第03讲 椭圆方程及其性质（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 椭圆方程及其性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 椭圆的定义及其应用 题型02 椭圆中焦点（弦）三角形的周长问题 题型03 椭圆中焦点（弦）三角形的面积问题 题型04 椭圆的几何性质 题型05 点与椭圆的位置关系 题型06 椭圆的离心率 题型07 椭圆的标准方程 题型08 椭圆中的最值问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 椭圆的定义及其应用 1．已知点，，动点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 2．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 3．已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 5．已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（    ） A． B． C． D． 02 椭圆中焦点（弦）三角形的周长问题 6．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 8．已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 9．已知为椭圆的焦点且是椭圆上两点，且，，则的周长为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 10．已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为 ． 03 椭圆中焦点（弦）三角形的面积问题 11．在椭圆上，为焦点三角形，如图．    （1）若，则的面积是 ； （2）若，则椭圆离心率 ． 12．设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（    ） A． B． C． D．16 13．已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（   ） A．49 B．48 C．25 D．24 14．设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 15．已知椭圆的左、右焦点分别是，，为坐标原点，点是椭圆上在第一象限内的一点，若的面积为7，且，则点的坐标是 ． 04 椭圆的几何性质 16．若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 17．已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．长轴长为2 C．离心率 D．最大值为 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，设为坐标原点，为上一点，若的面积为，则（） A． B． C． D． 19．已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 20．已知椭圆与椭圆离心率相同，过左顶点与上顶点的直线与椭圆交于两点，若恰为线段的两个三等分点，则的长轴长为（    ） A．5 B． C． D． 05 点与椭圆的位置关系 21．若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 22．已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为 A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 23．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 24．如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围. 25．已知椭圆，P是椭圆的上顶点，过点P作斜率为的直线l交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B. （1）若直线PA、直线PB的斜率分别为，，求； （2）设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围. 06 椭圆的标准方程 26．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 28．已知椭圆C的焦距为2，且过点. (1)求C的方程； (2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 29．动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； (3)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 30．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且点在上． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为，求面积的最大值． 31．已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交于两点（在轴上方)，的周长为，当时，的面积为. (1)求的方程； (2)若的离心率不大于，半径为的圆与的延长线，的延长线及线段均相切. （i）当时，求； （ii）求的最大值. 32．已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线𝑙不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 07 椭圆的离心率 33．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 34．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 35．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为：（    ）． A． B． C． D． 36．在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 37．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 38．已知和，直线与椭圆切于点. (1)求的离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 39．已知椭圆的中心与坐标原点重合，为的一个焦点，且点在上. (1)求的方程及离心率； (2)设点为在第一象限的部分上一点，求四边形面积的最大值. 40．