重难点培优02 圆锥曲线中的动点轨迹、定点、定值、定直线问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02 圆锥曲线中的动点轨迹（含平面与空间） 定点、定值、定直线问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 平面与空间动点轨迹及轨迹方程（★★★★★） 3 题型二 定点问题（★★★★★） 5 题型三 弦长类定值（★★★★★） 6 题型四 斜率类定值（★★★★★） 7 题型五 角度类定值（★★★★★） 8 题型六 位置关系类定值（★★★★★） 9 题型七 向量类定值（★★★★★） 10 题型八 面积类定值（★★★★★） 11 题型九 距离类定值（★★★★★） 12 题型十 坐标类定值（★★★★★） 13 题型十一 参数类定值（★★★★★） 13 题型十二 圆锥曲线中的定直线问题（★★★★★） 15 03 实战检测・分层突破验成效 16 检测Ⅰ组 重难知识巩固 16 检测Ⅱ组 创新能力提升 18 圆锥曲线作为解析几何的核心载体，其解答题以动态变化中的不变性为核心命题逻辑，综合考查几何直观、代数运算与模型转化能力。题型体系围绕“轨迹生成-定点定值-结构探索”三层维度展开，需构建坐标化工具体系与几何性质洞察力的双支柱支撑。 一、基础建模：轨迹生成与定点性质 题型一（动点轨迹及轨迹方程） 是解析几何的起点，要求依据几何约束（距离、角度、垂直、平行等）建立动点坐标满足的方程，本质是几何条件到代数方程的翻译建模能力。 题型二（定点问题） 探究在动直线、动弦或动点系变化过程中，某些点位置保持不变的特性，解决关键在于参数化动态元素并证明其坐标与参数无关。 二、核心主轴：恒等关系的探索（定值类） 题型三至九（弦长类、斜率类、角度类、位置关系类、向量类、面积类、距离类定值） 构成题型体系的主体。其共性在于：无论曲线上的点、弦、切线或其他关联元素如何运动变化，某些特定的几何量（长度、角度、斜率、向量运算结果、面积、距离）或其组合关系恒为定值。解题的核心是选择恰当参数表示变量，通过代数运算消参，最终得到常数结果，深刻揭示运动背后的不变规律。 三、深化拓展：坐标规律与参数规律 题型十（坐标类定值）：证明关键点（如弦中点、交点）的坐标值为常数，需坐标参数化→代数运算→消参得常量。 题型十一（参数类定值） 探索圆锥曲线方程本身所含参数之间存在的恒定关系，需在特定几何背景下进行代数推导与验证。 四、高阶整合：动态中的静态结构（定直线） 题型十二（定直线问题） 是动态问题的高阶体现，要求在复杂的运动过程中（如动弦、动点、动切线），证明某些点恒在或某些直线恒过某条固定直线。解题精髓在于识别不变因素，构造含参方程，证明其过定点或满足直线方程。 备考核心：代数化能力与结构洞察 攻克圆锥曲线解答题，关键在于两大支柱： 1. 强大的代数化与运算能力： 精准地将几何语言（点、线、位置关系、度量）转化为坐标语言（方程、不等式），并具备处理复杂代数式（消参、化简、求最值）的熟练技巧。 2. 深刻的几何结构洞察力： 能穿透代数表象，识别问题本质（如对称性、焦点性质、渐近线作用、特定三角形关系），预判定值或定直线的可能方向，为代数运算提供指引和简化路径。 3. “动”与“定”的辩证思维： 深刻理解动态变化是背景，寻找不变量（定值、定点、定直线）是目标。掌握参数化思想，熟练运用“设而不求”、“整体代换”等策略处理多变量问题。 总而言之， 圆锥曲线解答题的备考，是一个由轨迹建模为基础，经定值探究深化，向定直线证明挑战的进阶过程。它不仅要求扎实的曲线方程性质基础、精准的代数运算功底、严密的逻辑推理链条，更要求卓越的“几何直觉代数化” 能力，即在纷繁的运动变化中敏锐捕捉恒定不变的几何结构，并通过强大的代数工具予以严格证明。熟练掌握这12类题型的解题范式与核心思想，是突破难点、提升解析几何综合素养的必由之路。 题型一 平面与空间动点轨迹及轨迹方程 1．（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图， 在四棱锥中， 底面 是边长为3的正方形，平面，点为底面上的动点， 到的距离记为，若，则点在底面正方形内的轨迹的长度为（   ） A．2 B． C． D． 3．（2025·北京·二模）设正方体的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（   ） A． B． C． D． 4．曲线是平面内到原点的距离与到直线的距离的乘积等于常数（）的点的轨迹. 给出下列四个结论： ①曲线过点； ②曲线关于轴对称； ③曲线存在渐近线； ④曲线与被轴截得的弦长大于. 其中所有正确结论的序号是 . 5．（2025·北京·三模）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线的一部分.已知过坐标原点.且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.有以下四个结论： ①； ②曲线上存在点，满足； ③若点是曲线第一象限上的点，则的面积的最大值为； ④当点在上时，不等式恒成立； 其中，所有正确结论的序号是 . 6．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．在所有棱长为4的正四棱锥中，M是底面正方形内一点（含边界），若，则点M的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 8．已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（    ） A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上 9．已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，，，若点P是平面上一动点，且的周长为，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若直线与曲线C交于A，B两点，且，，求k的值. 11．平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 12．平面直角坐标系中，M是一个动点，直线与直线垂直，垂足位于第一象限，直线与直线垂直，垂足位于第四象限，且. (1)求动点M的轨迹方程C； (2)若过点的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A（异于点B），直线AB与x轴交于点G，求面积的取值范围. 13．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 14．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 15．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为． (1)求轨迹的方程 (2)求的取值范围； (3)点关于原点对称，若，求的面积． 题型二 定点问题 16．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 17．已知是椭圆 的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，. (1)求的方程； (2)证明：过定点. 18．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦距为4. (1)求的方程； (2)过的左焦点且斜率为的直线与的左支交于两点. （i）求的取值范围； （ii）记点，直线与的右支分别交于点，证明：直线过定点. 19．设椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，短轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点作一条直线与椭圆C交于P，Q两点，分别过P，Q作直线l：的垂线，垂足依次为S，T．试问：直线与是否交于定点?若是，求出该定点的坐标，否则说明理由． 20．已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点．若，求证：直线经过定点． 21．（2025·北京丰台·一模）已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点. 22．椭圆：的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与轴交于定点. 题型三 弦长类定值 23．已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 24．已知椭圆C：的短轴长等于，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请说明理由． 25．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线相交于点，N.当点运动时，求证：以为直径的圆截轴所得的弦长为定值. 26．已知椭圆E：的左右焦点分别为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形．A为圆上一点（不在x轴上），B为椭圆E上一点，且满足轴，直线l与圆O切于点A，过作l的垂线，垂足为M． (1)求椭圆E的方程及圆O的方程； (2)求证：为定值． 27．已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的右焦点．过点的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由． 28．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，左焦点为，点在上，轴，且直线的斜率为． (1)求的方程； (2)（异于点）是线段上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为，直线与直线相交于点，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由． 题型四 斜率类定值 29．已知点A，B是椭圆的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)点O是坐标原点，直线l经过点，并且与椭圆E交于点M，N，直线与直线交于点T，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 30．（2025·北京朝阳·一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作直线l与椭圆E交于不同的两点A，B．设，直线BC与直线交于点N，求证：直线AN的斜率为定值． 31．（2025·北京·模拟预测）椭圆：，左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点.，面积的最大值为6. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)当点P不与椭圆顶点重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，交直线为D，直线交x轴为E.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 32．已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为. (1)求E的方程； (2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等. （i）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 33．已知椭圆 的离心率为， 椭圆 的上顶点为A， 右顶点为 ， 点 为坐标原点， 的面积为 2 ． (1)求椭圆 的方程； (2)若过点 且不过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 直线 与直线 交于点 ， 试判断直线 的斜率是否为定值？ 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由． 34．已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且，点Q是P关于x轴的对称点，直线与椭圆C的另一个交点为. （ⅰ）证明：直线，的斜率之比为定值； （ⅱ）求直线的斜率的最小值． 题型五 角度类定值 35．