重难点培优07 导数中的极值点偏移问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优07 导数中的极值点偏移问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 5 题型一 含对数型极值点偏移（★★★★★） 5 题型二 含指数型极值点偏移（★★★★★） 13 题型三 加法型极值点偏移（★★★★★） 18 题型四 减法型极值点偏移 （★★★★★） 25 题型五 平方型（立方型）极值点偏移 （★★★★★） 32 题型六 乘积型极值点偏移（★★★★★） 40 题型七 商式型极值点偏移（★★★★★） 45 03 实战检测・分层突破验成效 50 检测Ⅰ组 重难知识巩固 50 检测Ⅱ组 创新能力提升 70 一、极值点偏移的含义 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系： 若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏. 如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏. 二、极值点偏移问题的一般题设形式 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 三、极值点偏移的判定定理 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且， （1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏； （2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 四、对数平均不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均､几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． 只证：当时，．不失一般性，可设． 证明如下： （I）先证：……① 不等式①（其中） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递减， 故，从而不等式①成立； （II）再证：……② 不等式②（其中） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递增， 故，从而不等式成立； 综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立， 当且仅当时，等号成立． 五、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数的极值点； （2）构造一元差函数； （3）确定函数的单调性； （4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系. 题型一 含对数型极值点偏移 1．已知函数. （1）若函数在定义域上单调递减，求实数的取值范围； （2）设函数有两个极值点，，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意得在上恒成立，即在上恒成立，再求函数的最大值即可得答案； （2）根据题意得，不妨设，令，则问题转化为证明在上恒成立，再转化为在上恒成立，进一步令，只需求在的最小值大于零即可证毕. 【详解】解：（1）函数的定义域为， ∵ 函数在定义域上单调递减， ∴ 在上恒成立， ∴  在上恒成立，即：在上恒成立， 令，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， ∴ 当时，函数有极大值，也是最大值， ∴ ， 故实数的取值范围为： （2）证明：∵ 函数有两个极值点，， ∴ 根据（1）得：， ∴ ， ∴  ， ∵ ，∴ 不妨设，令， 则，设 故问题转化为证明在上恒成立， ∴ 只需证在上恒成立， 令，， ∴ 在上单调递增，由于， ∴ ，即函数在上单调递增， ∴ ，即在上恒成立 ∴ 成立. 【点睛】本题考查已知函数的单调区间求参数范围，利用导数证明不等式恒成立问题，考查分析问题与解决问题的能力，是难题. 2．设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【答案】(1)无最小值，最大值为 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解. （2）由有两个极值点，从而要证，令，构建函数，然后利用导数求解的最值，从而可求解证明. 【详解】（1）由题意得，则. 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 无最小值，最大值为. （2），则， 又有两个不同的极值点， 欲证，即证， 原式等价于证明①. 由，得，则②. 由①②可知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 恒成立，在上单调递增， 当时，，即， 原不等式成立，即. 【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系； 通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数， 利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立. 3．已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）设，借助导数研究其单调性即可得； （3）结合（2）中所得可得，可将所需证明内容转化为证明，等价于证明，构造函数，结合其单调性只需证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可得证. 【详解】（1），，， 所以在处的切线方程为， 即； （2）由可知，，， 即在上恒成立， 设，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以时，取得最小值，最小值为， 由题意知，即，故的取值范围为； （3）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（2）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， ， 则，在单调递减， 欲证，即证，， 等价于，即， 等价于， 整理得①， 令，①式为， 又在单调递增， 故①式等价于，即， 令，， 当时，，在单调递增， 又，，即， 所以，则. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将原不等式转化为证明，再转化为证明，最后转化为证明，从而可构造函数帮助证明. 4．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个零点； （i）求的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知可知，分和讨论函数的单调性； （2）（i）设，判断的单调性，然后结合单调性讨论求解； （ii）先证明存在使得，然后证明，最后利用和的单调性即得结论. 【详解】（1）由已知，得， 当时，对任意的，有，所以在上单调递增； 当时，由于当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）函数有两个零点，当且仅当方程有两个解，即方程有两个解. 设，则，这表明当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 设，则，所以当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增，从而对任意的都有，即对任意的都有. 而对任意实数，在中取，就有. 这表明当时，有. 原命题等价于方程有两个解，分情况讨论： 当时，对任意，有，这表明方程至多有一个解，不符合条件； 当时，由于，，，且，故方程有两个解，且满足，再结合的单调性，知方程的所有解即为，满足条件. 综上，的取值范围是. （ii）设，则， 故当且时，从而在和上单调递增，故在上单调递增. 这就意味着当时，有，即. 由于在上单调递减，在上单调递增，故由， 知存在， 使得，即. 从而有， ， 这意味着 ，最后一步利用了和. 故，但，而在上单调递增，所以. 又因为在上单调递增，所以， 故，即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，构造一个使得，得到和的大小关系，然后反向利用，判断和的大小关系，再比较和，即得结论. 5．已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 【答案】(1)无最大值，最小值为； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数知识可得函数的最值； （2）由题可得，要证，即证，然后通过研究：单调性可完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为． 令，解得；令，解得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以无最大值，最小值为； （2），． 因为有两个不同的极值点，所以，． 欲证，即证，又， 所以原式等价于①. 由，, 得 ②. 由①②知原问题等价于求证， 即证． 令，则，上式等价于求证． 令，则， 因为，所以恒成立，所以单调递增，， 即，所以原不等式成立，即． 【点睛】关键点睛：对于涉及双变量不等式的证明，常利用两变量的差或者商，将双变量问题转变为单变量问题. 6．已知函数（其中e为自然对数的底） (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，是的极值点且.若，且. 