因，解得， 所以离心率， 故离心率的一个取值可以为3. 故答案为：3(答案不唯一). 题型6 双曲线的渐近线方程 例6-1（2025·北京顺义·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且过点，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】因为双曲线：过点，所以，解得， 所以双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 例6-2（2025·北京大兴·三模）若双曲线（）的一条渐近线方程为，则 ． 【答案】3 【详解】由双曲线（）可知双曲线焦点在轴上，则，得. 故答案为：3. 【变式训练6-1】（2025·北京东城·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，那么双曲线的离心率为 ；渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为直线的斜率为，所以，解得， 离心率为， 渐近线方程为. 故答案为：；. 【变式训练6-2】（2025·北京大兴·三模）设为双曲线的左、右焦点，且直线为双曲线的一条渐近线，点为上一点，如果，那么双曲线的方程为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，得， 由直线为双曲线的一条渐近线，可知，得， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 题型7 求双曲线的标准方程 例7-1（2025·北京海淀·模拟预测）已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，那么双曲线的方程为 ． 【答案】 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为. 在抛物线中，，则，所以焦点的坐标为. 因为双曲线与抛物线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距. 双曲线的一条渐近线方程为. 点到直线（、不同时为）的距离公式为. 已知点到双曲线渐近线的距离等于，根据点到直线的距离公式可得. 又因为，所以，即，因为，所以. 由，，，可得，即，解得，因为，所以. 将，代入双曲线方程，可得双曲线的方程为. 故答案为：. 例7-2一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意设双曲线的方程为， 将点代入双曲线方程得 ， 所以双曲线的方程为，即. 故选：A. 【变式训练7-1】已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ， 依题意，，因，故得，双曲线方程为：； 当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ， 依题意，，因，故得，双曲线方程为：，即. 故选：D. 【变式训练7-2】（2025·北京朝阳·一模）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则， 所以，即， 所以为焦点在轴上的双曲线； 若为焦点在轴上的双曲线， 则对于，即， 可得，即且，不一定得到， 综上，“”是“为焦点在轴上的双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练7-3】已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 题型8 直线与双曲线的位置关系 例8-1（2025·北京·三模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】直线与与双曲线只有一个公共点， 联立方程组，消去得，， 当，即时，直线方程为， 双曲线的渐近线方程为， 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 当，即时，， 此时直线与双曲线恒有两个不同的交点； 当且仅当时，直线与与双曲线只有一个公共点， 由能推出直线与双曲线只有一个公共点， 反之，当直线与双曲线只有一个公共点时不能推出， “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式训练8-1】（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 【变式训练8-2】若直线与双曲线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：双曲线的渐近线方程为， 直线与双曲线有两个不同的交点， 又直线过原点，则 则的取值范围是. 故选：B． 题型9 双曲线中的最值问题 例9-1已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于，则该双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当焦点在轴上时，则， 所以； 当焦点在轴上时，则，所以 所以， 综上所述，该双曲线离心率的取值范围是. 故选：D. 例9-2已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 【变式训练9-1】已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，而， 因，故得. 故选：B. 【变式训练9-2】已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】双曲线的右焦点， 设的左焦点为，则， 因为是右支上一点，所以， 所以， 当三点共线（在之间）时取等号，故的最小值为. 故答案为： 【变式训练9-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值12时，面积的最大值为 ． 【答案】18 【详解】由题意得，故，如图所示，    则，当且仅当三点共线时等号成立，而到渐近线的距离， 所以的最小值为，所以，即，当，时，等号成立， 又，故， 所以， 即面积的最大值为18． 故答案为：18. 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 2．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为. 故选：B 3．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 4．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 【答案】 【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得； 故答案为： 1．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程． 【答案】； 【详解】因为一个焦点是，所以，且焦点在x轴， 所以设等轴双曲线方程为， 所以，解得， 所以双曲线标准方程为， 渐近线方程为. 2．已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 【答案】不能，证明见解析. 【详解】当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为x=1， 又双曲线，右顶点为（1,0）在直线l上 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段AB的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即， 将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解 所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. 3．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 【答案】， 【详解】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为， 所以，则， 所以， 4．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 【答案】点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点. 【详解】设，因为， 所以，整理得， 故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点. 5．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，； (2)渐近线方程是，虚轴长为4. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得，解得，，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）由题意，当双曲线焦点在轴上时，，解得，， 所以双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，，解得，， 所以双曲线的标准方程为. 综上所述，双曲线的标准方程为或. 6．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 【答案】9 【详解】由题意得，焦距，可得， 在双曲线中， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不满足题意，故舍去， 当时，，满足题意， 所以 7．M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限．若四边形OAMB（O为原点）的面积为3，求动点M的轨迹方程． 【答案】. 【详解】设，根据题意可知点在和相交的右侧区域， 所以点到直线的距离，到直线的距离， 即 所以动点M的轨迹方程：. 8．已知条件：“方程表示焦点在轴上的椭圆”.条件：“方程表示双曲线”，其中，. （1）若条件成立，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）若方程表示焦点在y轴上的椭圆， 则，，且，解得， 所以的取值范围为 （2）若方程表示双曲线， 则，解得或. 若是的充分不必要条件，则 所以或， 解得或，所以的取值范围为 9．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e． 【答案】. 【详解】联立，得，设，， 则，解得. 所以，离心率. 10．如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围. 【答案】或 【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：, 当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去； 当时，<0，即或，无公共点. 综上所述：或. 【点睛】本题考查了直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11．（1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段的垂直平分线l与直线相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ （2）当m变化时，指出方程表示的曲线的形状. 【答案】（1）点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线,理由见详解；（2）见解析. 【详解】（1）如图,连接. 因为为的垂直平分线,所以, 所以为定值, 又因为点在圆外,所以, 根据双曲线定义,点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线. （2）对于方程, 当时,方程为,即,表示轴; 当时,方程为,即,表示轴; 当且时,方程为, 若,即时,方程为圆,表示以原点为圆心的单位圆; 若,即或时,方程表示双曲线; 若且时,即且时,方程表示椭圆; 综上,当时,表示轴;当时,表示轴; 时,方程表示以原点为圆心的单位圆; 或时,方程表示双曲线;且时,方程表示椭圆; 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$