已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值. 36．已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 37．已知椭圆的长轴长为，且过点． (1)求C的方程和离心率； (2)过点与作直线l交椭圆C于点D、E（不与点A重合）．是否为定值?若是，求出该定值，若不是，求其取值范围． 38．已知椭圆的焦距为2，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积的取值范围. 题型六 位置关系类定值 39．已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 40．已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若AB的中点坐标为，求直线l的方程； (3)若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形. 41．已知椭圆的左、右焦点分别为，点的坐标为，且线段的长是长轴长的． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线交椭圆于两点（在的上方），过作的垂线交轴于点，若线段延长线上的一个点满足的面积为． ①证明四边形是菱形； ②若，求椭圆的方程． 42．已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，过点的直线与交于，两点（异于点），且当轴时，四边形的面积为. (1)求的方程； (2)若直线与直线交于点，证明:三点共线. 43．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，离心率为，直线与椭圆交于两点，四边形的周长为8，直线（不经过点）与交于两点． (1)若以为直径的圆过点，证明：经过定点． (2)若为坐标原点，关于轴对称，且，，直线与交于另一点，证明：三点共线． 44．已知如图，点为椭圆的短轴的两个端点，且的坐标为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点（点在线段上），直线分别交直线于点.求证：四边形为平行四边形. 题型七 向量类定值 45．已知椭圆经过点，离心率为，与轴交于两点，，过点的直线与交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，当点异于点时，求证：为定值. 46．已知椭圆，过点的直线交椭圆于点． (1)当直线与轴垂直时，求； (2)在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由． 47．已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由． 题型八 面积类定值 48．已知椭圆的离心率为，点在该椭圆上，均为该椭圆上的动点． (1)求该椭圆的方程； (2)若的重心是坐标原点，求直线的方程； (3)若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 49．已知椭圆过点两点． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 50．已知椭圆经过点，且离心率，点是上一动点，点是的中点（为坐标原点），过点的直线交于、两点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率和直线的斜率都存在时，证明：； (3)证明：的面积为定值. 51．设，，向量，分别为平面直角坐标内轴，轴正方向上的单位向量，若向量，，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)设椭圆：，曲线的切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值. 52．已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值. 53．已知双曲线的离心率为，虚轴长为． (1)求双曲线C的方程； (2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值． 54．已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由. 题型九 距离类定值 55．为圆：上任意一点，另有一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)当点在圆上运动时，求动点的轨迹方程； (2)直线与相交于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，求证：点到直线的距离为定值． 56．已知椭圆的离心率为，直线过E的上顶点和右焦点，直线过E的右顶点，，与之间的距离为. (1)求椭圆E的标准方程. (2)已知过原点的直线与椭圆E交于A，B两点，点C是E上异于A，B的点，且，试问在x轴上是否存在点M，使得点M到直线AC的距离为定值？若存在，求出定值与点M的坐标；若不存在，请说明理由. 57．如图，现用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，所得截面是一个椭圆，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线.设椭圆的两个焦点分别为，，它们到切线的距离分别为，，试判断是否为定值？若是，求其定值；若不是，说明理由. 题型十 坐标类定值 58．已知椭圆的离心率为，是C的上、下顶点，且．过点的直线l交C于B，D两点（异于），直线与交于点Q． (1)求C的方程； (2)证明，点Q的纵坐标为定值． 59．已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图）. (1)试求P的一个坐标，并计算出P的轨迹方程. (2)是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 60．已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足. (1)求椭圆方程； (2)设为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值. 61．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与交于两点. ①若的面积为2，求直线的方程； ②记外接圆的圆心为，平面上是否存在两定点，使得为定值？若存在，求出两定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 题型十一 参数类定值 62．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值． 63．已知A为椭圆：上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点，，当AC垂直于x轴时，恰好有， (1)求椭圆离心率； (2)设，，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明，若不是定值，请说明理由． 64．已知椭圆的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点. ①设内切圆的圆心为，求的最大值； ②设，证明：为定值. 65．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 66．如图，矩形中，，，分别是矩形四条边的中点，设，，设直线与的交点在曲线上. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，点在第一象限，点在第四象限，且满足直线与直线的斜率之积为，若点为曲线的左顶点，且满足，直线与交于，直线与交于. ①证明：为定值； ②是否存在常数，使得四边形的面积是面积的倍？若存在求出，若不存在说明理由. 题型十二 圆锥曲线中的定直线问题 67．已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 68．已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上． 69．已知椭圆：的右焦点为，离心率为，过点的直线交于，两点（在线段上），当直线的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)求面积的最大值； (3)过且与轴平行的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上. 70．（2025·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 71．已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)求的方程． (2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． (3)证明：点H在直线上． 72．已知椭圆，、为椭圆的焦点，为椭圆上一点，满足，为坐标原点． (1)求椭圆的方程和离心率． (2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，满足，点满足满足，求证：点在定直线上． 73．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，． (1)求椭圆的方程； (2)当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知椭圆C：的左､右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点.设，证明：为定值. 3．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为. (1)求的方程； (2)过椭圆的右焦点的直线与交于两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为. ①求的取值范围； ②求证：为定值. 4．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线交于两点. （i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程. 5．在平面直角坐标系中有椭圆，已知其离心率为，焦距为. (1)求的方程. (2)已知为的右焦点，经过原点的直线与交于两点（在第一象限），直线分别交与两点，直线与直线交于.求证：在定直线上. 6．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，且，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明轨迹的形状； (2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．当时， （ⅰ）求证：为定值 （ⅱ）求动点的轨迹方程． 7．已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程： (2)直线与曲线交于两点，且交于点，求定点的坐标，使为定值； (3)过（2）中的点作直线交曲线于两点，且两点均在轴的右侧，直线的斜率分别为，求的值． 8．椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 9．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程. (2)若直线l的斜率为，求的面积. (3)设点Q满足，求点Q的轨迹方程. 10．已知，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点的坐标为，直线与曲线的另一个交点为，与轴的交点为，若，，试问是否为定值？若是定值，请求出结果，若不是定值，请说明理由． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程. (2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 2．在平面直角坐标系中，点和是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆上的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上任意一点，以点为圆心，为半径的圆与圆的公共弦为.