第05讲 抛物线方程及其性质（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 抛物线方程及其性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 抛物线的定义 3 知识点2 抛物线的方程及其性质 3 知识点3 通径 6 知识点4 焦点弦的性质 6 题型破译 6 题型1 抛物线的定义及其性质应用 6 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 抛物线的标准方程 9 题型3 抛物线中的焦点弦问题 11 题型4 抛物线中的焦点三角形问题 15 题型5 抛物线中的最值问题 18 04真题溯源·考向感知 21 05课本典例·高考素材 22 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1） 根据抛物线方程求焦点或准线 （2） 抛物线定义的理解 单选题 填空题 解答题 北京卷T11（5分） 北京卷T11（5分） 北京卷T6（4分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空题（4~5 分，中档）考查。核心考查：抛物线的定义（到焦点与准线距离相等）， 标准方程（四种形式，焦点、准线坐标），几何性质（离心率 e=1，顶点，对称轴）。易错点：定义应用时忽略距离 相等条件，标准方程对应的焦点、准线记错（如 y²=2px 焦点为 (p/2,0)），开口方向与方程参数关系混淆。 复习目标： 1.理解抛物线定义，能利用定义转化距离关系；​ 2.掌握四种标准方程形式，确定焦点坐标、准线方程及开口方向；​ 3.熟练运用几何性质（离心率、对称轴等）分析图形；​ 4.解决与抛物线定义、性质相关的轨迹、距离计算问题；​ 5.结合抛物线性质，处理直线与抛物线的位置关系基础问题。 知识点1 抛物线的定义 ①平面内与一个定点F和一条定直线的距离 相等 的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的 准线 ． ②其数学表达式：（d为点M到准线l的距离）． 自主检测已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 知识点2 抛物线的方程及其性质 标准方程 图形               顶点 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 准线 范围 ， ， ， ， 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 （其中 自主检测1抛物线的焦点坐标为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将化为，则抛物线的焦点坐标为.故选B. 自主检测2抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左， 所以抛物线的准线方程为． 故选：B. 自主检测3已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（   ） A．5 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】将点代入抛物线，可得，解得， 所以. 故选：A. 自主检测4已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的圆心为，所以，得到， 又焦点在轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程为， 故选：D. 自主检测5已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，过Γ上一点P作于A，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题意， 在抛物线Γ：中， ，Γ的准线方程为， 设， ，解得， ∵， ∴， 故的坐标为或，    由几何知识得，． 故选：D. 自主检测6已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】由抛物线的定义，知，又，， 所以，即， 由点在上，得， 结合，解得. 故选：C 知识点3 通径 通径长：，半通径长： 知识点4 焦点弦的性质 题型1 抛物线的定义及其性质应用 例1-1在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 例1-2抛物线的焦点为，点在上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的准线方程为，由点在上，得， 所以. 故选：C 例1-3（2025·北京平谷·一模）抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，则 . 【答案】/0.5 【详解】抛物线焦点在轴上，且焦点，故抛物线的对称轴为轴， 抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等， 由抛物线的定义可知，点到准线的距离与到焦点的距离相等， 所以，若轴，则垂足为点，即， 故答案为： 例1-4（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为若，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由抛物线的定义知：又， ∴为等边三角形，，故, 故 故选：C. 方法技巧 （1）抛物线定义的核心是平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹，定点为焦点，定直线为准线。​ （2）依据定义可判断动点轨迹是否为抛物线，需验证动点到定点与定直线的距离是否始终相等。​ （3）解题时，涉及抛物线上点到焦点的距离，可转化为该点到准线的距离，简化计算。​ （4）利用定义能快速求抛物线上点的坐标，通过距离相等建立方程求解。​ （5）合理利用性质求解相关问题。 【变式训练1-1】已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【详解】因为到抛物线焦点的距离为， 所以由抛物线定义知，，解得， 故选：A. 【变式训练1-2】（2025·北京石景山·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的准线方程为， 又点在上且，则，所以， 即，故A错误，C正确； 又，所以，所以，故B、D错误. 故选：C 【变式训练1-3·变载体】（2025·北京东城·一模）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，且总有，则的一个值可以为 . 【答案】2（答案不唯一） 【详解】由抛物线的性质知，又，即. 所以的一个值可以为2. 故答案为：2（答案不唯一） 【变式训练1-4·变载体】（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 【答案】2 【详解】 如图，因为， 所以，故 于是点在准线上， 由，关于轴对称，得. 故答案为：2. 题型2 抛物线的标准方程 例2-1（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 例2-2（2025·北京朝阳·二模）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 所以抛物线方程为， 准线方程为. 