已知椭圆经过点． (1)求的离心率． (2)设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明： 41．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 08 椭圆中的最值问题 42．已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ） A． B． C．6 D． 43．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 44．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 45．已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程： (2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 46．设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 47．已知椭圆过点，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 48．在平面直角坐标系中，椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设是曲线上位于第一象限的任意点. （I）若，求点的坐标； （II）记点关于原点的对称点为，求四边形的面积的最大值. 1．已知椭圆的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为，则（    ） A．40° B．50° C．80° D．100° 2．已知的三条边长分别为3，4，5，的两个顶点是椭圆的焦点，其另一个顶点在椭圆上，则的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知点O为坐标原点，点A为直线（）与椭圆C：（）的一个交点，点B在C上，OA⊥OB，若，则C的长轴长为（    ） A． B．3 C． D．6 4．将椭圆上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍得到椭圆，设的离心率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为 (1)求出椭圆方程； (2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线． 6．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 7．已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. (1)求的方程； (2)若是的中点，求直线的方程； (3)过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 8．已知椭圆的焦距为2，离心率为如图，在矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别为矩形四条边的中点，过E做直线交x轴的正半轴于R点，交椭圆于M点，连接GM交CF于点T (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：. 9．中心在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率，椭圆上的动点（不与顶点重合），满足当时，到左焦点的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的最大值小于5时，过点作椭圆的切线，与轴交于，与轴交于，求的最小值. 10．已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线被曲线所截的弦长为，求的值； (3)若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 3．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 4．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 9．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 椭圆方程及其性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 椭圆的定义及其应用 题型02 椭圆中焦点（弦）三角形的周长问题 题型03 椭圆中焦点（弦）三角形的面积问题 题型04 椭圆的几何性质 题型05 点与椭圆的位置关系 题型06 椭圆的离心率 题型07 椭圆的标准方程 题型08 椭圆中的最值问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 椭圆的定义及其应用 1．已知点，，动点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【详解】因为，，则，所以， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆. 故选：A． 2．平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由两点间距离公式，条件表示的几何意义为点到与的距离之和：， 又，根据椭圆的定义，点在以和为焦点的椭圆上， 可设标准方程为：, 由，，根据,求出, 得到轨迹方程为：. 故选：B 3．已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C. 4．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【详解】解：由题意，，， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值是25． 故选：D． 5．已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由椭圆定义及圆切线性质知：. 故选：B 02 椭圆中焦点（弦）三角形的周长问题 6．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【详解】由椭圆的定义得， 则的周长为. 故选：D. 8．已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【详解】由椭圆方程可知，则， 所以是椭圆的焦点， 所以的周长为. 故选:.    9．已知为椭圆的焦点且是椭圆上两点，且，，则的周长为（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】C 【详解】不妨设，则， 由椭圆定义可得， 由于，所以， 在和中， 由勾股定理得和， 即和， 解得， 故的周长为. 故选：C 10．已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为 ． 