重难点培优03 平面向量中的范围与最值问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 平面向量中的范围与最值问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 模长类范围与最值问题（★★★★★） 3 题型二 夹角类范围与最值问题（★★★★★） 11 题型三 角度类范围与最值问题（★★★★★） 14 题型四 参数类范围与最值问题（★★★★★） 18 题型五 坐标类范围与最值问题（★★★） 22 题型六 面积类范围与最值问题（★★★★★） 23 03 实战检测・分层突破验成效 25 检测Ⅰ组 重难知识巩固 25 检测Ⅱ组 创新能力提升 35 一、模长类范围与最值问题 核心目标是将模长转化为易于分析的形式。从代数视角出发，通过配凑或运用不等式（例如三角不等式），将模长表达式转换为能够确定范围的结构；从几何视角来看，将模长视为向量对应的线段长度，结合向量轨迹（如圆形、线段）来分析距离的极值；此外，还可以借助参数表示向量，通过追踪参数的变化来把握模长的变化趋势。 核心公式： 向量模长公式：. 三角不等式：。 柯西不等式：。 解题方法： 代数法：通过配方法或不等式（如均值不等式）将模长表达式转化为可求极值的形式。 几何法：分析向量的轨迹（如圆、椭圆），将模长转化为几何距离，结合图形对称性求最值。 参数法：引入参数表示向量，通过参数方程分析模长变化。 极化恒等式：利用简化模长计算。 二、夹角类范围与最值问题 关键是抓住夹角与向量方向、数量积的关联。通过分析数量积的符号和大小，结合向量模长的范围，确定夹角的变化区间；也可从几何直观出发，观察向量旋转或移动时方向的变化，直接判断夹角的最大、最小值；还能将夹角转化为对应三角函数的取值问题，通过函数性质确定范围。 向量的夹角公式：. 三、角度类范围与最值问题 重点是建立角度与向量位置的联系。借助坐标分析，通过向量坐标的关系确定与坐标轴的夹角；从几何图形出发，利用三角形、多边形中的角度关系推导角度范围；也可从代数角度确定角度的范围。 四、参数类范围与最值问题 核心是通过参数转化建立目标关系。先引入合适的参数表示向量的特征，再将待求范围或最值的量转化为参数的函数；最后结合函数的单调性、极值或不等式约束，确定参数的取值范围或目标函数的最值。 五、坐标类范围与最值问题 关键是将向量问题坐标化。根据图形特点建立坐标系，用坐标表示向量的模长、方向等特征；把向量的运算（如数量积、模长）转化为坐标的代数运算，形成关于坐标的目标函数；再通过函数等代数方法，求解目标函数的范围或最值。 六、面积类范围与最值问题 重点是将面积与向量特征关联。从几何直观出发，分析向量对应的线段长度（如底）和垂直距离（如高）的变化对面积的影响；通过坐标运算将面积表示为向量坐标的函数，转化为代数求极值问题；也可引入参数表示动点位置，建立面积与参数的关系，通过参数范围确定面积的最值。 题型一 模长类范围与最值问题 1．已知，，则的范围是 . 【答案】 【详解】设，， ，…①； ，…②； ①②得：，， （当且仅当时取等号）， 则，； ， 的取值范围为. 故答案为：. 2．若a，b是单位向量，a·b=0，且|c-a|+|c-2b|=，则|c+2a|的范围是　(　　) A．[1，3] B．[2，3] C． D． 【答案】D 【详解】因为a，b是单位向量，且a·b=0，所以不妨设a，b分别是与x轴，y轴正方向相同的单位向量，即a=(1，0)，b=(0，1). 设c=(x，y)，则c-a=(x-1，y)， c-2b=(x，y-2)，c+2a=(x+2，y)， 所以|c-a|+|c-2b|=+=， 上式的几何意义是动点P(x，y)到定点A(1，0)，B(0，2)的距离之和为的点的集合，而|AB|=， 所以点P在线段AB上，如图. |c+2a|=的几何意义 是动点P(x，y)到定点C(-2，0)的距离， 过C作CD⊥AB，垂足为D，则|CD|=，又|CA|=3， 所以≤|c+2a|≤3. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算性质、向量模长的几何意义，考查了转化与化归，数形结合及计算能力，属于中档题． 3．已知平面向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】设，如图，    由题意，即在平行四边形中，，， 求的最大值. 延长至，使，则， 由正弦定理，三点所在外接圆的直径， 所以，设圆心为，如图，    所以可知，又， 所以由余弦定理可得， 则由图象可知， 故选：C 4．设为不共线的向量，满足，且，若，则的最大值为 ． 【答案】324 【详解】令，又因为， 即， 则点C为的外心，因为， 设，不妨取 则点在圆上， 由，代入坐标，， 解得， 联立和， 解得，故 ， 当且仅当即时取“=”. 故，于是 . 故答案为：324 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 5．平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，则到，，三点的距离相等，所以是的外心. 又， 变形可得， 所以，同理可得，， 所以是的垂心， 所以的外心与垂心重合， 所以是正三角形，且是的中心； 由，解得， 所以的边长为； 如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系， 则，，，， 可设，其中，，而， 即是的中点，则， ， 当时，取得最大值为． 故选：D． 6．已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】    如图，连接，作，， 易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，， 故， 故，当反向时等号成立，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查圆，解题关键是找到对目标式进行合理转化，然后求出，，最后得到所要求的最值即可． 7．已知平面向量，满足，与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作向量，则， 作向量，则，由与的夹角为，得， 因此点的轨迹是以线段为弦，所含圆周角为的两段圆弧（不含端点）， 外接圆半径，该圆圆心到弦的距离， 而原点到弦的距离为，则点可以是外接圆圆心， 当点是外接圆圆心时，；当点不是外接圆圆心时，， 所以的最大值为. 故选：C 8．