第03讲 椭圆方程及其性质（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 椭圆方程及其性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 椭圆的定义 3 知识点2 椭圆的标准方程及几何性质 4 知识点3 通径 5 知识点4 椭圆中的两个周长问题（焦点三角形与焦点弦三角形） 6 知识点5 椭圆中焦点三角形的面积公式及离心率公式 6 题型破译 6 题型1 椭圆的定义及其应用 7 【方法技巧】椭圆的定义及其应用 题型2 椭圆中焦点（弦）三角形的周长问题 7 【方法技巧】椭圆中焦点（弦）三角形的周长问题 题型3 椭圆中焦点（弦）三角形的面积问题 8 【方法技巧】椭圆中焦点（弦）三角形的面积问题 题型4 椭圆的几何性质 9 题型5 点与椭圆的位置关系 10 【方法技巧】点与椭圆的位置关系 题型6 椭圆的标准方程 11 题型7 椭圆的离心率 13 题型8 椭圆中的最值问题 13 04真题溯源·考向感知 15 05课本典例·高考素材 16 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）根据a、b、c求椭圆标准方程 （2）直线与椭圆的位置关系求参数或范围 （3）椭圆中三角形(四边形)的面积 （4）求椭圆的离心率或离心率的取值范围 （5）椭圆中的定值问题 单选题 填空题 解答题 北京卷T19（15分） 北京卷T19（15分） 北京卷T19（15分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空题（4~5 分，中档）或解答题（中高档）考查。核心考查：椭圆的定义（到两 焦点距离和为 2a），标准方程（焦点在 x 轴、y 轴的形式），几何性质（a、b、c 关系，离心率，顶点，焦点）， 椭圆解答题中的相关计算。易错点：定义中忽略 2a>2c 条件，标准方程焦点位置判断错误，离心率公式记错（e=c/a）， 性质应用时混淆 a、b、c 关系，椭圆解答题中的相关计算错误。 复习目标： 1.理解椭圆定义，能利用定义求轨迹方程；​ 2.掌握椭圆标准方程，确定 a、b、c 的值及焦点位置；​ 3.熟练运用椭圆几何性质（离心率、顶点等）分析图形特征；​ 4.解决与椭圆性质相关的参数计算、范围问题；​ 5.结合椭圆定义与性质，处理直线与椭圆的位置关系基础问题。 6.会处理椭圆解答题中的相关计算 知识点1 椭圆的定义 平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作 .这两个定点叫作椭圆的 ，两焦点间的距离叫作椭圆的 . 集合，，其中，，且a，c为常数. 1.若 ，则集合P为椭圆. 2.若 ，则集合P为线段. 3.若 ，则集合P为空集. 自主检测已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 知识点2 椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 一般方程 图形       焦点坐标 顶点坐标 ，， ， ，， ， 长轴 长轴，a是长半轴的长 短轴 短轴，b是短半轴的长 焦距 焦距，c是半焦距长 范围 ， ， 离心率 ． e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆 注意：（1）长轴长是 ，短轴长是 ，长半轴长是 ，短半轴长是 ． （2）椭圆的其他相关性质： ①椭圆上到中心距离最大的点是 ，到中心距离最小的点是 ； ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是 ，最大、最小距离分别是 、 ； ③P是椭圆上的点，当P点在 时，最大． 自主检测1已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．2或4 自主检测2“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 自主检测3已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 自主检测4已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 自主检测5已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 知识点3 通径 （过椭圆焦点与坐标轴垂直的直线截得的弦长） 通径长：， 半通径长： 知识点4 椭圆中的两个周长问题（焦点三角形与焦点弦三角形） 自主检测已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 知识点5 椭圆中焦点三角形的面积公式及离心率公式 如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率 自主检测已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 题型1 椭圆的定义及其应用 例1-1椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则 （    ） A．3 B．4 C．6 D．8 例1-2已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 例1-3已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 （1）椭圆定义的核心是平面内到两个定点的距离之和为常数，且该常数大于两定点间的距离。 （2）应用定义可判断动点轨迹是否为椭圆，只需验证距离和是否为定值且满足大小关系。 （3）在解题中，若涉及到椭圆上点到两焦点的距离，可直接利用定义中的距离和求解。 （4）当已知椭圆上一点到一个焦点的距离时，能通过定义快速求出该点到另一个焦点的距离。 （5）注意定义中 “常数大于两定点间距离” 这一条件，若不满足，轨迹可能是线段或不存在。 【变式训练1-1·变载体】已知P为椭圆上的动点，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1-2·变载体】已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型2 椭圆中焦点（弦）三角形的周长问题 例2-1椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为 . 例2-2已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 方法技巧 （1）焦点三角形是椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，其周长为椭圆长轴长加上两焦点间距离。​ （2）对于过焦点的弦构成的三角形，要明确弦的两个端点到两焦点的距离关系，再求周长。​ 【变式训练2-1】已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 【变式训练2-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，，，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．