重难点培优03 圆锥曲线中的最值、范围、存在性与探索性问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 圆锥曲线中的最值、范围、 存在性与探索性问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 弦长类最值（★★★★） 3 题型二 周长类最值（★★★★） 4 题型三 面积类最值（★★★★★） 5 题型四 斜率类最值（★★★★★） 6 题型五 角度及三角函数类最值（★★★★★） 7 题型六 参数类最值（★★★★★） 9 题型七 向量类最值（★★★★★） 10 题型八 距离类最值（★★★★★） 11 题型九 点坐标及截距类最值（★★★★★） 13 题型十 存在性问题与探索性问题综合（★★★★★） 15 03 实战检测・分层突破验成效 16 检测Ⅰ组 重难知识巩固 16 检测Ⅱ组 创新能力提升 17 圆锥曲线中的最值问题，是解析几何综合应用的巅峰挑战。其题型体系以几何量的动态变化为背景，以函数建模与优化为核心手段，深度融合曲线性质、代数运算与临界分析，全面检验转化化归与创新思维能力。 一、基础构建：几何度量的函数化 题型一（弦长类最值）：核心是将弦长表达为直线斜率或参数的函数，通过联立方程→韦达定理→弦长公式→函数求极值四步破解。 题型二（周长类最值）：常转化为折线段长之和（如椭圆焦点三角形），需拆解线段→利用曲线定义（如椭圆到焦点距离和恒定）→建立目标函数。 题型三（面积类最值）：关键在选定面积变量（如弦截取的曲线弓形、多边形），通过底高表示或向量叉乘公式建立函数关系，注意三角形面积的坐标公式应用。 二、核心主轴：几何关系的代数优化 题型四（斜率类最值）：将斜率表达（如弦中点与原点连线斜率）转化为关于参数的函数，常需导数求极值或几何性质（如相切时取最值）。 题型五（角度及三角函数类最值）：将角度（如焦点弦张角）转化为斜率差或向量夹角，利用正切函数单调性或三角函数有界性锁定范围。 题型六（参数类最值）：针对曲线方程中的参数（如离心率、系数），结合约束条件建立不等式，运用放缩法或参数分离求解。 三、高阶突破：向量、距离与存在性探究 题型七（向量类最值）：将向量模长、数量积转化为坐标运算，重点掌握坐标表示→二次函数配方或投影转化技巧。 题型八（距离类最值）：包括点线距、点点距，活用距离公式→函数化或几何法（垂线段最短），注意相关的性质应用。 题型九（点坐标及截距类最值）：针对点的横纵坐标、直线截距的极值，需参数化变量→建立目标函数→导数/不等式求解。 题型十（存在性问题与探索性综合）： 存在性：假设结论成立→证明或计算； 探索性：分析特殊位置→猜想结论→一般化证明，体现从特殊到一般的思维跃迁。 总而言之，圆锥曲线最值问题的攻克，是从几何量翻译出发，经函数建模深化，向优化求解冲刺的思维攀登。解题需以曲线几何性质为根，以代数运算技巧为刃，以临界分析为眼，在动态中捕捉静止极值，在复杂中构建简洁模型。掌握这10类题型的转化路径与破题逻辑，方能驾驭高考压轴之巅。 题型一 弦长类最值 1．已知椭圆的焦点在轴上，左顶点为，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值. 2．已知椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是，过左焦点的直线与椭圆交于两点，过左焦点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的取值范围. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于，两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 4．已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程． (2)过椭圆C的右焦点F，且斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点． （ⅰ）若点A为椭圆C的左顶点，点N为线段的中点，求的最大值； （ⅱ）若直线斜率存在，在x轴上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 5．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 6．已知椭圆过点，右焦点为为上顶点，以点为圆心且过的圆恰好与直线相切． (1)求C的方程； (2)过的直线与椭圆交于两点（不与椭圆的左，右顶点重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值； (3)点在上，且为垂足，，求的最大值． 题型二 周长类最值 7．已知椭圆：的长轴长为4，左，右焦点分别为，，上顶点为A，其中直线的斜率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线与椭圆C交于M，N两点，若原点到直线的距离为1，求周长的取值范围. 8．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线不过椭圆中心和顶点，与椭圆交于两点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 9．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被截得的线段长为． (1)求的方程； (2)已知直线与圆相切，且与相交于两点，为的右焦点，求的周长的取值范围． 10．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；    (3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围. 11．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． (3)在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 题型三 面积类最值 12．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，是椭圆上异于，的点，且直线与直线的斜率之积为1． (1)求点的坐标； (2)求面积的最大值． 13．设O为坐标原点，点，A，B为椭圆上的两个动点，（）. (1)证明：向量是直线AB的一个方向向量； (2)若线段OP与椭圆交于点Q，求面积的最大值. 14．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 15．已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为． (1)求椭圆C的方程； (2)记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围； (3)若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值． 16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 17．在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知平行四边形三点在上. （i）若点的坐标为，则直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （ii）若点的坐标为，直线和直线关于直线对称，且点与点均在点上方，求平行四边形面积的最大值. 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上运动，是的重心，且点到点与到点的距离之和为． (1)求的方程； (2)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 题型四 斜率类最值 19．已知椭圆 为椭圆 的右焦点，过点的直线 交椭圆 于 、 两点.    (1)若直线 垂直于 轴，求椭圆 的弦 的长度； (2)设点，当 时，求点的坐标； (3)设点，记 、 的斜率分别为 和 ，求 的取值范围. 20．已知椭圆的左顶点为，过且斜率为的直线交轴于点，交的另一点为． (1)若，求的离心率； (2)点在上，若，且，求的取值范围． 21．已知椭圆过点，离心率为. (1)求椭圆C的方程. (2)已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点. ①求k的取值范围； ②若，求的面积. 22．已知椭圆左顶点，长轴长为4，焦距为，直线交椭圆于两点，直线的斜率之和为． (1)证明：直线恒过定点； (2)若在射线上的点满足，求直线斜率的取值范围． 23．已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 题型五 角度及三角函数类最值 24．已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x． （i）若，求实数的值； （ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围． 25．已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 26．已知椭圆的离心率为分别为的左．右顶点，为的上顶点，且． (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于两点，设直线与交于点． ①证明：点在定直线上； ②求的最大值． 27．如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.    (1)求曲线的方程； (2)记曲线与轴的左、右交点分别为，若是曲线上不同于的任意两点. （i）若点，点位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，且，求线段的长度； （ii）若直线过点，直线与交于点，求的最大值. 28．在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点，总存在一点满足关系式φ：（，）则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．已知点P在椭圆C：（）上，C过点，，作点P到的伸缩变换． (1)求的轨迹的方程． (2)已知O为原点，，点N满足，过点且倾斜角为（）的直线l与交于D，E两点，直线ND与的另一个交点为G，直线NE与的另一个交点为H． （ⅰ）直线GH是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （ⅱ）记直线GH的倾斜角为，当取最大值时，求直线GH的方程． 29．已知椭圆 的上顶点为 ，且过点 .    (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点（直线 斜率为正），直线 、 （若 、 重合， 直线 即为椭圆 在 点处的切线） 分别与 轴交于 两点， 为 中点. （i） 求 的最大值; （ii）当 最大时，将坐标平面沿 轴折成二面角 ，在二面角 大小变化过程中，求三棱锥 外接球表面积取得最小值时三棱锥 的内切球的半径. 题型六 参数类最值 30．已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 31．已知椭圆过点分别为椭圆的左右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点（点在第一象限），是椭圆上异于的点，直线与直线的斜率之积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； (3)若直线和分别交椭圆于点，且直线的斜率为，求直线的斜率. 32．已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 33．已知、分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于、两个不同的点（、与、不重合）． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若点在以线段为直径的圆上，求的值； (3)若，设为坐标原点，直线、分别交轴于点、，当且时，求的取值范围． 34．