第03讲 等式与不等式性质（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 等式与不等式性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 等式的性质 3 知识点2 比较两个实数大小 4 知识点3 不等式的性质 4 知识点4 糖水不等式及其变形 5 知识点5 对数型糖水不等式及其变形 5 题型破译 6 题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确 6 【方法技巧】由已知条件判断所给不等式是否正确 题型2 由不等式关系，求解不等式范围 8 【方法技巧】由不等式关系，求解不等式范围 题型3 作差法或作商法比较式子大小关系 10 题型4 由不等式性质证明不等式 12 题型5 糖水不等式及其应用 14 04真题溯源·考向感知 15 05课本典例·高考素材 16 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）集合等知识点中的载体计算 （2）由已知条件判断所给不等式是否正确 （3）不等式的大小关系比较 单选题 填空题 解答题 北京卷T6（4分） 北京卷T9（4分） / 考情分析： 北京卷中等式与不等式的性质常作为载体内容在集合、函数、数列、三角函数等知识点呈现，需熟练掌握相 关计算。也会结合基本不等式来判断所给不等式是否正确及进行不等式的大小关系比较，分值4分，难度中等偏下。 复习目标： 1.了解等式与不等式的性质. 2.会结合已知条件判断所给不等式是否正确. 3.会进行不等式的大小关系比较. 4.会在集合、函数、数列、三角函数等知识点中进行相关的不等式关系求解. 5.会使用糖水不等式和对数型糖水不等式进行快速求解. 知识点1 等式的性质 性质1 如果，那么_____； 性质2 如果，，那么____； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么____； 自主检测下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】如果，当时，那么不成立，故A错误； 如果 ，由等式的性质知，故B正确； 如果当时，那么 不成立，故C错误； 如果，那么或，故D错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等式的性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 知识点2 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 自主检测已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以． 故选：C 知识点3 不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 ＜ 2 传递性 ＞ 3 可加性 ＞ 推论1：； 推论2： 4 可乘性 ＞ ； 推论3：； 推论4： ＞ （，）； 推论5： 5 取倒数 ＜ 自主检测若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 知识点4 糖水不等式及其变形 若实数a，b，c，满足，，则__ ___，___＞__，(b－m＞0)；__＞___；__ ＜___，(b－m＞0)（用不等号填空）． 自主检测已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，不一定得出； 也不一定得出. 故选：D 知识点5 对数型糖水不等式及其变形 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 自主检测克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，， 所以，， 根据题意当，时成立， 又， 所以， 即：， 又 所以， 所以， 故选：B. 【点睛】对数运算的一般思路： （1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； （2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确 例1-1若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A：由，所以，故A错误； 对B：由，所以，故B正确； 对C：由，令，则，故C错误； 对D：由，，令，所以，故D错误. 故选：B. 例1-2（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 方法技巧 由已知条件判断所给不等式是否正确 （1）直接法：依据不等式基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等 ），结合已知条件直接推导判断。（2）特殊值法：选取满足已知条件的特殊数值代入不等式，验证是否成立。 （3）作差（商）法：对不等式两边作差（商），结合已知条件判断差（商）的正负，进而确定不等式是否成立（作商法需注意正负），部分复杂式子判断可用此思路延伸。 【变式训练1-1】已知，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：令 ，，所以，故A错误； 对于B：令，故B错误； 对于C：因为，所以，所以，故C正确； 对于D：当时，显然不成立，令，故D错误 故选：C. 【变式训练1-2】，下列不等式恒成立的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，因为，故，故B成立， 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误； 故选：B. 【变式训练1-3·变载体】若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D 题型2 由不等式关系，求解不等式范围 例2-1已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， 又，所以 故选：D 例2-2若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 方法技巧 由不等式关系，求解不等式范围 （1）直接运算：依据不等式基本性质，对已知不等式变形求解即可． （2）线性组合：若求多个式子线性组合的范围，先将目标式表示为已知范围式子的线性组合，再利用不等式性质，分别求各组合部分范围后“同向可加”即可. 【变式训练2-1】已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，则，可得， 由不等式的基本性质可得. 故选：A. 