第05讲 抛物线方程及其性质（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 抛物线方程及其性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 抛物线的定义及其性质应用 题型02 抛物线的标准方程 题型03 抛物线中的焦点弦问题 题型04 抛物线中的焦点三角形问题 题型05 抛物线中的最值问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 抛物线的定义及其性质应用 1．已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知抛物线：的焦点为,是C上一点，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知抛物线上一点的纵坐标为，为焦点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线C：的焦点为F，O是坐标原点，点M在C上．若，则=（   ） A． B． C． D．4 5．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 6．设是抛物线上一点，若点A到抛物线的焦点距离为3，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线上一点，则抛物线的准线方程为 ；点P到焦点的距离为 ． 8．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则到直线的距离为： ． 02 抛物线的标准方程 9．已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 10．抛物线过点，则其准线方程为（    ） A． B． C． D． 11．过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 12．已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 13．在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状，例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶，因为这种形状可以提供良好的结构稳定性，并能使空间更加开阔.图1为某机场的一个飞船库，它的一个纵截面呈抛物线形，将其置于平面直角坐标系中，如图2.已知该飞船库的底面宽度约为，高度约为，则此纵截面所在抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 03 抛物线中的焦点弦问题 14．直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 15．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于，两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 16．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 18．已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 19．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 20．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ． 21．已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为 04 抛物线中的焦点三角形问题 22．已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，则的面积（为坐标原点）为（    ） A． B． C． D． 23．已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于两点，若的面积与（为坐标原点）的面积之比是2，则（    ） A． B． C． D． 24．抛物线的焦点为，准线为，过点作倾斜角为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，若的面积是，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 25．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：，点是的准线上的动点，过点作的两条切线，切点分别为A，B，则面积的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 26．斜率为1的直线l过抛物线的焦点F，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 27．经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为 ． 28．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是 . 05 抛物线中的最值问题 29．已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 30．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 31．设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（    ） A． B． C． D． 32．已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 33．圆C的圆心在抛物线上，且圆C过抛物线的焦点，则圆C上的点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 35．已知半径为的圆经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 36．已知直线，定点，P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，则的取值范围是 . 38．设点在抛物线上，已知.若，则 ；若，则直线斜率的最小值为 . 1．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向为，，则（   ） A． B． C． D． 5．