如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (2)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 题型七 向量类最值 35．设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 36．设椭圆的左焦点，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F，求的取值范围． 37．已知，，动点满足，作轴于点，为直线上一点，且满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若是上的动点，过作椭圆：的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，求的取值范围. 38．已知椭圆（）的左右顶点分别为，，且，，，四个点中恰有三个点在椭圆上.若点是椭圆内（包括边界）的一个动点，点是线段的中点. (1)若，且与的斜率的乘积为，求的面积； (2)若动点满足，求的最大值. 39．已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； (3)在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 题型八 距离类最值 40．已知椭圆C：（）的左顶点为A，离心率为，且过点 (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为的外心． ①若为等边三角形，求PA的长； ②若点P在直线上，求点A到直线l距离的最大值． 41．已知椭圆的右焦点为，长轴长为.过F作斜率为的直线交E于A，B两点，过点F作斜率为的直线交E于C，D两点，设，的中点分别为M，N. (1)求椭圆E的方程； (2)若，设点F到直线的距离为d，求d的取值范围. 42．已知椭圆的离心率为，右焦点，椭圆在第一象限上有一动点，点到直线的距离为，当时，点的纵坐标为. (1)求椭圆方程及； (2)证明：； (3)点，当取最大值时，求椭圆上任意点到直线的最大距离. 43．已知椭圆：，点在椭圆上.椭圆上关于原点对称的任意两个不与点重合的点、和点连线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)若一条斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，且线段的中点的纵坐标为，过作直线.定点到直线的距离记为，求的最大值并求出对应的直线的方程. 44．在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． (1)若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； (2)若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； (3)在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 45．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点与短轴端点构成的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆外一点作两条互相垂直的直线、，、与椭圆均相切，切点分别为、两点. （i）求的轨迹方程. （ii）记原点到、的距离分别为、，求的最大值. 46．设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 题型九 点坐标及截距类最值 47．已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程； (2)设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围. 48．椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且． (1)求椭圆方程； (2)求的取值范围． 49．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，圆与椭圆相交于，两点，，的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的动直线与椭圆有两个交点，，以线段为直径作圆，点始终在圆内（包括圆周），求的取值范围． 50．已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：的面积为定值； (3)若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值． 51．已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，，设点关于坐标原点的对称点为，若点恒在以为直径的圆内部，求实数的取值范围． 52．已知椭圆 短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆C交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点 (1)若的坐标为求椭圆C的方程； (2)在（1）的条件下，过点并垂直于轴的直线交C于点，椭圆上不同的两点满足  成等差数列. 求弦的中垂线在轴上的截距的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 53．已知P为圆上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连接NM并延长至点Q，使得点Q的轨迹记为曲线 (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C的左顶点为T，当直线l与曲线C交于不同的A，B两点，连结AT，BT证明：直线l过定点； (3)若过右焦点的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，且当时，求直线l在y轴上的截距的取值范围. 54．在平面直角坐标系中，已知点，是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线过点，与交于，两点， （i）若，求直线的方程： （ii）若，是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值. 55．已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. (1)求的周长； (2)若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； (3)记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 题型十 存在性问题与探索性问题综合 56．已知椭圆过点，. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点（点A，B不重合），且l交直线于点M，探究是否有最小值. 57．已知椭圆，点. (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)直线过点且与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，是否存在直线使为直角三角形？若存在求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 58．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，左、右顶点分别为，且上存在点，使得直线与的斜率之积为． (1)求的方程． (2)过点作直线交于两点（与均不重合），过原点作直线的平行线交于，两点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 59．已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为. (1)求椭圆和双曲线的方程； (2)直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程； (3)已知点，又有不同的两点，，直线，分别与曲线C交于点P，Q，过T作直线PQ的垂线，垂足H.探究的最小值，若存在则求出该最小值；若不存在则说明理由. 60．已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由. 61．已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为. (1)求椭圆方程的标准方程； (2)证明； (3)求的最大值． 2．设椭圆（）的离心率为，点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程； (2)设E的右顶点为D，若直线l与椭圆E交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点O到直线l距离的最大值． 3．已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)已知，分别为的左、右顶点，为的上顶点，直线交于，（不同于，）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求到的距离的最大值. 4．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 5．已知椭圆C：，其右焦点为F，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线过定点. 6．已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 7．已知椭圆的下顶点，右焦点为为线段的中点，为坐标原点，，点与椭圆上任意一点的距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，若存在过点的直线，使得点与点关于直线对称，求的取值范围. 8．已知椭圆的离心率为，直线与E交于A，B两点，当为双曲线的一条渐近线时，A到y轴的距离为. (1)求E的方程； (2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N（O为坐标原点），连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为，求的最小值. 9．已知椭圆的长轴长为，且其离心率小于为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，的面积的最大值为， (1)求椭圆的标准方程； (2)为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，过点且与平行的直线与直线的交点为，设直线所成角为，求的最大值. 10．已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点，且与椭圆C交于M，N两点（均异于A，B两点），直线AM，BN的倾斜角分别记为，试问是否存在最大值？若存在，求当取最大值时，直线AM，BN的方程；若不存在，说明理由． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数（离心率）.我们称此定点是焦点，定直线是准线.已知双曲线. (1)求双曲线的准线； (2)设双曲线的右焦点为，右准线为.椭圆以和为其对应的焦点及准线过点作一条平行于的直线交椭圆于点和.已知的中心在以为直径的圆内，求椭圆的离心率的取值范围. 2．已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 4．在单位圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，若，当点在圆上运动时，点的轨迹为椭圆，设分别是椭圆的左右顶点，点是直线上一动点，且满足直线与椭圆的另一个交点分别为两点，直线的斜率分别记为． (1)求椭圆的方程； (2)若，，求的最大值； (3)当两点在轴上方时，求四边形的面积的取值范围． 5．