已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 【答案】C 【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为， 则分别是的中点，由勾股定理得， ， ， 故, 当反向时等号成立， 所以的最大值是. 故选：C 【点睛】方法点睛： 解决圆中向量问题，垂径定理是一个重要的工具，通过垂径定理找到弦的中点，将向量与圆心和中点联系起来，便于进行向量的运算和转化. 对于求向量和的模的最值问题，利用向量的线性运算将其转化为已知向量的运算形式，再结合绝对值三角不等式（当且仅当与同向或反向时取等号）来求解，是一种常用的方法. 9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，O为外心，若，，则的范围是 ． 【答案】 【详解】因为，而，故， 故外接圆半径满足，故， 所以，而，故， 如图，在单位圆中， 设，则， 又 若，则， 故 ， 若，则， 故 ， 若，则， 故 ， 综上，时，总有 ， 其中，且， 因为，故， 而， 故， 所以，故， 故答案为： 【点睛】思路点睛：与外心有关的向量的模的计算问题，注意利用外接圆的性质来计算，还要注意利用角结合三角变换来求目标代数式的取值范围. 10．已知动点P（x，y）满足|x﹣1|+|y﹣a|＝1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是 ． 【答案】． 【详解】考虑|x﹣1|+|y﹣a|＝1的图象，如图， x必然是在0到2之间 x取到0或2那么y只能取a x在两者之间y可以取两个值 x取到1则y可以取a+1或a﹣1， 图象是（0，a），（1，a﹣1），（1，a+1），（2，a）为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一， 如果a＞0就是（1，a+1）或（2，a） 如果a＜0就是（1，a﹣1）或（2，a） 这样一来，||平方的最大值就是： 当a＞0，（a+1）2+1或 a2+4 当a＜0，（a﹣1）2+1或 a2+4 比较它们的大小： 当a≥1时，（a+1）2+1，则（a+1）2+1更大； 当0＜a＜1时，（a+1）2+1-(a2+4)且当﹣1＜a＜0时，，则当﹣1＜a＜1时，a2+4更大； 当a≤﹣1时，，则（a-1）2+1更大； 作以上函数图象，再读出||2取值范围为[，17]，即有 或 所以a取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查分类讨论表示含有绝对值的函数的最值，并再利用分类讨论解不等式，属于难题. 题型二 夹角类范围与最值问题 1．在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为 【答案】 【详解】由题意：， 设，，因为，则 与结合    ，又     与结合，消去，可得： 所以 本题正确结果： 【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解. 2．在中，，三角形面积满足，则与的夹角的范围 . 【答案】 【详解】因为在中，， 所以，即 因为三角形面积满足， 所以， 所以得到， 又因， 所以 故答案为： 【点睛】本题考查向量的数量积，三角形面积公式，属于中档题. 3．已知，且关于x的函数在R上有两个极值，则向量与的夹角的范围是 ． 【答案】 【详解】设与的夹角为θ． ∵， ∴， ∵函数在R上有两个极值， ∴方程有两个不同的实数根， 即，∴， 又， ∴，即，又， ∴． 故答案为：. 4．已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 【答案】 【详解】先通过向量的定义得到，从而，通过求出，再求出，利用表示夹角，进而利用基本不等式求最值. 【详解】设与夹角为，与所成夹角为， ， 所以，，① ，② 又，③ ②与③联立可得，④ ①④联立可得 ， 当且仅当时，取等号，，，则， 故与所成夹角的最大值是， 5．已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 即，； ， 即，； 设向量与所成夹角为， （当且仅当时取等号）； 又，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计算公式，将向量夹角的余弦值表示为关于的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值. 6．已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为单位向量，的夹角为， 则， 所以， 又， 所以， 当取最大值时，必有， 则， 又，，则，所以， 所以， 故的最大值为. 故选：D． 【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法： （1）定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是； （2）坐标法：若非零向量，，则． 题型三 角度类范围与最值问题 1．在平行四边形中，，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且，所以，， 不妨设，则，， 在等式两边同时平方可得，则， 在中，，所以， ， 令，，则， 易知在上为增函数，所以. 故选：D. 2．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，当在直线上时，， 当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时， 当恰好切于点时，则，又，， 所以，则， 所以，则，故. 故选：B 3．在中，，点满足,则的最大值是 【答案】 【详解】解：以，为，轴建立坐标系， 设，， ， ， ，，， ， 最小值为， ，， 的最大值是为． 故答案为： 【点睛】本题考查通过结论坐标系解决向量问题；利用基本不等式求最值，属于中档题． 4．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，所以， 即，所以，所以， 又，， 则， 所以，即， 由，，， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 又在上单调递减，， 所以当取最大值时， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题. 5．