【答案】 【详解】因为离心率，且在椭圆中可得 ，， 建立如何所示的平面直角坐标系， ，， 因为垂直于轴，垂足为，故， 代入椭圆方程可得，， 又为与轴交点，可得， 因为，由两点之间的距离公式可得， 又，， 解得，， 则则的周长为 ， 故答案为：. 03 椭圆中焦点（弦）三角形的面积问题 11．在椭圆上，为焦点三角形，如图．    （1）若，则的面积是 ； （2）若，则椭圆离心率 ． 【答案】 / 【详解】（1）由焦点三角形面积公式，得，即． （2）由公式，得． 故答案为：，. 12．设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（    ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】为椭圆上的一点，，为焦点，， ，，可得，即，， 设，，则有，，， ，． 的面积． 故选：C． 13．已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（   ） A．49 B．48 C．25 D．24 【答案】D 【详解】由椭圆方程可知：，，， 所以作图如下： ∴由椭圆的性质可知，由，∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 14．设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 【答案】 / 【详解】由椭圆方程可得，，则， ，， 在中，， 即，解得， ， 设内切圆半径为，的周长为， 所以，解得. 故答案为：；. 【点睛】 15．已知椭圆的左、右焦点分别是，，为坐标原点，点是椭圆上在第一象限内的一点，若的面积为7，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】设椭圆焦距为，由可知， 点在以为圆心，为直径的圆上，易知，如下图所示： 因此点为椭圆与圆在第一象限的交点， 由椭圆定义可得，由勾股定理可得 又的面积为7，即可得，即， 易知，即，解得； 所以， 设点的坐标为， 利用等面积可得，解得； 代入圆方程即可得， 因此点的坐标为. 故答案为： 04 椭圆的几何性质 16．若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【详解】由题意知C的焦点在x轴上，椭圆C的标准方程为，且， 所以，所以C的方程为，所以其长轴长为，故A正确. 故选：A. 17．已知椭圆C的方程为，点P是椭圆上一点，点是椭圆左焦点，则下列选项正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．长轴长为2 C．离心率 D．最大值为 【答案】D 【详解】由椭圆标准方程为，则， 所以焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，且最大值为. 故选：D 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，设为坐标原点，为上一点，若的面积为，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 设，则 ， 故选：A 19．已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为的右焦点，连接，，如图，则四边形为平行四边形， ∴，由椭圆定义知，， ∴，. 在中，， ∴. 在中，.    故选：C. 20．已知椭圆与椭圆离心率相同，过左顶点与上顶点的直线与椭圆交于两点，若恰为线段的两个三等分点，则的长轴长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆与椭圆离心率相同， 所以，所以， 椭圆的左顶点，上顶点， 又过左顶点与上顶点的直线方程为， 不妨设点在轴上方，过点作轴的垂线，则为的中点，则， 所以，所以，解得（负值已舍去） 所以的长轴长为. 故选：B 05 点与椭圆的位置关系 21．若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 22．已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为 A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】B 【详解】因为点在椭圆的外部， 所以，即， 则圆的圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆相交 故选：B 【点睛】本题考查了点与椭圆的位置关系及利用几何法判断直线与圆的位置关系，属于一般题. 23．已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（    ） A．在椭圆内 B．在椭圆外 C．在椭圆上 D．不确定 【答案】A 【详解】直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离，即， ， 又， 点在椭圆内部. 故选：A. 24．如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围. 【答案】 【详解】解：由题知直线l：过定点， 因为直线l：与椭圆C：（）总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内， 所以，由于，所以， 所以实数a的取值范围是 25．已知椭圆，P是椭圆的上顶点，过点P作斜率为的直线l交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B. （1）若直线PA、直线PB的斜率分别为，，求； （2）设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设，则，再由斜率公式计算可得； （2）令，则直线PB的直线方程为：，联立直线与椭圆方程，即可得到的坐标，从而得到中点，再求出的中垂线与轴的交点坐标，最后根据点在椭圆内部得到不等式，解得即可； 【详解】解：（1）由题意，设，则， 所以， 因为 （2）令，则直线PB的直线方程为：与联立，解得 ，于是PB中点为， 于是PB的中垂线方程为：. 令，.因为点N在椭圆内部，所以， 解得，又因为，所以的范围为 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，点与椭圆的位置关系，属于中档题. 06 椭圆的标准方程 26．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 27．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）1. 【详解】（1）由对称性知，和在椭圆C上，所以， 所以，C的方程为. （2）方法一：设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则 ，则或. ， 面积 令，则，， 当且，即时，面积的最大值为. 方法二：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，，则且， .