第02讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 4 03核心突破·靶向攻坚 5 知能解码 5 知识点1 函数的单调性与单调区间 5 知识点2 函数的最值 6 知识点3 单调性的常见运算 6 知识点4 函数的奇偶性 7 知识点5 函数的周期性 8 知识点6 函数的对称性 9 知识点7 周期性对称性综合问题 9 知识点8 奇偶性对称性综合问题 10 题型破译 10 题型1 根据函数解析式判断函数单调性 10 【方法技巧】根据函数解析式判断函数单调性 题型2 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 12 【方法技巧】根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 题型3 根据函数单调性解不等式 14 【方法技巧】根据函数单调性解不等式 题型4 根据函数单调性比较函数值大小关系 16 【方法技巧】根据函数单调性比较函数值大小关系 题型5 根据函数的奇偶性求参数值 19 【方法技巧】根据函数的奇偶性求参数值 题型6 抽象函数奇偶性的综合应用 21 【方法技巧】抽象函数奇偶性的综合应用 题型7 函数周期性的综合应用 24 【方法技巧】函数周期性的综合应用 题型8 函数对称性的综合应用 27 【方法技巧】函数对称性的综合应用 题型9 周期性对称性的综合应用 30 【方法技巧】周期性对称性的综合应用 题型10 周期性奇偶性的综合应用 32 【方法技巧】周期性奇偶性的综合应用 题型11 奇偶性对称性的综合应用 34 题型12 函数性质的全部综合应用 36 【方法技巧】函数性质的全部综合应用 04真题溯源·考向感知 39 05课本典例·高考素材 43 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）函数的单调性 （2）函数的最值 （3）函数的奇偶性及其他性质 单选题 填空题 解答题 北京卷T15（5分） 北京卷T9（4分） 北京卷T4（4分） 北京卷T15（5分） 考情分析： 在北京卷中，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性是核心命题点。命题形式包括：单独考查（以选择题或 填空题形式出现，分值4~5分，中档难度）以及与导数或抽象函数深度融合（压轴难度）。核心考查内容如下： 单调性：涉及利用定义证明（抓“任意性”）、利用导数求单调区间、复合函数“同增异减”法则，并应用于比 较大小、解不等式、求最值； 奇偶性：定义域对称是前提，涉及定义法或图像法判断奇偶性、补全解析式、求值，并结合单调性分析对称区 间性质； 周期性：涉及定义理解、利用递推关系或对称关系推导周期，并用于简化求值计算； 对称性：涉及函数自身轴对称或中心对称的公式，及其与周期性的关联。 易错点包括：单调性证明中遗漏“任意性”、复合函数内外层单调性分析错误、书写单调区间时遗漏定义域限 制；奇偶性判断中未验证定义域对称性、抽象函数符号推导错误；周期性应用中仅局部成立、周期公式记忆错误（如 双对称轴周期推导）；对称性应用中混淆轴对称与中心对称、遗漏定义域对称条件。 复习目标： 1. 单调性：掌握定义与导数法，复合函数拆分分析，应用于比较大小、解不等式； 2. 奇偶性：紧扣定义域对称性，赋值法判定抽象函数，补全解析式、求特定值； 3. 周期性：由递推关系或对称性推导周期，简化复杂计算，分析周期函数图象特征； 4. 对称性：熟记轴对称与中心对称公式，区分函数自身对称与两函数间对称，关联周期性转化； 5. 综合应用：融合四大性质，解决比较大小、不等式证明、图象识别问题，突破抽象函数题型（赋值法核心破题）。 知识点1 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 增函数 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 减函数 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 单调性 （区间I称为函数的 单调区间 ，也可分别称为 单调递增区间 和 单调递减区间 ） 自主检测设定义在上的函数的图象如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是 A．在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上单调递增 【答案】B 【详解】根据图象可知，当时，，时，，所以在上不单调递增，A不正确； 当时，，又时，单调递增，单调递减，时，减，则单调递增，所以B正确； 故选B. 【点睛】本题考查了识别函数的性质，重点考查已知函数的单调性，求的单调性，不仅需分析原函数的单调性，还需分析原函数的正负区间，单调区间不能跨越零点. 知识点2 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 自主检测下列函数最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，时，，最小值不是4，A错； 选项B，由基本不等式知，当且仅当时等号成立，B正确； 选项CD中，当时，函数最小值为0，CD均错． 故选：B． 知识点3 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 知识点4 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 轴 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 原点 对称 自主检测若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 结合题意作出的大致图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故选：B. 知识点5 函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 非零常数 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 非零常数 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的 正数 ，那么这个最小 正数 就叫做的 最小正周期 ． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 自主检测已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由题意得，用代替x，得. 两式相加，得，所以，所以函数是以6为周期的周期函数. 因为，所以，又因为，所以. 又因为，即，解得， 所以. 故选：D. 知识点6 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 自主检测若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意， 所以. 故选：A 知识点7 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 知识点8 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型1 根据函数解析式判断函数单调性 例1-1（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 方法技巧 （1） 基本函数法：依据一次、二次、指对数等基本函数的单调性结论直接判断。 （2）导数法：对可导函数求导，根据导数值的正负确定单调区间（导数值为正则函数递增，为负则递减）。（3）复合函数法：拆分复合函数为内外层函数，根据 “同增异减” 原则判断单调性（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减）。 【变式训练1-1】（2025·北京·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若，函数定义域为，，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为，关于原点对称，但， 故函数不是奇函数，即B错误； 对于C，函数的定义域为，但， 故函数不是奇函数，即C错误； 对于D，的定义域为，且，即函数是奇函数， 且因，函数在上单调递增，故D正确. 故选：D. 【变式训练1-2】（2025·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，是奇函数，在上单调递增，满足条件； 对于B，是奇函数，因为导函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调函数，不满足条件； 对于C，的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不满足条件； 对于D，是奇函数，但在上不是单调函数，不满足条件. 故选：A. 【变式训练1-3】（2025·北京平谷·一模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，由于，故在区间上不是单调递增的，A错误， 对于B, 在区间上单调递减，B错误， 对于C,当时，单调递增，且值恒为正，故为单调递减，所以为单调递增，C正确， 对于D，在区间上单调递增，故在区间上单调递减，D错误， 故选：C 【变式训练1-4·变题型】（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A不满足函数的单调性； 对B：函数在上单调递增，且函数值域为，故B满足题意； 对C：函数在上单调递增，且函数值域为，故C函数的值域不满足条件； 对D：函数在上单调递增，值域为，故D函数的值域不满足条件. 故选：B 题型2 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 例2-1（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 1（答案不唯一）， 【详解】因为，则时，，在上单调递增， 此时 时，，在上单调递增，此时， 故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足， 结合，则， 故a的一个取值可为1； 时，，令， 则，解得或； 时，，令， 则，解得， 当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意； 当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意； 故实数a的取值范围是， 故答案为：1（答案不唯一）， 方法技巧 （1）分段函数各段单调：分别保证每一段函数在对应区间内单调（如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的位置关系）。 （2）衔接处满足单调：相邻分段区间的衔接点处，左段函数的最大值不超过右段函数的最小值（递增时）或左段最小值不小于右段最大值（递减时）。 （3）导数法列不等式：若函数可导，根据导数在区间内恒正或恒负的条件，结合参数范围列出不等式（如导数含参数时，分离参数或讨论参数符号）。 【变式训练2-1】已知函数，若在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】对于二次函数，其对称轴为. 因为二次函数开口向上，要使其在上单调递减，则对称轴需在或其右侧，即，解得. 对于一次函数，要使其单调递减，则，解得. 考虑分段点处函数值的大小关系 当时，的值为；的值为. 因为函数在上单调递减，所以在分段点处，应有. 即，移项可得，，解得. 综合以上三个条件，取交集可得，所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练2-2】已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由函数在上单调递增， 可得，即，解得， 故答案为： 【变式训练2-3】已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由是R上的单调递增函数， 可得：， 解得：， 所以实数a的取值范围为， 故答案为： 题型3 根据函数单调性解不等式 方法技巧 （1）确定单调区间：先分析函数的单调区间（可通过导数、基本函数性质等方法）。 （2）转化不等式：利用单调性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系（注意函数定义域限制，如对数函数真数需大于 0）。 （3）解不等式组：结合定义域与转化后的自变量不等式，求解最终解集。 例3-1已知函数，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】, 设，的定义域为R， ，所以为奇函数， 则， 又因为在R上均为减函数， 所以在R上为减函数， 由可得， 即，所以， 解得：或. 故选：D. 例3-2已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，即，又可得， 当时，在上单调递增， 由，可得，解得， 当，即时， 由，可得，所以， 解得， 当，即， 由，得，所以， 因为，所以不等式无解， 综上所述：不等式的解集为. 故选：C. 【变式训练3-1】已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为均为上的增函数，则为上的增函数， 所以若，则，解得. 故选：D. 【变式训练3-2】设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 【变式训练3-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时， ，得，解得或（舍去）； 当时，令，则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以，即当时，恒成立， 所以当时，不等式无解. 综上，所求不等式的解集为. 故选：A. 题型4 根据函数单调性比较函数值大小关系 方法技巧 （1） 同一单调区间：若自变量在同一单调区间内，直接根据单调性比较函数值大小（如递增函数自变量大则函数值大）。 （2） 不同单调区间：利用奇偶性、对称性将自变量转化到同一单调区间。 （3）特殊点结合：若有特殊点（如零点、最值点），结合这些点的函数值辅助比较。 