已知椭圆以双曲线的实轴为长轴，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，与椭圆交于两点，直线平分线段平分线段. （i）求的值； （ii）求直线与椭圆的交点构成的四边形面积的取值范围. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优03 圆锥曲线中的最值、范围、 存在性与探索性问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 弦长类最值（★★★★） 3 题型二 周长类最值（★★★★） 10 题型三 面积类最值（★★★★★） 17 题型四 斜率类最值（★★★★★） 28 题型五 角度及三角函数类最值（★★★★★） 35 题型六 参数类最值（★★★★★） 44 题型七 向量类最值（★★★★★） 51 题型八 距离类最值（★★★★★） 58 题型九 点坐标及截距类最值（★★★★★） 67 题型十 存在性问题与探索性问题综合（★★★★★） 80 03 实战检测・分层突破验成效 87 检测Ⅰ组 重难知识巩固 87 检测Ⅱ组 创新能力提升 98 圆锥曲线中的最值问题，是解析几何综合应用的巅峰挑战。其题型体系以几何量的动态变化为背景，以函数建模与优化为核心手段，深度融合曲线性质、代数运算与临界分析，全面检验转化化归与创新思维能力。 一、基础构建：几何度量的函数化 题型一（弦长类最值）：核心是将弦长表达为直线斜率或参数的函数，通过联立方程→韦达定理→弦长公式→函数求极值四步破解。 题型二（周长类最值）：常转化为折线段长之和（如椭圆焦点三角形），需拆解线段→利用曲线定义（如椭圆到焦点距离和恒定）→建立目标函数。 题型三（面积类最值）：关键在选定面积变量（如弦截取的曲线弓形、多边形），通过底高表示或向量叉乘公式建立函数关系，注意三角形面积的坐标公式应用。 二、核心主轴：几何关系的代数优化 题型四（斜率类最值）：将斜率表达（如弦中点与原点连线斜率）转化为关于参数的函数，常需导数求极值或几何性质（如相切时取最值）。 题型五（角度及三角函数类最值）：将角度（如焦点弦张角）转化为斜率差或向量夹角，利用正切函数单调性或三角函数有界性锁定范围。 题型六（参数类最值）：针对曲线方程中的参数（如离心率、系数），结合约束条件建立不等式，运用放缩法或参数分离求解。 三、高阶突破：向量、距离与存在性探究 题型七（向量类最值）：将向量模长、数量积转化为坐标运算，重点掌握坐标表示→二次函数配方或投影转化技巧。 题型八（距离类最值）：包括点线距、点点距，活用距离公式→函数化或几何法（垂线段最短），注意相关的性质应用。 题型九（点坐标及截距类最值）：针对点的横纵坐标、直线截距的极值，需参数化变量→建立目标函数→导数/不等式求解。 题型十（存在性问题与探索性综合）： 存在性：假设结论成立→证明或计算； 探索性：分析特殊位置→猜想结论→一般化证明，体现从特殊到一般的思维跃迁。 总而言之，圆锥曲线最值问题的攻克，是从几何量翻译出发，经函数建模深化，向优化求解冲刺的思维攀登。解题需以曲线几何性质为根，以代数运算技巧为刃，以临界分析为眼，在动态中捕捉静止极值，在复杂中构建简洁模型。掌握这10类题型的转化路径与破题逻辑，方能驾驭高考压轴之巅。 题型一 弦长类最值 1．已知椭圆的焦点在轴上，左顶点为，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】解： （1）设椭圆的方程为． 由题意得 解得， 所以， 所以椭圆的方程为； （2）设，两点的坐标分别为，，直线的方程为， 由 消去，得， 则，， ，得， 所以 因为，所以当时，. 2．已知椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是，过左焦点的直线与椭圆交于两点，过左焦点且与直线垂直的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得解得，则， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，左焦点， 当直线斜率不存在或者斜率为0时，， 当直线斜率存在且不为0时，设直线，直线， ， 联立方程组整理得， 则， 因此， 同理可得， 所以， 由于，当且仅当时等号成立，则， 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为．过点的直线与椭圆交于，两点，过点作的垂线交椭圆于两点，的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由题得​， 由椭圆定义得​的周长为​， 所以​， 所以椭圆​的方程为​． （2）当轴时，与轴重合，不符合题意； 当直线与轴重合时，点的横坐标为， 代入椭圆方程可得​，故， 不妨设，则， 所以， 所以； 当直线斜率存在且不为时， 设，， 则， 联立， ， 由韦达定理，得， 所以， 同理， 所以． 综上所述，的取值范围是． 4．已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的方程． (2)过椭圆C的右焦点F，且斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点． （ⅰ）若点A为椭圆C的左顶点，点N为线段的中点，求的最大值； （ⅱ）若直线斜率存在，在x轴上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）存在，. 【详解】（1）因为，所以， ，所以，所以，所以， 故椭圆的方程为：． （2）（i），设直线的方程为：， ，联立得， ，（*）则， 则，则，又， 所以， 令，则， 设，则在上单调递增， 故时，， 所以，当且仅当，即直线斜率不存在时取得最大值． （ii）因为． 又因为，所以， 结合图形可知，， 所以直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 设直线的斜率为，直线的斜率为，设点， ，将代入整理得： ， 再将（*）代入，可得，因为，解得， 即点的坐标为． 故在x轴上存在，使得. 5．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意知，， 椭圆方程为， （2）（i）设， 则， ， ，，， 又在椭圆上，， ，，即， ， ， ， ； （ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为， ，， 又， ， 由题意的斜率不为0，设直线的方程为：， 由，得， 设， 则，又， ， 即， 整理得， ，， 的方程为. 6．已知椭圆过点，右焦点为为上顶点，以点为圆心且过的圆恰好与直线相切． (1)求C的方程； (2)过的直线与椭圆交于两点（不与椭圆的左，右顶点重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值； (3)点在上，且为垂足，，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题得：，又，所以， 则的方程为：. （2）由题意得，直线的斜率不为0，设直线的方程为：，，， 联立得： 则 则. （3）由题得：，即，设，则 ㈠如图： 直线的斜率存在时，设直线的方程为： 联立得： ， 又 ……① 又……② ……③㈠ 由①②③得： 即 即 又直线不过，则，即 则直线的方程为：，过定点 ㈡直线的斜率不存在时，设，则 又，则（舍），， 此时直线过定点 点P在椭圆内部 则的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是把问题转化成直线经过定点. 题型二 周长类最值 7．已知椭圆：的长轴长为4，左，右焦点分别为，，上顶点为A，其中直线的斜率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线与椭圆C交于M，N两点，若原点到直线的距离为1，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，，联立解得，，，故椭圆C的方程为； （2）设，，，则，同理得， 易知直线与单位圆相切，设切点为B，，同理得， 故的周长为， 当直线的斜率不存在时， 的方程为,,,则的周长为4； 的方程为，,,此时的周长为； 当直线的斜率存在时，设的方程为，则原点到直线的距离，故， 联立化简可得，故，易知，故，同号； 当时，即，此时点M在y轴右侧，所以，， 此时的周长为为定值； 当时，即，此时点M在y轴左侧，所以，， 此时的周长为 ， 因为，故，当且仅当或时取等号， 从而，故的周长的取值范围为； 综上所述，的周长的取值范围为.    【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用． 8．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线不过椭圆中心和顶点，与椭圆交于两点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意得，又点在椭圆上，所以， 所以，则椭圆的方程为； （2）设，直线为，则， 由，得，且， 所以 则直线为， 令，得 ，即， 则， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立，则周长的最小值为． 9．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被截得的线段长为． (1)求的方程； (2)已知直线与圆相切，且与相交于两点，为的右焦点，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，点在椭圆上， 则有，解得． 所以的方程为． （2）由题意知，，设， 由与圆相切，得，即． 由消去并整理得． 该方程的判别式， 由韦达定理得． 于是 ， 而． 同理，． 所以 ． 显然，下面对的符号进行讨论： ①当时，．（*） 令，则且． 代入（*）化简得． 因为，所以，解得，当且仅当时取等号． ②当时，． 综上，周长的取值范围为．    【点睛】关键点点睛：的周长包含弦长，以及，由弦长公式以及点点距公式表示出周长，换元法将所求转化为二次函数，根据二次函数的性质可求出范围. 10．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；    (3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）若两个椭圆是“相似椭圆”，则“焦顶三角形”的三个对应角相等. 如图，以焦点为顶点的三角形内角必为钝角，故相等，则相等，    所以相等，而，所以相等，即离心率相等； 若离心率相等，则相等，则相等，则相等； 同理，相等，则相等，所以相等； 所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等. （2）设椭圆的半焦距为. 因为椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似，所以椭圆的离心率也为， 若的面积为，又的面积与的面积之比为， 所以的面积为． 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为． （3）由离心率相等可知椭圆的方程为， 如图，设直线MN的方程为的中点为．      由消去并整理得， 则，即， 由MN的中点在直线上，得，解得， 因此，而，解得， 椭圆中，短半轴长，半焦距， 所以椭圆的“焦顶三角形”的周长为 故椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围是． 11．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． (3)在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)时，为定值 (3) 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线l的方程为，，， 联立，消去y整理得， 则， 且，， 又，， 则 ， 则，即时，此时为定值. （3）由（2）知，，，直线l的方程为， 且，，，， 则，， 则直线的方程为， 令，得 ， 即，则，，， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立， 则周长的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型三 面积类最值 12．