故选：D 【变式训练2-1】（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】设，依题意得， 动点到的距离比点到轴的距离的大2， 则，即， 所以的轨迹方程是或， 故选：C 【变式训练2-2】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于椭圆，，，则， 椭圆的焦点坐标为和， 抛物线的焦点的坐标为， 因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 【变式训练2-3】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为． 所以抛物线的方程为或． 故选：C 题型3 抛物线中的焦点弦问题 例3-1已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两点，且，则（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【详解】由抛物线定义可知， 因为，所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 例3-2已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 例3-3设为抛物线的焦点，过的直线交于两点，若，则（） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为，过作垂直于准线于点，作于点， 则， ，同理可证 ，解得， 所以， ， 故选：D． 例3-4已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线的定义可知，，， 则四边形的周长为， 则， 设直线的倾斜角为，则，则或， 则，则直线的斜率为. 故选：C 【变式训练3-1】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则p=（   ）. A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】设， 由抛物线定义知：，而的中点横坐标为4，即， 所以，即. 故选：A. 【变式训练3-2·变载体】已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，设， 由抛物线的焦半径公式得， 因为，所以， 可得，由题意知直线的斜率不为， 设直线的方程为， 代入抛物线方程得， 即，因为， 根据韦达定理有， 又因为，所以， 代入得， 因为抛物线关于轴对称， 所以不妨假设点在第一象限， 则，所以， 根据向量的夹角公式有， 所以. 故选：B. 【变式训练3-3】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】抛物线的焦点，准线，过作准线的垂线，垂足为，作轴于， 由直线的斜率为，得，而， 则，设点，令，， 于是，解得，同理， 因此 ， 当为钝角时，同理求得，所以. 故选：C 题型4 抛物线中的焦点三角形问题 例4-1为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则的面积（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】   如图，设点， ，所以， 由题意，所以， 得，或（舍去）， 所以， ， 故选：B 例4-2已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】令为点到直线的距离， 则，, 由，故， 由抛物线定义可知，，， 则有，即， 设直线方程为，联立抛物线方程， 有，， 故，， 则，则有，故， 有，故或（负值舍去），则， 故. 故选：C. 【变式训练4-1】已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由抛物线，则，其焦点， 由题意易知直线的斜率存在，可设为， 设，，，， 联立可得，消去可得，， 由韦达定律可得，， 由，，且，则， 由，则，解得，， 所以. 故选：A. 【变式训练4-2】已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线与抛物线交于两点，且，O为坐标原点，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】D 【详解】由解析式可知：焦点，准线为， 设， 由抛物线的对称性，不妨设在第一象限，则 联立,，即，所以 故选：D 【变式训练4-3·变考法】已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为（    ） A．32 B．16 C． D．8 【答案】C 【详解】设直线，    代入抛物线方程，消元可得， 设，则， ， ， ， 于是，即， . 故选：C. 题型5 抛物线中的最值问题 例5-1（2025·北京·模拟预测）已知、是抛物线上的两点，且线段的中点横坐标为，则的最大值是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设、，则，即. 易知抛物线的焦点为，所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立可得， 所以，且， 由韦达定理可得，解得，合乎题意， 即当直线的方程为或时，取最大值. 故选：B. 例5-2（2025·北京大兴·三模）已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可得：， 则， 当且仅当、、三点共线时取等号． 即的最小值是3． 故选：C. 例5-3（2025·北京东城·模拟预测）设直线经过抛物线的焦点，为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则直线斜率的最大值为（   ）． A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意可知直线与圆不相交，则圆心到直线的距离大于等于半径，即， 由抛物线可得焦点，易知直线的斜率存在，设为，则直线， 由，则，整理可得，解得， 所以直线的斜率的最大值为. 故选：B. 【变式训练5-1·变载体】（2025·广东广州·三模）已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．36 【答案】C 【详解】因为点在抛物线上， 所以设，可得，， 因为线段的中点到轴的距离为2， 所以. 因为焦点，准线方程为，所以 由抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得 ，所以 因为的横坐标均大于0，所以， 所以的最大值为4. 所以当时，即时，取最大值为9. 故选：C. 【变式训练5-2·变考法】）已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，原点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】当点为原点时，， 由对称性不妨令点在第一象限，设点，而，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1. 