点到直线的距离， 所以面积 . 令，则， 当，即时，的最大值为，所以面积的最大值为. 方法三：显然直线的斜率存在且非零，设直线的方程为，点，， 由，消去得：， 则 ，则且， . 点到线的距离，所以面积 . ，即当时，有最大值为. （ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 于是， ，.所以， 于是，因为， 所以.所以的值1. 28．已知椭圆C的焦距为2，且过点. (1)求C的方程； (2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线与x轴交于点P，点Q是直线上不同于点的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与交于点N，是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【详解】（1）由题意知，且过点，即，，解得，， 所以椭圆的方程为； （2）假设存在点，使得 ，则 ．       设 ，则 ， ∴ ，直线 的方程为 ． ∵点 在直线上，∴， ∵点是直线上不同于点的一点，∴ ，解得 ∵点在椭圆 上，∴ ，解得 或 ， 当 时，解得 ；当 时，解得 ∴存在点 ，使得 ，点的坐标为 或 ．    29．动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； (3)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，定值为 【详解】（1）由题意，点与定点的距离， 点到直线的距离，所以， 即，化简得， 故曲线的方程为； （2）设直线的方程为， 则， ，解得或， 所以， 因为弦中点的纵坐标为，所以，解得（不符合舍去）或， 所以直线的斜率为； （3）由题意可得，直线的方程分别为，设. 由直线与圆相切可得. ，同理， 所以是方程的两个根，所以， 所以，， 因为是曲线上的一动点，所以， 则有， 联立方程，所以， 所以，同理 所以， 因为，所以， 所以. 30．已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且点在上． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线交椭圆于两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，即， 由点在上，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线方程为，， 设点，则，， 由消去得，，， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 31．已知椭圆：的左、右焦点分别为，过的直线交于两点（在轴上方)，的周长为，当时，的面积为. (1)求的方程； (2)若的离心率不大于，半径为的圆与的延长线，的延长线及线段均相切. （i）当时，求； （ii）求的最大值. 【答案】(1)或； (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意, 的周长为， 所以， 设， 因为当时，的面积为， 所以，即 又， 所以， 将①代入化简得② ①②联立得或 当时，为的上顶点， 所以，则， 所以的方程为，检验符合题意 当时，， ， 所以，所以， 所以的方程为，检验符合题意； 故C的方程为或； （2）因为的离心率不大于， 所以椭圆的方程为， 设圆分别切延长线，延长线和线段于点， 则 ， 又，所以， 即，故H与重合. （i）又圆的半径为， 则在中，， 所以； （ii）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 在中，， 所以， 则， 即直线的斜率， 即，所以， 联立，整理得， 则， 所以 ， 又，所以， 所以， 令， 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取得最大值为， 当直线的斜率不存在时，易求得， ∴， ∴的最大值为. 32．已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线𝑙不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由消去得，设点， 则，而，依题意， 所以. （ii）法一：设，由点关于原点的对称点为点，为中点，得， 直线的斜率，，， 由（i）得，解得，则直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 法二：由（i）得， 设，由点关于原点的对称点为点，得， 由三点共线，得，由三点共线，得， 则， 解得，因此直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 07 椭圆的离心率 33．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆，即， 所以，，则， 所以离心率． 故选：C. 34．已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 设，则，，， 由，则，即，解得， 所以，， ，即，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 35．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，则由中垂线的性质：，又，所以△为等边三角形，由椭圆的对称性，为其上顶点，所以. 故选：C． 36．在平面直角坐标系中，为椭圆的右焦点，过的直线与圆切于点，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，由题意可得且，， 所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：A.    37．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 38．已知和，直线与椭圆切于点. (1)求的离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积为，求的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由已知点在椭圆上，则， 又，，可知，即， 又直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆，得， 即， 化简可得， 联立，解得， 则，即，，， 所以离心率； （2）由（1）得椭圆方程为， 设，由已知，且， 则点到直线的距离， 又的面积， 化简可得， 又点在椭圆上，则， 联立方程，解得，则， 所以，即直线.      39．已知椭圆的中心与坐标原点重合，为的一个焦点，且点在上. (1)求的方程及离心率； (2)设点为在第一象限的部分上一点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题可设C的方程为，C的半焦距为， 则，，， 所以C的方程为， 离心率； （2）设点，，    则 其中为锐角，且， 当时，四边形OFPB的面积取得最大值，且最大值为 40．