如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点（，不取端点），且．设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，如图所示， 设，则， 所以， 可得，， 所以, 设，（其中） 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，此时， 又由，即函数， 所以，即， 即的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示，平面向量的数量积的坐标运算，以及最值的求解，其中解答中建立适当的平面直角坐标系，结合向量的数量积的运算公式，求得的表达式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 题型四 参数类范围与最值问题 1．已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是 . 【答案】 【详解】设，则， ，即， 在以为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆有公共点， 所以，解得． 故答案为：． 2．已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是 ． 【答案】 【详解】设点，则，而， 则，整理得，即点的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆， 因为点在圆，即圆与圆有公共点， 而圆的圆心为，半径为1， 因此，即，解得或， 所以实数a的取值的范围是. 故答案为：    3．正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中，则的最大值是 【答案】 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 则，，， ， 所以， ，， 又， 所以， 则， 其几何意义为过点与点的直线的斜率， 设过点的直线方程为， 即， 点的轨迹方程为， 由题意，得该直线与圆有公共点， 所以， 解得， 即的最大值是1. 故答案为：1. 4．如图，若同一平面上的四边形满足：（，），则当△的面积是△的面积的倍时，的最大值为 【答案】 【详解】因为， 所以， 过点S作于A，过点作于， 因为的面积是面积的，所以，从而， 在的两边同时点乘， 得， 由向量数量积的几何意义（投影）得， 从而，即， 整理得， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 【点睛】（1）在几何图形中进行向量运算: ①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； ②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算. （2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： ①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； ②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； ③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 5．在边长为的正三角形中，，，，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设角所对的边长分别为，则，，故 ， 所以当时，最大，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将和都化为关于，和的形式，这样就可以将其内积展开，并使用内积的定义处理每一项. 题型五 坐标类范围与最值问题 1．设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为 . 【答案】且 【详解】向量，，由得，，所以. 由已知得，，所以，即，且不共线. 则，所以. 又不共线，则.所以x的取值范围为且. 故答案为：且. 2．已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 【答案】且 【详解】若，的夹角为钝角，则，且与不平行， 即，且，求得且， 故答案为： 且. 3．若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（    ） A． B．(，4) C． D．( ，1 ) 【答案】A 【详解】因向量的夹角为锐角，则， 且不共线，即. 综上可知，或. 故选：A 题型六 面积类范围与最值问题 1．在中，为定长，，若的面积的最大值为，则边的长为 ． 【答案】 【解析】设，以为原点，为轴建系，则，，设，， ，利用求向量模的公式，可得 ，根据三角形面积公式进一步求出的值即为所求. 【详解】解：设，以为原点，为轴建系，则，，设，， 则， 即 ， 由，可得. 则. 故答案为：. 【点睛】本题考查向量模的计算，建系是关键，属于难题. 2．在中，，则面积的最大值是 【答案】 【详解】 ， 当时等号成立.此时，即时，满足题意. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为 ，若，,则面积的最大值为 ． 【答案】 ， 【详解】由点是的中点， 则； 设，， 则， ， ， ， 所以，得,, 所以，即， 因为， 所以， ， 即，即，当时，即时等号成立， 所以面积的最大值为.    故答案为：；. 4．在中，，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图：取、的中点、，连接、，交于点. 由 ，由 . 又为的重心，所以. 设四边形的面积为，则 . 设，则 ，所以当时，取得最大值1. 此时的面积也取得最大值：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：该方法的关键在于根据向量运算的几何意义，把向量问题转化成三角形的边角关系. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知点P是椭圆上的任意一点，点Q与P关于x轴对称，、是该椭圆的两个焦点，若，则与的夹角θ的范围是 . 【答案】 【详解】设，则 ， 椭圆的焦点坐标为，其中， ，，即，结合可得： 故. 