4 B．4 C． D．8 题型3 椭圆中焦点（弦）三角形的面积问题 例3-1已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 例3-2设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 例3-3已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 方法技巧 （1）焦点三角形的面积可通过两边及其夹角的正弦值计算，两边为椭圆上点到两焦点的距离，夹角为两焦点与该点连线的夹角。 （2）结合椭圆定义和余弦定理，可推导出焦点三角形面积与夹角的关系，简化计算。 （3）对于过焦点的弦构成的三角形，面积计算需确定底和高，底可为弦长，高为另一焦点到弦的距离。 （4）利用椭圆的对称性，可简化对称位置下焦点（弦）三角形的面积求解。 （5）可利用焦点三角形面积公式求解。 【变式训练3-1】设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B．1或 C． D．1或 【变式训练3-2】已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【变式训练3-3】已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 【变式训练3-4】已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为 ． 【变式训练3-5】椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于 . 题型4 椭圆的几何性质 例4-1已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为4 C．的离心率 D．的长轴长是短轴长的倍 例4-2椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 例4-3已知双曲线方程为（），则不因的值变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．焦距 C．离心率 D．渐近线方程 【变式训练4-1】已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【变式训练4-2】已知椭圆：的左右焦点到直线：的距离之差为2，则的焦距是（    ） A． B．2 C． D．4 【变式训练4-3·变载体】已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的长轴长为（   ） A． B．2 C． D． 题型5 点与椭圆的位置关系 例5-1（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 例5-2（2025·北京海淀·一模）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 方法技巧 （1）判断点与椭圆的位置关系，可将点的坐标代入椭圆方程，根据结果与 1 的大小比较确定。​ （2）若代入后结果小于 1，点在椭圆内部；等于 1，点在椭圆上；大于 1，点在椭圆外部。​ （3）在实际问题中，可利用位置关系判断点是否在椭圆所围区域内，为后续解题提供依据。​ （4）结合椭圆的范围，可初步判断点的位置，再通过代入方程精确验证。 【变式训练5-1】若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2·变载体】在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为4. （1）求椭圆C的方程； （2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：的切线l，过点O且垂直于的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论. 题型6 椭圆的标准方程 例6-1（2025·北京大兴·三模）已知椭圆经过点，且右顶点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：． 例6-2（2025·北京·三模）已知椭圆：过，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点（不重合），已知，求直线的方程. 例6-3（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 例6-4（2025·北京昌平·二模）已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 例6-5（2025·北京·模拟预测）已知椭圆 的长轴的两个端点分别为 ，短轴的两个端点与 恰构成一个等边三角形的三个顶点. (1)求椭圆 的标准方程； (2)点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点 为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【变式训练6-1】（2025·北京·模拟预测）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点，直线，分别与x轴交于点，比较与的大小，并证明. 【变式训练6-2】（2025·北京东城·二模）已知椭圆的一个顶点为.且过点. (1)求椭圆的方程及焦距 (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积. 【变式训练6-3】（2025·北京·二模）已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 【变式训练6-4】（2025·北京丰台·一模）已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点. 题型7 椭圆的离心率 例7-1（2025·北京房山·一模）已知椭圆的长轴长为4，一个焦点为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 例7-2（2025·北京·模拟预测）椭圆：，左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点.，面积的最大值为6. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)当点P不与椭圆顶点重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，交直线为D，直线交x轴为E.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【变式训练7-1】（24-25高三下·北京·开学考试）已知椭圆的左顶点为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程及其离心率； (2)设过点的直线交于、两点，过点且平行于y轴的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点. 