证明：的面积为定值，并求出该定值. 3．已知的两个顶点，，点G为的重心，边上的两条中线的长度之和为6，记点G的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)若点P是曲线E上的任意一点，，，，，直线PC，PD与x轴分别交于点M，N． ①求的最大值； ②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，求出它的最大值． 4．在平面直角坐标系中，设，规定：点叫做点的仿射对应点．已知点的轨迹的方程为，点的仿射对应点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设是曲线上的两点，的仿射对应点分别为．和的面积分别记为．求； (3)设是曲线上两点，若的面积为，求证：为定值． 5．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优02 圆锥曲线中的动点轨迹（含平面与空间） 定点、定值、定直线问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 平面与空间动点轨迹及轨迹方程（★★★★★） 3 题型二 定点问题（★★★★★） 15 题型三 弦长类定值（★★★★★） 22 题型四 斜率类定值（★★★★★） 29 题型五 角度类定值（★★★★★） 35 题型六 位置关系类定值（★★★★★） 40 题型七 向量类定值（★★★★★） 48 题型八 面积类定值（★★★★★） 53 题型九 距离类定值（★★★★★） 62 题型十 坐标类定值（★★★★★） 65 题型十一 参数类定值（★★★★★） 70 题型十二 圆锥曲线中的定直线问题（★★★★★） 76 03 实战检测・分层突破验成效 84 检测Ⅰ组 重难知识巩固 84 检测Ⅱ组 创新能力提升 98 圆锥曲线作为解析几何的核心载体，其解答题以动态变化中的不变性为核心命题逻辑，综合考查几何直观、代数运算与模型转化能力。题型体系围绕“轨迹生成-定点定值-结构探索”三层维度展开，需构建坐标化工具体系与几何性质洞察力的双支柱支撑。 一、基础建模：轨迹生成与定点性质 题型一（动点轨迹及轨迹方程） 是解析几何的起点，要求依据几何约束（距离、角度、垂直、平行等）建立动点坐标满足的方程，本质是几何条件到代数方程的翻译建模能力。 题型二（定点问题） 探究在动直线、动弦或动点系变化过程中，某些点位置保持不变的特性，解决关键在于参数化动态元素并证明其坐标与参数无关。 二、核心主轴：恒等关系的探索（定值类） 题型三至九（弦长类、斜率类、角度类、位置关系类、向量类、面积类、距离类定值） 构成题型体系的主体。其共性在于：无论曲线上的点、弦、切线或其他关联元素如何运动变化，某些特定的几何量（长度、角度、斜率、向量运算结果、面积、距离）或其组合关系恒为定值。解题的核心是选择恰当参数表示变量，通过代数运算消参，最终得到常数结果，深刻揭示运动背后的不变规律。 三、深化拓展：坐标规律与参数规律 题型十（坐标类定值）：证明关键点（如弦中点、交点）的坐标值为常数，需坐标参数化→代数运算→消参得常量。 题型十一（参数类定值） 探索圆锥曲线方程本身所含参数之间存在的恒定关系，需在特定几何背景下进行代数推导与验证。 四、高阶整合：动态中的静态结构（定直线） 题型十二（定直线问题） 是动态问题的高阶体现，要求在复杂的运动过程中（如动弦、动点、动切线），证明某些点恒在或某些直线恒过某条固定直线。解题精髓在于识别不变因素，构造含参方程，证明其过定点或满足直线方程。 备考核心：代数化能力与结构洞察 攻克圆锥曲线解答题，关键在于两大支柱： 1. 强大的代数化与运算能力： 精准地将几何语言（点、线、位置关系、度量）转化为坐标语言（方程、不等式），并具备处理复杂代数式（消参、化简、求最值）的熟练技巧。 2. 深刻的几何结构洞察力： 能穿透代数表象，识别问题本质（如对称性、焦点性质、渐近线作用、特定三角形关系），预判定值或定直线的可能方向，为代数运算提供指引和简化路径。 3. “动”与“定”的辩证思维： 深刻理解动态变化是背景，寻找不变量（定值、定点、定直线）是目标。掌握参数化思想，熟练运用“设而不求”、“整体代换”等策略处理多变量问题。 总而言之， 圆锥曲线解答题的备考，是一个由轨迹建模为基础，经定值探究深化，向定直线证明挑战的进阶过程。它不仅要求扎实的曲线方程性质基础、精准的代数运算功底、严密的逻辑推理链条，更要求卓越的“几何直觉代数化” 能力，即在纷繁的运动变化中敏锐捕捉恒定不变的几何结构，并通过强大的代数工具予以严格证明。熟练掌握这12类题型的解题范式与核心思想，是突破难点、提升解析几何综合素养的必由之路。 题型一 平面与空间动点轨迹及轨迹方程 1．（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】设，依题意得， 动点到的距离比点到轴的距离的大2， 则，即， 所以的轨迹方程是或， 故选：C 2．如图， 在四棱锥中， 底面 是边长为3的正方形，平面，点为底面上的动点， 到的距离记为，若，则点在底面正方形内的轨迹的长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 设，其中，则. 又因平面，则到的距离等于， 则，其中. 则点在底面正方形内的轨迹为以为圆心，半径为2的圆在底面正方形内的弧. 如图，设圆弧与DC，DA交于E，F点，因， 则，则相应轨迹对应弧长为. 故选：B 3．（2025·北京·二模）设正方体的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 显然点到平面的距离为， 设点，在上取一点，而， 所有，从而， 所以点P到直线的距离为， 所以， 令，得，此时点的轨迹就是一个点，此时点的轨迹长度是0， 令，得，此时点在以为圆心半径为2的四分之一的圆周上面运动，此时点的轨迹长度是， 令，得，即，此时点的轨迹长度是0， 令，得，即，此时点在线段上运动，轨迹长度是， 令，，即，此时点在线段上运动，轨迹长度为， 令得，，即，此时点的轨迹长度是0， 综上所述，所求为. 故选：D. 4．曲线是平面内到原点的距离与到直线的距离的乘积等于常数（）的点的轨迹. 给出下列四个结论： ①曲线过点； ②曲线关于轴对称； ③曲线存在渐近线； ④曲线与被轴截得的弦长大于. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【详解】设动点的坐标为， 因为曲线是平面内到原点的距离与到直线的距离的乘积等于常数（）的点的轨迹， 所以， 当时，，曲线不过点，故①错误； 将中的用代入该等式不变，曲线关于轴对称，故②正确； 当时，，方程不成立，所以， 又当，可得，所以是曲线的渐近线，故①正确； 令，可得，所以，所以， 当时，，不成立， 当时，，整理得， 设为方程的两根，所以， 所以， 所以曲线与被轴截得的弦长大于.故④正确． 故答案为：②③④． 5．（2025·北京·三模）造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线的一部分.已知过坐标原点.且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.有以下四个结论： ①； ②曲线上存在点，满足； ③若点是曲线第一象限上的点，则的面积的最大值为； ④当点在上时，不等式恒成立； 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【详解】对于①，由题意点在曲线的上面，当且仅当， 因为曲线过原点且，所以，①对； 对于②，由题意可知，曲线的方程为， 若点在上，则， 又因为，则，所以， 故， 因为，所以，曲线上存在点，满足，②对； 对于③，在中，当时，化简得， 当点在第一象限时，取，则， 此时， 因此，的面积的最大值大于，③错； 对于④，由可额， 因为，所以，故， 整理可得，④对. 故答案为：①②④. 6．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 7．在所有棱长为4的正四棱锥中，M是底面正方形内一点（含边界），若，则点M的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在正四棱锥中，令正方形中心为，取中点，连接， 取中点，连接，则，由平面， 平面，则平面，由，得， ，又平面， 因此，，点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆在正方形及内部的圆弧，显然， 则，而点是的轨迹的端点，于是点的轨迹是半径的半圆， 所以点M的轨迹长度是. 故选：A 8．已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在（    ） A．圆上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上 【答案】D 【详解】直线与直线的夹角为，则在以为顶点的对顶圆锥上，对顶圆锥的轴线为， 因为平面，所以动点的轨迹在双曲线上. 故选：D. 9．已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为点到点的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）由题意可知直线的斜率不为0， 故设直线的方程为． 联立，得．直线l过点F，必有， 由韦达定理可得，， 所以的面积， ． 令，则，所以． 令，则在上单调递减， 所以，即面积的最大值为． 因为，所以不存在直线，使得面积为． 10．在平面直角坐标系中，，，若点P是平面上一动点，且的周长为，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若直线与曲线C交于A，B两点，且，，求k的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：， . 由椭圆的定义知，动点P的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆. 可设方程为， 则，，解得，则， 故曲线的方程为. （2）联立方程组，消去，整理可得. 则. 设，，的中点为， 则由韦达定理可知：，. ，. ∵，，则，如图所示. 又， 则，即，解得. 11．平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）设到定直线的距离为， 依题意，可得，化简得， 即曲线的方程为. （2）依题意，直线的斜率不可能是0，不妨设其方程为：， 则圆的圆心到直线的距离，即 ① 由消去，可得， 由，可得， 设，则， 则 ， 将①式代入，化简得：， 因点到直线的距离为， 则的面积为， 设，则，， 因，当且仅当时取等号， 此时， 的面积的最大值为. 12．平面直角坐标系中，M是一个动点，直线与直线垂直，垂足位于第一象限，直线与直线垂直，垂足位于第四象限，且. (1)求动点M的轨迹方程C； (2)若过点的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A（异于点B），直线AB与x轴交于点G，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，直线与直线的夹角为，即， 又因为，所以， 又因为，， 所以，化简得， 由于位于第一象限，位于第四象限， 所以M的轨迹方程； （2）由题可知直线斜率不为0，故设直线BD方程为， ，，，， 联立直线BD与曲线C，可得且， 化简得，，， ，，所以， 设直线AB方程为， 令，得， 所以， 所以， 令，， 所以，，， 综上，面积的取值范围为. 13．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②直线过定点，定点坐标为 【详解】（1）根据题意，圆心坐标为． 又因为该圆经过点和，所以， 化简得，所以点的轨迹的方程为． （2）①因为直线的斜率一定存在且不为0， 故设，． 联立方程消x得， 则． 所以 ， 同理， 所以， 当且仅当时，四边形的面积最小，最小值为32． ②易知当直线斜率不存在时，直线关于x轴对称， 此时①中，得直线； 当直线PQ斜率存在时，设直线， 联立方程，得， 又，得， 同理可得， 所以，是方程的两根， 所以，即，则，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 14．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为3． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若直线l与C交于P，Q两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点，，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为． （2）当直线l斜率不存在时，可设，． 则，， 将其代入双曲线方程得， 又，解得，此时， 当直线l斜率存在时，设其方程为，设，， 联立，. 由韦达定理：，. 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时，当时，此时， ，，故， 因此，综上可得． 15．在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为，过点且斜率为的直线与轨迹从左到右的三个公共点分别为． (1)求轨迹的方程 (2)求的取值范围； (3)点关于原点对称，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)40 【详解】（1）设，依题意得：，即， 化简得，， 所以点的轨迹的方程为； （2）设直线的方程为，由方程组， 可得，要使得有三个交点，则， 方程的判别式为， 设直线与轴的交点为，则由，取得， 当，解得或， 故当时，直线与轨迹恰有三个公共点； （3）设，，由（1）知，， 所以， 由直线的方程可知，，故， 所以，， 则，整理得，解得， 从而，故，， 则，，，即直线为，， 点到直线的距离为， 所以． 题型二 定点问题 16．（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，定点坐标为 【详解】（1）因为椭圆的左焦点，所以， 又短轴长为，所以，由可得， 故椭圆的方程为. （2） 当直线和斜率存在时，设直线方程为：， 设，，则有中点， 联立方程，消去得：， 由韦达定理得：，所以的坐标为， 将上式中的换成，同理可得的坐标为， 若，即，， 此时直线斜率不存在，直线过定点； 当时，即直线斜率存在， 则， 直线为， 令，得， 此时直线过定点， 显然当直线或斜率不存在时，直线就是轴，也会过， 综上所述：直线经过定点，定点坐标为. 17．已知是椭圆 的右焦点，点在上，轴，直线与轴不重合，与交于、两点，. (1)求的方程； (2)证明：过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，，解得，， 所以的方程为. （2）点，显然的斜率存在，设的方程为，， 由消去整理，得 由直线与椭圆交于、两点，得 ， 则，由，得直线的斜率互为相反数， 即， 因此，整理得， 则，化简得， 所以直线的方程为 ，即过定点. 18．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的焦距为4. (1)求的方程； (2)过的左焦点且斜率为的直线与的左支交于两点. （i）求的取值范围； （ii）记点，直线与的右支分别交于点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即，所以.① 因为的焦距，所以，则.② 由①②解得，，所以的方程为. （2） 设，，由题得， 则直线的方程为，，联立. 得. （i）因为直线与的左支交于两点，所以，. 所以 解得或，所以的取值范围为. （ii）由题意得直线的方程为. 代入，得. 则，所以，则， 所以.同理得. 所以. 所以直线的方程为，即. 所以直线过定点. 19．设椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，短轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点作一条直线与椭圆C交于P，Q两点，分别过P，Q作直线l：的垂线，垂足依次为S，T．试问：直线与是否交于定点?若是，求出该定点的坐标，否则说明理由． 【答案】（1）；（2）交于定点，. 【详解】解：（1）因为，所以． 又，所以． 由，得．即． 所以，从而椭圆C的标准方程为． （2）当轴时，不妨设， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 直线与交于定点． 当不垂直于x轴时，设直线的方程为． 联立方程组得． 设，， 因为，所以直线为， 令，得． 因为， 所以直线与x轴的交点为． 同理可得直线与x轴的交点也为，故与交于定点． 综上所述，直线与交于定点． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系，考查椭圆中的定点问题，属于较难题. 20．已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点．若，求证：直线经过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为. （2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 若直线过点，则、必有一点与点重合，不合乎题意，所以，， 设点、， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得，， ，同理可得， 由可得， 即， 因为，整理可得，解得， 所以，直线的方程为，所以，直线过定点； 若直线的斜率不存在，则，， 则，不合乎题意. 综上所述，直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 21．（2025·北京丰台·一模）已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，解得， ∴椭圆E的方程为. （2） 由题意得，直线的斜率存在. 设直线的方程为，点，，则， 由得. 由得 ， ∴，. ∵，∴直线的方程为：， 令，得，即， 当时， ， ∴，故直线过定点. 当时，直线为x轴，过点. 综上，直线过定点. 22．椭圆：的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与轴交于定点. 【答案】(1) (2)①1；②证明见解析 【详解】（1）由题意可得，且， 又，解得，，，故的方程为. （2）①由题可得，设直线，的斜率分别为，， 则直线的方程为， 由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离， 整理得，同理， 则，为方程的两个根，所以. ②证明：设，，由得， 则，即，所以， 所以， 同理得， 直线的斜率 ， 所以直线的方程为， 令，得， 所以直线与轴交于定点. 题型三 弦长类定值 23．已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（Ⅰ）由题意得解得. 所以椭圆的方程为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 设，则. 当时，直线的方程为. 令，得，从而. 直线的方程为. 令，得，从而. 所以 . 当时，， 所以. 综上，为定值. 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力. 【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算. 24．已知椭圆C：的短轴长等于，离心率． (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)定值为，理由见解析 【详解】（1）解：由椭圆C：的短轴长等于，离心率． 可得，解得，所以椭圆的方程为. （2）解：由椭圆的方程，可得右焦点，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得， 所以，则，即， 则中垂线的方程为， 令，可得，所以， 又由 ， 所以（定值）. 25．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线相交于点，N.当点运动时，求证：以为直径的圆截轴所得的弦长为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，，即， 因为右焦点为，所以， 所以 ， 所以椭圆的方程为. （2）设，由（1）知， ，直线， ，直线， 直线分别与相交，可得， 设以为直径的圆与轴交于点， 则，， 由可得， 即， 由在椭圆上可得，即， 代入上式可得，即， 解得或， 即以为直径的圆过轴上的定点和， 所以以为直径的圆截轴所得的弦长为定值. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 26．已知椭圆E：的左右焦点分别为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形．A为圆上一点（不在x轴上），B为椭圆E上一点，且满足轴，直线l与圆O切于点A，过作l的垂线，垂足为M． (1)求椭圆E的方程及圆O的方程； (2)求证：为定值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）已知以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形，设椭圆的焦距为， 则：，且， 所以，则椭圆的方程为：， 圆的方程为：． （2）证明：由椭圆方程得， 因为轴，所以设的坐标为，的坐标为，不妨取， 因为直线与圆切于点，切线的方程为：， 因为，所以， 由得，， 又，所以， 因为，所以， 所以． 27．已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的左、右顶点，是椭圆的右焦点．过点的直线与椭圆相交于两点（点在轴的上方），直线分别与轴交于点，试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值； 【详解】（1）由题意可得， 解得， 所以椭圆方程为， （2）是定值，理由如下：    由题意可得， 当轴时，直线的方程为，易知， 直线的方程为，所以， 直线的方程为，所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， 则， 设，则， 直线的方程为，令，则，所以， 直线的方程为，令，则，所以， 所以， 所以， 可得， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于讨论斜率存在与不存在的情况，不存在时，直曲联立，由韦达定理结合直线方程表示出，再化简即可. 28．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，左焦点为，点在上，轴，且直线的斜率为． (1)求的方程； (2)（异于点）是线段上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为，直线与直线相交于点，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值是2 【详解】（1）设， 因为点在上，直线的斜率为，椭圆的左焦点为， 则由题意得， 解得，，， 所以的方程为． （2）由（1）知，， 设，，，其中，， 由题意设：，与联立消得， 则，， 因为直线与直线相交于点，且与的另一交点为， 所以，，即，， 所以 ， 所以，即点在直线上， 又轴，，所以， 即为定值2． 题型四 斜率类定值 29．已知点A，B是椭圆的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)点O是坐标原点，直线l经过点，并且与椭圆E交于点M，N，直线与直线交于点T，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，，解得， 所以，椭圆E的方程为． （2）显然直线l的斜率存在，不妨设直线：， 因为过点，所以：， 所以直线： 联立，消去y，得， ， 设点，， 所以， ， ， ， 直线，直线， 联立，解得， 即，又因为直线：， 所以 所以 ，， 所以， ． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线定值问题，往往是将直线设而不求，与圆锥曲线联立消或者消，得出韦达定理，将问题转为用韦达定理表示的式子，通过变形化简即可证明. 30．（2025·北京朝阳·一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作直线l与椭圆E交于不同的两点A，B．设，直线BC与直线交于点N，求证：直线AN的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的方程是． （2）由题可知直线斜率存在．设直线． 由，得． 由，得，即． 