过曲线上一点作直线的垂线，垂足为，将点绕逆时针旋转得到点，，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 6．抛物线的焦点为F，A为C上第一象限的一点，B为A在C的准线上的垂足，直线BF在第四象限交抛物线C于点D，若F为BD中点，则 7．已知椭圆,抛物线开口向上,关于轴对称,抛物线顶点与椭圆的下顶点重合,如图所示,抛物线与椭圆交于两点,且与轴正方向的夹角为,则抛物线为 8．在平面直角坐标系中，分别为轴上的点，，则以原点为顶点且经过两点的抛物线的准线斜率为 . 9．如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则的最小值为 ．    10．已知动圆过点且与直线：相切，直线与y轴交于K，点P为动圆圆心的轨迹E上任意一点，的角平分线与y轴交点为，则m最大值为 . 1．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 3．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 抛物线方程及其性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 抛物线的定义及其性质应用 题型02 抛物线的标准方程 题型03 抛物线中的焦点弦问题 题型04 抛物线中的焦点三角形问题 题型05 抛物线中的最值问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 抛物线的定义及其性质应用 1．已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意知，， 由抛物线的定义知，，得， 即点P的横坐标为7. 故选：C 2．已知抛物线：的焦点为,是C上一点，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】解：由题得抛物线的准线方程为，则有，即有，解得． 故选：A 3．已知抛物线上一点的纵坐标为，为焦点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，得， 所以， 抛物线的焦点,准线方程为， 所以， 故选：D 4．已知抛物线C：的焦点为F，O是坐标原点，点M在C上．若，则=（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】设，则， 由C：得，即，则，解得， 于是，即，则. 所以. 故选：A. 5．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线可知，准线方程为， 因为到直线的距离为， 所以到抛物线准线的距离为， 由抛物线定义知，. 故选：B 6．设是抛物线上一点，若点A到抛物线的焦点距离为3，则抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的准线方程为， 因点在抛物线上，∴， 由A到抛物线的焦点距离为3得.解得， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C 7．已知抛物线上一点，则抛物线的准线方程为 ；点P到焦点的距离为 ． 【答案】 2 【详解】抛物线的准线方程为，焦点的坐标为， 因为点在抛物线上， 由抛物线定义可得点P到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以点P到焦点的距离为. 故答案为：；2. 8．已知抛物线的焦点为，点在上，若，则到直线的距离为： ． 【答案】4 【详解】由点在上，的焦点为，准线为，知到直线的距离等于. 而，故到直线的距离为. 设的坐标为，由到直线的距离为，知，所以或.而，故. 所以到直线的距离为. 故答案为：. 02 抛物线的标准方程 9．已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将点代入，得，即， 所以抛物线，即抛物线的准线方程为， 故选：C. 10．抛物线过点，则其准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线过点，得，即， 于是的准线方程为. 故选：D. 11．过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设抛物线的标准方程为， 将点点代入，得，解得， 所以抛物线的标准方程是. 故选：B 12．已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 13．在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状，例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶，因为这种形状可以提供良好的结构稳定性，并能使空间更加开阔.图1为某机场的一个飞船库，它的一个纵截面呈抛物线形，将其置于平面直角坐标系中，如图2.已知该飞船库的底面宽度约为，高度约为，则此纵截面所在抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可设抛物线方程为， 由题意知点在该抛物线上，将代入抛物线方程， 得，解得， 则抛物线的方程为， 故选：A. 03 抛物线中的焦点弦问题 14．直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【解析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意得， 由抛物线的定义知：， 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题. 15．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于，两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线倾斜角为，由， 所以，因为， 所以，所以， 所以，所以， 当点在轴上，又， 所以，， 所以由对称性知直线的斜率. 故选：B. 16．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，， 则．根据抛物线定义知，， 又若，且， 因为，设， 则， ，又，解得，， 所以， 因为， 所以， ，解得． 故选:C 17．抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 【答案】D 【详解】对于A，因为抛物线：的焦点为， 由题意，所以，即，故A正确； 对于D，如图：过点作垂直于轴， 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入可得，故D错误； 不妨设点在轴下方， 则，所以直线的方程为：，即， 由得， 所以， 对于B，弦的中点到轴的距离为，故B正确； 对于C，，故C正确. 