证明：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）在上单调递增即在恒成立，令，分类讨论的单调性，证明即可. （2）求出，要证明，即证明， 即证明.令，对求导，得出的单调性，即可证明. 【详解】（1）因为在上单调递增，所以在恒成立， 所以在恒成立， 令，， ①当时，在恒成立，在上单调递增， 所以，所以满足题意. ②当时，令，则. (i)，所以，在单调递增， 所以，所以满足题意. （ii），在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，， 所以在恒成立，所以在上单调递减， 而，所以不成立. 所以实数a的取值范围为：. （2），， 因为是的极值点，所以满足， 令，则若，解得， 所以当时，，当时，， 所以，， 所以是唯一负极值点，且在上单调递增，在上单调递减， 要证明，即证明， 化简得，由于在上单调递增， 且由，，可知. 故， 从而可推得，而， 因此. 令， 则， ， 而，所以， 故单调递增，从而，即， 从而，即证得. 题型二 含指数型极值点偏移 7．已知函数. (1)若有两个零点，的取值范围； (2)若方程有两个实根、，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析可知，由参变量分离法可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围； （2）令，其中，令，，分析可知关于的方程也有两个实根、，且，设，将所求不等式等价变形为，令，即证，令，其中，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：函数的定义域为. 当时，函数无零点，不合乎题意，所以，， 由可得， 构造函数，其中，所以，直线与函数的图象有两个交点， ，由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数的极大值为，如下图所示： 且当时，， 由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点， 故实数的取值范围是. （2）证明：因为，则， 令，其中，则有， ，所以，函数在上单调递增， 因为方程有两个实根、，令，， 则关于的方程也有两个实根、，且， 要证，即证，即证，即证， 由已知，所以，，整理可得， 不妨设，即证，即证， 令，即证，其中， 构造函数，其中， ，所以，函数在上单调递增， 当时，，故原不等式成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 8．已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）函数有两个零点转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数研究函数单调性与最值，数形结合即可求的取值范围； （2）由（1）知，不妨设，要证，即证，只需证，结合单调递增只需证，再根据单调性可得答案. 【详解】（1），则， 令，得， 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此．当时，，当时，， 作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点， 则，故的取值范围为． （2）因为是函数的两个极值点，所以． 由（1）知，不妨设， 要证，即证， 只需证，显然． 由（1）知当时，单调递增，所以只需证， 而，所以即证． 设， 则， 当时，单调递减，所以当时，， 所以当时，，原不等式得证． 【点睛】方法点睛：解答函数零点个数问题常见思路：1，转化为方程的根的个数求解；2，转化为函数图象的交点个数求解. 9．已知函数有三个极值点． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将函数有三个极值点转化为导函数有三个变号零点，然后构造函数，利用函数的奇偶性、单调性等研究函数的零点即可； （2）先根据第（1）问得到之间的关系，将多元不等式问题转化为一元不等式问题，然后换元，构造函数进行证明即可． 【详解】（1）由题意知有三个变号零点，且， 易知，故为定义在上的奇函数，     又，所以在上恰有一个变号零点． 令，则， 令，则， 当时，，，单调递增． 又，当时， 所以当时，． 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增，，不符合题意．     故，此时，在上存在唯一零点， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 由，时可知，在上恰有一个变号零点． 综上，实数的取值范围为． （2）不妨设，则由（1）的讨论可知，，，     故只需证明， ，解得，     故只需证明， 整理后，只需证明．     设，则只需证明， 即证， 即证，即证 ， 故只需证明在时恒成立．     记，， 则，故在上单调递增， 所以，即在时恒成立， 所以． 【点睛】方法点睛： 对于多元不等式的证明，通常采取多元化一元，然后构造函数，利用导数讨论单调性，利用单调性进行证明，多元化一元时可采取换元，或寻找各元之间的联系进行代换. 10．设，为函数（）的两个零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出定义域，求导，得到的单调性和极值情况，根据函数零点个数，得到，求出，结合题目条件，得到当时，，根据零点存在性定理得到在内存在唯一零点，同理得到在内存在唯一零点，从而求出答案； （2）设，由可得，令，故，，推出要证，即证，构造，，求导，对分子再构造函数，证明出，在定义域内单调递减，故，即，证明出结论. 【详解】（1）的定义域为R，， 当时，，当时，， 故在内单调递减，在单调递增， 故要使有两个零点，则需，故， 由题目条件，可得， 当时，因为，又， 故在内存在唯一零点， 又，故在内存在唯一零点， 则在R上存在两个零点，故满足题意的实数的取值范围为； （2）证明：由（1）可设，由可得， 令，则，所以，故， 所以， 要证， 即证， 即证， 因为，即证，即， 令，，， 令，则，当时，， 当时，， 故在内单调递减，在单调递增，所以， 所以，令得， 故，在定义域内单调递减， 故，即，，， 则，证毕． 【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方 题型三 加法型极值点偏移 11．设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，令，根据的正负确定的单调性， 得，即得函数的单调性. （2）构造函数，其中，则， 令，得，从而可得在上单调递减，然后根据函数的单调性可得. 【详解】（1）∵，， ∴． 令，则． 令，得或． 当时，；当时，；当时，． ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 又，，故对一切恒成立， ∴，于是，故在上单调递增． （2）易知当时，由（1）知，， 所以，当且仅当时取等号，与题意不符， 当，由（1）知，，与题意不符， 所以中一个在内，一个在内，不妨设． 构造函数，其中， 则． 由，得． 令， ∵， ∴在上单调递增，则． ∴在上单调递减，∴， 即对恒成立． ∵，∴， ∴． 由（1）知在上单调递增， ∴，故． 12．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； (3)如果，且，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减为； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由导数知识可得的单调区间； （2）由题可得，然后研究单调性，可完成证明； （3）方法1，由导数知识可得大致图象，据此可得，然后通过研究函数，可得对恒成立，最后由题意，结合，可完成证明；方法2，要证，即证，然后通过研究可完成证明；方法3，令，要证，即证：，然后通过研究可完成证明. 【详解】（1）. 。 则的单调递增区间为，单调递减为； （2）因的图象与的图象关于直线对称， 则. 构造函数， 则. 因，则， 则在上单调递增，则， 即当时，； （3）法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，， 函数在处取得极大值，且，如图所示． 由，不妨设，则必有， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，， 也即对恒成立．由，得， 所以，即， 又因为，且在上单调递减，所以， 即 法二：欲证，即证，由法一知， 故， 又因为在上单调递减，故只需证， 又因为， 故也即证，构造函数， 则等价于证明对恒成立． 由，则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立． 法三：由，得，化简得， 不妨设，由法一知，．令，则， 代入，得，反解出，则， 故要证：，即证：， 又因为，等价于证明：， 构造函数，则， 令. 故在上单调递增，， 从而也在上单调递增，，即证成立， 也即原不等式成立． 【点睛】关键点睛：对于极值点偏移问题，常有两种思路，第一种将所证不等式转化为，后利用，构造与或有关的函数，将双变量问题转变为单变量问题；第二种思路，将双变量问题转变为与，之间差值或商值有关的单变量问题. 13．已知函数． (1)当时，判断在区间内的单调性； (2)若有三个零点，且． （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）多次求导后，借助导数的单调性及正负即可判断原函数的单调区间； （2）（i）原条件可转化有三个不等实根，从而构造函数，研究该函数即可得；（ii）借助的单调性，得到，从而将证明，转化为证明，再设，从而将三个变量的问题转化为单变量问题，即可构造函数，证明其在上大于即可. 