设， 则． 直线的方程为． 令，得的纵坐标为． 因为 ， 所以． ． 又 ． 所以，即． 所以直线的斜率为定值． 31．（2025·北京·模拟预测）椭圆：，左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点.，面积的最大值为6. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)当点P不与椭圆顶点重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，交直线为D，直线交x轴为E.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知，当点在椭圆上下顶点时， 面积取得最大值，即， 所以椭圆方程为，，所以离心率； （2）不妨设点，由椭圆的对称性可知， 直线的斜率为，故直线的方程为， 令，得点纵坐标； 直线的斜率为，故直线的方程为， 令，得点横坐标， 所以直线的斜率为， 直线的斜率为， 故直线和直线的斜率之积为 ， 因为点在椭圆上，所以有， 也即，代入斜率之积的表达式的三次项中， 得为定值. 32．已知椭圆：的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，的面积的最大值为. (1)求E的方程； (2)设O为原点，点N在直线上，N，P分别在x轴的两侧，且与的面积相等. （i）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （ⅱ）是否存在点P使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在点 【详解】（1）当点是短轴端点时，的面积最大，面积的最大值为， 则，得，， 所以椭圆的方程为； （2）（ⅰ）设， ， ，， 由题意可知，，，即， 所以；    （ⅱ）假设存在点，使得， 因为，，， 所以，，， 则， 由（ⅰ）可知，，又，所以三点共线， 如图，    则，所以， 则点与点重合，这与已知矛盾， 所以不存在点，使. 33．已知椭圆 的离心率为， 椭圆 的上顶点为A， 右顶点为 ， 点 为坐标原点， 的面积为 2 ． (1)求椭圆 的方程； (2)若过点 且不过点 的直线 与椭圆 交于 两点， 直线 与直线 交于点 ， 试判断直线 的斜率是否为定值？ 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由． 【答案】(1) (2)CN的斜率为定值1，理由见详解. 【详解】（1）由已知可得 解得，所以椭圆E的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，不妨设此时 ，则，则直线NC的斜率为. 当直线的斜率存在时，设其方程为，设 则直线MQ的方程为，令，得， 由消去得：， 由于点P在椭圆内，则必有，则 所以 所以，所以CN的斜率为定值1.    34．已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且，点Q是P关于x轴的对称点，直线与椭圆C的另一个交点为. （ⅰ）证明：直线，的斜率之比为定值； （ⅱ）求直线的斜率的最小值． 【答案】（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【详解】解：（1）由题意得解得 所以椭圆的方程为． （2）（i）设点的坐标为， 因为点是关于轴的对称点，， 所以，． 所以直线的斜率为，的斜率为． 所以． 所以直线，的斜率之比为定值． （ii）设直线的方程为． 联立方程组化简得． 设点的坐标是， 所以．所以． 所以． 所以点的坐标是． 由（2）可知，直线的方程是． 所以点的坐标是． 所以直线的斜率 ． 因为，所以 ． 当且仅当，即时，有最小值． 所以直线的斜率的最小值是． 【点睛】思路点睛：直线与椭圆的位置关系有设而不求和设而要求两种思路，当已知直线和椭圆的一个交点求另一个交点时用设而要求的方法，联立直线和椭圆，用韦达定理解出另一根. 题型五 角度类定值 35．已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：由题意可得，，， 解得， 所以椭圆的方程为：； （2）解：设直线的方程为：， 则过原点的直线且与直线平行的直线为， 因为是直线与的交点，所以， 因为直线的方程与椭圆方程联立： ，整理可得：， 可得，， 即，因为， 直线的方程为：， 联立，解得：，由题意可得， 所以，， 所以，即，所以，即为定值； 36．已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，直线的倾斜角为定值 【详解】（1）由题意有，又点在双曲线上，所以， 解得，所以双曲线的方程为； （2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设 所以 ， 所以， 由韦达定理有：， 又因为的平分线与轴垂直，所以， 即，所以，即， 所以， 即，所以或， 当时，直线的方程为，即直线过点，不符合题意， 所以，设倾斜角为，即，， 即直线的倾斜角为定值.    37．已知椭圆的长轴长为，且过点． (1)求C的方程和离心率； (2)过点与作直线l交椭圆C于点D、E（不与点A重合）．是否为定值?若是，求出该定值，若不是，求其取值范围． 【答案】(1)， (2)是为定值，该定值为 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，所以，得，所以， 代入点，得，所以，所以， 所以椭圆的方程为，离心率； （2）当直线垂直于轴时，，代入椭圆方程， 解得， 所以，即； 若为定值，则必为， 当直线的斜率存在时，设直线， ， 联立，整理得， 所以， 所以 ， ， 所以，即， 综上所述，的大小为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 38．已知椭圆的焦距为2，且点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，且坐标原点到直线的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由. (3)在（2）的条件下，试求三角形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)的大小为定值 (3) 【详解】（1）已知椭圆的，则，两焦点为，. 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得 即，即. 又因为，根据，可得，所以. 所以椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时：直线的方程为，由对称性，不妨令直线的方程为. 联立，将代入得：   即，此时OM与ON垂直，易知. 当直线的斜率存在时：设直线的方程为，，. 由点到直线的距离公式，可得，两边平方得. 联立，消去得. 则，即. 由韦达定理可得，. 所以 将代入上式得： 所以，即. 综上，的大小为定值，该定值为. （3）当直线的斜率不存在时：，则. 当直线的斜率存在时： 将代入上式得： 所以三角形的面积. 当时，； 当时，. 由基本不等式（当且仅当，即时取等号）. 则，，，，，即. 综上，. 题型六 位置关系类定值 39．已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，，，解得， 所以椭圆的方程为：. （2）如图： 设直线的方程为：， 则过原点的直线且与直线平行的直线为， 因为是直线与的交点，所以， 因为直线的方程与椭圆方程联立： ，整理可得：， 可得，， 即，因为， 直线的方程为：， 联立，解得：，由题意可得， 所以，， 所以，即，所以. 40．已知椭圆的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点. (1)求椭圆E的方程； (2)若AB的中点坐标为，求直线l的方程； (3)若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题得， 将代入得： ， 椭圆E的方程为. （2）设，则， 且， 两式相减得：，可得， l方程为，即. （3）由得： ，且， ， ∴， 又直线的斜率存在，AF与RQ不平行， ∴四边形ARQF为梯形.    【点睛】关键点点睛：根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的右焦点以及椭圆所过点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程. 41．已知椭圆的左、右焦点分别为，点的坐标为，且线段的长是长轴长的． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线交椭圆于两点（在的上方），过作的垂线交轴于点，若线段延长线上的一个点满足的面积为． ①证明四边形是菱形； ②若，求椭圆的方程． 【答案】(1); (2)①证明见解析 ；②. 【详解】（1）由已知得长轴长为，则； （2）① 证明：由（1）知，所以椭圆方程为， 易知， 所以， 故直线的方程为，直线的方程为， 令，则， 易知， ， 联立方程组， 解得， 在的上方，， 即， 由上得，四边形的对角线互相垂直且平分，故四边形是菱形． ② 解：由，从而 即椭圆的方程为.    42．已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，过点的直线与交于，两点（异于点），且当轴时，四边形的面积为. (1)求的方程； (2)若直线与直线交于点，证明:三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意离心率，则， 所以且， 由，解得，所以当轴时， 所以，解得，， 所以椭圆方程为. （2）依题意知直线的斜率不为，，， 当直线的斜率不存在时直线， 由（1）不妨取，， 则直线的方程为，令可得，即， 直线的方程为，则，即点在直线上， 所以、、三点共线； 当直线的斜率存在时，设直线，，， 由得， 显然，所以，， 所以直线的方程为，令，可得，即， 又，， 所以 ， 即， 所以、、三点共线， 综上可得、、三点共线. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 43．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，离心率为，直线与椭圆交于两点，四边形的周长为8，直线（不经过点）与交于两点． (1)若以为直径的圆过点，证明：经过定点． (2)若为坐标原点，关于轴对称，且，，直线与交于另一点，证明：三点共线． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）由四边形的周长为8，离心率为，得，， 解得，则， 所以椭圆的标准方程为． 依题意，直线的斜率不为0，设的方程为，， 由消去得， 则，即，，， 而，又以为直径的圆过点，即有， ， 于是， 化简得，解得或， 当时，过点，不符合题意； 当时，过定点，满足题意． 所以直线过定点．    （2）不妨设，则，，即， 由，，得分别为线段的中点，则，， 显然直线的斜率存在且不为0，直线的方程为，即． 由，得， 设的坐标为，则，即， 则， 即， 显然直线的斜率均存在且均不为0， 则， ，因此，且直线均过点， 所以三点共线．    【点睛】思路点睛：解决本题要做好两点：一是转化，把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系求解． 44．已知如图，点为椭圆的短轴的两个端点，且的坐标为，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点（点在线段上），直线分别交直线于点.求证：四边形为平行四边形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题知解得.故椭圆的方程为. （2）方法一：显然直线不能水平，故设直线方程为， 设， 由得， 令得，. 所以， 令，得.故直线方程为， 直线方程为. 由得， 将中换成得. ， 为线段中点，又为中点， 四边形为平行四边形. 方法二：设. 直线方程为， 当直线的斜率不存在时，设方程为， 此时，直线方程的为， 由得，同理， 当直线斜率存在时，设方程为， 由得. 令得，. 由韦达定理得. 将代入得 直线的方程为 由得 同理可得. ， ，综上所述，为线段中点， 又为中点， 四边形为平行四边形. 【点睛】关键点点睛：证明四边形为平行四边形的方法用对角线相互平分得到. 题型七 向量类定值 45．