故选：D 18．已知过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若，AB的中点到轴的距离为，则p的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】抛物线的焦点，准线，准线交轴于点， 由对称性，不妨令点在第一象限，过分别作，垂足分别为， 过作于，交于，令，， ，由，得，即，则， 线段中点，过作于，则， 由AB的中点到轴的距离为，得，因此，所以. 故选：B 19．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 【答案】6 【详解】由得，所以焦点坐标为，准线为， 设弦中点纵坐标为， 故． 故答案为：6 20．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ． 【答案】 【详解】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即， 所以，即. 故答案为： 21．已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为 【答案】6 【详解】 是抛物线的焦点， 准线方程， 设，线段的中点横坐标为2, . ，线段的长为6. 故答案为：6. 04 抛物线中的焦点三角形问题 22．已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，则的面积（为坐标原点）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示： 过作，过作（为准线），. 因为，设，则，. 所以. 在中，，所以. 则. ，直线为. ，. 所以，. 在中，. 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题. 23．已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于两点，若的面积与（为坐标原点）的面积之比是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由焦点的坐标可得，所以，所以抛物线的方程为：， 设直线方程为：，设，设在轴上方，设， 联立，整理可得：， ①，②， 由题意，可得， 代入①②可得：，解得：， 将的值代入①可得，， 由抛物线的性质可得， 故选：A. 【点睛】本题关键点在于如何通过联立得到的韦达定理正确转化面积，通过面积之比为2，可得，进而可以确定． 24．抛物线的焦点为，准线为，过点作倾斜角为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，若的面积是，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】根据抛物线的定义可知，，又， 故是等边三角形，又的面积是，设，则， 解得：， 故可得， 因为，所以， 故． 故选：A． 25．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：，点是的准线上的动点，过点作的两条切线，切点分别为A，B，则面积的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】如图所示， , 准线的方程为，设，，， 由得，∴切线的方程为，而， 即，又切线过点，∴， 即， 同理切线的方程为，∴直线的方程为, 则直线过定点，当AB平行于x轴时,此时|AB|为抛物线的通径， 此时 ， ∴， 当且仅当直线轴时取等号, 故选：A． 26．斜率为1的直线l过抛物线的焦点F，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】由题意知抛物线的焦点F坐标为， 设直线l的方程为，联立， 得，， 设，则， 故，    又点O到直线的距离为， 则，即， 故， 故选：B 27．经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为 ． 【答案】 【详解】由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB：， 联立方程，消去x可得，， 韦达定理得， 因为，所以，即， 所以直线AB：，所以点O到直线AB的距离为， 所以. 故答案为： 28．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与抛物线及其准线依次交于三点（其中点在之间），若.则的面积是 . 【答案】/ 【详解】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，设准线与轴相交于点，如图，    则， 在中，，所以，所以， 故在中，，所以，则. 又轴，，所以， 又抛物线，则，所以， 所以抛物线，点. 因为，所以直线的斜率，则直线， 与抛物线方程联立，消并化简得， 易得，设点，则， 则， 又直线，可化为， 则点到直线的距离， 所以. 故选：B. 05 抛物线中的最值问题 29．已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ， 所以， 故选A.    30．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解. 【详解】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2． 故选：D． 【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 31．设抛物线的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的准线方程为：，焦点坐标为：， A：因为在抛物线内部，而到准线的距离为：， 所以的最小值为，不符合题意； B：因为在抛物线上，所以的最小值就是，不符合题意； C：因为在抛物线内部，到准线的距离为：， 所以的最小值为，符合题意， D：因为在抛物线外部：所以的最小值就是 ，不符合题意， 故选：C 32．已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】 因为抛物线方程为，所以， 所以焦点，且抛物线准线方程为. 注意到的周长为， 因为，，所以, 所以. 因为根据抛物线定义，点到准线的距离等于， 则若求周长最小值，即求点到准线的距离与长度之和的最小值即可， 由图可知，当点为过点作轴垂线与抛物线的交点时， 点到准线的距离加长度之和最小， 最小值为， 所以周长的最小值为. 故选：C. 33．