【详解】（1）当时，，， 令，， 令，可得， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； （2）（i）有三个零点，即有三个根， 由不是该方程的根，故有三个根，且， 令，， 故当时，，当时，， 即在、上单调递增，在上单调递减， ，当时，，时，， 当时，，时，， 故时，有三个根； （ii）由在上单调递增，，故， 由（i）可得，且， 即只需证，设，则， 则有，即有，故，， 则，即， 即只需证， 令， 则恒成立， 故在上单调递增， 则，即得证. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 14．已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. （3）因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 15．已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增． (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，由导数符号即可求解； （2）（i）由题意知，问题转换成有两根，通过取对数，同构，构造函数，通过其单调性即可求解；（ii）构造函数，通过求导，确定单调性，确定最值，即可求解； 【详解】（1）由题意知，， 令，解得， 令，解得， 故函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得．记，易知在上是增函数， 故可等价于，即． 记，则，得在上单调递减，在上单调递增， 有最小值，故，即． （ii）根据题意得，不妨设． 构造函数， 则． 当时，，则，得在上单调递减， 有，即． 将代入不等式，得，又， 故， 又在上单调递增， 故，即． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 题型四 减法型极值点偏移 16．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断函数单调性； （2）根据题意分析可知：在内单调递增，在内单调递减，，利用极值点偏离证明和，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，， 且，令，可得， 当，即时，可知在内恒成立， 即在内恒成立，所以在内单调递增； 当，即时，由解得或， 由可知， 若，；若，； 所以在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，可得，， 由（1）可知：在内单调递增，在内单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递减， 则，即； 令， 则， 可知在内单调递增，则， 可得在内恒成立， 因为，则， 且，在内单调递增， 则，即； 由和可得. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 17．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的取值范围. (2)若函数的两个零点分别是，且，证明： ①随着的增大而减小； ②. 【答案】(1) (2)①证明见解析：②证明见解析 【分析】（1）利用导数判断原函数单调性，卡端点列出不等式求解即可. （2）①合理判断有两个零点，构造与的函数，求其单调性即可. ②求出关键点的函数值，结合不等式的运算性质证明不等关系即可. 【详解】（1）若函数在上单调递增，易知， 令，，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故原命题等价于求，且，故，解得， 即的取值范围为. （2）①引理：对，必有成立，令， 故，令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，故成立， 设，则，即， 可得的最小值为 而，当时，， 且由引理知，故， 由零点存在性定理得有两个零点， 结合可得， 故当时，两个根一定会存在，设是关于的函数，记为， 我们同样可以定义为：对，存在唯一的，使得， 且这个就是关于的方程中的较大根，此时已有， 此时发现是上的函数，则证明在上单调递减即可， 由于， 首先，我们有，，所以，， 其次，我们实际上有，（因为要么，要么）， 所以，若，则，， 然后考虑，显然我们有， 若，则，所以另一根一定小于，从而， 若，由于是关于的较大根，故， 即，解得，但是对任意的时， 关于的方程的较小根都不超过， 要么，解得，要么， 所以是较大根，从而，这表明与关于对称， 所以我们只需要证明在上单调递减， 这里是的较大根，且， 由于，故对，设， 则，， 从而由是较大根，知，， 也意味着位于单调递增区间， 设，由于当时， ， 所以， 而，方程的较小根一定不超过， 这表明的较大根一定成立，所以， 这就证明了在上单调递减，从而一定在上单调递减， 故随着的增大而减小得证. ②由①知有两个零点，且， 由于， 由引理又有， 而根据单调性得，当或时，必有， 所以， 可得 即，原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用零点存在性定理证明函数有两个零点，然后构造函数，转化为证明函数单调性问题求解即可. 18．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，结合得到，即在内恒成立，所以在内单调递增； （2），求导，得到函数单调性，得到，构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到，两式结合得到答案. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， ， 令，可得，当时，即， ，可知在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递增. （2）当时，可得， ， 或 故在上单调递增，在上单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在上单调递增， 则，可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递减 则，即； 令， 则 ， 可知在上单调递增，则， 可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递增， 则，即； 由和可得. 【点睛】关键点点睛：构造两次差函数，解决极值点偏移问题，即构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到. 19．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点； ①求证：； ②求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间； （2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证. 【详解】（1），， 其中，， 当时，即，此时恒成立， 函数在区间单调递增， 当时，即或， 当时，在区间上恒成立， 即函数在区间上单调递增， 当时，，得或， 当，或时，， 当时，， 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是， 综上可知，当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是； （2）①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是，、是方程的两根， 有，， 又的图象与有三个公共点， 故，则， 要证，即证，又， 且函数在上单调递减，即可证， 又，即可证， 令，， 由， 则 恒成立， 故在上单调递增，即， 即恒成立，即得证； ②由，则， 令，， 则 ， 故在上单调递增，即， 即当时，， 由，故，又，故， 由，，函数在上单调递减，故， 即，又由①知，故， 又， 故. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到. 题型五 平方型（立方型）极值点偏移 20．已知函数. (1)讨论函数的单调性： (2)若是方程的两不等实根，求证：； 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据和分类讨论，即可得出函数的单调性； （2）由可得，是方程的两不等实根，从而可将问题转化为是方程的两不等实根，即可得到和的范围，原不等式等价于，即极值点偏移问题，根据对称化构造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出． 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为. 由得：， 当时，在上单调递增； 当时，由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）因为是方程的两不等实根，， 即是方程的两不等实根， 令，则，即是方程的两不等实根. 令，则，所以在上递增，在上递减，， 当时，；当时，且. 所以0，即0. 令，要证，只需证， 解法1（对称化构造）：令， 则， 令， 则 ， 所以在上递增，， 所以h，所以， 所以，所以， 即，所以. 解法2（对数均值不等式）：先证，令， 只需证，只需证， 令， 所以在上单调递减，所以. 因为，所以， 所以，即，所以. 【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造及对数均值不等式等方法证出． 21．