例4-1（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以函数为偶函数， ， 令，则， 所以函数， 即当时，， 所以函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 例4-2（2025·北京东城·一模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ）      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】因为，所以，    因为图象是上凹函数，所以，即故A正确； 由A知，使，则，即， 由，则，，故无法判断，的大小关系，故B错误； 由A知，使，可得，结合，可得， 由的单调递减可得，故，故C错误； 由A知，存在，使，可得， 故存在，使， 由函数的单调性可知时，， 当时，， 当时，， 当时，，故D错误. 故选：A. 【变式训练4-1】已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， ，当且仅当，即时等号成立， 而，，即在R上单调递增， ，，即. 故选：A. 【变式训练4-2】已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数， 因为， 所以，，且函数在上为增函数， 所以，， 因为函数在上为减函数，则， 故，且， 所以，， 故选：D. 【变式训练4-3·变考法】已知函数的定义域为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，令，则， 又，则，所以，故A错误； 对于B，令，则， 又，，所以，则，故B错误； 对于C，令，则， 又，则， 由上可知，故，， 所以，故C正确； 对于D，由，则， 所以， ， 由选项C中分析知，所以，故D错误. 故选：C. 题型5 根据函数的奇偶性求参数值 方法技巧 （1） 特殊值法：若函数定义域含 0，奇函数满足(f(0)=0)；代入(x=1)、(x=-1)等特殊值，结合奇偶性列方程（如偶函数(f(-1)=f(1))）。 （2） 系数比较法：对于多项式函数，奇函数偶次项系数为 0，偶函数奇次项系数为 0。 （3）定义法：根据奇偶性定义，整理等式后对比系数或化简求解参数。 例5-1（2025·北京海淀·三模）已知，，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，，定义域为关于原点对称， 且，因此是奇函数； 如果是奇函数，则定义域必须关于原点对称，因此， 所以“”是“是奇函数”的充分必要条件． 故选：C 例5-2已知函数 为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】当时，，则，所以，. 故选：C． 【变式训练5-1】已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由，可得，所以， 所以的定义域为， 因为是奇函数，所以， 又，， 所以，解得. 当时，， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以此时是奇函数 故选：D. 【变式训练5-2】若（其中）是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：， 则， 化简为，则，解得． 故选：A． 【变式训练5-3】已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以， 故选：A． 【变式训练5-4·变题型】函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【详解】由题意可得，解得， 则. 故选：C 题型6 抽象函数奇偶性的综合应用 方法技巧 （1） 赋值法推导关系：令(x=0)、(x=-y)等特殊值，结合已知条件推导(f(-x))与(f(x))的关系（如令(x=0)得(f(0))的值，令(y=x)得(f(-x))表达式）。 （2） 结合单调性解不等式：利用奇偶性将不等式转化为(f(|x|))的形式（偶函数），或结合奇函数在对称区间的单调性一致，转化自变量范围。 （3）综合应用求最值：根据奇偶性与单调性，确定函数在对称区间的最值（如奇函数在([-a,a])的最值互为相反数）。 例6-1设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【详解】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误； 故选：C. 例6-2已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以，， 所以为偶函数，故C错误； 又对两边求导，得， 即，所以是偶函数，故B错误； 由，可得， 由，可得， 所以，即，即得， 所以是周期为4的函数，则，所以是奇函数，故A正确； 由，可得，即， 又由，可得， 所以，即为偶函数，所以为偶函数，故D错误. 故选：A. 【变式训练6-1·变载体】函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法不正确的是（    ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】D 【详解】因为为奇函数，所以， 又为奇函数，所以， ∴，即， 所以，且， ∴是周期为2的函数，且是奇函数，故A、B正确； 由得， 故由A、B得， 即为奇函数，故C正确； 由得， 所以为奇函数，故D错误； 故选：D. 【变式训练6-2】已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【详解】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 【变式训练6-3】已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】C 【详解】方法一 :（函数性质判断法）由为偶函数，得①． 由为奇函数，得． 又，则②． 则由①，（*）， 由②，， 故得． 把取成，得③， 于是，，即函数的周期为2，故B错误； 又因为上的奇函数，则，的周期为2，则，故A错误； 由③得，，即， 故．因为奇函数，故为奇函数，故C正确； 由（*），，得，即为偶函数， 又，所以为偶函数，故D错误. 方法二：（构造函数法）依题意，可设，则为偶函数， 由为奇函数，且函数的定义域均为， 对于A，，排除A； 对于B，显然的最小正周期是2，排除B； 对于C，是奇函数，故C正确； 对于D，，显然是偶函数，排除D. 故选：C. 题型7 函数周期性的综合应用 方法技巧 （1） 找周期：根据周期定义（如(f(x+T)=f(x))）或递推关系（如(f(x+a)=-f(x))则周期为2a）确定周期T。 （2） 简化计算：利用周期性将大自变量值转化为小范围值，结合已知区间的函数值求解。 （3）结合其他性质：与单调性、奇偶性结合，分析周期区间内的函数特征（如周期函数在每个周期内单调性相同）。 例7-1已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则 . 【答案】 【详解】由得，又，故， 故的一个周期为6，又当时，， 所以. 故答案为： 例7-2对任意整数，函数满足，若，则 ， ． 【答案】 2 /-0.5 【详解】∵，∴， ∴，， 的周期， ∴， ． 故答案为：2；. 【变式训练7-1】已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 【答案】 【详解】函数是定义在上周期为4的奇函数，故且， 故，解得，， 又，所以. 故答案为： 【变式训练7-2】已知函数满足，且当时，，则的值为 ． 【答案】 【详解】由已知可知，函数为周期函数，且周期为4. 所以，. 又当时，， 所以，，. 故答案为：. 