【变式训练7-2】（24-25高三上·北京通州·期末）已知椭圆，以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)斜率存在且不为0的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点. 在轴上是否存在定点，使得（为坐标原点）？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 题型8 椭圆中的最值问题 例8-1已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 例8-2设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 例8-3已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）若直线不垂直于坐标轴，直线与椭圆交于两点，直线与轴交于点.点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点. ①求证：两点的横坐标之积为定值4； ②若点的坐标为，求面积的取值范围. 【变式训练8-1】已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 【变式训练8-2】已知椭圆过点，且椭圆的短轴长等于焦距． (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，且与椭圆相交于、两点，求面积取得最大值时直线的方程． 【变式训练8-3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为为椭圆上一动点，设，当时，面积取得最大值. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（在之间），问是否存在最值，若存在最值，请求出；若不存在，请说明理由. 1．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 2．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 3．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 4．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 5．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 1．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 2．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 3．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 4．已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标． 5．如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 6．如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？    7．已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于两点,是椭圆的左焦点. （1）求的周长; （2）如果不垂直于轴,的周长有变化吗?为什么? 8．已知椭圆，一组平行直线的斜率是． (1)求这组直线何时与椭圆有两个公共点？ (2)当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 9．已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得： （1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 10．已知椭圆：（）的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 椭圆方程及其性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 椭圆的定义 3 知识点2 椭圆的标准方程及几何性质 4 知识点3 通径 7 知识点4 椭圆中的两个周长问题（焦点三角形与焦点弦三角形） 7 知识点5 椭圆中焦点三角形的面积公式及离心率公式 8 题型破译 9 题型1 椭圆的定义及其应用 9 【方法技巧】椭圆的定义及其应用 题型2 椭圆中焦点（弦）三角形的周长问题 11 【方法技巧】椭圆中焦点（弦）三角形的周长问题 题型3 椭圆中焦点（弦）三角形的面积问题 12 【方法技巧】椭圆中焦点（弦）三角形的面积问题 题型4 椭圆的几何性质 16 题型5 点与椭圆的位置关系 19 【方法技巧】点与椭圆的位置关系 题型6 椭圆的标准方程 22 题型7 椭圆的离心率 31 题型8 椭圆中的最值问题 36 04真题溯源·考向感知 44 05课本典例·高考素材 49 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）根据a、b、c求椭圆标准方程 （2）直线与椭圆的位置关系求参数或范围 （3）椭圆中三角形(四边形)的面积 （4）求椭圆的离心率或离心率的取值范围 （5）椭圆中的定值问题 单选题 填空题 解答题 北京卷T19（15分） 北京卷T19（15分） 北京卷T19（15分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空题（4~5 分，中档）或解答题（中高档）考查。核心考查：椭圆的定义（到两 焦点距离和为 2a），标准方程（焦点在 x 轴、y 轴的形式），几何性质（a、b、c 关系，离心率，顶点，焦点）， 椭圆解答题中的相关计算。易错点：定义中忽略 2a>2c 条件，标准方程焦点位置判断错误，离心率公式记错（e=c/a）， 性质应用时混淆 a、b、c 关系，椭圆解答题中的相关计算错误。 复习目标： 1.理解椭圆定义，能利用定义求轨迹方程；​ 2.掌握椭圆标准方程，确定 a、b、c 的值及焦点位置；​ 3.熟练运用椭圆几何性质（离心率、顶点等）分析图形特征；​ 4.解决与椭圆性质相关的参数计算、范围问题；​ 5.结合椭圆定义与性质，处理直线与椭圆的位置关系基础问题。 6.会处理椭圆解答题中的相关计算 知识点1 椭圆的定义 平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作 椭圆 .这两个定点叫作椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫作椭圆的 焦距 . 集合，，其中，，且a，c为常数. 1.若 ，则集合P为椭圆. 2.若 ，则集合P为线段. 3.若 ，则集合P为空集. 自主检测已知定点，平面上满足下列条件的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】之间的距离， 根据椭圆的定义，距离之和 对于A，不满足椭圆的定义，无轨迹，A错误； 对于B，，轨迹是线段，不是椭圆，B错误； 对于C，符合椭圆的定义，轨迹是椭圆，C正确； 对于D，这不是距离之和的条件，不直接符合椭圆的定义，实际上，这描述的轨迹不是椭圆.