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 【答案】(1)结论见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答. （2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得， 若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由，两边取对数得，即， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，而，时，恒成立， 因此当时，存在且，满足， 若，则成立； 若，则，记，， 则 ， 即有函数在上单调递增，，即， 于是， 而，，，函数在上单调递增，因此，即， 又，则有，则， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 22．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间； （2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围； （3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论. 【详解】（1）由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是．                                      （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 23．已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点（），求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到，构造，利用导函数得到其单调性，极值和最值情况，得到； （2）转化为有2个不同的实数根，构造，得到其单调性，得到，且，求出，换元后即证，构造，求导后得到在上单调递增，，得到证明. 【详解】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立. 令，则， 令，则，所以在内单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取极大值也是最大值. 因此，即实数的取值范围为. （2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根. 令，则，当时，解得. 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值为. 又因为，当时，，当时，. 且时，. 所以，且. 因为是方程的2个不同实数根，即. 将两式相除得， 令，则，，变形得，. 又因为，，因此要证，只需证. 因为，所以只需证，即证. 因为，即证. 令，则， 所以在上单调递增，， 即当时，成立，命题得证. 【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 24．已知函数. (1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围； (2)若有两个不同极值点. ①求的取值范围； ②当时，证明：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数，探讨函数有两个零点的的值范围. （2）①由有两个零点，结合零点的意义分离参数，求出直线与函数图象有两个公共点的的值范围；②由方程根的意义可得，分析所证不等式，换元并证明即可. 【详解】（1）依题意，， 设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率， 切线方程为，而点在切线上， 则，即有， 由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根， 令，则函数有2个零点， 求导得， ①若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值， 又， 当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ②若，恒成立，函数在上单调递增， 因此函数最多1个零点，不合题意； ③若，由，得或，由，得， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又， 显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意； ④若，显然，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 要函数有2个零点，必有，得， 当时，， 而函数在上的值域为，因此在上的值域为， 当时，令，求导得，函数在上单调递减， 则，， 而函数在上单调递减，值域为， 因此函数在上的值域为， 于是当时，函数有两个零点， 所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是. （2）①由（1）知，， 由函数有两个极值点，得，即有两个实数根， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，上单调递减，， 且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根 所以函数有两个极点时，的取值范围是. ②由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 则在时单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即， 所以. 【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 25．已知函数，． (1)若对任意的都有，求实数的取值范围； (2)若且，，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）将问题转化为，利用导数研究函数，的单调性、最值，即可得解， （2）将转化为，构造函数，利用函数的单调性得到，利用放缩法即可证明不等式. 【详解】（1）由，，得，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以，即实数t的取值范围为． （2）由可得，两边取对数并整理，得， 即，即． 不妨设，得到， 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，且当时，恒成立， 记，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即，于是， 又在上单调递减，所以，即． 所以，得证． 【点睛】方法点睛：求解极值点偏移问题的步骤： （1）求函数的极值点； （2）构造函数； （3）确定函数的单调性； （4）结合判断的符号，从而确定，的大小关系． 题型六 乘积型极值点偏移 【技巧通法·提分快招】 证与(极值点平方)的偏移。令, 将代入化简后构造关于的函数，求导分析单调性，证明与的大小。 26．若是函数的两个零点，且，求证：且． 【答案】证明见解析 【分析】方法一：根据题意，得，令，对于，其等价于，构造函数，即可得证；令，则，构造函数，即得证； 方法二：由函数单调性，知，有，，则，且，，令，利用导数可证；令，利用导数可证. 【详解】方法一：比值代换 因为，由题意结合可知，，， 所以． 令，则，，代入上式得， ．对于，其等价于，即． 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即得证． 对于，其等价于，即，即． 令，则，构造函数，则， 在上单调递减，所以，即得证． 方法二：差值代换 由可得． 设函数，则， 当，，则函数在上单调递减， 当，，则函数在上单调递增， 所以，则有，，则，且，． 对于，即，即，即， 令，则，则只需证． 令，则，， 则在上单调递增，则， 则在上单调递增，则，即成立． 对于，其等价于，即，即． 左边分子、分母同时除以，得，令，则， 则只需证，即． 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，故，所以， 所以在上单调递减，所以，即成立． 27．已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用参数作为媒介，换元后构造新函数，将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得结论成立. 【详解】因为，不妨设， 因为，， 所以，， 所以， 欲证，即证. 因为，所以即证， 所以即证，即证． 令，则，等价于， 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 故， 即，所以． 方法二：直接换元构造新函数  ，即，设，，则， 则，，可得，， 由于 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 故，即， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 28．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 29．已知函数． (1)若函数是减函数，求的取值范围； (2)若有两个零点，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）在上恒成立，参变分离在上恒成立，构造函数求出的最大值，从而求出的取值范围； （2）由零点得到，令，从而得到，，，构造，求导得到其单调性，从而证明出结论. 【详解】（1）的定义域为， ， 函数是减函数，故在上恒成立， 即在上恒成立， 令，， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，且， 故，解得， 故的取值范围是； （2）若有两个零点，则， 得． ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ，即， 故. 【点睛】极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 题型七 商式型极值点偏移 【技巧通法·提分快招】 涉及与极值点的偏移（商式）。令或, 把代入整理成关于的等式。构造函数, 求 导判单调性，结合的范围，证与极值点相关值的大小。 (核心逻辑：极值点偏移本质是函数对称性破缺”，通过构造对称函数、变量替换（如导数分析单调性，将复杂的偏移关系转化为函数值的大小比较，统一用对称构造一求导判断一比大小证偏移"的模板解题。) 30．已知函数有两个相异零点､，且，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】对函数求导并研究的单调性，结合函数有两个相异零点､得极大值，即有，进而有，应用作差法可得，而、即可证明结论. 【详解】由题设，， 由，得，由，得， 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，且为最大值. 由有两个相异零点､，可得，即. ， ， ，即，则， ，， . 31．已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证 （*）进而证明结果. 【详解】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 32．已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过转化构造函数，利用导数求出该函数的最小值即可； （2）通过利用极值点偏移的知识，令，，利用导数相关知识转化为证明即可. 【详解】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 33．已知函数（）. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）首先求函数的导数，再分和求函数的导数；（2）首先由条件可知，变形后两式相除得，设，换元后，分别解出和，通过构造函数（），利用导数证明函数的单调性，再解抽象不等式，从而求得的最大值. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令，则，设，则， 易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴， ∴，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； （2）依题意，，则 两式相除得，，设， 则，，，∴，， ∴， 设（）， 则， 设，则， 所以在单调递增， 则， ∴，则在单调递增， 又，且 ∴， ∴，即的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化与化归思想，函数与方程思想，考查逻辑推理以及运算求解能力，属于中档题，本题第二问的关键是换元后解出，，从而将转化为（），利用导数判断函数的性质. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知：函数. （1）证明：是增函数； （2）已知：且，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对函数求导令，则对函数求导，分析函数的单调性，得出函数的最值，从而分析出导函数的正负，可得证； （2）由（1）得，且，欲证，需证：，构造函数，对其求导，分析其单调性得最值，可得证. 【详解】（1）， 则， 在区间上，，在上单调递减；在区间上，，在上单调递增. 故最小值为， 故，即是增函数. （2）由（1）知：， 故 ， 故欲证，只需证：， 等价于： 令，则， 故为增函数，， 而，故，即式得证. 故原不等式成立. 【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，证明不等式等综合问题，关键在于构造合适的函数，对其导函数得出取得正负的区间，得出所求函数的单调性，属于难题. 2．已知函数有三个极值点， （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 【答案】（1）且；（2）证明见解析. 【分析】（1）函数有3个零点等价于有3个变号零点，由于，且，所以可得有两个不为0，－1的实根，再对求导讨论其单调性可得结果； （2）由（1）可知有一个零点为0，所以不妨设，，而，所以，因此要证，即证而，，而在上递减，，所以只需证，即，然后构造函数，只需证此函数值恒大于零即可. 【详解】解：（1）利用的极值点个数即为的变号零点个数 ，，设， 由已知，方程有两个不为0，－1的实根， 当时，在上递增，至多一个实根，故 所以在上递减，在上递增， 因为， 所以时，有两个实根， 解得且 （2）由（1）不妨设，，∵，∴. 要证，即证而， 由在上递减，在上递增，且 故只要证，又，故只要证 即证 设 ∴ ∴递增，∴ 即 ∴ 【点睛】此题考查函数的极值点问题，极值点偏移问题，利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立等，考查了数学转化思想，属于较难题. 3．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. (1)求的取值范围； (2)记两个极值点为，且. 若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将在有两个不同根转化为方程在有两个不同根，再构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而求出的取值范围； （2）两边取对数，将证明转化为证明，再利用（1）合理转化，将问题转化为证明恒成立，再通过求其最值进行证明. 【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，， 方程在有两个不同根， 即方程在有两个不同根， 即方程在有两个不同根， 令，，则， 则当时，，时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为，当时，，当时，， 所以的取值范围为； （2）要证，两边取对数，等价于要证， 由（1）可知，分别是方程的两个根， 即， 所以原式等价于，因为，， 所以原式等价于要证明. 又由，作差得，，即. 所以原式等价于，令，， 则不等式在上恒成立. 令，， 又， 当时，可见时，， 所以在上单调增， 又，， 所以在恒成立，所以原不等式恒成立. 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法： （1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围. （2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解. 4．已知函数（a为常数）. (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：. (3)若有两个零点，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）利用对数均值不等式（，，）即可得证. （3）由题意得，要证，只需证：，利用换元，令，只需证：，由对数均值不等式即得. 【详解】（1）由，得函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得；令，得； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由，得， 故欲证，只需证：，即证， 又，，， 不妨设，，等价于，令（）， 等价于（）， ，所以在单调递增，而， 所以，当时，恒成立. 所以， 所以. （3）函数有两个零点，，所以，， 不妨设，， 即，要证：， 需证： 只需证：，只需证：， 只需证：，只需证：， 令，只需证：， 令，， 所以在上单调递减，所以，即， 故. 也可由对数均值不等式（），即， 令（），则，即， 所以. 【点睛】本题考查不等式的证明，可转化为函数求最值以及恒成立问题结决，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若若，，有，则的值域是值域的子集 ． 5．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个零点，，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，然后分类讨论的取值情况，从而可求解. （2）结合（1）中结论可知，从而求出，，然后设并构造函数，然后利用导数求解，然后再构造函数证明，从而求解. 【详解】（1）因为函数的定义域是，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，减区间为． （2）因为是函的两个零点，由（1）知， 因为，设，则， 当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减，． 又因为，且， 所以，． 首先证明：． 由题意，得，设，则 两式相除，得． 要证，只要证，即证． 只要证，即证． 设，． 因为，所以在上单调递增． 所以，即证得①． 其次证明：．设，． 因为，所以在上单调递减． 所以， 即． 所以②． 由①②可证得． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． （4）利用导数研究函数的零点问题． 6．已知函数（其中是自然对数的底数）． (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论，即可得出函数的零点个数； （2）由，构造函数并求出其单调性，求得即可证明得出结论. 