已知椭圆经过点，离心率为，与轴交于两点，，过点的直线与交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，当点异于点时，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得， 又因为，解得，， 所以的方程为； （2） 法一： 若的斜率不存在，则， 此时，，不符合题意， 若的斜率存在，则设的斜率为，则的方程为， 联立方程，得， 解得，， 所以， 所以， ， 则， 又， ， 联立，的方程，解得：，， 所以点坐标为， 直线，令，解得：， 所以， 所以为定值. 法二： 若在轴上，则， 此时，，不符合题意， 设， 则，且，， ，，， ，， 消去得， ， 解得， ，， 令，解得， ， 特别地，当过点时，，，此时， 要证恒成立，即恒成立， 只需证， 即证， 即证， 即， 上式显然成立， 所以. 法三： 若在轴上，则， 此时，，不符合题意， 设， 则，且，， ，，， ，， 消去得， ， 解得， ，， 令，解得， 所以为定值. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 46．已知椭圆，过点的直线交椭圆于点． (1)当直线与轴垂直时，求； (2)在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【详解】（1）解:联立,得或 所以． （2）假设存在，使为定值． 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 联立得． 显然，设， 则． 所以 ． 若为常数，只需， 解得，此时． 当直线与轴垂直时，不妨设， 当点坐标为时，． 满足为定值． 综上，存在点，使为定值． 47．已知椭圆：（）的长轴长为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与E交于两点（不与左右顶点重合），点在轴正半轴上，直线交轴于点P，直线交轴于点，问是否存在，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，有定值． 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，离心率为， 所以，． 所以，．所以． 所以椭圆的方程为． （2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，．    联立方程组， 消去，化简得． 则，即, 设，， 所以，． 所以直线TM的方程为，直线的方程为． 所以，． 所以，， 所以 ． 所以当时，为定值， 即（负值舍）时，有定值． 当时，若直线l斜率不存在， 不妨设，， 所以，． 所以． 综上，当时，有定值． 【点睛】方法点睛：根据直线与圆锥曲线的位置关系求解存在性的定值问题，分类讨论，求解计算，计算量偏大. 题型八 面积类定值 48．已知椭圆的离心率为，点在该椭圆上，均为该椭圆上的动点． (1)求该椭圆的方程； (2)若的重心是坐标原点，求直线的方程； (3)若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，可得． 又因为点在该椭圆上，所以，解得，所以， 故该椭圆的方程为． （2）设，则的中点． 因为的重心是坐标原点，所以，， 可得，，得的中点． 由得， 即，可得， 所以直线的方程为，即． （3）设，当直线的斜率不存在时，易得，直线的方程为， 或，直线的方程为． 将代入椭圆的方程，可得， 所以的面积. 当直线的斜率存在时，设，． 与（2）同理，可得，得的中点， 所以直线的方程为， 即． 令，可得直线在轴上的截距为，则． 将代入椭圆的方程，得， 即，则， 所以． 因为，所以，所以，所以． 又因为是的重心，所以． 综上，的面积是定值． 49．已知椭圆过点两点． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析. 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可． 试题解析：（Ⅰ）由题意得，． 所以椭圆的方程． 又， 所以离心率． （Ⅱ）设，则． 又，，所以， 直线的方程为． 令，得，从而． 直线的方程为． 令，得，从而 所以四边形的面积 ． 从而四边形的面积为定值． 考点：1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系． 【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想．第一小题根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；第二小题四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可． 50．已知椭圆经过点，且离心率，点是上一动点，点是的中点（为坐标原点），过点的直线交于、两点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)当直线的斜率和直线的斜率都存在时，证明：； (3)证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）设、、，则，所以， 由题意可知，点为线段的中点，则， 由，得，所以，， 即. （3）①当和都存在时，设直线的方程为， 由得， 则， 由韦达定理可得，， 所以，，， 因为点在椭圆上，则，即， 所以，整理可得， 所以，， 设点到直线的距离为， 则的面积 所以， 故为定值； ②当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 由对称性，不妨取直线的方程为， 联立可得，则， 此时； ③当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，同理可得. 综上所述，的面积为定值. 51．设，，向量，分别为平面直角坐标内轴，轴正方向上的单位向量，若向量，，且. (1)求点的轨迹的方程； (2)设椭圆：，曲线的切线交椭圆于、两点，试证：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解： 如上图，由题意，∵，， ∴即为点与点的距离， 即为点与点的距离， ∴由可得， ∴由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且长轴长为，，则， ∴由椭圆的标准方程知点的轨迹的方程为. （2）解： 如上图，由题意，直线是曲线：的切线， ∴由可得：， 则，化简得：. 由题意，直线交椭圆：于、两点， ∴由可得：， 设、，则，， ∴， 又∵，∴. 且由知， ∴. 又∵中边上的高即为点到直线的距离， ∴由点到直线距离公式得，又∵， ∴， 即的面积为定值. 【点睛】方法点睛：直线与椭圆的相交弦长的求解方法： 1.当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. 2.当直线的斜率存在时，斜率为的直线与椭圆相交于、两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下两种： （1）； （2）（）. 52．已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线交椭圆于点，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点.求证：与的面积之比为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，，则，则， 则椭圆的方程为. （2）显然当直线的斜率为0和不存在时，不合题意， 则可设直线的方程为，，， 则联立椭圆方程有，化简得， 则，解得或， 则，，，，， 则，则直线的方程为，令，则， ，则直线的方程为，令，则， 则，，因为，则同号， 则 . 53．已知双曲线的离心率为，虚轴长为． (1)求双曲线C的方程； (2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为虚轴长为，所以， 因为，且，所以， 故双曲线C的方程为． （2） 当直线l的斜率不存在时，l的方程为， 此时， 当直线l的斜率存在时，不设直线，且， 联立方程组得， 由，得， 不妨设l与的交点为P，则，得， 同理可得， 所以， 因为原点O到直线l的距离， 所以， 因为，所以， 综上，的面积为定值，定值为． 【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数的关系. 54．已知椭圆的中心为点，短轴长为，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点是椭圆的左､右顶点，且过点作直线交椭圆于（异于）两点，过做垂直于长轴的直线与直线交于点，与直线交于点，设的面积为的面积为，求是否为定值？若是，求出该值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，定值9. 【详解】（1）由椭圆短轴长为，得， 又椭圆C左焦点到直线的距离为，解得 则，故椭圆的方程是. （2）设直线 ，且 联立 则，即得，且， 则，过做垂直于长轴的直线为 令，得，同理可得； 又，， 则 ， 为定值9. 题型九 距离类定值 55．为圆：上任意一点，另有一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)当点在圆上运动时，求动点的轨迹方程； (2)直线与相交于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，求证：点到直线的距离为定值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由为垂直平分线上的点，可得，因为， 所以，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，所以，，故， 所以动点的轨迹方程为． （2）设，， ①当直线斜率不存在时，由椭圆的对称性可知，，， 因为以为直径的圆经过坐标原点，故，即， 也就是，又点在椭圆上，所以，所以， 此时点到直线距离； ②当直线斜率存在时，设：， 由消去，可得， 则，即， 所以，， 因为以为直径的圆过坐标原点，所以，于是， 又因为，所以， 将，代入，整理得． 所以点到直线的距离为． 综上可知，点到直线的距离为定值． 56．已知椭圆的离心率为，直线过E的上顶点和右焦点，直线过E的右顶点，，与之间的距离为. (1)求椭圆E的标准方程. (2)已知过原点的直线与椭圆E交于A，B两点，点C是E上异于A，B的点，且，试问在x轴上是否存在点M，使得点M到直线AC的距离为定值？若存在，求出定值与点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点，定值 【详解】（1）因为椭圆E的离心率为，所以，则，所以直线的斜率为， 如图，设E的右焦点为F，右顶点为P，上顶点为Q，过点P作于点D， 则，所以，即， 解得，则，故椭圆E的标准方程为；    （2）由题意可得点O是线段AB的中点，又，所以， ①当直线AC的斜率存在时，设直线AC的方程为， 由，得， 则，即， 由根与系数的关系可得， 由可得，即， 即， 所以，故. 假设存在点满足条件，设点M到直线AC的距离为d， 则， 当时，为定值，即d为定值. ②当直线AC的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得， 所以，故，点到直线AC的距离为， 综上可得，存在点，使得点M到直线AC的距离为定值.    【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线的题目，基本方法是联立直线方程与曲线方程，化成关于横坐标或纵坐标有关的一元二次方程，结合韦达定理进行运算解答. 57．如图，现用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，所得截面是一个椭圆，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆上任意一点，为椭圆在点处的切线.设椭圆的两个焦点分别为，，它们到切线的距离分别为，，试判断是否为定值？若是，求其定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题可得，且椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）， 当直线斜率不存在时，则由（1）得或， 当时，，，此时， 同理可得时，； 当直线斜率存在时，设， 联立 ， 则， 整理得①， 又即，故， 将其代入上式①可得即，故， 所以，整理得， 所以点到l的距离的乘积为 . 