已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，是椭圆上异于，的点，且直线与直线的斜率之积为1． (1)求点的坐标； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆的两个交点分别为椭圆短轴的两个顶点， 不妨设，，， 所以．又，所以． 故直线的斜率存在， 设，，直线的方程为， 与椭圆方程联立得①， 则有，． 由，得， 即， 即． 所以， 即， 整理得， 故 解得即； （2），故， ， 由（1）中①式可得，所以． 又， 设， 所以 ， 当时，. 13．设O为坐标原点，点，A，B为椭圆上的两个动点，（）. (1)证明：向量是直线AB的一个方向向量； (2)若线段OP与椭圆交于点Q，求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）点在椭圆外，、为椭圆上的两个动点， 设、， 此时， 则， 得， 即， 因为直线OP的斜率为， 所以直线AB的斜率为， 所以直线AB的一个方向向量为， （2） 线段OP的方程为， 由，即， 由（1）知，直线AB的斜率为， 设直线AB方程为， 若，此时直线AB过原点， 所以，其与矛盾， 所以，联立，消去并整理得 ， ， 解得或， 由韦达定理得，， 所以 ， 又到直线AB的距离， 所以， 令， 可得，设， 可得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减, 则当时，即时，取得最大值，最大值为. 14．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）1. 【详解】（1）由对称性知，和在椭圆C上，所以， 所以，C的方程为. （2）方法一：设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则 ，则或. ， 面积 令，则，， 当且，即时，面积的最大值为. 方法二：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，，则且， .点到直线的距离， 所以面积 . 令，则， 当，即时，的最大值为，所以面积的最大值为. 方法三：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则 ，则且， . 点到线的距离，所以面积 . ，即当时，有最大值为. （ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 于是， ，.所以， 于是，因为， 所以.所以的值1. 15．已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为． (1)求椭圆C的方程； (2)记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围； (3)若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意，解得，所以， 所以椭圆C的方程为． （2）由题意， 令，则， 当时，，当且仅当取等号； 当时，，当且仅当取等号； 所以或， 即的取值范围为． （3）方法一：①当l斜率不为0时， 设直线，，，则，， ， ， ，， 所以，即， 所以，代入得， （*） ，O到直线l的距离， ， 当且仅当，即时取“=”． ②当l斜率为0时，设直线，联立， 则， 由得，解得， 所以， 综上：． 方法二：设，，，， 由， ，， 设，，其中，， 即，， ， ，而，， 当且仅当或2即，或，时，取最大值1． 16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意知，可得，解得， 因为点到直线的距离为2，可得， 又因为，可得，所以的方程为． （2）（ⅰ）由（1）知双曲线的左顶点为， 设，，由题意知直线l斜率不为0，设直线， 联立方程组，整理得， 所以，且，， 所以 ，故直线的斜率之积为定值． （ⅱ）由题意，直线斜率存在，且不为0，设直线，其中， 则直线PE的方程为， 联立方程组，解得， 用替换上式中的得点Q的纵坐标， 则， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以的最大值为．    17．在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知平行四边形三点在上. （i）若点的坐标为，则直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； （ii）若点的坐标为，直线和直线关于直线对称，且点与点均在点上方，求平行四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）是，；（ii） 【详解】（1）因为点到点的距离和点到直线的距离相等， 所以由抛物线的定义可知：动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线. 设的方程为，则，即. 所以的方程为. （2）（i）直线恒过定点，理由如下： 由题意知直线的斜率不为0，故设直线方程为，，，，如图， 联立方程组，消去整理得， 则，，. 因为四边形是平行四边形， 则， 所以， 代入中，得，化简整理得， 所以直线， 所以直线过定点. （ii）因为的方程为，所以，所以轴，如图所示. 设，不妨设. 因为直线和直线关于直线对称，所以直线与的斜率互为相反数， 所以，即，整理得， 所以. 则直线，即， 点到直线的距离为， ， 所以， 由，可得， 令，则， 所以， 则，令，得， 当时，关于单调递增；当时，关于单调递减， 所以当时，取得最大值， 因此，四边形面积的最大值为. 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上运动，是的重心，且点到点与到点的距离之和为． (1)求的方程； (2)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （ⅰ）证明：直线过定点，并求出该定点坐标； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）. 【详解】（1）由题意设，设， 因为点到点与到点的距离之和为， 所以． 则点的轨迹是长轴长为，焦距为的椭圆，其方程为． 因为点是的重心，为的中点， 所以，则， 代入点的轨迹方程得. 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）由对称性可知直线经过的定点必在轴上且异于原点， 设定点为， 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为 联立，得， ， 则． 由（1）可得， 则直线的方程为， 直线的方程为， 由题意知直线与交于点，且点在直线上． 所以，即， 所以． 所以， 所以．① 当，即直线的斜率存在且不为0时， 由， 得， 代入①，得． 当时，上式恒成立，所以；   当，即直线的斜率不存在时， 若，则直线的方程为， 取，满足①式． 当直线的斜率为0时，直线，过点． 综上，直线过定点，且该定点的坐标为． （ⅱ）由题可知直线的斜率不为0， 由（ⅰ）可知直线过定点， 则， 所以 ， 令， 则，   因为函数在上单调递增， 所以． 则，所以， 所以四边形面积的最大值为. 题型四 斜率类最值 19．已知椭圆 为椭圆 的右焦点，过点的直线 交椭圆 于 、 两点.    (1)若直线 垂直于 轴，求椭圆 的弦 的长度； (2)设点，当 时，求点的坐标； (3)设点，记 、 的斜率分别为 和 ，求 的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由题意可知，， ∴,又∵当直线 垂直于 轴时，直线的方程为， 由得，， ∴弦AB的长为. （2）∵，且直线过点F， ∴，在中，， ∴斜边PF的中点，恰为椭圆的左焦点, ∴,又由椭圆的定义可得， ∴点在线段的垂直平分线上，又在椭圆上， ∴为椭圆的上顶点或下顶点， ∴或. （3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设， ∴， 故； 当直线AB的斜率存在时，设斜率为，则直线AB：，设， 由得，， ∴， ∴， 化简得， ①当， ，当且仅当时等式成立； ②当，，当且仅当时等式成立； ③当，； 综上所述可得，的取值范围为. 20．已知椭圆的左顶点为，过且斜率为的直线交轴于点，交的另一点为． (1)若，求的离心率； (2)点在上，若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图所示， 由题意知，，设，由，可知， 代入椭圆方程，可得，因为，所以， 又，解得， 所以离心率； （2）如图所示， 设点，直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程可得， 整理可得，解得， 所以， 将替换为，同理可得，， 由，可得， 整理得， 由，解得或， ，即，解得或， 故解集为. 综上所述，的取值范围为． 21．已知椭圆过点，离心率为. (1)求椭圆C的方程. (2)已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点. ①求k的取值范围； ②若，求的面积. 【答案】(1) (2)①；②或. 【详解】（1）由已知得. 因为，所以， 解得，，故椭圆的方程为. （2）①将代入，得， 则，解得或， 故的取值范围为. ②设，，由（1）可知，. 因为 ，所以. 又， 所以，所以或. 易知直线与轴交于点， 所以. 当时，；当时，. 故的面积为或. 22．已知椭圆左顶点，长轴长为4，焦距为，直线交椭圆于两点，直线的斜率之和为． (1)证明：直线恒过定点； (2)若在射线上的点满足，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）方法一：由题知得所以椭圆方程为． 设，．因为， 所以直线斜率存在． 设方程：．联立 得． ，且． 所以由． 化简整理，得． 所以，所以或（舍去）． 因为直线不经过．所以直线方程：， 所以直线过定点． 方法二：得所以椭圆方程为． 将坐标原点平移至，则平移后椭圆方程， 平移后直线，由，得， 所以，即． 因为，所以，即． 由一元二次方程根与系数关系，得， 即，恒过点，从而原直线恒过定． （2）设，由 得， 由一元二次方程根与系数关系，得，所以， 同理．由，， 则，则， 则， 即， ①， 所以， 将①以及代入化简，得． 因为，所以， 所以．    23．已知双曲线的左顶点，渐近线方程为，直线经过点，与C交于不与A重合的两点P，Q， (1)求双曲线C的方程； (2)求直线AP，AQ的斜率之和； (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR斜率的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由双曲线的左顶点，则， 由双曲线的渐近线，则，即， 所以双曲线. （2）设，由，已知直线斜率存在， 则直线方程可设为， 设直线的斜率为，直线的斜率为， 联立，消去可得， 由，则，， 又因为，，所以 ，代入，， 可得， 所以直线的斜率之和为. （3）设，，， 联立，解得，同理可得， 联立，解得，同理可得， 所以，， 因为，所以为外接圆的切线，且， 所以，由，， 则化简可得，当时取等号， 所以直线的斜率的最大值为. 题型五 角度及三角函数类最值 24．已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中λ，μ均为常数，动点P的轨迹称为曲线． (1)若曲线为椭圆，试问λ，μ应满足什么条件？ (2)设曲线C为曲线，与x轴不重合的直线l过点，曲线C上存在两点A，B关于直线l对称，且AB的中点M的横坐标为x． （i）若，求实数的值； （ii）若A，B为曲线C在y轴右侧上两个不同的点，且直线l过点，求的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）设，则到轴的距离力，，， ，，即 若曲线为椭圆，则，解得，且. （2）（i）因为曲线C为曲线，所以，即， 设， 因为两点在双曲线上，所以 两式相减得，得，即， 所以， 因为是的垂直平分线，有，所以， 即，化简得， 因为的中点M的横坐标为x，所以 故． （ii）    由于，故可知直线斜率存在， 设直线的方程为：，由， 消去并整理得, 则，，即， 所以， 所以， 于是点的坐标为，． 