【详解】（1）由可得， 令，其中， 则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数， ，令可得，列表如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 如下图所示： 当时，函数无零点； 当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点． （2）证明：因为，其中， 所以． 由已知可得， 上述两个等式作差得．要证，即证． 因为，设函数的图象交轴的正半轴于点，则． 因为函数在上单调递增，， 所以． 设函数的图象在处的切线交直线于点， 函数的图象在处的切线交直线于点， 因为，所以函数的图象在处的切线方程为． 联立，可得，即点． 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，所以， 所以对任意的，当且仅当时等号成立， 由图可知，则，所以． 因为，可得， 函数在处的切线方程为， 联立， 解得，即点． 因为，所以． 构造函数，其中，则． 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，则， 所以对任意的，当且仅当时，等号成立， 所以，可得， 因此，故原不等式成立． 7．已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求解函数定义域，参变分离得到，构造，利用导函数得到其单调性，极值和最值情况，得到； （2）转化为有2个不同的实数根，构造，得到其单调性，得到，且，求出，换元后即证，构造，求导后得到在上单调递增，，得到证明. 【详解】（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立. 令，则， 令，则，所以在内单调递减， 又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取极大值也是最大值. 因此，即实数的取值范围为. （2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根. 令，则，当时，解得. 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值为. 又因为，当时，，当时，. 且时，. 所以，且. 因为是方程的2个不同实数根，即. 将两式相除得， 令，则，，变形得，. 又因为，，因此要证，只需证. 因为，所以只需证，即证. 因为，即证. 令，则， 所以在上单调递增，， 即当时，成立，命题得证. 【点睛】极值点偏移问题中，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 8．已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合参变分离得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数在不同取值下，函数的零点个数； （2）由题意可得得，要证明，只需证明，设，则，即证即可，令，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且，由可得， 令，其中，则， 由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，的极小值为， 且当时，；当时，. 如下图所示： 当 时，即当时，直线与函数只有一个公共点， 当时，即当时，直线与函数有两个公共点， 当时，即当时，直线与函数无交点. 综上所述，当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数无零点. （2）由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以. 9．设函数，其图象与轴交于，两点，且. （1）求的取值范围； （2）证明：. 【答案】（1）（2）证明见解析； 【分析】（1）先求出，易得当不符合题意，当时，当时，取得极小值，所以，得到的范围，再由，，结合零点存在定理，得到答案.（2）由题意，，两式相减，得到，记，将转化为，再由导数求出其单调性，从而得到，再由是单调增函数，得到. 【详解】解：（1）因为， 所以. 若，则， 则函数是单调增函数，这与题设矛盾. 所以，令，则. 当时，，是单调减函数； 时，，是单调增函数； 于是当时，取得极小值. 因为函数的图象与轴交于两点，， 所以，即. 此时，存在，； 存在， ， 又在上连续，故. （2）因为 两式相减得. 记， 则 ， 设，则， 所以是单调减函数， 则有，而，所以. 又是单调增函数，且； 所以. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，换元法构造新函数，涉及知识点较多，题目较综合，属于难题. 10．已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的极小值点为，代入函数求解； （2）首先求出的范围，再通过构造对称函数证明，根据的范围即可证明。 【详解】（1），当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得极小值， 由，解得或（舍去）. 故的值为。 （2）由题意可知，方程有两个不同的正实数根，即有两个不同的实数根. 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 验证可知，， 由得，所以. 当时，方程，即方程，则有两个不同的正实数根. 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. 不妨设，则. 令， 则， 所以在上单调递增，则当时，， 所以 又，函数在上单调递减， 所以，则， 因为，故. 【点睛】方法点睛：本题属于极值点偏移问题：解决此类问题的方法主要有：利用对数平均不等式，构造对称函数，换元法构造函数等。 关键点点睛：本题采用的构造对称函数，解题的关键有两点： 1：参数的取值范围； 2：构造， 11．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，且，证明：． 【答案】(1)的增区间是，减区间是. (2)证明见解析 【分析】（1）直接求导，求得导函数的零点，即可讨论出的单调性； （2）先把等式变形为题干函数的形态得，再分别证明左右两个不等式，注意构造函数的技巧以及多次求导. 【详解】（1）由题可知，而在上是减函数，是增函数， 在上单调递减，又， 时，单调递增；时，单调递减． 所以的增区间是，减区间是. （2）由题意得， 即，亦即． 设，则由，得，且． 不妨设，则即证， 先证：. 由及的单调性知，． 令， 则． ， ，即在上单调递增，故， ，取，则． 又，则． 又，且在上单调递减， ，即． 下证：． （ⅰ）当时，由，得； （ⅱ）当时，令， 则 ． 记，则． 又在上为减函数， 在上单调递减，在上单调递增， 单调递减，从而，在单调递增． 又， 对于，则， 所以时，，故在上单调递增，， 故时，，． 又， 从而，由零点存在定理得，存在唯一，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以． 又， 对函数，， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以， 由，所以． 显然， 所以，即． 取，则． 又，则． 结合，以及在上单调递增， 得到，从而． 综上所述，. 【点睛】方法点睛：处理双变量问题首先是根据问题所给的等式变形为题干中函数的形态，找出两个变量的联系，再分别构造出函数去证明不等式，并转化为极值点偏移问题，有时还需结合隐零点方法综合使用. 12．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若时，都有，求实数的取值范围； (3)若有不相等的两个正实数满足，求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出导函数，对分类讨论：①和②，分别讨论单调性；（2）利用分离常数法得到对恒成立. 令，利用导数求出最值，即可得到实数的取值范围；（3）极值点偏移问题，利用分析法，转化为证明，构造新函数，利用导数证明出. 【详解】（1）函数的定义域为，. ①当时，令，即，解得：. 令，解得：；令，解得：； 所以函数在上单调递增，在上单调递减. ②当时，则，所以函数在上单调递增. 综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数在上单调递增. （2）当时，都有，即， 亦即对恒成立. 令，只需. . 令，则，所以当时，， 所以在上单增，所以， 所以当时，. 所以，所以在上单减， 所以. 所以. 综上所述：实数的取值范围为. （3）可化为：. 令，上式即为. 由（1）可知：在上单调递增，在上单调递减， 则为的两根，其中. 不妨设，要证，只需，即， 只需证. 令. 则 当时，；当时，. 由零点存在定理可得：存在，使得. 当时，，单增；当时，，单减； 又，所以. . 因为， ， 所以. 所以恒成立. 所以. 所以. 所以 即证. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； （3）利用导数求函数的最值(极值)； （4）利用导数证明不等式． 13．函数. （1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）； （2）设，若，满足，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）求出导函数，切线方程为，化简即可； （2）先由导数确定在上单调递增，不妨设，则，又，，则，于是，这是重要的一个结论，构造函数 ，求出，可确定在上递减，于是，于是，下面只要证明即可。 【详解】（1），则， 故在处的切线方程为即； （2）证明：由题可得，， 当时，，则；当时，，则， 所以，当时，，在上是增函数. 设， 则， 当时，，则，在上递减. 