第04讲 双曲线方程及其性质（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 双曲线方程及其性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 双曲线的定义及其应用 题型02 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题 题型03 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题 题型04 双曲线的几何性质 题型05 双曲线的离心率 题型06 双曲线的渐近线方程 题型07 求双曲线的标准方程 题型08 直线与双曲线的位置关系 题型09 双曲线中的最值问题 题型10集合的新定义问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 双曲线的定义及其应用 1．设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（    ） A．2 B．2或18 C．4 D．18 【答案】B 【详解】根据双曲线的定义，，即，解得2或18，均满足. 故选：B 2．设是双曲线右支上任意一点，分别是双曲线的左、右焦点，则等于（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【详解】是双曲线右支上任意一点，，分别是双曲线的左、右焦点，所以，又，所以. 故选：C． 3．在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支 【答案】D 【详解】因为，，所以，若动点Р满足，则动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线. 而题目中动点Р只满足，有，所以动点P的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支. 故选：D 4．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，， 所以， 由于双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线的标准方程是. 故选：D 5．已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，，，， 所以.根据双曲线定义， 所求轨迹是以A，B为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶点）， 方程为. 故选:C. 02 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题 6．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得 ，又 ， 所以 ， 所以的周长为12． 故选：B.    7．过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么的周长为（    ） A．28 B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线方程为， ， 根据双曲线的定义，得 ，， ，， 相加可得， ，， 因此△的周长， 故选：C 8．已知点是双曲线右支上一点，、为双曲线的左、右焦点，若的周长为16，点为坐标原点，则（    ） A．20 B．-20 C．40 D．-40 【答案】B 【详解】因为，的周长为16，所以， 因为，所以，， 所以， 故选：B. 9．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】D 【详解】由题意知. 又，所以. 根据双曲线的定义可知， 所以， 解得，所以. 故选：D 10．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 03 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题 11．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式，代入可得的值. 【详解】解：设,由，可得， 由双曲线焦点三角形的面积公式: ， 可得：， 故选：C. 【点睛】本题主要考查考查双曲线焦点三角形的面积，注意牢记公式，运算准确. 12．已知双曲线：的离心率为2，左、右焦点分别为，，点A在双曲线上，若的周长为10，则的面积为（    ） A． B． C．15 D．30 【答案】A 【详解】由题意得，所以， 所以双曲线方程为， 不妨设A在双曲线的右支上，由双曲线定义可得①， 又的周长为，且， 所以②， ①②联立，解得， 所以的面积为. 故选：A 13．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为. 故选：C. 14．已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的面积是（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】解：∵双曲线的标准方程：， ， 设， 由双曲线的定义可知： ①， ∵， 由勾股定理可知：，② 把①平方，然后代入②，求得， ∴的面积为， 故选B． 【点睛】本题考查双曲线的定义及性质，考查根据勾股定理，双曲线的定义及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题． 15．已知双曲线：的离心率为2，，分别为的左、右焦点，点在的右支上，若的周长为，则的面积是（    ） A． B． C．90 D．45 【答案】B 【详解】因为离心率为，所以，所以，所以， 因为的周长为，所以， 所以，且， 所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用双曲线的定义和焦点三角形的周长构造方程组求解出的值，后续可结合三角函数以及解三角形的相关知识求解出结果. 16．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【详解】由余弦定理得 ， ∴， ∴，∴（负值已舍去）. 故选：A． 04 双曲线的几何性质 17．双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】，，焦点坐标为，，渐近线方程为，， 所以焦点到渐近线的距离. 故选：B. 18．若双曲线的一个焦点为，则实数为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【详解】因为双曲线的一个焦点为， 所以，解得． 故选：B． 19．中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：令 ，得， 又双曲线焦点在x轴上， 等轴双曲线的一个焦点为， 即， ∴， 故等轴双曲线的方程为. 故选：A. 20．已知双曲线C：，其左、右焦点分别为，，过点的直线交C的左右两支分别于A，B两点，且，，则C的实轴长为（   ） A．1 B．6 C．2 D．4 【答案】D 【详解】设，则， 因此，解得， 所以C的实轴长. 故选：D 21．已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 【答案】B 【详解】由双曲线方程为，得， 所以，所以实轴长为，故A错误； 双曲线的渐近线方程为， 因为，所以渐近线的倾斜角大于小于， 所以双曲线的两条渐近线夹角大于，故B正确； 双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：B. 22．