【变式训练7-3】已知函数 满足 ，且 ，则 . 【答案】-10 【详解】由，得， 两式相加得，则， 所以函数的周期为， 设，则，， ，又，则，即， 所以，，，， 所以， ， 故答案为：-10 【变式训练7-4·变题型】已知定义在上的函数的图象经过坐标原点，，，且为偶函数，则 ． 【答案】2499 【详解】由，得（*）． 在中，用替换，可得， 则，即①， 在①式中，用替换，则得②． 又因为偶函数，所以③， 故由②③，可得，用替换，可得 ， 比较两式，可得，即是以4为一个周期的函数． 因为的图象经过原点，所以，由（*）可得． 在中，令，得，所以， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 则， 则 ． 故答案为：2499. 【变式训练7-5·变题型】已知函数，的定义域为，，且满足，，则 . 【答案】 【详解】由得， 又因为，所以，即的对称中心为. 由得，即（常数）， 令，得，所以，即的对称轴为直线， 所以， 由得， 故，， 所以，故的周期. 因为，所以， 中，令，得， 由得， 在中，令，得，故， 所以. 故答案为：. 题型8 函数对称性的综合应用 方法技巧 （1） 轴对称：利用对称性转化函数值。 （2） 结合对称中心推导函数值关系。 （3）综合应用：与单调性、周期性结合，分析函数在对称区间的取值规律（如轴对称函数在对称点的函数值相等）。 例8-1（2025·北京朝阳·二模）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 作出函数图象，如图， 由图象可知，函数图象关于点中心对称，故A正确； 图象不关于点对称，故B错误； 当时，，故C错误； 令，则，故D错误. 故选：A 例8-2（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 / 【详解】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 【变式训练8-1·变载体】已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为关于点中心对称， 所以， 所以，可得， 故选：C． 【变式训练8-2·变考法】若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】由题意函数关于直线对称， 故，即， 即， 即, 故需满足且，即， 则， 故选：B 【变式训练8-3·变题型】函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．由此结论可求的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意得到，化简函数，再由，即可求解. 【详解】由题知，设的对称中心为，则为奇函数． 即，即． 又， ， ， 则 恒成立， 则. 故选：B． 【变式训练8-4·变题型】已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【详解】由，得的图象关于对称， 函数，则，即的图象也关于对称， 因此函数与图象的交点关于对称， 不妨设关于点对称的坐标为，，则，， 则，，同理得：，， 即. 故选：D 题型9 周期性对称性的综合应用 方法技巧 （1） 先找周期：根据周期性定义或递推关系确定周期T。 （2） 分析对称性：确定对称中心或对称轴，结合周期性推导对称关系。 （3）转化函数值：利用周期和对称性将复杂自变量转化为已知区间的自变量，简化计算。 例9-1已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】由为奇函数，得， 所以图象的对称中心为，令 由的图象关于直线对称，得， 由得，所以， 则的一个周期为4，则 则． 故选：B. 【变式训练9-1·变载体】定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（    ） A．14 B． C．12 D． 【答案】B 【详解】由， 则关于中心对称，关于直线轴对称，且， 将替换为，则，则，即的周期为4. 画出以及的函数图象，如图所示，    两个函数图象均关于对称，则所有的根之和为. 故选：B 【变式训练9-2·变考法】已知函数的定义域为，且，，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由可得：， 所以函数的周期为，由可得函数关于对称， 所以，又，， 所以，又，， ，， 所以 故选：B. 【变式训练9-3】已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（    ） A．不为偶函数 B．为奇函数 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，与联立可得， 即的图象关于直线对称， 又为奇函数，则， 所以，即， 所以，所以是周期为4的周期函数， 因为，所以也是周期为4的周期函数， 因为，，所以， 即，从而为偶函数，故A错误． 又为奇函数，则，即， 所以 ， 故 ，故C错误． 由，得，则不可能为奇函数，故B错误． 可求 ， 所以，故D正确． 故选D． 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 题型10 周期性奇偶性的综合应用 方法技巧 （1） 奇函数 + 周期：确定周期 （2） 周期性简化：将大自变量通过周期转化为小范围，再结合奇偶性转化符号。 （3）综合证明：结合周期性和奇偶性证明函数的其他性质（如对称轴、对称中心）。最后求值 例10-1已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则， 所以，即得， 即，故函数是以4为周期的周期函数， 对于，令，则， 对于，令，则，B正确； 由题意可知，无法推出，A错误， 又，，而是否为0不确定，故CD错误， 故选：B 【变式训练10-1·变载体】设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为，为奇函数，为偶函数， 所以，， 故，， 当时，， 则，解得， 在等式中，令可得，可得， 即，解得，故当时，， 在等式中，用替代得， 所以，所以， 即，所以， 故函数是周期为的周期函数，故. 故选：A. 【变式训练10-2·变考法】已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为奇函数，， 令，则，即：①； 令，得到； 因为为偶函数，， ②；结合①②得到：， ，， 所以，所以函数的周期为8， . 故选：A. 【变式训练10-3】已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2025 C．2024 D．2 【答案】D 【详解】因为，且函数是定义在上的奇函数， 则，即， 令，可得； 令，可得； 可得，则， 可知4为的一个周期，且， 所以. 故选：D. 题型11 奇偶性对称性的综合应用 例11-1已知函数和的定义域均为，且为偶函数， 为奇函数，若，均有，则（ ） A．575 B．598 C．621 D．624 【答案】C 【详解】由为偶函数有，又 为奇函数， 所以，即， 因为，所以， 又，解得，即， 所以，又， 所以，所以， 故选：C. 例11-2已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【详解】因为，则为奇函数， 所以的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象关于点对称． 