圆C的圆心在抛物线上，且圆C过抛物线的焦点，则圆C上的点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆心为，半径为， 由抛物线的焦点为，准线方程为， 可得， 所以圆C上的点到直线距离的最小值为， 当且仅当此点为圆与准线的切点时取最小值. 故选：A. 34．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【详解】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则， 设，，则， 当，即时等号成立. 故选：. 【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 35．已知半径为的圆经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】依题意，设圆的圆心，动点到点的距离等于到直线的距离， 根据抛物线的定义可得圆心的轨迹方程为， 设圆心到直线距离为， 当时, 故选：B 方法二：可以设与直线平行的抛物线的切线方程，联立方程，利用判别式等 于零，得到切线方程，再利用平行线的距离公式得解； 方法三：在第一象限分析问题，转化为求函数的切线与直线平行，再利用平行线的距离公式得解. 36．已知直线，定点，P是直线上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，设圆的圆心为，则圆心到的距离等于到直线的距离， 故的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 当点与原点重合时，半径最小为， 此时，圆心到直线的距离为， 直线与圆有交点，满足，圆的面积的最小值为. 故选：B 37．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为在抛物线的内部， 且抛物线的准线为， 设点到准线的距离为， 则取得最小值， 取不到最大值， 所以, 的取值范围是, 故答案为. 考点：抛物线的性质． 38．设点在抛物线上，已知.若，则 ；若，则直线斜率的最小值为 . 【答案】 3 1 【详解】第一空：若，则， 又，所以，注意到， 所以解得满足题意； 第二空：直线斜率为，若， 则由基本不等式得，等号成立当且仅当. 故答案为：3；1. 1．如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm）， 则，，于是，解得， 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：B 2．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得抛物线的方程为． 因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为， 则，所以点到桥面的距离为米． 故选：A. 3．已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 4．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，所以直线的方程为，代入得， 设，则， 所以， 所以. 故选：C 5．过曲线上一点作直线的垂线，垂足为，将点绕逆时针旋转得到点，，则的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由得：， 平方可得：， 设，由题意可知：， 点绕逆时针旋转得到点，得与轴垂直，且， 可得：， 所以点的轨迹方程为：，焦点坐标为 所以， 即，当三点共线时取等号，    故选：C 6．抛物线的焦点为F，A为C上第一象限的一点，B为A在C的准线上的垂足，直线BF在第四象限交抛物线C于点D，若F为BD中点，则 【答案】2 【详解】由抛物线，可得准线方程为，焦点， 设第一象限的点，则可得， 由为中点，所以，，解得， 所以，，， 所以为直角三角形且， 由，所以，所以， 所以. 故答案为：2. 7．已知椭圆,抛物线开口向上,关于轴对称,抛物线顶点与椭圆的下顶点重合,如图所示,抛物线与椭圆交于两点,且与轴正方向的夹角为,则抛物线为 【答案】 【详解】由与轴正方向的夹角为,设,则点, 代入椭圆得：,解得,即点, 由抛物线开口向上,关于轴对称,抛物线顶点与椭圆的下顶点重合, 可设抛物线方程:,代入点得: , 所以抛物线方程为:. 故答案为: 8．在平面直角坐标系中，分别为轴上的点，，则以原点为顶点且经过两点的抛物线的准线斜率为 . 【答案】 【详解】设抛物线，，，，，如图所示， 则，，即， 又在上， ，故， 又，所以， 故逆时针旋转后,分别旋转到轴上的点， 此时抛物线对称轴斜率为，而准线与对称轴垂直，故； 同理，若顺时针旋转，； 故答案为：. 9．如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则的最小值为 ．    【答案】9 【详解】根据题意可知，直线过抛物线的焦点，作，垂直于抛物线的准线，垂足分别为，如下图所示：    设，易知，可得，即， 可得， 同理可得， 因此， 由因为，所以， 因此, 即的最小值为9. 故答案为：9 10．已知动圆过点且与直线：相切，直线与y轴交于K，点P为动圆圆心的轨迹E上任意一点，的角平分线与y轴交点为，则m最大值为 . 【答案】 【详解】由题意可得，由题意可得，动圆圆心的轨迹E为抛物线，焦点，准线方程为， 过点P作垂直于准线，H为垂足，如图所示： 因为抛物线关于y轴对称，不妨设点P的横坐标， 由抛物线的定义可得，设， 由，求导可得，设切点，切线斜率为， 则切线方程为，代入，可得，解得， 所以当直线与相切时，其倾斜角等于， 因此，且. 由角平分线定理可得，即，则 因为函数在单调递减， 因此当时，，故最大值为. 故答案为：. 1．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 2．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【答案】 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 3．（2024·天津·高考真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【详解】圆的圆心为，故即， 由可得，故或（舍）， 故，故直线即， 故原点到直线的距离为， 故答案为： 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 【答案】 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为， 准线方程为，点到的准线的距离为. 故答案为：. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$