为双曲线的左焦点，双曲线C的右支上的三个不同的点关于y轴的对称点分别为，则的值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】C 【详解】设双曲线的右焦点为， 由双曲线的对称性可知，， 则 ． 故选：C. 23．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【详解】由题可得.如图，设双曲线右焦点为，因与都关于原点中心对称，则， 后由双曲线的定义知. 故选：D    24．设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】双曲线（，）的渐近线方程为，即． ，分别为C的两条渐近线的倾斜角， ． 又，， ，． 又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，，，， 双曲线C的焦距为． 故选：C 25．、是双曲线的上、下焦点，过的直线与的上、下两支分别交于、两点．若，，又，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示： 因为，，则， 因为，则，故， 由双曲线的定义可得， 即，解得， 因此，该双曲线的实轴长为. 故选：B. 05 双曲线的离心率 26．已知双曲线的一个焦点坐标是，则的值及的离心率分别为（    ） A． B． C．1，2 D． 【答案】A 【详解】依题意，双曲线化为：， 则，解得，双曲线的离心率. 故选：A 27．若双曲线的离心率为，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由题意，双曲线的离心率，所以. 故选：C. 28．若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线的渐近线为，的渐近线为， 由题可知， 所以的离心率. 故选：C. 29．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设， 为等边三角形，，，又， ，，， ，， ，解得：（舍）或， 双曲线的离心率为. 故选：C. 30．已知双曲线的焦点在轴上，且的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化简双曲线可得， 因为双曲线的焦点在轴上，所以， 所以的离心率为， 则，所以. 故选：C. 31．已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线左焦点为，如图：，可得， 由双曲线的定义字， 在中，， 在中， 即，可得. 故选：A. 32．已知双曲线的焦距为，若点在双曲线上，则的离心率等于 . 【答案】/ 【详解】因为点在双曲线上， 代入坐标有，且双曲线满足，离心率， 所以有，即， 化简可得，所以， 因为双曲线离心率，所以或（舍去）， 故答案为：. 33．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 . 【答案】2 【详解】易知关于x轴对称，令，， ∴，，∴，∴． ，，， ∴，∴． 故答案为: 2. 34．设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】抛物线的焦点，直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得：，设，则， 由，得，由对称性不妨令点在第一象限，解得，， 由点在双曲线上得，，又，解得， 所以双曲线C的离心率. 故答案为：    06 双曲线的渐近线方程 35．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得，则，故， 所以，双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 36．已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线方程为， 代入点，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 37．已知圆心为C的圆与双曲线E：（）交于A，B两点，且，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得的圆心，半径， 显然适合和， 即为圆与双曲线E：的一个交点， 且为双曲线的左顶点，则轴； 因为，所以， 所以，解得或（舍），所以， 代入双曲线方程可得， 双曲线E的渐近线方程为， 故选：A. 38．已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线方程为， 直线与直线交于点，交双曲线于点， 由M是线段的中点，得，则，， 所以C的渐近线方程为. 故选：C 39．已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】设双曲线的半焦距为，由题设可得且焦点在轴上， 故可设双曲线方程为：，则即， 故即，故离心率为，渐近线方程为， 故答案为：；. 40．已知双曲线，的一条渐近线方程为，则 ． 【答案】/0.5 【详解】解：双曲线的渐近线方程为. 由双曲线的一条渐近线方程为，即， 所以，即 故答案为：. 41．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为： 42．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则= ；双曲线C的渐近线方程为 【答案】 【详解】双曲线C：过点，则，解得， 显然点在双曲线C：的左支上，而实半轴长，虚半轴长， 所以，双曲线C的渐近线方程为. 故答案为：； 07 求双曲线的标准方程 43．已知双曲线C的离心率，虚轴长为，则其标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】设双曲线实半轴、虚半轴长分别为a、b，半焦距为c，则，即， 于是得，而，解得， 所以，当焦点在x轴上时，双曲线方程为，当焦点在y轴上时，双曲线方程为. 故选：D 44．已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线的方程为，则， 由离心率为2，得，则， 因为直线l过点且垂直于x轴交E于点M、N， 所以点M、N的横坐标都为-c，有，解得， 所以，所以， 又，则 ， 所以，故，得， 所以双曲线的方程为：. 故选：A 45．已知双曲线：的上焦点为F，点M 在的一条渐近线上，是面积为的等边三角形，其中点О为坐标原点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是面积为的等边三角形，故，即半焦距， 故的纵坐标为1，不妨设， 则所在的渐近线方程为， 故，.又，解得，， 则的方程为. 故选：C 46．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线与双曲线的一条渐近线平行， 所以，即， 由直线，令，得， 则双曲线的一个焦点为，即半焦距， 由，得，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 47．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 故可设双曲线方程为， 又经过点，故， 故双曲线方程为， 故选：A 48．若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，根据题意，由双曲线的定义知，又， 所以，得到，所以双曲线的方程为， 故选：D. 49．