故选：A 【变式训练11-1·变载体】已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为是奇函数，，所以， 因为函数的图象关于对称，所以， 即. 故选：D. 【变式训练11-2·变考法】已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以， 即， 所以的图象关于点成中心对称，所以. 又因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称，所以. 故选：D. 【变式训练11-3】若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的图象关于直线对称，将向右平移1个单位长度， 所得图象关于y轴对称，即为偶函数，B选项错误； 因为的图象关于直线对称，将向左平移1个单位长度， 关于直线对称，不能得出的奇偶性，A，C选项错误； 对于D：，可得函数为奇函数，D选项正确； 故选：D. 题型12 函数性质的全部综合应用 方法技巧 （1） 梳理性质：先分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（确定周期、对称轴、对称中心）。 （2） 转化自变量：利用周期性将大自变量变小，对称性将自变量转化到已知区间。 （3）综合应用：结合单调性比较函数值、解不等式，或利用奇偶性简化表达式，最终解决复杂综合问题。 例12-1已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确； 又因为，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； 在中，令，得，所以，故C错误； 因为，所以，所以，所以，， 故，故D正确． 故选：C 例12-2定义在上的函数满足，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，令，可得, 即， 所以. 又，所以, 所以. 因为，所以， 所以. 因为，当时，， 所以， 所以， 所以. 故选:B. 【变式训练12-1·变载体】定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【详解】因是上的奇函数，则， 又由可得，则， 故，即4为函数的一个周期. 因当时，，则，， 又，，， ，，， 则， ， 则. 故选：B. 【变式训练12-2·变考法】已知的定义域为，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象关于轴对称，且，，，则（ ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】D 【详解】因为将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象关于轴对称， 所以函数为偶函数，即， 由，令，可得， 所以，令，可得， 又，可得，所以， 所以，所以，所以是周期为4的周期函数， 所以，所以， 因为，，所以，， 因为函数的周期为4，所以符号相反，用， 所以，所以. 故选：D. 【变式训练12-3】已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为的值域为， 所以可由得：， 则有， 所以函数是一个以4为周期的函数，则有， 又因为函数为偶函数，所以， 则函数的图象是关于直线对称的，即， 又因为周期性可知，所以， 又由可得：，所以， 因为的值域为，所以，即， 故选：B 【变式训练12-4·变题型】已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【详解】因为，所以，所以. 由，得，两式相加得，所以， 所以，所以是以6为周期的周期函数. 当时，，又，所以，所以，所以； 当时，，所以，因为， 所以 ， 所以 . 故选：D. 【变式训练12-5·变题型】已知函数是定义在上的函数，，且对任意的都有，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 由，， 得，， 即，， 所以， 所以， 又因为，故. 故选：B. 1．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 4．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 5．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 6．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 1．(1)从偶函数的定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称; (2)从奇函数的定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】先证明充分性，再证明必要性，即得证. 【详解】证明:(1)充分性:若的图象关于y轴对称,设为图象上任意一点,则M关于y轴的对称点仍在该图象上,即. 所以为偶函数, 必要性:若为偶函数,设为图象上任意一点,M关于y轴的对称点为,由于为偶函数,所以,所以在的图象上,所以的图象关于y轴对称. (2)充分性:若的图象关于原点对称,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点仍在该图象上,所以,所以为奇函数. 必要性:若为奇函数,设为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点为,由于为奇函数,所以,所以仍在的图象上,所以的图象头于原点对称. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整. 【答案】见解析 【详解】解:因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以补充后图象如图所示. 【点睛】本题主要考查奇偶函数的对称性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．设函数的定义域为I，区间，记.证明： （1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有； （2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递增，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递增，得出，即可证明； （2）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递减，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递减，得出，即可证明； 【详解】证明：（1）充分性：不妨设，则 即 在D上单调递增. 必要性：若在D上单调递增. 则，不妨设，则. . 即，都有. （2）充分性：不妨设，则， ，即， 在D上单调递减. 必要性：若在D上单调递减. ，不妨设，则. 即，都有. 【点睛】本题主要考查了利用函数单调性的定义证明单调性以及利用单调性比较函数值的大小，属于中档题. 4．已知函数是定义域为的奇函数，当时，. （1）求出函数在上的解析式 （2）画出函数的图象，并指出函数的单调区间. 