故选：B 【变式训练5-3】（2025·北京东城·二模）已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则 . 【答案】 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为. 因为过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程，可得，因为点在第一象限，所以，即. 已知直线过点，将点的坐标代入直线方程可得，因为，两边同时除以得； 当时，已知，焦点，准线为. 设焦点关于准线的对称点，则. 因为，故其最小值为， 又. 所以，可得. 故答案为： ；. 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 2．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 【答案】 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 3．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为. 故答案为：. 4．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 【答案】 5 【详解】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以， 故答案为：5；. 1．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且 根据抛物线关于轴对称，则， 将点坐标代入抛物线方程可得：，解得 故选：A 2．如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角， .    【答案】4 【详解】抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图：    则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，， 由抛物线定义知，，而， 则，解得， 所以. 故答案为：4. 3．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别相交于两个动点，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】因为动圆圆心在轴上移动，且该动圆始终经过点和，所以，为该动圆的直径, 又因为点在该动圆上，所以，，即， 所以，点的轨迹方程为. 故答案为： 4．在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短． 【答案】当距离最短为 【详解】解：根据题意设， 所以点到直线的距离为： 当且仅当时等号成立，此时 所以当时，点到直线的距离最短，为 5．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：． 【答案】证明见解析. 【详解】由得，设， 则有，，，即， 所以. 6．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？ 【答案】 【详解】直线和斜率互为相反数，且都过原点，则两直线关于轴对称， 又抛物线关于轴对称，焦点坐标为， 则A，B两点关于轴对称， 由可得，即，则， 要使直线AB经过抛物线的焦点，则，解得， 所以当时，直线AB经过抛物线的焦点. 7．点在抛物线上，F 为焦点，直线MF与准线相交于点N，求． 【答案】15 【详解】因点在抛物线上，则，即，而焦点， 直线MF：，即，而抛物线的准线为， 由得点,, 所以. 8．设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为，求抛物线的方程和点M的坐标． 【答案】；. 【详解】抛物线的准线方程为，设点M的纵坐标为， 由已知结合抛物线定义得，又点M到y轴的距离为， 于是得点，而点M在抛物线上， 从而有，整理得，而，解得， 所以抛物线的方程为，点M的坐标为. 9．过点作斜率为1的直线l，交抛物线于A，B两点，求AB． 【答案】 【详解】直线与抛物线方程联立 ，得， ，设， 得，， 所以. 10．如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，求的值. 【答案】 【解析】由题知，直线的斜率为，从而求得直线方程为；又，所以，联立得，利用根与系数关系代入计算求出值. 【详解】，， ，，则直线的方程为：，即， 设两点的坐标分别为， 联立，消得：， ， ，， . 【点睛】本题主要考查了直线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.解决直线与抛物线的位置关系，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 抛物线方程及其性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 抛物线的定义 3 知识点2 抛物线的方程及其性质 3 知识点3 通径 4 知识点4 焦点弦的性质 4 题型破译 5 题型1 抛物线的定义及其性质应用 5 【方法技巧】判断元素与集合关系 题型2 抛物线的标准方程 6 题型3 抛物线中的焦点弦问题 7 题型4 抛物线中的焦点三角形问题 8 题型5 抛物线中的最值问题 8 04真题溯源·考向感知 9 05课本典例·高考素材 9 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1） 根据抛物线方程求焦点或准线 （2） 抛物线定义的理解 单选题 填空题 解答题 北京卷T11（5分） 北京卷T11（5分） 北京卷T6（4分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空题（4~5 分，中档）考查。核心考查：抛物线的定义（到焦点与准线距离相等）， 标准方程（四种形式，焦点、准线坐标），几何性质（离心率 e=1，顶点，对称轴）。易错点：定义应用时忽略距离 相等条件，标准方程对应的焦点、准线记错（如 y²=2px 焦点为 (p/2,0)），开口方向与方程参数关系混淆。 复习目标： 1.理解抛物线定义，能利用定义转化距离关系；​ 2.掌握四种标准方程形式，确定焦点坐标、准线方程及开口方向；​ 3.熟练运用几何性质（离心率、对称轴等）分析图形；​ 4.解决与抛物线定义、性质相关的轨迹、距离计算问题；​ 5.结合抛物线性质，处理直线与抛物线的位置关系基础问题。 知识点1 抛物线的定义 ①平面内与一个定点F和一条定直线的距离 的点的轨迹叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的 ． ②其数学表达式：（d为点M到准线l的距离）． 自主检测已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 知识点2 抛物线的方程及其性质 标准方程 图形               顶点 对称轴 焦点 离心率 准线 范围 ， ， ， ， 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 （其中 自主检测1抛物线的焦点坐标为 A． B． C． D． 自主检测2抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 自主检测3已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（   ） A．