轨迹是以原点为中心的圆（如图），D错误.    故选：C 知识点2 椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 一般方程 图形       焦点坐标 ， ，   顶点坐标 ，， ， ，， ， 长轴 长轴，a是长半轴的长 短轴 短轴，b是短半轴的长 焦距 焦距，c是半焦距长 范围 ， ， 离心率 ． e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆 注意：（1）长轴长是 2a ，短轴长是 2b ，长半轴长是 a ，短半轴长是 b ． （2）椭圆的其他相关性质： ①椭圆上到中心距离最大的点是 长轴的两个端点 ，到中心距离最小的点是 短轴的两个端点 ； ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是 长轴的两个端点 ，最大、最小距离分别是 、 ； ③P是椭圆上的点，当P点在 短轴端点 时，最大． 自主检测1已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．2或4 【答案】B 【详解】由的短轴长为4，得，即，则． 若，则，显然矛盾； 若，则． 故选：B. 自主检测2“”是“曲线表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 自主检测3已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 自主检测4已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的长轴长为（    ） A． B． C．8 D．4 【答案】C 【详解】由题设知，，结合 ， 可知为等腰直角三角形， 所以，故， 所以，解得，所以的长轴长为． 故选：C. 自主检测5已知椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上位于第一象限内的一点，若，（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，    由，得，， 其中，所以， 可得为直角三角形， ，且， 解得，， 再由勾股定理可得： 得，． 故选：D． 知识点3 通径 （过椭圆焦点与坐标轴垂直的直线截得的弦长） 通径长：， 半通径长： 知识点4 椭圆中的两个周长问题（焦点三角形与焦点弦三角形） 自主检测已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 【答案】C 【详解】由题意知：椭圆中， 所以的周长为 故选：C. 知识点5 椭圆中焦点三角形的面积公式及离心率公式 如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，， ，则 （1）； （2）离心率 自主检测已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 【答案】 【详解】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ， . 故答案为：4. 题型1 椭圆的定义及其应用 例1-1椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上，若 ，则 （    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】由椭圆方程可得， 由椭圆的定义， . 故选： B. 例1-2已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】依题意，，故，故， 在中，，且，故为等边三角形， 故，得，则. 故选：D. 例1-3已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 方法技巧 （1）椭圆定义的核心是平面内到两个定点的距离之和为常数，且该常数大于两定点间的距离。 （2）应用定义可判断动点轨迹是否为椭圆，只需验证距离和是否为定值且满足大小关系。 （3）在解题中，若涉及到椭圆上点到两焦点的距离，可直接利用定义中的距离和求解。 （4）当已知椭圆上一点到一个焦点的距离时，能通过定义快速求出该点到另一个焦点的距离。 （5）注意定义中 “常数大于两定点间距离” 这一条件，若不满足，轨迹可能是线段或不存在。 【变式训练1-1·变载体】已知P为椭圆上的动点，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】P为椭圆上的动点，，且， P的轨迹是以为焦点的椭圆，且，即，， 所以， 故选：C． 【变式训练1-2·变载体】已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，，所以， 由椭圆的定义可知，，又，所以，， 所以． 故选：D 题型2 椭圆中焦点（弦）三角形的周长问题 例2-1椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为 . 【答案】16 【详解】由题意可得，，所以，故的周长为. 故答案为：. 例2-2已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】椭圆E：的长半轴长，半焦距， 则点为椭圆的左焦点，其右焦点为， 而直线恒过定点， 所以的周长为. 故选：D 方法技巧 （1）焦点三角形是椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，其周长为椭圆长轴长加上两焦点间距离。​ （2）对于过焦点的弦构成的三角形，要明确弦的两个端点到两焦点的距离关系，再求周长。​ 【变式训练2-1】已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 【答案】20 【详解】椭圆,所以， 得，则椭圆的右焦点为， 所以直线经过椭圆的右焦点， 由椭圆的定义可知，的周长为 . 故答案为：20. 【变式训练2-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，，，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A．4 B．4 C． D．8 【答案】C 【详解】因为，，又，所以， 由椭圆定义可得的周长为. 故选：C. 题型3 椭圆中焦点（弦）三角形的面积问题 例3-1已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 例3-2设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C．    例3-3已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A．1 B． C． D．8 【答案】C 【详解】设的中点为M，则， 于是，又， 则为等腰三角形， ． 故选：C． 方法技巧 （1）焦点三角形的面积可通过两边及其夹角的正弦值计算，两边为椭圆上点到两焦点的距离，夹角为两焦点与该点连线的夹角。 （2）结合椭圆定义和余弦定理，可推导出焦点三角形面积与夹角的关系，简化计算。 （3）对于过焦点的弦构成的三角形，面积计算需确定底和高，底可为弦长，高为另一焦点到弦的距离。 （4）利用椭圆的对称性，可简化对称位置下焦点（弦）三角形的面积求解。 （5）可利用焦点三角形面积公式求解。 【变式训练3-1】设是椭圆的两个焦点，点P在椭圆C上，若为直角三角形，则的面积为（    ） A． B．1或 C． D．1或 【答案】D 【详解】因为，所以， 若（当时，面积一样），则，， 所以； 若，设，则，所以， 故，符合题意； 综上：的面积为1或. 故选：D 【变式训练3-2】已知是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由可得， 如图，作轴，交轴于点，作，交于点， 设点到轴的距离为，则有，可得，故D正确. 故选：D. 【变式训练3-3】已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 . 【答案】 【详解】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为. 故答案为：. 【变式训练3-4】已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为9，则的值为 ． 【答案】3 【详解】 ， ，① 又 ② ①-②得：， 的面积为9， ， 故答案为：3. 【变式训练3-5】椭圆的左､右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于 . 【答案】 【详解】已知点在椭圆上，可得，所以， 又因为直线的斜率，所以的方程为. 设，联立方程组消去得，可得， 所以， 点到直线的距离， 所以. 故答案为:. 题型4 椭圆的几何性质 例4-1已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为4 C．的离心率 D．的长轴长是短轴长的倍 【答案】C 【详解】在椭圆中，，，， 对于A选项，椭圆的焦点在轴上，A错误； 对于B选项，椭圆的焦距，B错误； 对于C选项，椭圆的离心率为， C正确； 对于D选项，椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，的长轴长是短轴长的倍，D错误. 故选：C. 例4-2椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【详解】对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D 例4-3已知双曲线方程为（），则不因的值变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．焦距 C．离心率 D．渐近线方程 【答案】D 【详解】因为双曲线方程为（）， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 所以渐近线方程不变，故D选项正确； 双曲线方程化为， 当，双曲线的焦点和顶点在轴上，顶点坐标为，焦距为， 离心率为，显然顶点坐标和焦距是随变化的，则AB错误； 当，双曲线方程化为， 双曲线的焦点和顶点在轴上，顶点坐标为，焦距为， 离心率为，则C错误； 故选：D. 【变式训练4-1】已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为椭圆E：经过点，所以，解得， 所以，所以E的长轴长为. 故选：C. 【变式训练4-2】已知椭圆：的左右焦点到直线：的距离之差为2，则的焦距是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】设椭圆的左右焦点分别为， 由题意可得：，则， 若，则，即； 若，则，不合题意； 综上所述：，即的焦距是. 故选：C. 【变式训练4-3·变载体】已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的长轴长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由，，且为等边三角形，故，， 即有，有，又， 故，整理得， 故或（小于1，故舍去）， 即，故， 即的长轴长为. 故选：D. 题型5 点与椭圆的位置关系 例5-1（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 例5-2（2025·北京海淀·一模）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为：，其长轴长为； (2)在椭圆上，理由见解析. 【详解】（1）由题可知，， 的面积为2，且，则，又，解得； 故椭圆的方程为：，其长轴长. （2）由（1）可知，，又， 故直线方程为：，又在直线上，故设点， 当时，直线斜率不存在，此时与重合，也与重合，显然在椭圆上； 当时，直线的斜率为，与轴没有交点，不满足题意； 当，且时，直线斜率为，直线方程为：， 令，可得，故； 直线斜率为：，直线方程为：； 直线斜率为：，直线方程为：； 联立，消去可得，代入可得：，即， 又，即，故点在椭圆上. 综上所述，在椭圆上. 方法技巧 （1）判断点与椭圆的位置关系，可将点的坐标代入椭圆方程，根据结果与 1 的大小比较确定。​ （2）若代入后结果小于 1，点在椭圆内部；等于 1，点在椭圆上；大于 1，点在椭圆外部。​ （3）在实际问题中，可利用位置关系判断点是否在椭圆所围区域内，为后续解题提供依据。​ （4）结合椭圆的范围，可初步判断点的位置，再通过代入方程精确验证。 【变式训练5-1】若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 【变式训练5-2·变载体】在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为4. （1）求椭圆C的方程； （2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：的切线l，过点O且垂直于的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论. 【答案】（1）；（2）在，证明见解析. 【详解】（1）由题意得：，，又 ， 联立以上可得：，，.∴椭圆 C的方程为； （2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为，不妨取， 设（），则 ， ∴过原点且与垂直的直线方程为， 当时，过P点的圆的切线方程为， 过原点且与垂直的直线方程为，联立，解得： ， 代入椭圆方程成立； 同理可得，当时，点A在椭圆上； 当时，联立， 解得， ， 所在直线方程为. 此时原点O到该直线的距离， ∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上. 综上可得，点A在椭圆C上. 【点睛】本题是新定义题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题. 题型6 椭圆的标准方程 例6-1（2025·北京大兴·三模）已知椭圆经过点，且右顶点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：． 