【答案】（1）（2）图象见解析，增区间是，减区间是 【详解】(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0； ②当x＜0时，－x＞0，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)． 所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x. 综上：f(x)＝ (2)图象如图所示． 由图可知，增区间是，减区间是 5．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)请写出一个图象关于点（-1，0）成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心. 【答案】(1)（注：答案不唯一，只要满足为奇函数） (2) 【详解】（1）因为函数的图象关于点成中心对称， 所以为奇函数，只要设， 则. （注：答案不唯一，只要满足为奇函数） （2）设函数图象的对称中心为， 则 ， 因为为奇函数，所以， 即 ， 所以得， 解得，. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 函数及其性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 4 03核心突破·靶向攻坚 5 知能解码 5 知识点1 函数的单调性与单调区间 5 知识点2 函数的最值 6 知识点3 单调性的常见运算 6 知识点4 函数的奇偶性 6 知识点5 函数的周期性 7 知识点6 函数的对称性 8 知识点7 周期性对称性综合问题 8 知识点8 奇偶性对称性综合问题 8 题型破译 8 题型1 根据函数解析式判断函数单调性 8 【方法技巧】根据函数解析式判断函数单调性 题型2 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 9 【方法技巧】根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 题型3 根据函数单调性解不等式 10 【方法技巧】根据函数单调性解不等式 题型4 根据函数单调性比较函数值大小关系 11 【方法技巧】根据函数单调性比较函数值大小关系 题型5 根据函数的奇偶性求参数值 12 【方法技巧】根据函数的奇偶性求参数值 题型6 抽象函数奇偶性的综合应用 13 【方法技巧】抽象函数奇偶性的综合应用 题型7 函数周期性的综合应用 14 【方法技巧】函数周期性的综合应用 题型8 函数对称性的综合应用 14 【方法技巧】函数对称性的综合应用 题型9 周期性对称性的综合应用 15 【方法技巧】周期性对称性的综合应用 题型10 周期性奇偶性的综合应用 16 【方法技巧】周期性奇偶性的综合应用 题型11 奇偶性对称性的综合应用 17 题型12 函数性质的全部综合应用 17 【方法技巧】函数性质的全部综合应用 04真题溯源·考向感知 19 05课本典例·高考素材 20 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）函数的单调性 （2）函数的最值 （3）函数的奇偶性及其他性质 单选题 填空题 解答题 北京卷T15（5分） 北京卷T9（4分） 北京卷T4（4分） 北京卷T15（5分） 考情分析： 在北京卷中，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性是核心命题点。命题形式包括：单独考查（以选择题或 填空题形式出现，分值4~5分，中档难度）以及与导数或抽象函数深度融合（压轴难度）。核心考查内容如下： 单调性：涉及利用定义证明（抓“任意性”）、利用导数求单调区间、复合函数“同增异减”法则，并应用于比 较大小、解不等式、求最值； 奇偶性：定义域对称是前提，涉及定义法或图像法判断奇偶性、补全解析式、求值，并结合单调性分析对称区 间性质； 周期性：涉及定义理解、利用递推关系或对称关系推导周期，并用于简化求值计算； 对称性：涉及函数自身轴对称或中心对称的公式，及其与周期性的关联。 易错点包括：单调性证明中遗漏“任意性”、复合函数内外层单调性分析错误、书写单调区间时遗漏定义域限 制；奇偶性判断中未验证定义域对称性、抽象函数符号推导错误；周期性应用中仅局部成立、周期公式记忆错误（如 双对称轴周期推导）；对称性应用中混淆轴对称与中心对称、遗漏定义域对称条件。 复习目标： 1. 单调性：掌握定义与导数法，复合函数拆分分析，应用于比较大小、解不等式； 2. 奇偶性：紧扣定义域对称性，赋值法判定抽象函数，补全解析式、求特定值； 3. 周期性：由递推关系或对称性推导周期，简化复杂计算，分析周期函数图象特征； 4. 对称性：熟记轴对称与中心对称公式，区分函数自身对称与两函数间对称，关联周期性转化； 5. 综合应用：融合四大性质，解决比较大小、不等式证明、图象识别问题，突破抽象函数题型（赋值法核心破题）。 知识点1 函数的单调性与单调区间 设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递增），如图所示. 当时，都有 ，则称在区间I上是 ，（也称在区间I上单调递减）如图所示. 两种情况下，都称函数在区间I上具有 （区间I称为函数的 ，也可分别称为 和 ） 自主检测设定义在上的函数的图象如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是 A．在上单调递增 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上单调递增 知识点2 函数的最值 最值 最大值 最小值 条件 函数的定义域为，存在实数满足： （1）对于任意的，都有 （2）存在，使 （1）对任意，都有 （2）存在，使 结论 是函数的最大值 是函数的最小值 自主检测下列函数最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 知识点3 单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 知识点4 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内任意一个，都有 ，且 ，则称函数是奇函数 关于 对称 自主检测若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点5 函数的周期性 ①周期函数：一般地，设函数的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个都有，且 ，那么函数就叫做周期函数． 叫做这个函数的周期． ②最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的 ，那么这个最小 就叫做的 ． 若，则的周期为： 若，则的周期为： 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 若，则的周期为：（周期扩倍问题） 自主检测已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A．5 B． C．2 D． 