故答案为：. 2．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 【答案】 【详解】如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：， 又因为，，则点为中点， 又是的中点，所以，则点在上， 由图形看出，当与重合时：，此时取最小值， 当与重合时：，此时取最大值， 所以的范围是 故答案为： 3．已知向量满足，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由于：， ， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 所以. 故选：B 4．已知，，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知， 则， 又， 即， 解得， 故选：D. 5．已知梯形中， ，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ， 可得， 故选:D. 6．已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为 . 【答案】 【详解】不妨设 ， ，则由题知 又 ，所以 整理得① ，所以 又 ， 所以 而 将①代入整理得： 令 ， ，有最小值， 又 ，当且仅当时等号成立 所以 ，当时有最大值 . 故答案为： . 7．已知，，设与的夹角为θ，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由已知，，， 如图1，以点为原点，为的负方向建立平面直角坐标系， 则，，点在以为圆心，为半径的圆上，记此圆为圆， 则与的夹角，即为， 设，由对称性不妨设， 当或时，， 当时，， 又，所以， 所以， 又，，， 所以， 所以， 所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 此时，故，又， 所以，因为，在都单调递增， 所以的最大值为. 故答案为：. 8．已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示： 设，，，， 由 得， 化简得， 由是三角形的外心可知，是三边中垂线交点，得，， 代入上式得，∴. 根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，， 代入得， ∴，当且仅当“”时，等号成立. 故选：D. 9．已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】如图所示： 不妨设， 满足，，， 又，即， 由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动， ， 所以该椭圆方程为， 而，即，即， 这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径， 又，等号成立当且仅当三点共线， 故只需求的最大值即可， 因为点 在椭圆上面运动，所以不妨设， 所以， 所以当且三点共线时， 有最大值. 故选：A. 【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解. 10．已知向量满足，，则的最大值等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设， 因为，，所以， 又，所以，所以点共圆， 要使的最大，即为直径， 在中，由余弦定理可得， 又由正弦定理， 即的最大值等于， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点共圆，再由正弦和余弦定理求解即可. 11．向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，，， 则， 因为，，所以． 因为，所以． 所以过，，的圆的半径， 连接交于点，连接，则， ， 所以， 所以的最大值为， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查向量的加减法运算，考查求向量的模，解题的关键是令，，，然后根据已知条件画出图形，结合图形求解，考查数形结合思想和计算能力，属于较难题. 12．已知向量、满足：，，向量与向量的夹角为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由， 故，即， 如图，设，则是等边三角形， 向量满足与的夹角为, ， 因为点在外且为定值， 所以的轨迹是两段圆弧，是弦AB所对的圆周角， 因此：当是所在圆的直径时,取得最大值， 在中，由正弦定理可得：， 故取得最大值4. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：设，关键能够根据已知条件确定的轨迹是弦所对的两段圆弧，从而确定当AC是所在圆的直径时，取得最大值，即可求解. 13．已知向量，向量的模长均为2，且.若向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，向量的模长均为2，且，所以， 解得， 不妨设， 所以， 因为， 所以，整理得， 设， 所以 ，其中， 所以，等号成立当且仅当， 综上所述，的最大值是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于适当转换约束条件得出，结合向量的模长公式即可求解. 14．已知，向量满足 ，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】记， 不妨设， ， ，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其方程为：； 由得， 即，， ，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆， ， 设坐标为， 当时，， . 故选：D. 15．如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】线段上取点E使得，又， 则，故， 所以，则， 设，则 . 由上易知，且，而， 所以，则， 结合及，且， 由三角形内角性质，所以， 综上，. 故选：C    【点睛】关键点点睛：线段上取点E使得，利用向量加减、数乘整理题设条件为，进而得到相关三角形面积、线段的数量关系，结合及三角形面积公式求最值. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 【答案】 / 【详解】由向量在向量上的投影向量为， 得向量在向量上的投影向量的模为， 所以， 又因角为锐角，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则， 在上取，使得，则， 在上取点使得， 则， 直线的方程为，设点关于直线的对称点， 则，解得，所以， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：以点为原点，建立平面直角坐标系，在上取，使得，在上取点使得，求出点关于直线的对称点的坐标，则是解决本题的关键. 2．空间中两点间的距离为，设的面积为，令，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可知， 设中点为，则，， 所以， 由，得，则， 当且仅当时等号成立，则， 即，即， 则，即， 即点在以M为球心4为半径的球面上， 先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大； 设为半径为r的圆的内接三角形， 则 ，当且仅当时等号成立， 即为正三角形时，其面积取到最大值， 由于点在以M为球心4为半径的球面上，故的面积S可以无限小， ， 即S的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键要利用以及均值不等式推出，从而推出点在以M为球心4为半径的球面，即可求解. 3．内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小．    试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、，    不妨设，，， 由题意可得， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 其中点， 故 ， 当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 4．已知，，且动点满足.则的取值范围为 ；若线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，则的正切值的最大值为 . 【答案】 / 【详解】，，，. 以中点为原点，所在直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系， 则，设， 则 因为，所以，整理得， 点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆. ； 线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，， 点的轨迹是以A，M为焦点、长轴长为2、短轴长为的椭圆， 所以该椭圆的方程为，当QB与椭圆相切时，的正切值最大， 设直线的斜率为k，则，直线的方程为， 联立， 令，即， 所以的正切值最大为. 故答案为：； 5．设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 . 【答案】 【详解】设方程表示的区域为， 用代换方程不变，可知区域关于y轴对称； 用代换方程不变，可知区域关于x轴对称； 当时，区域可化为，据此可得区域的图形如图阴影所示， 取， 可知区域为正方形及其内部， 设，点均在区域内， 因为，，即，， 可知点在线段上， 又因为，记为过点的线段的长度的最大值， 若求，不妨假设点在正方形的边界上， 若，即， 可知的最大值为的最小值， 取的中点分别为，可知区域关于直线对称， 根据对称性只需假定点在线段上即可，此时， 可知当点与点重合时，取到最小值， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：1.根据题意分析集合表示的平面区域； 2.根据向量相关知识分析的最大值表示的意义. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优03 平面向量中的范围与最值问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 模长类范围与最值问题（★★★★★） 3 题型二 夹角类范围与最值问题（★★★★★） 4 题型三 角度类范围与最值问题（★★★★★） 4 题型四 参数类范围与最值问题（★★★★★） 5 题型五 坐标类范围与最值问题（★★★） 6 题型六 面积类范围与最值问题（★★★★★） 6 03 实战检测・分层突破验成效 7 检测Ⅰ组 重难知识巩固 7 检测Ⅱ组 创新能力提升 8 一、模长类范围与最值问题 核心目标是将模长转化为易于分析的形式。从代数视角出发，通过配凑或运用不等式（例如三角不等式），将模长表达式转换为能够确定范围的结构；从几何视角来看，将模长视为向量对应的线段长度，结合向量轨迹（如圆形、线段）来分析距离的极值；此外，还可以借助参数表示向量，通过追踪参数的变化来把握模长的变化趋势。 核心公式： 向量模长公式：. 三角不等式：。 柯西不等式：。 解题方法： 代数法：通过配方法或不等式（如均值不等式）将模长表达式转化为可求极值的形式。 几何法：分析向量的轨迹（如圆、椭圆），将模长转化为几何距离，结合图形对称性求最值。 参数法：引入参数表示向量，通过参数方程分析模长变化。 极化恒等式：利用简化模长计算。 二、夹角类范围与最值问题 关键是抓住夹角与向量方向、数量积的关联。通过分析数量积的符号和大小，结合向量模长的范围，确定夹角的变化区间；也可从几何直观出发，观察向量旋转或移动时方向的变化，直接判断夹角的最大、最小值；还能将夹角转化为对应三角函数的取值问题，通过函数性质确定范围。 向量的夹角公式：. 三、角度类范围与最值问题 重点是建立角度与向量位置的联系。借助坐标分析，通过向量坐标的关系确定与坐标轴的夹角；从几何图形出发，利用三角形、多边形中的角度关系推导角度范围；也可从代数角度确定角度的范围。 四、参数类范围与最值问题 核心是通过参数转化建立目标关系。先引入合适的参数表示向量的特征，再将待求范围或最值的量转化为参数的函数；最后结合函数的单调性、极值或不等式约束，确定参数的取值范围或目标函数的最值。 五、坐标类范围与最值问题 关键是将向量问题坐标化。根据图形特点建立坐标系，用坐标表示向量的模长、方向等特征；把向量的运算（如数量积、模长）转化为坐标的代数运算，形成关于坐标的目标函数；再通过函数等代数方法，求解目标函数的范围或最值。 