【答案】(1)，离心率 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意， 又因为经过点，所以，所以 所以椭圆的方程，离心率. （2）证明：设， 由，消去可得，， 则， 由得． 同理，， 则 ， 上式分子部分 ， 故，所以． 例6-2（2025·北京·三模）已知椭圆：过，两点. (1)求椭圆的方程； (2)设，，过点的直线与椭圆交于两点，连接、交x轴于两点（不重合），已知，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）将，代入椭圆的方程可得， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）结合题意可知，直线的斜率存在， 又，设直线方程为，，如下图所示： 联立，整理可得， 所以可得，且， 可得，即或； 因为，所以、的斜率分别为， 因此直线、的方程分别为， 则交点的坐标为； 结合可知，即, 也即，整理可得， 又，可得， 又因为，将代入， 可得，解得， 所以， 代入计算可得，解得， 即或，经检验符合题意， 所以直线的方程为或. 例6-3（2025·北京大兴·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，过左焦点作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，和，四点．设，的中点分别为，． (1)求椭圆的方程； (2)直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线经过定点，定点坐标为 【详解】（1）因为椭圆的左焦点，所以， 又短轴长为，所以，由可得， 故椭圆的方程为. （2） 当直线和斜率存在时，设直线方程为：， 设，，则有中点， 联立方程，消去得：， 由韦达定理得：，所以的坐标为， 将上式中的换成，同理可得的坐标为， 若，即，， 此时直线斜率不存在，直线过定点； 当时，即直线斜率存在， 则， 直线为， 令，得， 此时直线过定点， 显然当直线或斜率不存在时，直线就是轴，也会过， 综上所述：直线经过定点，定点坐标为. 例6-4（2025·北京昌平·二模）已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在； 【详解】（1）由题意得，解得． 所以椭圆的方程为，离心率． （2） 设直线的方程为，点，点． 由，得． 依据题意，， 因为点与点关于轴对称，所以点． 若在轴上存在定点，使三点共线，则． 由，得． 由，得． 因为 ，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 例6-5（2025·北京·模拟预测）已知椭圆 的长轴的两个端点分别为 ，短轴的两个端点与 恰构成一个等边三角形的三个顶点. (1)求椭圆 的标准方程； (2)点为椭圆上除，外的任意一点，直线交直线于点，点 为坐标原点：过点且与直线垂直的直线记为，直线交轴于点，交直线于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在点P的坐标为 【详解】（1）根据题意可得：，，解得， 故椭圆的方程为：. （2） 设，且，则 ， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，得，所以点的坐标为， 因为，所以直线的斜率为， 因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以， 联立直线和直线的方程， 消去得，即， 整理有：， 因为，所以， 所以，解得点的横坐标， ，， 要使得与的面积相等，应有， 整理有，即， 解得，，因为，（舍去），所以， 由可得点P的坐标为. 【变式训练6-1】（2025·北京·模拟预测）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为. (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同两点，直线，分别与x轴交于点，比较与的大小，并证明. 【答案】(1) (2) ，证明见解析 【详解】（1）依题意可得，，又，所以， 所以椭圆方程为. （2）依题意过点的直线斜率存在，设， 设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 即的中点横坐标为， 又，所以 【变式训练6-2】（2025·北京东城·二模）已知椭圆的一个顶点为.且过点. (1)求椭圆的方程及焦距 (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积. 【答案】(1)椭圆方程，焦距为 (2) 【详解】（1）由题意，因为椭圆的一个顶点为,且过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为，焦距为. （2）设过点的直线为，， 由，化简得， 则，即， 所以， 即， 则， 所以直线方程为，， 故， 且点到直线的距离， 所以. 【变式训练6-3】（2025·北京·二模）已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1)，离心率 (2) 【详解】（1）因为直线与坐标轴交点为和， 所以． 由，解得， 所以椭圆的方程为，离心率． （2） 由题意，直线的斜率存在，故设其方程为， 设点， 由得， 所以． 所以点的横坐标，纵坐标． 结合直线过坐标原点，可得直线的方程为． 令，得点的坐标为． 当时，显然点不在轴上． 则直线：，直线：． 令，得点． 由线段的中点为，得， 整理，得， 即， 化简，得． 由，得． 当时，由题意，点中有一个与点重合（不妨设点与点重合）， 处为中点，且， 在中，，则直线的方程为， 由的中点为，则，即，故， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，的取值范围为. 【变式训练6-4】（2025·北京丰台·一模）已知椭圆，以的两个焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且面积为. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.过作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，解得， ∴椭圆E的方程为. （2） 由题意得，直线的斜率存在. 设直线的方程为，点，，则， 由得. 由得 ， ∴，. ∵，∴直线的方程为：， 令，得，即， 当时， ， ∴，故直线过定点. 当时，直线为x轴，过点. 综上，直线过定点. 题型7 椭圆的离心率 例7-1（2025·北京房山·一模）已知椭圆的长轴长为4，一个焦点为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，离心率； (2)存在，. 【详解】（1）由题意，得，所以. 所以椭圆的方程为，离心率. （2）设直线的方程为（显然），点， 设，联立方程， 整理得. 所以. 法一：因为. 又，所以. 所以，直线的斜率与直线的斜率互为相反数. 设直线的斜率为，直线的斜率为， ，整理可得， ，因为， 所以，， 即，解得. 所以点的坐标. 法二：因为，又， 所以，即，， 所以，且， 整理得， 则， 而，显然， 所以， 故， 所以，解得. 所以点的坐标. 例7-2（2025·北京·模拟预测）椭圆：，左、右顶点分别为A，B，上顶点为C，原点为，P是椭圆上一点.