综上，是定值且. 题型十 坐标类定值 58．已知椭圆的离心率为，是C的上、下顶点，且．过点的直线l交C于B，D两点（异于），直线与交于点Q． (1)求C的方程； (2)证明，点Q的纵坐标为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 因为，其中， 所以设，解得． 所以椭圆C的方程为． （2）显然直线l的斜率存在，设直线l方程为， 联立直线l与椭圆C方程，消去y得，． 设， 当，即时， 有． 直线方程为：， 直线方程为：． 两式相除得，， 因为，所以， 整理得．即点Q的纵坐标为定值． 59．已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图）. (1)试求P的一个坐标，并计算出P的轨迹方程. (2)是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，轨迹见解析 (2)答案见解析 【详解】（1） 如图建系，按题意有,,, 设由此有,, 直线的方程为：① 直线的方程为：② 取时，，计算得，所以， 从①，②消去参数，得点的坐标满足方程 （2）整理得: 当时，点的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当时，点轨迹为椭圆的一部分，点到该椭圆焦点的距离的和为定长 当时，点到椭圆两个焦点 ，的距离之和为定值. 当时，点 到椭圆两个焦点 , 的距离之和为定值. 60．已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足. (1)求椭圆方程； (2)设为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）解：因为是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足， 所以，解得， 因为椭圆的离心率为， 所以，解得. 所以，， 所以，椭圆方程为. （2）解：由（1）知，， 当直线的斜率不存在时，方程为，此时，， 直线方程为，直线方程为， 所以，， 所以，，两点的纵坐标之积为， 当直线的斜率存在时，因为过点的直线与椭圆交于，两点（异于）， 所以直线的斜率不为，设直线的方程为， 设， 则直线方程为，直线方程为， 因为直线，分别交直线于，两点 所以， 联立直方程得， 所以，， 所以， ， 所以，，两点的纵坐标之积为 所以，，两点的纵坐标之积为定值. 61．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，直线与交于两点. ①若的面积为2，求直线的方程； ②记外接圆的圆心为，平面上是否存在两定点，使得为定值？若存在，求出两定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①或；②存在，或，. 【详解】（1）由题意知；解得， 所以的方程为. （2）设，如下图所示： 联立得， 则. ①所以 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，即直线的方程为或. ②所以的中垂线方程为：，即 同理可得的中垂线方程为： 由两式可得. 所以外接圆圆心的横坐标， 其中， ， 所以 又的中垂线方程为，即， 所以圆心的纵坐标为， 所以， 即圆心在双曲线上， 易知双曲线两焦点为， 由双曲线定义可知存在定点或满足题意； 所以存在定点或，使得. 题型十一 参数类定值 62．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值． 【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1） (2)证明过程见解析 【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论. 详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2）， 所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x． 由题意可知直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）． 由得． 依题意，解得k<0或0<k<1． 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3． 所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由（I）知，． 直线PA的方程为． 令x=0，得点M的纵坐标为． 同理得点N的纵坐标为． 由，得，． 所以． 所以为定值． 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 63．已知A为椭圆：上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点，，当AC垂直于x轴时，恰好有， (1)求椭圆离心率； (2)设，，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，定值为，证明见解析 【详解】（1）因为当AC垂直于x轴时，恰好有，即， 所以设，，则，即， 又由，从而可知，则， 由椭圆的定义可得，则， 即，则， 故椭圆离心率. （2）由（1）得椭圆方程为，焦点坐标为，， 设，，，则， 由椭圆对称性，不妨设在轴上方，则， ①当，的斜率都存在时，直线的方程为：， 联立，得：， 易知，可得，又， 同理，可得； ②若轴，则，此时，即， 从而易知，， 故直线的直线方程为：， 将上式代入椭圆方程得，， 故，即，，这时； ③若轴，则，由椭圆的对称性以及②可知，则，这时也有； 综上所述，是定值． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 64．已知椭圆的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点. ①设内切圆的圆心为，求的最大值； ②设，证明：为定值. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意得：解得， ∴椭圆C的标准方程是． （2）①因为I为的内切圆圆心，则， 显然是锐角，当且仅当最大时，最大， 即须使最大，又，则须使最小， 在椭圆中，，， 在中，由余弦定理， ． 当且仅当时取等号，即当时， 为正三角形时，取得最大值，取最大值， 此时的最大值为； ②由（1）知，由条件可知的斜率存在且不为0， 设l的方程为，则，令可得． 联立方程得，， 设，，则，， 由可得， 则有，解得，同理． ∴ ． 故为定值． 65．已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）由题意知，，则①， 又因点在上， 所以②，联立①、②式可得， 解之可得，，所以椭圆方程为. （2）(i)由题意知，直线的斜率一定存在， 设其方程为，根据题意可知，如图所示， 令，则，即点坐标为， 设点到直线的距离为， 又因是的中点，所以点到直线为， 又因与的面积之比为1∶2， 所以，所以， 即点是的中点，所以可得点坐标为， 又因点在椭圆上，所以， 解之可得，所以点坐标为； (ii)设，，直线的方程为， 其中，则， 联立，可得， 根据韦达定理可知，因为， 所以，所以， ， 设直线的方程为，其中， 同理可得， 所以 ， 所以为定值. 66．如图，矩形中，，，分别是矩形四条边的中点，设，，设直线与的交点在曲线上. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，点在第一象限，点在第四象限，且满足直线与直线的斜率之积为，若点为曲线的左顶点，且满足，直线与交于，直线与交于. ①证明：为定值； ②是否存在常数，使得四边形的面积是面积的倍？若存在求出，若不存在说明理由. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②存在，. 【详解】（1）显然，设， 由，得，由，得， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立消去得，即， 所以曲线的方程为. （2）①显然直线不垂直于轴，设直线，，而， 显然，由，得， 则， 整理得， 又直线与直线的斜率之积为，则，即， 因此，所以，即为定值. ②由①，消去并整理得， ，， ，即有，则， ， 的面积， 四边形的面积， 设，则， 直线，直线，联立解得， 同理， ，因此， 所以存在常数，使得四边形的面积是面积的倍，. 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 题型十二 圆锥曲线中的定直线问题 67．已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）依题意，，半焦距，则， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线， 由消去x并整理得， ，设， 则，且有， 直线，直线， 联立消去y得，即， 整理得， 即， 于是，而， 则，因此， 所以点在定直线上. 68．已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，椭圆C离心率为， 所以，解得，． 所以椭圆C的方程是； （2）①若直线l的斜率不存在时， 因为椭圆C的右焦点为，所以直线l的方程是， 所以点M的坐标是，点N的坐标是， 所以直线AM的方程是，直线BN的方程是． 所以直线AM，BN的交点Q的坐标是， 所以点Q在直线上． ②若直线l的斜率存在时，设斜率为k．所以直线l的方程为． 联立方程组消去y，整理得． 显然．不妨设，， 所以，． 所以直线AM方程是．令，得． 直线BN的方程是．令，得． 所以． 其中 ． 所以点Q在直线上    69．已知椭圆：的右焦点为，离心率为，过点的直线交于，两点（在线段上），当直线的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)求面积的最大值； (3)过且与轴平行的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）依题意，所以， 因为，所以， 所以， 所以的方程为； （2）设直线：，，，易知 由可得，，，， ，解得， 的面积是与的面积之差， 所以的面积 设，所以，当且仅当时取“=”， 所以面积的最大值为； （3）直线：， 由，解得， 所以线段的中点横坐标为， 所以， 所以线段的中点在直线上. 70．（2025·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上，理由见详解. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）在定直线上，理由如下： 设点与直线联立消去整理得， 由，且， 所以， 易知，，则，， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 71．已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)求的方程． (2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． (3)证明：点H在直线上． 【答案】(1) (2)直线过定点，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）抛物线的焦点为，则有，， 所以抛物线的方程为. （2）直线，与抛物线各有两个交点，可知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得，， 由A为弦MN的中点，有，则， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，可知时， 所以直线过定点，其坐标为. （3），同理得， 此时直线的方程为， 即， 同理，直线的方程为， 由，消去解得， 故直线ME与直线NP的交点在直线上. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 72．已知椭圆，、为椭圆的焦点，为椭圆上一点，满足，为坐标原点． (1)求椭圆的方程和离心率． (2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，满足，点满足满足，求证：点在定直线上． 