六、面积类范围与最值问题 重点是将面积与向量特征关联。从几何直观出发，分析向量对应的线段长度（如底）和垂直距离（如高）的变化对面积的影响；通过坐标运算将面积表示为向量坐标的函数，转化为代数求极值问题；也可引入参数表示动点位置，建立面积与参数的关系，通过参数范围确定面积的最值。 题型一 模长类范围与最值问题 1．已知，，则的范围是 . 2．若a，b是单位向量，a·b=0，且|c-a|+|c-2b|=，则|c+2a|的范围是　(　　) A．[1，3] B．[2，3] C． D． 3．已知平面向量满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 4．设为不共线的向量，满足，且，若，则的最大值为 ． 5．平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 7．已知平面向量，满足，与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，O为外心，若，，则的范围是 ． 10．已知动点P（x，y）满足|x﹣1|+|y﹣a|＝1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是 ． 题型二 夹角类范围与最值问题 1．在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为 2．在中，，三角形面积满足，则与的夹角的范围 . 3．已知，且关于x的函数在R上有两个极值，则向量与的夹角的范围是 ． 4．已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 5．已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 题型三 角度类范围与最值问题 1．在平行四边形中，，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，点满足,则的最大值是 4．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点（，不取端点），且．设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 参数类范围与最值问题 1．已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是 . 2．已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是 ． 3．正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中，则的最大值是 4．如图，若同一平面上的四边形满足：（，），则当△的面积是△的面积的倍时，的最大值为 5．在边长为的正三角形中，，，，当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 题型五 坐标类范围与最值问题 1．设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为 . 2．已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 3．若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（    ） A． B．(，4) C． D．( ，1 ) 题型六 面积类范围与最值问题 1．在中，为定长，，若的面积的最大值为，则边的长为 ． 2．在中，，则面积的最大值是 3．在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为 ，若，,则面积的最大值为 ． 4．在中，，，则面积的最大值为 ． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知点P是椭圆上的任意一点，点Q与P关于x轴对称，、是该椭圆的两个焦点，若，则与的夹角θ的范围是 . 2．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 3．已知向量满足，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知梯形中， ，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量， 和单位向量， 满足， ， ， 当变化时， 的最小值为， 则的最大值为 . 7．已知，，设与的夹角为θ，则的最大值为 . 8．已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 9．已知，，，，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 10．已知向量满足，，则的最大值等于（   ） A． B． C．2 D． 11．向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．已知向量、满足：，，向量与向量的夹角为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 13．已知向量，向量的模长均为2，且.若向量，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 14．已知，向量满足 ，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 15．如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 2．空间中两点间的距离为，设的面积为，令，若，则的取值范围为 ． 3．内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小．    试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 ． 4．已知，，且动点满足.则的取值范围为 ；若线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，则的正切值的最大值为 . 5．设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 . 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$