不妨设，由于在上是增函数，则， 又，，则，于是， 由，在上递减， 则，所以，则， 又，在上是增函数，所以，，即. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式。本题不等式证明难度很大，首先不妨设，由的单调性得，因此要证题设不等式只要证，为此构造新函数，利用它在上的单调性完成证明。构造新函数学生难以想到，需要学生反复学习、练习，不断归纳总结，都有可能独立完成。 14．已知函数. (1)若方程有3个零点，求实数的取值范围； (2)若有两个零点，求证：，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将问题转化为与有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； （2）利用导数求得函数的单调性，再利用零点存在定理证得，再利用零点的定义将问题，构造函数，利用导数证得即可得证. 【详解】（1）解：令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为.      （2）解：因为， 当时，单调递增，不可能有两个零点，所以，此时， 令，得，所以当时，； 当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 若有两个零点，则，得，所以， 当时，，，， 故存在，使得， 又当趋向于时，趋向于，故存在，使得， 故，则满足，可得，即， 要证，只需证， 两边同乘以，可得， 因为，，所以， 令，即证，即证， 令，可得， 令，，故在区间上单调递增， 故，因此，所以在区间上单调递增， 故，因此原不等式成立. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 15．已知函数，. （1）当时，求该函数在处的切线方程； （2）求该函数的单调区间和极值； （3）若函数在其定义域上有两个极值点，且，求证：. 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求得切线斜率，根据切点和斜率由点斜式求得切线方程. （2）求得，对分成和两种情况，讨论的单调区间和极值. （3）求得表达式和导函数，根据是方程的两个不同实根列方程组，化简表达式，通过构造函数法，证得不等式成立. 【详解】（1）当时，，则，故，又 故切线方程为，即 （2），， 当时，在恒成立，的增区间为，无极值. 当时，令，，则当，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的单调增区间为， 单调减区间，有极大值，无极小值. （3），则，所以是方程的两个不同实根. 于是有 故有 所以： 令，则，即证 设，，则，所以为为增函数， 又，因此，，故当时有，所以. 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，考查利用导数证明不等式，属于难题. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解； （2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 2．若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)的取值范围为；证明见解析. 【分析】（1）利用定义及导数的计算法则计算即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【详解】（1）是，理由如下： 根据条件易知， 又，可得， 显然，符合“双中值函数”定义， 即函数是上的“双中值函数”； （2）①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，且时，,时，， 所以，所以，即的取值范围为； ②证明：不妨设， 则，，即，． 要证，可证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 3．已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，． (1)当时，若函数，求实数b的取值范围； (2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题： ①；②；③； 请从①②③中任选一个进行证明． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分，讨论，当时，求的最小值，根据可得； （2）将问题转化为有两个零点，先利用导数研究两个零点的范围，然后由，，作商取对数得.若选①，令，构造函数，若选②，构造函数，根据极值点偏移问题的方法可证；若选③，构造函数，由单调性可证. 【详解】（1）当时，， 当时，因为，所以此时不合题意； 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 要，只需， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，则由得， 所以，故实数b的取值范围为． （2）当时，，， 令，则， 因为函数有两个极值点，，所以有两个零点， 若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以， 令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 因为有两个零点，所以，则， 设，因为，，则， 因为，所以，， 则，取对数得， 令，，则，即 ①令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 令， 则，在上单调递减， 因为，所以，即， 亦即， 因为，，在上单调递增，所以， 则，整理得， 所以，故①成立 ②令，则， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 令，则，在上单调递增， 又，所以当时，，即， 因为，，在上单调递增，所以， 所以，即， 所以， 即，故②成立． ③令，，则， 令，则， ∴在上单调递增，则， ∴，则， 两边约去后化简整理得，即， 故③成立． 【点睛】双变量的不等式证明问题，主要通过换元构造函数，利用单调性证明即可.本题属极值点偏移问题，关键在于构造适当的对称函数. 4．若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”. (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）假设存在，满足题意，结合题意，，即可求解； （2）结合新定义“切合函数”满足的条件，得到，的关系，构造新的函数求导利用单调性证明. 【详解】（1）假设存在，满足题意，易知，由题可得： ， 代入上式可解得， ，或，， 故为“切合函数”. （2）由题可知，因为为“切合函数”，故存在不同的，（不妨设）， 使得，即， （ⅰ）先证：，即证：， 令，则由可知，要证上式，只需证： ，易知， 故在上单调递减，所以，故有成立， 由上面的②式可得； （ⅱ）由上面的②式可得：，代入到①式中可得： ， 且由（ⅰ）可得. （另解：由上面的②式可得，代入到①式的变形： ，整理后也可得到） 故要证，只需证： ， 设，则即证：， ，设 ， ，， 在上单调递增， ， 下面证明在上恒成立， 令，则， 所以当时，， 当时，， 所以在处取得最小值，， 所以在上恒成立， 所以当时，，即， 在上单调递增，， 所以原不等式成立. 【点睛】方法点睛：考查了函数的新定义以及不等式的证明问题，利用导数研究函数的单调性，通过构造新函数，利用函数的单调性证明. 5．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）依据所给定义求解即可. （2）直接利用定义求解即可. （3）合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可. 【详解】（1）． （2），，， 故，，故． （3），，故，其中， 令，，则，则，其中（不妨） 令，在递减，在递增，故； 令， ，令 ， 则，当时，恒成立，故在上单调递增， 可得，即， 故有， 则在递增， 又，，故， 故． 【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优07 导数中的极值点偏移问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 5 题型一 含对数型极值点偏移（★★★★★） 5 题型二 含指数型极值点偏移（★★★★★） 5 题型三 加法型极值点偏移（★★★★★） 6 题型四 减法型极值点偏移 （★★★★★） 7 题型五 平方型（立方型）极值点偏移 （★★★★★） 7 题型六 乘积型极值点偏移（★★★★★） 8 题型七 商式型极值点偏移（★★★★★） 9 03 实战检测・分层突破验成效 9 检测Ⅰ组 重难知识巩固 9 检测Ⅱ组 创新能力提升 11 一、极值点偏移的含义 众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系： 若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏. 如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏. 二、极值点偏移问题的一般题设形式 1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3. 若函数存在两个零点且，令，求证：； 4. 若函数中存在且满足，令，求证：. 三、极值点偏移的判定定理 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且， （1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏； （2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏） 四、对数平均不等式 两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均､几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当时，等号成立． 