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，若的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的方程为：， 因为离心率，故半焦距，故， 而双曲线过，故，解得， 故双曲线的方程为：， 故选：C. 08 直线与双曲线的位置关系 50．已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】解：对于曲线，则， 所以，即 ，表示双曲线在轴及轴上方部分， 双曲线的渐近线为， 又直线与渐近线平行（重合）， 由图可知，当时直线与曲线相切， 所以“与相切”是“”的既不充分也不必要条件； 故选：D 51．已知直线，双曲线 ，则“”是“直线与双曲线无交点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为， 当时，直线为双曲线的一条渐近线，直线与双曲线无交点； 反之直线与双曲线无交点，，即， 所以“”是“直线与双曲线无交点”的充分而不必要条件. 故选：A 52．已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【详解】分析条件可得：点在双曲线的渐近线上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图： 所以过且与双曲线有且只有一个公共点的直线只有两条： 一条是切线：，一条是过点且与另一条渐近线平行的直线. 故选：C 53．与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的渐近线方程为：， 当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点， 故CD与双曲线只有一个交点错误； 对于A，联立，可得：，无解，故A错误； 对于B，联立，可得：， ，故B正确； 故选：B. 09 双曲线中的最值问题 54．已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知渐近线方程为， 因为，所以． 又l与C没有交点，所以，则，所以． 故选：C. 55．在平面直角坐标系xOy中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．2 【答案】B 【详解】由点M到直线的距离大于m恒成立，可得点M到直线的最近距离大于m.因为双曲线的渐近线为，则与的距离即为最近距离，则，即. 故选：B 56．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为第一象限的交点，、， 则、，解得、， 在中，由余弦定理得：， ∴，∴， ∴，∴，∴， ， 即，当且仅当，即，时等号成立， 此时 故选：D 57．已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：因为P是该双曲线右支上一点，所以由双曲线的定义有， 又，所以，，设， 所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以面积的最大值是， 故选：A. 58．在平面直角坐标系中，已知，是双曲线上一点，则直线和直线的斜率之积的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则直线OP斜率，直线AP斜率， ， 令，则，即方程有解； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：，则直线和直线的斜率之积的最大值为. 故选：A. 59．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，双曲线的一条渐近线方程为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， .   即的最大值为 故选：A. 60．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是椭圆与双曲线的一个交点，且，则椭圆与双曲线离心率的倒数之和的最大值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】D 【详解】不妨设椭圆与双曲线都是焦点在x轴上的标准椭圆与标准双曲线，P为第一象限内的公共点，并记椭圆的半长轴长、半短轴长、离心率分别为，双曲线的半实轴长、半虚轴长、离心率分别为，它们的半焦距长相等，设为c． 由题意知    而题目中要求的是的最大值， 根据正弦定理，可得， 当且仅当，时取到等号, 故选：D 61．是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】双曲线中，如图所示：   ，，，设左、右焦点为，， ，， ， ，三点共线且在之间时取等号， ，则，共线且在之间时取等号， 所以. 故选：D 62．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为16，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】如图：，则∽，    由的周长为16，所以的周长为32， 因为是双曲线的通径，所以， 因为，，， 可得，则， 所以，由可得． 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C． 1．设且，若双曲线的一条渐近线方程是，则(   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，得， 即双曲线的渐近线方程为， 又其中一条渐近线方程是， 由得或， 因为且，所以， 故选：A. 2．已知点是双曲线上任意一点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．与的位置有关 【答案】B 【详解】先证明:若动点到的距离之差的绝对值等于，则P的轨迹方程为. 因为， 所以， 所以， 两边取平方，， 两边取平方，并整理得， 又 所以表示以为焦点的双曲线，且， 所以. 故选:B 3．双曲线 ， 点，则直线与双曲线的公共点的个数（    ） A．0个 B．恰有1个 C．恰有2个 D．恰有4个 【答案】B 【详解】在双曲线中，，故双曲线的渐近线方程为. ∵， ∴直线方程为，整理得， ∴直线的斜率为，直线与双曲线的一条渐近线平行， ∴直线与双曲线恰有1个公共点. 故选：B 4．如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶，忽略花瓶的厚度，该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线（焦距为12.3cm）的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为4.1cm，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】设双曲线的焦距为，实轴长为.依题意可得，，则. 故选：C. 5．设点的坐标分别是,是平面内的动点，直线的斜率之积为，动点的轨迹与曲线相交于4个点，以这四个交点为顶点的矩形的面积等于，则轨迹的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，所以动点的轨迹的方程为， 设轨迹与曲线在第一象限的交点为，则， 且，由对称性可知所求矩形的面积， 解得，，故. 因为在曲线上，所以， 轨迹的方程可化为，所以轨迹是双曲线，且， 离心率满足：，所以. 故选：B 6．已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由题意得，所以，即， 所以点的轨迹为两个双曲线. 双曲线的实半轴长为1，双曲线1的实半轴长为3， 由，得0），表示以原点为圆心，为半径的圆的上半圆， 若曲线与半圆有四个交点，则3，即. 