易知，所以，解得：， 代入得，得或， 由在双曲线的右支上得：，得，即， 且， 综上得，， 又 所以 因为，所以，故,所以， 所以，所以 25．已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②有， 【详解】（1）由题知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设， ①当直线的倾斜角为时，直线的方程为， 由，消得到， 所以， 所以. ②由（1）知，易知， 设直线 ，由，消得到， 所以， 设直线的斜率分别为，且， 所以， 得到，又， 当且仅当，即时，的最大值为， 又，所以的最大值为. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问中的②，设直线 ，联立椭圆方程，消得到，由韦达定理知，设直线的斜率分别为，从而得出，又，即可求解. 26．已知椭圆的离心率为分别为的左．右顶点，为的上顶点，且． (1)求的方程； (2)过的右焦点作斜率不为0的直线交于两点，设直线与交于点． ①证明：点在定直线上； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见详解；②. 【详解】（1）由题意知，， 所以，即． 又，所以， 所以． 所以的方程为． （2）①由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为． 由得， 设，则， 所以． 因为椭圆的左，右顶点分别为， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线与的方程得 , 解得，所以点在定直线上． ②设直线的倾斜角分别为，则， 由①知，所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算判别式； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 27．如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.    (1)求曲线的方程； (2)记曲线与轴的左、右交点分别为，若是曲线上不同于的任意两点. （i）若点，点位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，且，求线段的长度； （ii）若直线过点，直线与交于点，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）3；（ii） 【详解】（1）设，由， 得，，，曲线的方程为. （2）（i）方法一：由（1）可得，连接， 且， ，， 直线的方程为， 由，得或，又点位于轴下方，，. 方法二：，而， 所以， 因为，则点到直线的距离为， 所以点为平行于直线且距离为的直线与椭圆的交点， 设该直线为，由直线， 则，得， 所以，或（舍）， 联立，又点在轴下方，解得，从而.    （ii）由题知不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，消去，整理得， 设，则， 得， 的方程为，的方程为， 联立消去，整理得： . 解得， 动点的轨迹方程为， 由椭圆的对称性，不妨设，直线的倾斜角分别为，其中，且， ，则， ， ， 当且仅当时等号成立， 此时，所以的最大值为. 28．在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点，总存在一点满足关系式φ：（，）则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．已知点P在椭圆C：（）上，C过点，，作点P到的伸缩变换． (1)求的轨迹的方程． (2)已知O为原点，，点N满足，过点且倾斜角为（）的直线l与交于D，E两点，直线ND与的另一个交点为G，直线NE与的另一个交点为H． （ⅰ）直线GH是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． （ⅱ）记直线GH的倾斜角为，当取最大值时，求直线GH的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）过定点，（ⅱ） 【详解】（1）依题意解得 故C：； 设，，则， 而则的轨迹的方程为． （2）（i）依题意可得N（1，0），设直线l：，， 联立 整理得，， 设，， 则，， 直线NG的方程为， 代入中， 整理得， 设，则， 故，，即， 同理可得， 故， 所以直线GH的方程为，即， 所以直线GH过定点． （ii）因为，所以，正负相同， 且，所以， 当取最大值时，取最大值， 因为时，， 当且仅当时等号成立， 此时取最大值，取最大值， 此时直线GH的方程为． 29．已知椭圆 的上顶点为 ，且过点 .    (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为 的直线 与椭圆交于 、 两点（直线 斜率为正），直线 、 （若 、 重合， 直线 即为椭圆 在 点处的切线） 分别与 轴交于 两点， 为 中点. （i） 求 的最大值; （ii）当 最大时，将坐标平面沿 轴折成二面角 ，在二面角 大小变化过程中，求三棱锥 外接球表面积取得最小值时三棱锥 的内切球的半径. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）依题意，，，解得， 所以所求方程为. （2）（i）设直线，由消去得， 设，则，直线的斜率分别为， 则 ，则，即， 在中，令，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. （ii）当取最大值时，是边长为2的等边三角形， 过原点， 将沿轴折成三棱锥，将底面补成等腰梯形， 则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球． 过等腰梯形外心即中点作直线平面， 过中心作直线平面，则即为三棱锥外接球球心， 即为三棱锥外接球半径，显然与重合时三棱锥外接球半径最小， 此时平面，三棱锥为正四面休，与交点即为中心， 平面，而平面，则，在等腰梯形中， ，，则，即， 由平面，于是平面，而平面， 因此，因此， ， 则三棱锥表面积为，设三棱锥内切球半径为， 则，解得.    【点睛】结论点睛：一个多面体的表面积为S，如果这个多面体有半径为r的内切球，则此多面体的体积V满足：. 题型六 参数类最值 30．已知点在圆上，作垂直于轴，垂足为，点为中点． (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与轴交于点，与交于、两个相异点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，设点、，则， 因为点为线段的中点，则，即， 因为点在圆上，所以，即， 因此，点的轨迹的方程为. （2）由已知可得，设点、， 联立得， 由已知可得，得， 由韦达定理可得，， 因为，即，则，即， 所以，所以，即， 当时，不成立， 所以，代入得， 解得，因此，的取值范围是. 31．已知椭圆过点分别为椭圆的左右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点（点在第一象限），是椭圆上异于的点，直线与直线的斜率之积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，求的取值范围； (3)若直线和分别交椭圆于点，且直线的斜率为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）设，，设，则，，且，， 两式相减得：， 可知，即． 设椭圆的方程：，已知椭圆过点则，所以椭圆的标准方程：. （2） 如图所示，椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，设，线段的中点，  则，由题意知  ， 两式作差，变形可得：，即，又， 解得，因为线段的中点在椭圆的内部，所以，解得或， 综上可知，的取值范围为：. （3） 如图所示，已知得，不妨设，所以直线的方程为：（其中）， 与椭圆方程联立，消去得， 由韦达定理，所以， 故； 同理可得：，， 所以，解得. 所以直线的斜率为. 32．已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1)，离心率 (2) 【详解】（1）因为直线与坐标轴交点为和， 所以． 由，解得， 所以椭圆的方程为，离心率． （2） 由题意，直线的斜率存在，故设其方程为， 设点， 由得， 所以． 所以点的横坐标，纵坐标． 结合直线过坐标原点，可得直线的方程为． 令，得点的坐标为． 当时，显然点不在轴上． 则直线：，直线：． 令，得点． 由线段的中点为，得， 整理，得， 即， 化简，得． 由，得． 当时，由题意，点中有一个与点重合（不妨设点与点重合）， 处为中点，且， 在中，，则直线的方程为， 由的中点为，则，即，故， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，的取值范围为. 33．已知、分别是椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于、两个不同的点（、与、不重合）． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)若点在以线段为直径的圆上，求的值； (3)若，设为坐标原点，直线、分别交轴于点、，当且时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）由椭圆方程可得， 所以椭圆的焦距，离心率； （2） 不妨设直线的方程为，， 易知， 联立，消去并整理得， ， 由韦达定理可得， 若点在以线段为直径的圆上， 此时，即， 整理可得，即， 代入韦达定理， 整理得，解得， 因为当时，直线过椭圆的右顶点，不符合题意，舍去， 所以； （3） 设， 由（2）得且，， 因为，， 所以， 解得， 则，① 易知， 解得， 则，② 联立①②，可得， 因为且，所以， 所以的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是能用韦达定理化简；本题第三问关键是能用向量共线的坐标表示出，再用表示出. 34．如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (2)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1） 当时，椭圆，双曲线. 联立，由得， 由得，两式相减消去得， 代入双曲线方程得，又因为点在第一象限，所以. 设.， 由，得，即，所以， 当直线斜率不存在时，其方程为，此时，则， 成立. 当直线斜率存在时，由题知交点必定在直线两侧，即左侧为与椭圆的交点，右侧为直与双曲线的交点，易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段之间时，，此时，故不可能，舍去； 因为双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线没有横坐标大于2的交点， 即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去；同理：当直线与椭圆交于轴下方时，也舍去， 综上：直线方程为. （2） 如图，已知，由（1）知椭圆，双曲线. 直线过点且斜率为，则直线的方程为. 设，由， 根据三角形面积公式， 则， 即. ， 因为双曲线的渐近线方程为，而，故直线与双曲线右支无交点， 故均为直线与椭圆的交点，联立， 消去得，则， ， 令，则， 设，则，当时，即，解得或，因为，所以在上，单调递增. 故单调递增且，所以单调递减，所以当时取得最大值，又所以的最大值为. 题型七 向量类最值 35．设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1），分别是直线和上的动点， 设，，， 点为线段的中点，则，， 又 ， ，即， 动点的轨迹方程为. （2）线段是圆的一条直径，圆心为，半径为， ， ， ，当时，取得最大值． 36．设椭圆的左焦点，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，所以． 