知识点6 函数的对称性 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 自主检测若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 知识点7 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 知识点8 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 题型1 根据函数解析式判断函数单调性 例1-1（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 （1） 基本函数法：依据一次、二次、指对数等基本函数的单调性结论直接判断。 （2）导数法：对可导函数求导，根据导数值的正负确定单调区间（导数值为正则函数递增，为负则递减）。（3）复合函数法：拆分复合函数为内外层函数，根据 “同增异减” 原则判断单调性（内外层单调性相同则复合函数增，相反则减）。 【变式训练1-1】（2025·北京·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2025·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2025·北京平谷·一模）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4·变题型】（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 题型2 根据函数的单调性（含分段函数）求参数值 例2-1（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . 方法技巧 （1）分段函数各段单调：分别保证每一段函数在对应区间内单调（如一次函数看斜率符号，二次函数看对称轴与区间的位置关系）。 （2）衔接处满足单调：相邻分段区间的衔接点处，左段函数的最大值不超过右段函数的最小值（递增时）或左段最小值不小于右段最大值（递减时）。 （3）导数法列不等式：若函数可导，根据导数在区间内恒正或恒负的条件，结合参数范围列出不等式（如导数含参数时，分离参数或讨论参数符号）。 【变式训练2-1】已知函数，若在上单调递减，则的取值范围是 . 【变式训练2-2】已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【变式训练2-3】已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为 ． 题型3 根据函数单调性解不等式 方法技巧 （1）确定单调区间：先分析函数的单调区间（可通过导数、基本函数性质等方法）。 （2）转化不等式：利用单调性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系（注意函数定义域限制，如对数函数真数需大于 0）。 （3）解不等式组：结合定义域与转化后的自变量不等式，求解最终解集。 例3-1已知函数，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 例3-2已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型4 根据函数单调性比较函数值大小关系 方法技巧 （1） 同一单调区间：若自变量在同一单调区间内，直接根据单调性比较函数值大小（如递增函数自变量大则函数值大）。 （2） 不同单调区间：利用奇偶性、对称性将自变量转化到同一单调区间。 （3）特殊点结合：若有特殊点（如零点、最值点），结合这些点的函数值辅助比较。 例4-1（2025·北京通州·一模）已知函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 例4-2（2025·北京东城·一模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.下列说法正确的是（    ）      A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练4-1】已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知是偶函数，且在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变考法】已知函数的定义域为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 题型5 根据函数的奇偶性求参数值 方法技巧 （1） 特殊值法：若函数定义域含 0，奇函数满足(f(0)=0)；代入(x=1)、(x=-1)等特殊值，结合奇偶性列方程（如偶函数(f(-1)=f(1))）。 （2） 系数比较法：对于多项式函数，奇函数偶次项系数为 0，偶函数奇次项系数为 0。 （3）定义法：根据奇偶性定义，整理等式后对比系数或化简求解参数。 例5-1（2025·北京海淀·三模）已知，，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例5-2已知函数 为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 【变式训练5-1】已知是奇函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式训练5-2】若（其中）是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式训练5-3】已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式训练5-4·变题型】函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．4 D．6 题型6 抽象函数奇偶性的综合应用 方法技巧 （1） 赋值法推导关系：令(x=0)、(x=-y)等特殊值，结合已知条件推导(f(-x))与(f(x))的关系（如令(x=0)得(f(0))的值，令(y=x)得(f(-x))表达式）。 （2） 结合单调性解不等式：利用奇偶性将不等式转化为(f(|x|))的形式（偶函数），或结合奇函数在对称区间的单调性一致，转化自变量范围。 （3）综合应用求最值：根据奇偶性与单调性，确定函数在对称区间的最值（如奇函数在([-a,a])的最值互为相反数）。 例6-1设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 例6-2已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1·变载体】函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法不正确的是（    ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【变式训练6-2】已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【变式训练6-3】已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为奇函数 题型7 函数周期性的综合应用 方法技巧 （1） 找周期：根据周期定义（如(f(x+T)=f(x))）或递推关系（如(f(x+a)=-f(x))则周期为2a）确定周期T。 （2） 简化计算：利用周期性将大自变量值转化为小范围值，结合已知区间的函数值求解。 （3）结合其他性质：与单调性、奇偶性结合，分析周期区间内的函数特征（如周期函数在每个周期内单调性相同）。 