，面积的最大值为6. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)当点P不与椭圆顶点重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，交直线为D，直线交x轴为E.求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知，当点在椭圆上下顶点时， 面积取得最大值，即， 所以椭圆方程为，，所以离心率； （2）不妨设点，由椭圆的对称性可知， 直线的斜率为，故直线的方程为， 令，得点纵坐标； 直线的斜率为，故直线的方程为， 令，得点横坐标， 所以直线的斜率为， 直线的斜率为， 故直线和直线的斜率之积为 ， 因为点在椭圆上，所以有， 也即，代入斜率之积的表达式的三次项中， 得为定值. 【变式训练7-1】（24-25高三下·北京·开学考试）已知椭圆的左顶点为，且经过点. (1)求椭圆的标准方程及其离心率； (2)设过点的直线交于、两点，过点且平行于y轴的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点. 【答案】(1)方程为，离心率为 (2)证明见解析 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由题意，代入点得，，解得， 所以椭圆E的标准方程， 所以，则，离心率. （2）若直线的斜率不存在，此时直线与椭圆相切，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在. 当的斜率为时，的方程为， 此时、， 直线的斜率为，则直线的方程为， 令得， 由得，， 此时直线的方程为过点， 当过椭圆的右顶点时， 直线的方程为，此时、， 直线的方程为，令得， 由得，， 此时直线的方程，故直线过轴上一个定点. 设直线的方程为，、，    与椭圆方程联立得：， ，可得， 由韦达定理可得，， 在直线的方程为中， 令得，由得，， ， 直线的方程为， 令，可得 ， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 【变式训练7-2】（24-25高三上·北京通州·期末）已知椭圆，以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)斜率存在且不为0的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点. 在轴上是否存在定点，使得（为坐标原点）？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，或 【详解】（1）因为以椭圆的一个焦点和短轴端点为顶点的三角形是边长为2的等边三角形， 所以，即，，故椭圆的方程：， ，故离心率； （2）假设轴上存在点，使得， 当时，所以，设，， 所以满足，设，， 由题意可知直线斜率存在且不为0，故,, 直线的方程为，所以当时， 即， 因为点与点关于轴对称，所以． 同理可得， 因为，， 所以， 因为，在椭圆上，即，， ，所以或， 故在轴上存在点，使得，点的坐标为或． 题型8 椭圆中的最值问题 例8-1已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】由题意可知，则，， 点在椭圆上，则，结合， 解得，故， 设，则， 则 ， 当且仅当时，取最大值， 即的最大值为， 故选：B 例8-2设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为， 所以右焦点坐标为. 又椭圆经过点， 所以. 所以椭圆的方程为. （2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，. ②当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程， 由，得， 则， . 设直线的方程为，同理得， 所以， 设，则， 则， 所以时，有最小值. 综上，的最小值是. 例8-3已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）若直线不垂直于坐标轴，直线与椭圆交于两点，直线与轴交于点.点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点. ①求证：两点的横坐标之积为定值4； ②若点的坐标为，求面积的取值范围. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②. 【详解】（1）因为 ， 所以 ， 又， 所以 ， 所以 ， 椭圆的方程. （2）（i）由题意可知，直线存在斜率，且不为， 设直线的方程为：， 联立，消去得. . 设，，则， ，， 的方程为：， 令，则 . 因此两点的横坐标之积为定值4. 方法二：设直线的方程为：， 联立消去得. . 设，，则， ，， 的方程为：， 令，则 . 因此两点的横坐标之积为定值4. 方法三： 设，，， 则，， 的方程为：， 令，则 的方程为：， 令，则 因此两点的横坐标之积为定值4. （ii）设直线的方程为：，， 设，， 联立消去得. ，， ，由（i）得，， 令， 函数在上是增函数， 所以， 所以，， ， 因此面积的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是恰当的设直线方程与求点的坐标，二是计算的准确，三是要注意对勾函数使用的条件. 【变式训练8-1】已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． (1)求椭圆的方程和焦距； (2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值． 【答案】(1)椭圆C的方程为，焦距2 (2) 【详解】（1）由题意知，，∴， ∴椭圆的方程为，焦距为． （2）由直线与轴平行，可设， 则，， 根据椭圆与圆的对称性，不妨取， ∵，， ∴直线的斜率为，线段的中点为， ∴线段的垂直平分线为， 令，则， 而，则， 圆在点处的切线方程为， 令，则， ∴线段长度为， 当且仅当，即时，等号成立， 故线段长度的最小值为． 【变式训练8-2】已知椭圆过点，且椭圆的短轴长等于焦距． (1)求椭圆的方程； (2)若直线的斜率为，且与椭圆相交于、两点，求面积取得最大值时直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）点代入方程得① 且②，③ 由①②③可解得：，， 所以椭圆 （2）直线的方程：，点、． 直线方程代入椭圆得， 由，得 ， 则弦长， 点到直线的距离 面积 当且仅当即时等号成立， 故面积取得最大值时直线的方程为 【变式训练8-3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为为椭圆上一动点，设，当时，面积取得最大值. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（在之间），问是否存在最值，若存在最值，请求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在最值，理由见解析 【详解】（1）当点为椭圆的上顶点或者下顶点时，面积取得最大值， 不妨取上顶点为，则, 所以，即， 又因为面积取得最大值为， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）若直线轴，则四点共线，无意义， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，， 联立，消去得， 整理得， 所以，即，解得， 又由韦达定理可得， 因为， 因为，所以， ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为在之间，所以，设， 因为双勾函数在单调递减，且， 所以由可知，， 所以，所以不存在最值. 【点睛】难点点睛：解答此题的难点在于第二问求解的范围，解答时要结合方程求解的表达式，结合函数单调性确定其范围，计算量较大，并基本都是字母参数的运算，比较复杂. 1．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设， 联立，解得， 联立，解得， 若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以， 同理，当时，， 当时，则，，, 又，所以， 所以 ， ， 则，即， 所以. 2．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 3．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则，        易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 4．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； （2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得 5．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）因为椭圆过，故， 因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即， 故椭圆的标准方程为：. （2） 设， 因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理. 直线，由可得， 故，解得或. 又，故，所以 又 故即， 综上，或. 1．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 【答案】点M的轨迹是直线，并去掉点 【详解】设点M的坐标为，则，， 当时，，整理得， 所以点M的轨迹是直线，并去掉点. 2．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 【答案】；椭圆. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 设圆和圆的圆心分别为、， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有 …① 当动圆与圆相内切时，有…② 将①②两式相加，得， ∴动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为； ∴， ∴ ∴ ∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆． 【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键． 3．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【答案】；椭圆． 【详解】设d是点M到直线的距离，根据题意， 所求轨迹就是集合， 由此得． 将上式两边平方，并化简，得， 即点M的轨迹方程为：；轨迹是椭圆． 4．已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标． 【答案】，，，. 【详解】由椭圆方程可得， 设是椭圆上一点， 则，代入椭圆，则， 所以点P的坐标为，，，. 5．如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点 【详解】设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点P在圆上运动， ， 即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点. 6．如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？    【答案】椭圆，理由见解析 【详解】解：连接、，如下图所示：    因为线段的垂直平分线和半径相交于点， 由中垂线的性质可得， 因为点在半径为的圆内，则， 因为， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆. 7．已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于两点,是椭圆的左焦点. （1）求的周长; （2）如果不垂直于轴,的周长有变化吗?为什么? 【答案】（1）20；（2）不变，理由见解析 【详解】（1）由椭圆的定义得：， 所以的周长为. （2）不变，由椭圆的定义的周长为.只受a的影响，不受与轴的位置关系影响. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 8．已知椭圆，一组平行直线的斜率是． (1)求这组直线何时与椭圆有两个公共点？ (2)当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点 (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，设这组平行直线的方程为， 代入椭圆方程，消去，得， 即，即， 由判别式大于0，可得，解得， 则这组平行直线的纵截距在时，与椭圆有两个公共点； （2）由（1）知直线和椭圆方程联立，可得， 此时，则，则中点的横坐标为， 代入直线方程可得截得弦的中点为， 由，消去，可得． 则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 9．已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得： （1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】（1）存在点到直线距离最小，最小值为；（2）存在点到直线距离最小，最小值为. 【详解】设椭圆上点， 则点到直线距离 ，其中， （1）当时，， 此时，即， 所以，， 所以存在点到直线距离最小，最小值为； （2）当时，， 此时，即， 所以，， 所以存在点到直线距离最大，最大值为； 10．已知椭圆：（）的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，， 解得：，，， 则椭圆的方程为：； （2）过椭圆的左焦点，倾斜角为的直线的方程为， 由可得：可得， 设，的横坐标分别为，， 可得，， 则 ， 所以线段的长为. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$