已知椭圆经过点． (1)求的离心率． (2)设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当的值确定时，证明：直线过轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，证明： 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）因为椭圆C经过点，所以，故， 所以C的离心率； （2）①由（1）知C的方程为，，. 由对称性可知直线的斜率不可能为0，设，，设的方程为． 由，可得， 所以，即， 且，．所以 则 ， 解得，则的方程为， 即直线过x轴上的定点. ②由①可知，，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， . 41．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆的左焦点，若与椭圆上任一点距离的最大值为. (1)求椭圆的离心率； (2)若为椭圆的上顶点，为椭圆上的点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的个数，并说明理由. (3)若斜率为的直线交椭圆于､两点，为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 【答案】(1)； (2)3个，理由见解析； (3). 【详解】（1）依题意有，解得. 所以离心率. （2）不妨设直线方程为，代入， 整理得，可得，所以， 将带入得， 由得， 所以， 解得 所以满足条件的的个数是3个. （3）设直线，设， 联立，得， 所以，所以. 所以，所以的中点为， 所以 又的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以. 令， 记， 又，所以时，. 08 椭圆中的最值问题 42．已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】设，则，，，    由，可得，则，有， 所以， 当且仅当，即时取等号． 则椭圆长轴长的最小值是. 故选：B． 43．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【详解】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故选：C. 44．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：如图所示： 设椭圆和双曲线的方程分别为：，， 由题意得， 设，则， 解得， 在中，由余弦定理得：， 即，化简得， 则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 故选：C 45．已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程： (2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得， 可得，设椭圆的方程为：，， 又因为椭圆经过点，所以， 解得， 所以椭圆的方程为：； （2）设与直线平行的直线的方程为， 联立，整理可得：， ，可得，则， 所以直线到直线的距离． 所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为． 46．设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点． (1)求动点的轨迹方程； (2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1），分别是直线和上的动点， 设，，， 点为线段的中点，则，， 又 ， ，即， 动点的轨迹方程为. （2）线段是圆的一条直径，圆心为，半径为， ， ， ，当时，取得最大值． 47．已知椭圆过点，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设点、， 直线与椭圆的方程联立消去整理得， 由，且， 所以， 易知、，则直线的方程为， 直线的方程为， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 由图可知，点、都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点， 由对称性知，所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时等号成立， 故的最小值为. 48．在平面直角坐标系中，椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率为. (1)求的方程； (2)设是曲线上位于第一象限的任意点. （I）若，求点的坐标； （II）记点关于原点的对称点为，求四边形的面积的最大值. 【答案】(1) (2)（I）；（II）. 【详解】（1）由题意知，，因为， 所以，故的方程为：. （2）（I）设点的坐标为，其中，，且，， 因为，所以， 因为，所以， 解得（舍去），此时， 故点的坐标为. （II）在（I）的条件下，的坐标为，记四边形的面积为，则， 由基本不等式得：， 因为，所以. 当且仅当，即时等号成立， 故四边形的面积的最大值为. 1．已知椭圆的离心率为，焦点为,，一个短轴顶点为，则（    ） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】D 【详解】设椭圆的中心为，长轴长、短轴长、焦距分别为，，，则在等腰三角形中，，，． 因为椭圆的离心率为，所以在直角三角形中，，故，． 故选：D 2．已知的三条边长分别为3，4，5，的两个顶点是椭圆的焦点，其另一个顶点在椭圆上，则的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知的三条边长分别为，，，因为，所以是直角三角形. 设的两个顶点为椭圆的焦点，另一个顶点在椭圆上. 情况一：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和. 此时离心率. 情况二：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和. 此时离心率. 情况三：若焦距，则椭圆上一点到两焦点距离之和. 此时离心率. 所以椭圆的离心率的最大值为. 故选：C. 3．已知点O为坐标原点，点A为直线（）与椭圆C：（）的一个交点，点B在C上，OA⊥OB，若，则C的长轴长为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【详解】 设，， 由，得， 由OA⊥OB可得， 所以，， 所以， 所以，， C的长轴长为， 故选：C． 4．