5 B．8 C． D． 自主检测4已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（   ） A． B． C． D． 自主检测5已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，过Γ上一点P作于A，若，则（    ） A． B．2 C． D． 自主检测6已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 知识点3 通径 通径长：，半通径长： 知识点4 焦点弦的性质 题型1 抛物线的定义及其性质应用 例1-1在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 例1-2抛物线的焦点为，点在上，则（   ） A． B． C． D． 例1-3（2025·北京平谷·一模）抛物线上一点到准线的距离与到对称轴的距离相等，则 . 例1-4（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为若，则（    ） A． B． C．4 D． 方法技巧 （1）抛物线定义的核心是平面内到定点与定直线的距离相等的点的轨迹，定点为焦点，定直线为准线。​ （2）依据定义可判断动点轨迹是否为抛物线，需验证动点到定点与定直线的距离是否始终相等。​ （3）解题时，涉及抛物线上点到焦点的距离，可转化为该点到准线的距离，简化计算。​ （4）利用定义能快速求抛物线上点的坐标，通过距离相等建立方程求解。​ （5）合理利用性质求解相关问题。 【变式训练1-1】已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【变式训练1-2】（2025·北京石景山·一模）已知抛物线的焦点为，点在上，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3·变载体】（2025·北京东城·一模）已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，且总有，则的一个值可以为 . 【变式训练1-4·变载体】（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 . 题型2 抛物线的标准方程 例2-1（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 例2-2（2025·北京朝阳·二模）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练2-2】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C．或 D． 题型3 抛物线中的焦点弦问题 例3-1已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两点，且，则（    ） A． B． C．6 D．4 例3-2已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 例3-3设为抛物线的焦点，过的直线交于两点，若，则（） A．2 B．4 C．6 D．8 例3-4已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则p=（   ）. A．2 B． C．4 D． 【变式训练3-2·变载体】已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型4 抛物线中的焦点三角形问题 例4-1为：的焦点，点在曲线上，且在第一象限，若，且直线斜率为，则的面积（    ） A．1 B． C．2 D． 例4-2已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练4-1】已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线与抛物线交于两点，且，O为坐标原点，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C．5 D．4 【变式训练4-3·变考法】已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为（    ） A．32 B．16 C． D．8 题型5 抛物线中的最值问题 例5-1（2025·北京·模拟预测）已知、是抛物线上的两点，且线段的中点横坐标为，则的最大值是 （   ） A． B． C． D． 例5-2（2025·北京大兴·三模）已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例5-3（2025·北京东城·模拟预测）设直线经过抛物线的焦点，为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则直线斜率的最大值为（   ）． A． B． C． D．1 【变式训练5-1·变载体】（2025·广东广州·三模）已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．36 【变式训练5-2·变考法】）已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，原点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式训练5-3】（2025·北京东城·二模）已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则 . 1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则 ． 3．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ． 4．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为 ； 的面积为 ． 1．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程（    ） A． B． C． D． 2．如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角， .    3．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别相交于两个动点，则点的轨迹方程为 . 4．在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短． 5．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：． 6．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？ 7．点在抛物线上，F 为焦点，直线MF与准线相交于点N，求． 8．设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为，求抛物线的方程和点M的坐标． 9．过点作斜率为1的直线l，交抛物线于A，B两点，求AB． 10．如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，求的值. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$