则椭圆的方程为． （2）①当直线PQ与直线EF中有一条直线斜率为0时，不妨设PQ的斜率为零，则 ,, 所以 所以， ② 当直线PQ与直线EF的斜率均不为0时，设， 由，可知，， ， 设，则，， 因为过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于P，Q和E，F， 所以用换，可得， 则， 令，则，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以， 即， 综上，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，第（2）问解题的关键转化，考查转化思想和计算能力，属于较难题. 37．已知，，动点满足，作轴于点，为直线上一点，且满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若是上的动点，过作椭圆：的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设，，则， 因为，所以， 故，则 由，得，化简得， 将代入得， 故的方程为； （2）设，过作椭圆的切线，当切线斜率存在时，， 设斜率为，切线方程为， 联立整理得，① 则， 即，② 设②中关于的方程的两根为，， 则， ①式中，当取时，得， ， 将换成，得， 故 ，③ 其中 ， 又，所以， ， 故， 因为， 所以； 当切线斜率不存在时，中，令，此时， 由对称性不妨设，此时设，则， 此时. 综上，的取值范围是. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 38．已知椭圆（）的左右顶点分别为，，且，，，四个点中恰有三个点在椭圆上.若点是椭圆内（包括边界）的一个动点，点是线段的中点. (1)若，且与的斜率的乘积为，求的面积； (2)若动点满足，求的最大值. 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）因为与关于轴对称，所以这两个点必定都在椭圆上， 则必定不在椭圆上，点在椭圆上， 故有，解得， 即椭圆， 因为点是线段的中点，点是线段的中点， 所以，， 所以，. 设，则，， 化简得，所以或， 又因为点是椭圆内（包括边界）的一个动点，所以. 因为，所以，所以. 所以的面积为； （2）因为动点满足，所以点在以为直径的圆上， 因为点是线段的中点，所以， 因为，，所以， 设，则当时，点在线段上，此时， 当时，设，点在以，为焦点的椭圆上， 若，则， 所以，所以点在椭圆外，不成立，故舍去， 若，设，则，所以， 因为，所以，， 所以， 所以的最大值是，当且仅当，，三点共线时等号成立， 另解：设，因为点是椭圆内（包括边界）的一个动点， 所以， 所以， 所以，所以，所以. 当时，取得最大值是. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助三角形两边之和大于第三边，得到，从而转化为计算的最大值. 39．已知，分别为椭圆（）的左，右焦点，为短轴的一个端点，是直角三角形. (1)求椭圆的离心率； (2)若直线恰好与椭圆相切，求椭圆的方程； (3)在（2）的条件下，设直线不过点且与交于两点，，若，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设短轴的端点为，左右焦点为， 由于是直角三角形，所以，结合， 解得，故， （2）由可得椭圆方程为， 与直线联立可得， 由于直线恰好与椭圆相切，故，解得， 所以椭圆方程为 （3）由于在椭圆上，设, 由可得， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 代入椭圆方程中，消去可得， 则， 由可得 即， 化简得， 由于不在直线上，所以，故，， 故直线的方程为，故过定点， 当直线的斜率不存在时，可得， 代入可得， 结合可得或（舍去）， 此时直线也经过， 综上可得直线恒经过. 因为，结合，故为直角三角形斜边上的高的长， 又直线恒经过，所以, 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 题型八 距离类最值 40．已知椭圆C：（）的左顶点为A，离心率为，且过点 (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为的外心． ①若为等边三角形，求PA的长； ②若点P在直线上，求点A到直线l距离的最大值． 【答案】(1) (2)①答案见解析；②． 【详解】（1）根据题意，可得，且，且， 解得，，，所以所求椭圆C的方程为． （2）①易知．根据椭圆的对称性，可知点P在x轴上．不妨设，，则，联立方程，解得，． 方法1：由等边三角形的重心与外心重合，可知，则点P的坐标为． 方法2：由，即，解得， 则点P的坐标为． 方法3：直线AM的斜率为，线段AM的中点为，则线段AM的中垂线方程为，即． 令，解得，则点P的坐标为． ②当直线l的斜率为0时，线段MN的中垂线为y轴，不合题意． 当直线l的斜率不为0时，设直线l：（），联立椭圆方程可得．由，即，解得；且，． 令E，F分别为线段AM，AN的中点，则，， 可得线段AM的中垂线方程为，即①； 同理可得线段AN的中垂线方程为②． 联立①②，解得． 由，可得，即，代入不等式，解得且，则． 点A到直线l的距离． 设函数，，则在[1，15）单调递减， 在（15，33）单调递增，可得，进而得到． 综上可知，点A到直线l距离的最大值为． 41．已知椭圆的右焦点为，长轴长为.过F作斜率为的直线交E于A，B两点，过点F作斜率为的直线交E于C，D两点，设，的中点分别为M，N. (1)求椭圆E的方程； (2)若，设点F到直线的距离为d，求d的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）长轴长为，所以， 又焦点为，所以， 所以， 所以椭圆E的方程为； （2）设，，直线的方程为， 联立，消去y得， 易知，所以， 又M为的中点，所以，， 因为，即，又N为的中点， 不妨用代换，可得，， 讨论：①当时，直线的斜率不存在， 此时，解得， 当时，，，此时的方程为， 所以，点到直线的距离d为， 同理，当，， ②当时，，此时， 所以直线的方程为， 化简可得， 法一：点到直线的距离， 又，所以， 因为，所以， 所以 综上可知，. 法二：直线的方程为， 令，可得，综上可知，直线恒过定成， 故点到直线的距离d的最大值为，此时直线的斜率不存在， 又直线的斜率一定不为0， 所以. . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法 （1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解． 42．已知椭圆的离心率为，右焦点，椭圆在第一象限上有一动点，点到直线的距离为，当时，点的纵坐标为. (1)求椭圆方程及； (2)证明：； (3)点，当取最大值时，求椭圆上任意点到直线的最大距离. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由已知，，设椭圆左焦点，则， 因为，， 由，得， 所以椭圆方程为，； （2）设点，因为点在椭圆上，得， 由两点间距离公式得， 化简得； （3）由（2）可知，，所以， 根据三角形两边之差小于第三边得, 所以当三点共线时取最大值， ，设直线：， ，得：， ，∴， 通过图象可得，当直线时，椭圆上任意点到直线的距离最大， 即椭圆上任意点到直线的最大距离为. 43．已知椭圆：，点在椭圆上.椭圆上关于原点对称的任意两个不与点重合的点、和点连线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)若一条斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点，且线段的中点的纵坐标为，过作直线.定点到直线的距离记为，求的最大值并求出对应的直线的方程. 【答案】(1)； (2)，. 【详解】（1）设且，则， 所以， 又在椭圆上，即，可得， 所以， 由在椭圆上，即，即，故，可得， 综上，椭圆方程为； （2）由题意，直线的斜率存在，设，， 由，，作差得， 整理有， 因为线段的中点，则且， 所以，可得，故， 所以直线，即，过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 由，而，可得，经检验满足题设， 所以的最大值为，直线. 44．在平面直角坐标系中，椭圆，左右焦点分别是，，点A是椭圆上的任意一点，A到原点O的距离最大为． (1)若面积的最大值为1，求椭圆的表达式； (2)若，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接BM交椭圆于另一点C，证明：； (3)在（2）的条件下，过点A作不经过的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D，到直线l的距离为d．如果直线、l、的斜率依次成等差数列，求d的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为 （2）设，则， 由，得，直线的斜率分别为， 则，， 因此，即，所以. （3）当直线的方程为，由，得， ，即， 椭圆左、右焦点，设, 由直线的斜率依次成等差数列，得， 又，则， 化简并整理得:，若，则直线：过点，不符合题意， 则，即，此时，整理得， 因此，解得，记点到直线的距离为， 则， 令，在上单调递减，则， 所以d的取值范围是. 45．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点与短轴端点构成的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆外一点作两条互相垂直的直线、，、与椭圆均相切，切点分别为、两点. （i）求的轨迹方程. （ii）记原点到、的距离分别为、，求的最大值. 【答案】（1）；（2）（i）；（ii）. 【详解】（1）由已知可得，解得，因此，双曲线的方程为； （2）（i）设点的坐标为. ①若直线、的斜率都存在时，不妨设直线、的斜率分别为、， 不妨设过点且斜率存在的直线的方程为，即， 联立，消去可得， 由， 可得， 由题意可知，、是关于的二次方程的两根， 因为，则，化简可得； ②当、分别与两坐标轴垂直时，满足，此时点的坐标为， 点在圆上. 综上所述，点的轨迹方程为； （ii）由（i）可知， 过点分别作直线、的垂线，垂足分别为点、， 因为，，故，同理可得， 所以，四边形为矩形，故， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 46．设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． (1)当时，求椭圆的离心率； (2)若且点在直线上，求的值； (3)设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，， ， 所以椭圆的离心率为； （2） 如图，设， ， 又， 是第一象限上的点， ，即解得， ， 由椭圆的定义知，. （3）由椭圆的定义知． ，设， 对于每一个固定的设点到的距离为， 利用点到直线距离公式有， 由辅助角公式得， 是第一象限内的一点， ，注意到， 是第一象限的角， 设， 当时为在固定下的最小值， 由题意知对于有解， ， 两边平方可得， 要求的最小值，即求的最大值， ，当时取到． 题型九 点坐标及截距类最值 47．已知椭圆经过点和点. (1)求椭圆的方程； (2)设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意设，且， 由，得， 则(*)， 因，， 则， 代入(*)式，可得：， 化简得， 因，得， 即得， 故实数的取值范围是. 48．椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且． (1)求椭圆方程； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的方程为 ， 由题，解得，， 因此椭圆的方程为即． （2）由题意可知向量起点相同，终点共线， 又由得， 故，即，即， 显然直线斜率存在且不为，设其方程为， 联立方程，消去，得，所以， 设，，则，， 又由得，即， 因此，从而，， 所以， 整理得，显然， 所以， 解得或．经检验，此时， 因此的取值范围是. 49．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，圆与椭圆相交于，两点，，的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的动直线与椭圆有两个交点，，以线段为直径作圆，点始终在圆内（包括圆周），求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）方法一：因为，所以， 则， 解得． 