将椭圆上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍得到椭圆，设的离心率分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】由题意知，椭圆，上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍得到椭圆， 则， 若，则， 则，所以，则. 若，则； 若，则可能出现，即椭圆焦点在y轴上的情况， 此时，，均可能出现. 故选：B. 5．设椭圆方程为为其左右焦点，过椭圆上点的椭圆切线方程为 (1)求出椭圆方程； (2)设点，点为椭圆右顶点，过作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点，求证：三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）把代入，解得切点坐标为， 代入椭圆方程得，解得， 则椭圆标准方程为. （2） 方法一：如图所示， ，设直线为， 联立方程得消去得. 相切时，可得. 化简得，解得，故, 故得切点坐标，则，，可知，则三点共线． 方法二：已知，可知直线解析式为， 联立直线方程和椭圆方程得，解得， 则交点坐标为， 因为，则直线解析式为， 化简得， 联立方程组得，消去得， 此时, 可知此时直线与椭圆只有一个交点，直线与椭圆相切，可得三点共线． 方法三：因为，可得，设， 可知椭圆参数方程为， 则椭圆切线方程为，代入得， 联立方程组，可知，因为， 所以，解得（舍）， 代入得，求得交点坐标， 则，， 可知，则三点共线． 6．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 【答案】(1) (2)，或 【详解】（1）由题意可设椭圆，且 所以，解得 所以的方程为. （2）解法一：设点，所以， 由，得，解得. 又，所以，化解得， 所以，由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，则，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 解法二：设点，所以， 由，得，解得. 由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 7．已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在上，且位于第二象限，点，直线与在第一象限交于点. (1)求的方程； (2)若是的中点，求直线的方程； (3)过点作直线轴，过点作直线轴，直线交于点，证明直线过定点，并求出该定点. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析， 【详解】（1）由题意可得解得， 所以的方程为. （2）依题意画出图像为： 设直线的方程为（因为点在第二象限，所以，即）， 设，. 联立直线与椭圆方程得. 当时，. 由根与系数的关系知，①，②. 因为是的中点，所以，结合①解得. 代入②，解得（舍去）， 所以直线的方程为，即或. （3）根据题意画出图像为： 由①②可得，. 由题意可得，，直线的方程为 ， 所以直线过定点. 8．已知椭圆的焦距为2，离心率为如图，在矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别为矩形四条边的中点，过E做直线交x轴的正半轴于R点，交椭圆于M点，连接GM交CF于点T (1)求椭圆的标准方程； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意， 在椭圆中，椭圆的焦距为2，离心率为 ∴，， ∴a=2 由，得：， ∴椭圆的方程为 （2）由题意及（1）得， 在椭圆中，，， 由已知，直线的斜率大于零，直线的斜率小于零， 故设直线，直线， ∵直线与直线相交于点， 由得：. 又∵点M在椭圆上 ∴，整理得： ∵直线交轴的正半轴于点 令得：， 故 又∵F（2，0）， ∴， ∴ ∵直线交于点， 令得：， 故 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴. 9．中心在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率，椭圆上的动点（不与顶点重合），满足当时，到左焦点的距离为3. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的最大值小于5时，过点作椭圆的切线，与轴交于，与轴交于，求的最小值. 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）因为动点在椭圆上，所以，又，所以， 又，所以，即， 又，联立可得，解得或，又，解得或， 所以椭圆的标准方程为或. （2）根据椭圆的几何性质：，又，所以椭圆的标准方程为， 设切点， ①当且时，椭圆的方程可化为， 求导得，所以切线斜率为， 切线方程为，整理得， 又，化简可得过点P作椭圆的切线方程为； ②当且时，椭圆的方程可化为， 求导得，所以切线斜率为， 切线方程为，整理得， 又，化简可得过点P作椭圆的切线方程为； ③当且时，过点P作椭圆的切线方程为， 综上所述，过椭圆上一点P作椭圆的切线方程为， 令，可得，即，同理可得， 所以， 又，所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 10．已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若直线被曲线所截的弦长为，求的值； (3)若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 【答案】(1) (2). (3). 【详解】（1）根据题意可知，，所以， 点到两定点的距离和是一个常数，且这个常数大于，所以点的轨迹是以点，为焦点，为长半轴长的一个椭圆. 设椭圆的方程为， 则该椭圆的则. 所以曲线的方程为. （2）设直线与曲线的两交点的坐标分别为 根据题意，联立，可得， 所以， 弦长为 ， 则，化简得， 即得，所以的值为. （3）设，，直线的方程为，    联立，可得，， 所以， 设点，因为，可得， 则，得， 故，， 又因为，则，可得， 所以，可得， 得或（舍），所以. 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 3．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 4．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点.    【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 9．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为. (2). 【详解】（1）如图，    由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得， 设直线的方程为， 联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以， 所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$