只证：当时，．不失一般性，可设． 证明如下： （I）先证：……① 不等式①（其中） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递减， 故，从而不等式①成立； （II）再证：……② 不等式②（其中） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递增， 故，从而不等式成立； 综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立， 当且仅当时，等号成立． 五、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数的极值点； （2）构造一元差函数； （3）确定函数的单调性； （4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系. 题型一 含对数型极值点偏移 1．已知函数. （1）若函数在定义域上单调递减，求实数的取值范围； （2）设函数有两个极值点，，求证：. 2．设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 3．已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 4．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个零点； （i）求的取值范围； （ii）证明． 5．已知函数． (1)求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：． 6．已知函数（其中e为自然对数的底） (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，是的极值点且.若，且. 证明：. 题型二 含指数型极值点偏移 7．已知函数. (1)若有两个零点，的取值范围； (2)若方程有两个实根、，且，证明：. 8．已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 9．已知函数有三个极值点． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 10．设，为函数（）的两个零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 题型三 加法型极值点偏移 11．设函数． (1)判断函数的单调性； (2)若，且，求证：． 12．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； (3)如果，且，证明：． 13．已知函数． (1)当时，判断在区间内的单调性； (2)若有三个零点，且． （i）求的取值范围； （ii）证明：. 14．已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 15．已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 题型四 减法型极值点偏移 16．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：． 17．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的取值范围. (2)若函数的两个零点分别是，且，证明： ①随着的增大而减小； ②. 18．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：. 19．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点； ①求证：； ②求证：． 题型五 平方型（立方型）极值点偏移 20．已知函数. (1)讨论函数的单调性： (2)若是方程的两不等实根，求证：； 21．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：. 22．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 23．已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点（），求证：. 24．已知函数. (1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围； (2)若有两个不同极值点. ①求的取值范围； ②当时，证明：. 25．已知函数，． (1)若对任意的都有，求实数的取值范围； (2)若且，，证明：． 题型六 乘积型极值点偏移 【技巧通法·提分快招】 证与(极值点平方)的偏移。令, 将代入化简后构造关于的函数，求导分析单调性，证明与的大小。 26．若是函数的两个零点，且，求证：且． 27．已知函数和，若存在两个实数，且，使得，，证明：． 28．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 29．已知函数． (1)若函数是减函数，求的取值范围； (2)若有两个零点，且，证明：． 题型七 商式型极值点偏移 【技巧通法·提分快招】 涉及与极值点的偏移（商式）。令或, 把代入整理成关于的等式。构造函数, 求 导判单调性，结合的范围，证与极值点相关值的大小。 (核心逻辑：极值点偏移本质是函数对称性破缺”，通过构造对称函数、变量替换（如导数分析单调性，将复杂的偏移关系转化为函数值的大小比较，统一用对称构造一求导判断一比大小证偏移"的模板解题。) 30．已知函数有两个相异零点､，且，求证：. 31．已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 32．已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 33．已知函数（）. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）若函数恰有两个极值点，（），且，求的最大值. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知：函数. （1）证明：是增函数； （2）已知：且，证明：. 2．已知函数有三个极值点， （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 3．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. (1)求的取值范围； (2)记两个极值点为，且. 若，证明：. 4．已知函数（a为常数）. (1)求函数的单调区间； (2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：. (3)若有两个零点，，证明：. 5．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个零点，，且，求证：． 6．已知函数（其中是自然对数的底数）． (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 7．已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若有2个不同的零点，求证：． 8．已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 9．设函数，其图象与轴交于，两点，且. （1）求的取值范围； （2）证明：. 10．已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 11．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，且，证明：． 12．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若时，都有，求实数的取值范围； (3)若有不相等的两个正实数满足，求证：. 13．函数. （1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）； （2）设，若，满足，求证：. 14．已知函数. (1)若方程有3个零点，求实数的取值范围； (2)若有两个零点，求证：，且. 15．已知函数，. （1）当时，求该函数在处的切线方程； （2）求该函数的单调区间和极值； （3）若函数在其定义域上有两个极值点，且，求证：. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 2．若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 3．已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，． (1)当时，若函数，求实数b的取值范围； (2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题： ①；②；③； 请从①②③中任选一个进行证明． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 4．若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”. (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：. 5．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$