故选：B.    7．过四点，，，中的三点的双曲线方程为，则的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】解：由双曲线的对称性可知，，必在双曲线上， 所以，双曲线过点，， 设双曲线的方程为， 所以，解得 所以，双曲线的方程为 所以，的渐近线方程为 故答案为： 8．焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有 条. 【答案】5 【详解】因为实轴长为，虚轴长为，所以， 双曲线为，右焦点 设直线与双曲线交于， 当直线斜率不存在时，直线方程的方程为， 令，则，得，此时弦长为，不符合题目； 当直线斜率存在时，设直线方程为 联立，可得， ， 解得且 ， 解得或，过右焦点共有3条直线符合条件； 所以根据对称性可知过左焦点与相交所得弦长为4的直线有条. 综上，总共有5条直线符合条件 故答案为：5. 9．如图所示，双曲线，又，已知，，若由射至的光线被双曲线反射，反射光通过，则 ．    【答案】 【详解】入射线反射后得到的光线的反向延长线定过双曲线的另一个焦点， ． 故答案为： 10．下图是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，此双曲面可由线段绕与其不共面的直线旋转而成，其轴截面为双曲线的一部分，若该几何体的高为2，上底面圆的直径为4，垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】根据图形特点，以对称中心为原点，设截面双曲线所在的方程为， 因为垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为，所以， 又由几何体的高为2，上底面圆的直径为4，得到双曲线一点坐标为，代入方程可得，所以，得到，所以. 故答案为：. 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 4．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 5．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 7．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以 ，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 双曲线方程及其性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 双曲线的定义及其应用 题型02 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题 题型03 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题 题型04 双曲线的几何性质 题型05 双曲线的离心率 题型06 双曲线的渐近线方程 题型07 求双曲线的标准方程 题型08 直线与双曲线的位置关系 题型09 双曲线中的最值问题 题型10集合的新定义问题 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 双曲线的定义及其应用 1．设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（    ） A．2 B．2或18 C．4 D．18 2．设是双曲线右支上任意一点，分别是双曲线的左、右焦点，则等于（    ） A． B． C．8 D．16 3．在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支 4．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 02 双曲线中焦点（弦）三角形的周长问题 6．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 7．过双曲线的右焦点有一条弦是左焦点，那么的周长为（    ） A．28 B． C． D． 8．已知点是双曲线右支上一点，、为双曲线的左、右焦点，若的周长为16，点为坐标原点，则（    ） A．20 B．-20 C．40 D．-40 9．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（    ） A．8 B． C．10 D． 10．已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 03 双曲线中焦点（弦）三角形的面积问题 11．已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则 A． B． C． D． 12．已知双曲线：的离心率为2，左、右焦点分别为，，点A在双曲线上，若的周长为10，则的面积为（    ） A． B． C．15 D．30 13．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 14．已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的面积是（    ） A．4 B．2 C．1 D． 15．已知双曲线：的离心率为2，，分别为的左、右焦点，点在的右支上，若的周长为，则的面积是（    ） A． B． C．90 D．45 16．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 04 双曲线的几何性质 17．双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 18．若双曲线的一个焦点为，则实数为（    ） A． B．4 C．5 D． 19．中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 20．已知双曲线C：，其左、右焦点分别为，，过点的直线交C的左右两支分别于A，B两点，且，，则C的实轴长为（   ） A．1 B．6 C．2 D．4 21．已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（   ） A．的实轴长为4 B．的两条渐近线夹角大于60° C．到的渐近线的距离为4 D．上的点到点的距离的最小值为2 22．为双曲线的左焦点，双曲线C的右支上的三个不同的点关于y轴的对称点分别为，则的值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 23．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 24．设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 25．、是双曲线的上、下焦点，过的直线与的上、下两支分别交于、两点．若，，又，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 05 双曲线的离心率 26．已知双曲线的一个焦点坐标是，则的值及的离心率分别为（    ） A． B． C．1，2 D． 27．若双曲线的离心率为，则（    ） A．2 B． C．1 D． 28．若双曲线与具有相同的渐近线，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 29．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 30．已知双曲线的焦点在轴上，且的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 31．