例7-1已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则 . 例7-2对任意整数，函数满足，若，则 ， ． 【变式训练7-1】已知函数是定义在上周期为4的奇函数，若，则 ． 【变式训练7-2】已知函数满足，且当时，，则的值为 ． 【变式训练7-3】已知函数 满足 ，且 ，则 . 【变式训练7-4·变题型】已知定义在上的函数的图象经过坐标原点，，，且为偶函数，则 ． 【变式训练7-5·变题型】已知函数，的定义域为，，且满足，，则 . 题型8 函数对称性的综合应用 方法技巧 （1） 轴对称：利用对称性转化函数值。 （2） 结合对称中心推导函数值关系。 （3）综合应用：与单调性、周期性结合，分析函数在对称区间的取值规律（如轴对称函数在对称点的函数值相等）。 例8-1（2025·北京朝阳·二模）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 例8-2（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【变式训练8-1·变载体】已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式训练8-2·变考法】若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式训练8-3·变题型】函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数．由此结论可求的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-4·变题型】已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 题型9 周期性对称性的综合应用 方法技巧 （1） 先找周期：根据周期性定义或递推关系确定周期T。 （2） 分析对称性：确定对称中心或对称轴，结合周期性推导对称关系。 （3）转化函数值：利用周期和对称性将复杂自变量转化为已知区间的自变量，简化计算。 例9-1已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练9-1·变载体】定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（    ） A．14 B． C．12 D． 【变式训练9-2·变考法】已知函数的定义域为，且，，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式训练9-3】已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（    ） A．不为偶函数 B．为奇函数 C． D． 题型10 周期性奇偶性的综合应用 方法技巧 （1） 奇函数 + 周期：确定周期 （2） 周期性简化：将大自变量通过周期转化为小范围，再结合奇偶性转化符号。 （3）综合证明：结合周期性和奇偶性证明函数的其他性质（如对称轴、对称中心）。最后求值 例10-1已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-1·变载体】设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-2·变考法】已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2025 C．2024 D．2 题型11 奇偶性对称性的综合应用 例11-1已知函数和的定义域均为，且为偶函数， 为奇函数，若，均有，则（ ） A．575 B．598 C．621 D．624 例11-2已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【变式训练11-1·变载体】已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（   ） A． B． C．0 D．1 【变式训练11-2·变考法】已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 题型12 函数性质的全部综合应用 方法技巧 （1） 梳理性质：先分析函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（确定周期、对称轴、对称中心）。 （2） 转化自变量：利用周期性将大自变量变小，对称性将自变量转化到已知区间。 （3）综合应用：结合单调性比较函数值、解不等式，或利用奇偶性简化表达式，最终解决复杂综合问题。 例12-1已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（   ） A．的图象关于y轴对称 B．为的一个周期 C． D． 例12-2定义在上的函数满足，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练12-1·变载体】定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C．6 D． 【变式训练12-2·变考法】已知的定义域为，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象关于轴对称，且，，，则（ ） A．2024 B． C．2025 D． 【变式训练12-3】已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练12-4·变题型】已知对于，，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．0 【变式训练12-5·变题型】已知函数是定义在上的函数，，且对任意的都有，，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 5．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 6．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 1．(1)从偶函数的定义出发,证明函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称; (2)从奇函数的定义出发,证明函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. 2．已知是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整. 3．设函数的定义域为I，区间，记.证明： （1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有； （2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有. 4．已知函数是定义域为的奇函数，当时，. （1）求出函数在上的解析式 （2）画出函数的图象，并指出函数的单调区间. 5．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)请写出一个图象关于点（-1，0）成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数图象的对称中心. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$