因为的面积为，所以，，， 所以椭圆的标准方程为； 方法二：因为，， 所以是正三角形，， 所以点在线段的中垂线上，则，是椭圆的短轴端点． 因为的面积为，所以， 在中，易知， 故椭圆的标准方程为； （2）方法一：设点，． 当直线的斜率不存在时，的方程为，代入椭圆方程得， 不妨设，，易求． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则 消去得，， 所以，． 因为点在圆内（包括圆周），所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 即恒成立， 所以，解得． 综上，的取值范围为． 方法二： 当直线的斜率为0时，圆以椭圆的长轴为直径，所以． 当直线的斜率不存在，或斜率不为0时，设的方程为， 且，． 联立，消去得， 所以，． 因为点在圆内（包括圆周），所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 即恒成立， 所以，解得． 综上，的取值范围为． 50．已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点． (1)求的方程； (2)证明：的面积为定值； (3)若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，即， 由点在上，得，联立解得， 所以的方程为. （2）设，则， 由消去并整理得， ，， ， 所以的面积为定值. （3）由点在直线的右侧，得，设直线与轴的交点为， 当时，点中有一个点与椭圆的上顶点重合，此时即为的上顶点，， 当时，由共线，得，即， 整理得，而 ，当且仅当时取等号，， 所以直线在轴上的截距的最小值为. 51．已知椭圆的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，，设点关于坐标原点的对称点为，若点恒在以为直径的圆内部，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图所示，    由题意知，，即， 故以短轴端点和焦点为定点的四边形为正方形，且边长为， 所以，解得， 所以， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为， 如图所示，    此时为椭圆的上下顶点，且， 因为点总在以线段为直径的圆内，且， 所以. 当直线的斜率存在时，设的方程为. 如图所示，    由方程组得， 因为直线与椭圆有两个公共点，即，得； 设，则，. 设的中点，则，， 所以.所以， ， 因为点总在以线段为直径的圆内，所以对于恒成立， 所以， 化简，得，整理得， 而（当且仅当时等号成立）所以， 由，得， 综上，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 52．已知椭圆 短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆C交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点 (1)若的坐标为求椭圆C的方程； (2)在（1）的条件下，过点并垂直于轴的直线交C于点，椭圆上不同的两点满足  成等差数列. 求弦的中垂线在轴上的截距的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）椭圆 短轴长为2，则有，故椭圆， ，则为的中点，又为的中点，可知为的重心， 则，故， 代入椭圆方程得，解得，所以椭圆C的方程为； （2）由椭圆C的方程得，，， 成等差数列，， 设，AD中点，由弦长公式， = ， ，， 同理，代入可得， ①当AD斜率存在时，由，两式作差可得， ，∴， ∴弦AD的中垂线方程为， 当时，AD的中垂线在轴上的截距为， AD中点在椭圆C内，∴，得，且． ②当AD斜率不存在时， AD的中垂线为轴，在轴上的截距为． ∴综上所述，即弦AD的中垂线在轴上的截距的取值范围为. （3），则为的中点，为的中点， 又为的中点，可知点分别为，的重心， 设，， 设点，，则根据重心性质及面积公式得， ，而， ∴，∴，∴， 设，则，令， 任取，有， 时，，，， ，即； 时，，，， ，即； 则在上单调递增，在上单调递减， ，， 可得，即， 设直线，则联立椭圆方程得， 消元化简得，， ∴，， ∴， ∴，则对任意的m恒成立，即，得， 故实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 53．已知P为圆上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N，连接NM并延长至点Q，使得点Q的轨迹记为曲线 (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C的左顶点为T，当直线l与曲线C交于不同的A，B两点，连结AT，BT证明：直线l过定点； (3)若过右焦点的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，且当时，求直线l在y轴上的截距的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设则 由题意知又所以 得所以 因为得故曲线C的方程为 （2）设直线 联立方程组消去y得 所以 又 所以 = 化简得即 解得或 当时，直线l过定点与点T重合，舍去， 当时，直线l过定点 （3）设直线 联立方程组 消去x得 所以①②， 由得③， 由①③可得 代入②化简得 即 由得 即解得 即 从而直线l在y轴上的截距为 【点睛】方法点睛，直线与圆锥曲线交点问题，一般采用联立方程组，借助韦达定理得到点的坐标和所设参数的关系，再由条件建立相应的等式或不等式，即可求出范围或者参数之间的关系，从而解决求范围问题或者定点定值问题. 54．在平面直角坐标系中，已知点，是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线过点，与交于，两点， （i）若，求直线的方程： （ii）若，是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）设，则有， 当时，化简得； 当时，化简得， 所以，曲线如图所示： （2）（i）如图所示，不妨设点在圆上，则，，所以点在椭圆上. 设， 解得，所以，所以， 所以直线方程为. （ii）由题意知，故点也在圆上，又为直径，所以. 设，，联立椭圆方程，得 ， 则， 因为，，， 则 所以， 即， 所以，所以， 解得，即的最小值为. 55．已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. (1)求的周长； (2)若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； (3)记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是定圆 【详解】（1）由椭圆， 得，所以， 所以的周长为； （2）设， 由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得， 即点的横坐标的取值范围为； （3）， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 当，即时， ， 则直线的方程为， 即，过定点， 当，即时， 此时，直线过定点， 设，因为， 所以过点为坐标原点三点的圆即为过点为坐标原点三点的圆， 因为过原点，点，点， 所以过点为坐标原点三点的圆是定圆. 题型十 存在性问题与探索性问题综合 56．已知椭圆过点，. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为2的直线l交椭圆于A，B两点（点A，B不重合），且l交直线于点M，探究是否有最小值. 【答案】(1) (2)没有 【详解】（1）将，代入椭圆方程得 解得，，故椭圆的标准方程为. （2）设直线AB的方程为，，，， 联立得. 将代入椭圆方程整理得，， ，解得， 故，， 故 ， 将代入上式，得， 由，得，又， 故没有最小值. 57．已知椭圆，点. (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)直线过点且与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，是否存在直线使为直角三角形？若存在求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【详解】（1）因为，所以，即，所以， 所以. （2）由题意知，直线不与轴重合.设方程为. 由. 有. 设的中点为. 则的中垂线方程为， 令，得. . 由题意，， 即 ， 的方程为. 58．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，左、右顶点分别为，且上存在点，使得直线与的斜率之积为． (1)求的方程． (2)过点作直线交于两点（与均不重合），过原点作直线的平行线交于，两点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【详解】（1）抛物线的焦点，依题意，， 设，则，而， 由直线与的斜率之积为，得， 则，， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，则平行线的方程为， 由消去得，设， 则， ， 由消去得，解得， 则，因此， 所以存在常数，使得恒成立，.    59．已知椭圆的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为. (1)求椭圆和双曲线的方程； (2)直线与椭圆有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点，，当点M运动时，求点的轨迹C的方程； (3)已知点，又有不同的两点，，直线，分别与曲线C交于点P，Q，过T作直线PQ的垂线，垂足H.探究的最小值，若存在则求出该最小值；若不存在则说明理由. 【答案】(1)椭圆：，双曲线： (2) (3)存在， 【详解】（1）对于椭圆，已知焦点坐标为， 则，. 对于双曲线，渐近线方程为，所以，即. 联立，将代入得，解得，， 所以椭圆的方程为，双曲线的方程为. （2）联立，消去y得. 因为直线l与椭圆有唯一公共点M，所以， 化简得. 设，由韦达定理，则. 当时，无不同的两点A，B，与题意不符； 当时，过点M且与l垂直的直线方程为. 可得，，即， 代入得：， 故点N的轨迹方程； （3）设直线PQ方程：，，， 联立， 其中由韦达定理得： ，， 由， 即， 由于直线PQ不过点T，故化简得， 故 ， 此时直线，恒过定点， 由于，故点H在以TS为直径的圆上，圆心，半径， 所以，等号成立时，， 此时故的最小值为. 60．已知椭圆的离心率为，左右两顶点分别为，过点作斜率为的动直线与椭圆相交于两点.当时，点到直线的距离为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)设点关于原点的对称点为，设直线与直线相交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 【详解】（1）依题意可知， 由于，则直线的方程为， 因为点到直线的距离为. 所以，解得， 所以，则， 所以椭圆的标准方程. （2）设，直线的方程为.此时. 联立直线与椭圆方程消去得， 则有 不妨设，因为三点共线，则， 所以则有， 因为三点共线，则则有， 所以 ， 所以，所以， 所以，所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 61．已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【详解】（1）解：由题意可知，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）①设，，， 由题设可知：，， 又因为，经过点，所以， 所以，均在直线上，即， 由，解得，所以直线过定点. ②设实数存在，因为，所以， 当直线斜率不存在时，此时直线的方程为， 由解得， 所以，故. 当直线斜率时，不满足题意； 当直线斜率时，设直线的方程为，则， 故， 所以， 联立可得，显然， 所以，， 所以. 综上可知，存在满足条件. 【点睛】方法点睛：本题第二问，首先利用弦长公式得到，然后巧用，化简得到，结合韦达定理而得解. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为. (1)求椭圆方程的标准方程； (2)证明； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由已知得，解得， 因此椭圆的方程为；； （2）由，整理得， 设，则，， 因为， ， 所以； （3）设为点到直线的距离，故， 又因为， ， 所以， 设，则，由于， 所以，当，即时，等号成立. 因此，的最大值为. 2．设椭圆（）的离心率为，点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程； (2)设E的右顶点为D，若直线l与椭圆E交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点O到直线l距离的最大值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）依题意，因为，所以，将代入椭圆方程得，则可解得所以椭圆E的方程为． （2）由（1）知，设，，， 由知，， 即，即， ①当直线l垂直x轴时，且， 故，故或（舍去），此时点O到l的距离为； ②当直线l的斜率存在时，设， 联立方程得， 由得，且，， 由，得， 将，代入上式可得， 即，所以，所以（舍去）或， 显然，则点O到l的距离． 综上，点O到l的距离最大值为． 3．已知椭圆的离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)已知，分别为的左、右顶点，为的上顶点，直线交于，（不同于，）两点，记直线，的斜率分别为，，若，求到的距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，得， 解得，， 所以的方程为； （2）由，不同于，，当直线垂直于轴时，与异号，不满足题意， 所以直线不与轴垂直，设其方程为，，， 联立，得， ，即， 则，. 又因为，，所以，，直线的斜率， 由在上，得，即， 因此， 因为，所以， 由 ，解得， 此时，对任意实数恒成立， 直线的方程为，所以直线过定点， 又因为，则当时，点到直线的距离取得最大值， 即点到直线的距离的最大值为. 4．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：，解得， 由椭圆过点，得，联立解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可设， 因点在第一象限，则， 设，，点，到直线的距离分别为，， 由，消可得， ，当时，， 所以，， 所以， ，，直线的一般式方程：， 所以，， 所以， 所以， 当时，有最大值为. 5．已知椭圆C：，其右焦点为F，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)存在， (3)证明见解析 【详解】（1）因为椭圆的方程为，所以，，，即， 离心率为. （2）    设直线的方程为：，，代入，得： ， 恒成立， 设，，线段的中点为，则 ，， 由， 得：， 所以直线为直线的垂直平分线，直线的方程为：， 令得：N点的横坐标， 因为，所以， 所以， 即线段上存在点，使得，其中. （3）    设直线的方程为：，，代入，得： ， 因为过点的直线与椭圆交于A，B两点， 所以， 得：， 设，，，则，， 则直线的方程为，令得： ， 当时，也满足题意，所以直线过定点， 综上，直线过定点. 6．已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，整理得， 即，解得或. 当时，，此时C的离心率，符合题意； 当时，，此时C的离心率，不合题意，舍去， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立得， 因为直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B， 所以，整理得. 设，则， 所以 ， 因为，所以令，则， 由，得，即， 因为，所以，解得， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l与椭圆C的两交点分别为， 不妨取，则， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 7．已知椭圆的下顶点，右焦点为为线段的中点，为坐标原点，，点与椭圆上任意一点的距离的最小值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，若存在过点的直线，使得点与点关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意得: ， ∴， ∴ ∴， ∴椭圆的标准方程为. （2） 根据题意得:的中垂线过点， 由,化简得:， ， 设， ， ， 的中点， ， ∴的中垂线方程为: ， 代入点的坐标得: ， 故， 代入且 . 【点睛】关键点点睛：求参数的取值范围的方法，设直线方程，引入了两个未知数，先通过AB的垂直平分线过点得到关系，代入求出参数的取值范围. 8．已知椭圆的离心率为，直线与E交于A，B两点，当为双曲线的一条渐近线时，A到y轴的距离为. (1)求E的方程； (2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N（O为坐标原点），连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的半焦距为,则,所以,所以①， 不妨设，与联立得. 由题意得②， ①②联立并解得, 故的方程为. （2）设,则, 所以直线的斜率, 直线的方程为,代入,得 , 所以, , 所以, 所以, 当且仅当,即时等号成立, 所以当时,取得最小值,且最小值为.    【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是计算出直线的方程，将其与椭圆方程联立，得到韦达定理式，再计算出，从而得到，最后得到，最后利用基本不等式即可得到最值. 9．已知椭圆的长轴长为，且其离心率小于为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，的面积的最大值为， (1)求椭圆的标准方程； (2)为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，过点且与平行的直线与直线的交点为，设直线所成角为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：或2， ，椭圆的标准方程为    （2）设，直线，与椭圆联立得：在椭圆内，必有， ， ，① ，② 设③ ，联立①②③得 ，当且仅当时，取等号. 所求线线角正切值的最大值为. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，分别计算和，从而有，最后利用夹角公式和基本不等式即可, 10．已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点，且与椭圆C交于M，N两点（均异于A，B两点），直线AM，BN的倾斜角分别记为，试问是否存在最大值？若存在，求当取最大值时，直线AM，BN的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，直线AM的方程为，直线BN的方程为 【详解】（1）由分析题意得解得 所以椭圆C的方程为． （2）存在最大值，当取最大值时， 直线AM的方程为，BN的方程为，理由如下： 由（1）可得，， 由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，， 联立，得，所以， ，，所以． 又 所以，可知或． 若取最大值，则，此时． 此时 ， 当且仅当，即，时等号成立， 此时直线AM的方程为，即， 直线BN的方程为，即． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数（离心率）.我们称此定点是焦点，定直线是准线.已知双曲线. (1)求双曲线的准线； (2)设双曲线的右焦点为，右准线为.椭圆以和为其对应的焦点及准线过点作一条平行于的直线交椭圆于点和.已知的中心在以为直径的圆内，求椭圆的离心率的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由，得. 所以双曲线的中心，右焦点，， 所以准线为或. （2）   设是椭圆上任意一点，上椭圆的长轴长，椭圆的焦距， 设， 则.① 又直线的方程为.② 由①②联立得， 由题意知是这个方程的两个根， 所以 所以， 所以圆心坐标为. 从而有 又在椭圆中，根据椭圆的定义，当为椭圆左顶点时，设， ，得.又，所以， 故椭圆的中心坐标为， 又点在以为直径的圆内， 所以， 整理得， 即. 因为椭圆的离心率，所以 即，故. 2．已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． (1)若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； (2)设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； (3)设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 （2）由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. （3）由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点位于上，所以 ，为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)存在；或 (3) 【详解】（1）由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. （2）由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. （3）由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积、参数取值范围的求解问题；本题求解参数范围的关键是能够根据向量数量积关系，将问题转化为，从而利用两点间距离公式和韦达定理化简该等量关系. 4．在单位圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，若，当点在圆上运动时，点的轨迹为椭圆，设分别是椭圆的左右顶点，点是直线上一动点，且满足直线与椭圆的另一个交点分别为两点，直线的斜率分别记为． (1)求椭圆的方程； (2)若，，求的最大值； (3)当两点在轴上方时，求四边形的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设单位圆上一点， 因为，则点， 所以，， 于是，，代入单位圆， 得椭圆的方程为． （2）如图所示： 由（1）知，，，因点是直线上一动点， 设，所以，，即，， 所以， 于是， 因，，所以， 当且仅当时取等，即，又， 解得，，故当且仅当，时，取最大值． （3）由（2），，根据对称性只需考虑， 所以直线的方程为，代入椭圆， 得， 则，所以，同理， 因两点在轴上方时，所以，，即， 则，同理， 于是， 而， 所以， 于是， 所以， 令，所以， 所以，此时的取值范围为． 【点睛】方法点睛：由为定值，且四边形是由点P出发的两条直线而产生的，所以问题转化为，由而得解. 5．已知椭圆以双曲线的实轴为长轴，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与双曲线交于两点，与椭圆交于两点，直线平分线段平分线段. （i）求的值； （ii）求直线与椭圆的交点构成的四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由，可得其顶点为， 则可设椭圆的标准方程为， 把点代入，得到， 所以椭圆的标准方程为； （2）(i)设. 则，即， 所以，同理可得， 所以. (ii) 直线 和 与椭圆 的交点分别为两组对称点（关于原点对称），构成一个平行四边形（原点是对角线交点，对角线互相平分） 由①知，，所以 . 如图设交椭圆于，交椭圆于，. 联立，解得，同理得. 所以四边形面积 ， 又，当或时等号成立， 所以：， 所以， 因此，面积范围为：. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$