【答案】(1)；. (2)点在定直线上 【详解】（1）由椭圆的定义知，，故， 所以椭圆的方程为，故， 所以椭圆的离心率为. （2）若直线的斜率存在，设直线的方程为：， 则联立可得：， 则，解得：， 设，，则，， 由可得：，即， 设，由可得：， 即，即， 则， 因为点在直线上，所以， 所以点在定直线上， 若直线的斜率不存在，过的直线与椭圆交于、两点， ，，所以， 则， 所以，解得：，满足点在定直线上. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线. 73．已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）易知直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 并设点，AD的中点坐标设为． 联立方程，消去y，得， 所以，且即或, 由条件，，点B，P，D共线，其中，， 则， 所以， ， ， ， 而， 所以，可得， 而，故， 又，所以， 即线段AD的中点在定直线上． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，当过坐标原点时，． (1)求椭圆的方程； (2)当斜率存在时，线段上是否存在定点，使得直线与直线的斜率之和为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点. 【详解】（1）直线l过坐标原点O时，，， 由椭圆离心率为，得，解得， 所以椭圆C的方程为. （2）假设存在定点，，设直线l：，， 由消去y得， ，，， 直线的斜率有 ， 则当时，为定值， 所以存在定点，使得直线QA与直线QB的斜率之和恒为0.    【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 2．已知椭圆C：的左､右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点.设，证明：为定值. 【答案】(1) (2)详见解析 【详解】（1）由题意得：解得， 椭圆的标准方程是. （2）由（1）知，由条件可知的斜率存在且不为0， 设的方程为，则，令可得. 联立方程得， 设，则， 由可得， 则有，解得，同理. ， 故为定值. 3．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为. (1)求的方程； (2)过椭圆的右焦点的直线与交于两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为. ①求的取值范围； ②求证：为定值. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意知，解得， 所以的方程为； （2）①易知， 设直线方程为，如下图所示： 联立，消去可得， 所以， 且， 可得， 令， 可得，由对勾函数性质可得在时单调递增； 所以可得； 即的取值范围为. ②易知， 可得； 所以 ； 因此为定值. 4．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线交于两点. （i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以的方程为； （2）依题意可设点，且， （i）证明：因为点关于原点的对称点为，所以， 因为点在上，所以，所以，即， 因为直线的斜率为，直线的斜率为 所以，即为定值； （ii）设弦的中点的坐标为， 点的坐标为的重心的坐标为， 由，得， 所以，且， 因为的重心在轴上，所以， 所以， 所以， 因为在上的投影向量相等，所以，且， 所以直线的方程为， 所以， 所以点， 又点在上，所以， 即 又因为，所以，所以直线的方程为. 5．在平面直角坐标系中有椭圆，已知其离心率为，焦距为. (1)求的方程. (2)已知为的右焦点，经过原点的直线与交于两点（在第一象限），直线分别交与两点，直线与直线交于.求证：在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由已知可得，解得：， 故：. （2）设：，，，， 联立， 得：. 故：，联立得：. 又：.， ，同理：. 由直线的两点式方程：， 即：， 化简得：， 由：解得：为定值，即：在直线上. 6．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数，其中，且，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明轨迹的形状； (2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．当时， （ⅰ）求证：为定值 （ⅱ）求动点的轨迹方程． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）设点，由题意可知，即， 经化简，得的方程为， 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线． （2）当时，由（1）可知的方程为， 设点，其中且， （i）证明：因为，所以， 因此，三点共线， 且， 设直线的方程为，联立的方程，得，， 则， 由（1）可知， 所以 （定值）， （ⅱ）由椭圆定义，得， ， 解得， 同理可得， 所以 ． 所以，点在以点为焦点长轴长为6的椭圆上，由于点均在轴上方，所以动点的轨迹方程为 【点睛】方法点睛: 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 7．已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程： (2)直线与曲线交于两点，且交于点，求定点的坐标，使为定值； (3)过（2）中的点作直线交曲线于两点，且两点均在轴的右侧，直线的斜率分别为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设是曲线上的任意一点， 因为点，且动点满足直线与直线的斜率之积为， 可得，整理得，其中． 所以曲线的轨迹方程为. （2）解：①当直线斜率存在时，设的方程为，设， 联立方程组，整理得， 则，即， 且 所以， 因为， 所以， 所以， 化简得，即， 所以，且均满足， 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾， 当时，直线的方程为，过定点，记为点． ②当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线， 联立方程组，解得，此时直线也过点， 综上，直线过定点． 又由，所以点在以为直径的圆上， 故当为该圆圆心，即点为的中点时，为该圆半径，即， 所以存在定点，使为定值． （3）解：设，易得直线的斜率不为0，可设直线 联立方程组，整理得， 则，且， 则， 所以 ． 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 8．椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆E的方程为. （2）由题意设，则 ∵，直线与交于点F. ∴C，D分别是的中点,设 则 ∵，在椭圆E：上， ∴， 由，得， 整理得 将①代入，得，即 所以F点的轨迹方程为. （3）若直线的斜率不存在，则 ，则, 若直线的斜率存在，设 设，，，则 由在椭圆上，在上 两式相减，整理得， 由（2）知、在椭圆上， 则， 两式相减，得 化简得 整理，得，∴ 由得，所以 到直线的距离 ∴. ∵，∴ 所以的面积为定值. 9．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点在C上，过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程. (2)若直线l的斜率为，求的面积. (3)设点Q满足，求点Q的轨迹方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，由得，得， 所以，得，则， 故椭圆C的方程为； （2）由（1）可知，则， 因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为， 设， 由，得， 所以， 所以， 因为点到直线的距离为， 所以的面积为； （3）设，， 则， 因为， 所以， 所以（*）， 直线l的方程为， 由，得， ， 则， 所以 ， 代入（*），可得：， 当时，，得（且）， 所以， 化简整理得 当时，得，，即，满足上面的方程， 所以点Q的轨迹方程为 10．已知，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点的坐标为，直线与曲线的另一个交点为，与轴的交点为，若，，试问是否为定值？若是定值，请求出结果，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值 【详解】（1）设点的坐标为，则直线的斜率为， 直线的斜率为． 由已知，， 化简，得点的轨迹的方程为． （2）为定值，理由如下： 根据题意可知直线的斜率一定存在且不为0，设，则． 联立，消去，得． 则恒成立， 设，，则，． 又因为，，且， 所以．同理． 所以 ， 所以，为定值． . 【点睛】思路点睛：定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. (1)求点的轨迹的方程. (2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6， 所以, 故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）， 且，所以， 所以的轨迹的方程为； （2）设直线的方程为：，， 联立方程得：， 则， 所以， 又直线的方程为：， 又直线的方程为：， 联立方程得：， 把代入上式得： ， 所以当点运动时，点恒在定直线上 2．在平面直角坐标系中，点和是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆上的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上任意一点，以点为圆心，为半径的圆与圆的公共弦为.证明：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题意知：，， 解得，                    所以椭圆的方程为. （2）设，则，且圆的方程为， 即圆的方程为.          因为圆的方程为，             将圆的方程与圆的方程作差得，             所以的方程为，                          点到直线的距离 ， 又因为，所以的面积为为定值. 3．已知的两个顶点，，点G为的重心，边上的两条中线的长度之和为6，记点G的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)若点P是曲线E上的任意一点，，，，，直线PC，PD与x轴分别交于点M，N． ①求的最大值； ②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，求出它的最大值． 【答案】(1) (2)①最大值为；②定值16 【详解】（1）由题意得，且， 故， 故点的轨迹为以，的焦点的椭圆（除去两个与轴的两个交点）， 其中，解得， 故， 故曲线E的方程为； （2）①设，，则， 则直线PC方程为， 令得， 直线PD方程为， 令得， 则， 因为，所以， 故当时，， ②为定值，理由如下： 因为，所以， 故. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 4．在平面直角坐标系中，设，规定：点叫做点的仿射对应点．已知点的轨迹的方程为，点的仿射对应点的轨迹为． (1)求的轨迹方程； (2)设是曲线上的两点，的仿射对应点分别为．和的面积分别记为．求； (3)设是曲线上两点，若的面积为，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设为上任意一点，点的的仿射对应点为， 则，所以，又因为在上，从而得， 所以点Q的轨迹方程为； （2）设，则， 因为，所以 ， 同理，所以； （3）设的仿射对应点分别为， 由（2）可知：由的面积为得的面积为，设， 从而的面积为，所以， 又，所以， 又因为均在上，所以， 又，所以，所以， 所以，又， 所以. 5．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. （2）设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. （3）设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$