已知双曲线的右焦点为F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆上一点，线段FA与双曲线C的右支交于点B.若 ，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 32．已知双曲线的焦距为，若点在双曲线上，则的离心率等于 . 33．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 . 34．设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 06 双曲线的渐近线方程 35．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 36．已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 37．已知圆心为C的圆与双曲线E：（）交于A，B两点，且，则双曲线E的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 38．已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线l，M，N分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 39．已知双曲线C的焦点为，实轴长为2，则双曲线C的离心率为 ，渐近线方程为 ． 40．已知双曲线，的一条渐近线方程为，则 ． 41．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ． 42．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，并且经过点，则= ；双曲线C的渐近线方程为 07 求双曲线的标准方程 43．已知双曲线C的离心率，虚轴长为，则其标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 44．已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 45．已知双曲线：的上焦点为F，点M 在的一条渐近线上，是面积为的等边三角形，其中点О为坐标原点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 46．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 47．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 48．若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点的距离大，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 49．如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作.该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线的一部分，若的中心在原点，焦点在轴上，离心率，且点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 08 直线与双曲线的位置关系 50．已知直线，曲线，则“l与C相切”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 51．已知直线，双曲线 ，则“”是“直线与双曲线无交点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 52．已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 53．与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 09 双曲线中的最值问题 54．已知双曲线，过原点的直线的倾斜角为，且，若与没有交点，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．在平面直角坐标系xOy中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．2 56．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 57．已知双曲线（，）的左、右焦点分别是、，且，若P是该双曲线右支上一点，且满足，则面积的最大值是（    ） A． B．1 C． D． 58．在平面直角坐标系中，已知，是双曲线上一点，则直线和直线的斜率之积的最大值为（    ）． A． B． C． D． 59．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，双曲线的一条渐近线方程为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 60．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是椭圆与双曲线的一个交点，且，则椭圆与双曲线离心率的倒数之和的最大值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 61．是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 62．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为16，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 1．设且，若双曲线的一条渐近线方程是，则(   ） A． B． C． D． 2．已知点是双曲线上任意一点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．与的位置有关 3．双曲线 ， 点，则直线与双曲线的公共点的个数（    ） A．0个 B．恰有1个 C．恰有2个 D．恰有4个 4．如图，这是古代的一个青花竹石芭蕉纹玉壶春瓶，忽略花瓶的厚度，该花瓶的轴截面的上半部分对应的曲线是双曲线（焦距为12.3cm）的一部分，且该花瓶的颈部最窄处的直径为4.1cm，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B． C．3 D．2 5．设点的坐标分别是,是平面内的动点，直线的斜率之积为，动点的轨迹与曲线相交于4个点，以这四个交点为顶点的矩形的面积等于，则轨迹的离心率等于（    ） A． B． C． D． 6．已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．过四点，，，中的三点的双曲线方程为，则的渐近线方程为 . 8．焦点在轴上的双曲线，它的实轴长为4，虚轴长为.那么过焦点且弦长为4的直线有 条. 9．如图所示，双曲线，又，已知，，若由射至的光线被双曲线反射，反射光通过，则 ．    10．下图是单叶双曲面的立体结构图，且为中心对称图形，此双曲面可由线段绕与其不共面的直线旋转而成，其轴截面为双曲线的一部分，若该几何体的高为2，上底面圆的直径为4，垂直于旋转轴的截面圆的面积最小值为，则双曲线的离心率为 . 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 4．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·天津·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$