【变式训练2-2】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 【变式训练2-3·变载体】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 【变式训练2-4·变载体】若实数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为： 题型3 作差法或作商法比较式子大小关系 例3-1如果，比较与的大小并证明． 【答案】，证明见解析 【详解】，理由如下： ， 当时等号成立，所以. 例3-2已知，试比较与的大小. 【答案】 【详解】， ，. 两数作商 ， . 【变式训练3-1】设，，则M与N的大小关系为 . 【答案】 【详解】 , 故. 故答案为： 【变式训练3-2·变载体】若，则与的大小关系是 ．（用“>”连接） 【答案】 【详解】方法一（作商法）：因为， 所以， 所以． 方法二（作差法）： ，即． 故答案为： 【变式训练3-3·变载体】若，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 【变式训练3-4·变载体】（1）比较与的大小； （2）已知，比较与大小 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为， 所以， 所以①当时，， 所以， ②当时，， 即， 所以， ③当时，， 即， 所以， 综上所述：当，. （2） ， 因为，所以， 所以， 由 ， 所以， 所以， 即， 故. 题型4 由不等式性质证明不等式 例4-1（1）证明：； （2）已知，，且，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】证明：（1）解法一（反证法）： 假设， 即， 两边平方得，即， 即，这与矛盾，因此假设不成立， 故. 解法二（分析法）： 要证， 只需证， 因为，， 所以只需证， 即证，即证， 因为成立， 所以成立. 解法三（综合法）： ， ， 因为， 所以. （2）由题意知，故 . 【变式训练4-1】已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 【变式训练4-2】已知，求证. 【答案】证明见解析. 【详解】证明： . 由，可知，，从而， 又，，又， 因此上式分子、分母均小于零， ，即. 【变式训练4-3·变载体】证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则” 【答案】证明见解析 【详解】证明：取， 因为，所以，即. 所以 又因为，故， 所以. 题型5 糖水不等式及其应用 例5-1克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 【变式训练5-1】（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 .（填“>，<，=，≥，≤”之一）. （2），，则M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）. 【答案】 【详解】（1）∵， 又∵，， ∴，即； （2）因为，， 故. 故答案为：；. 【变式训练5-2】若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 【答案】< 【详解】依题意. 故答案为： 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 1．已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，得，，所以． 故选：B． 2．下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．已知，，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】A选项：当时，，A选项错误； B选项：因为，，， 所以， 所以，则，B选项正确； C选项：若，则，C选项错误； D选项：当，时，，D选项错误． 故选：B. 3．用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么 ; (2)如果,,那么 ; (3)如果,那么 ; (4)如果,那么 . 【答案】 > < < < 【解析】根据不等式的性质依次填写即可 【详解】解析:(1),.,. (2),.,,. (3),,,,, ,即. (4),所以,.于是,即,即. ,. 故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)< 【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键 4．比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 【答案】（1）.（2）.（3）.（4）. 【解析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以当时，. （4）因为，所以. 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题. 5．已知，且，求证： 【答案】证明见解析． 【详解】因为，且，可得，， 所以， 所以，可得， 又因为， 所以， 所以，所以， 因为，由不等式的性质，可得，故． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等式与不等式性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 等式的性质 3 知识点2 比较两个实数大小 3 知识点3 不等式的性质 4 知识点4 糖水不等式及其变形 4 知识点5 对数型糖水不等式及其变形 5 题型破译 5 题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确 5 【方法技巧】由已知条件判断所给不等式是否正确 题型2 由不等式关系，求解不等式范围 6 【方法技巧】由不等式关系，求解不等式范围 题型3 作差法或作商法比较式子大小关系 7 题型4 由不等式性质证明不等式 8 题型5 糖水不等式及其应用 8 04真题溯源·考向感知 9 05课本典例·高考素材 9 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）集合等知识点中的载体计算 （2）由已知条件判断所给不等式是否正确 （3）不等式的大小关系比较 单选题 填空题 解答题 北京卷T6（4分） 北京卷T9（4分） / 考情分析： 北京卷中等式与不等式的性质常作为载体内容在集合、函数、数列、三角函数等知识点呈现，需熟练掌握相 关计算。也会结合基本不等式来判断所给不等式是否正确及进行不等式的大小关系比较，分值4分，难度中等偏下。 复习目标： 1.了解等式与不等式的性质. 2.会结合已知条件判断所给不等式是否正确. 3.会进行不等式的大小关系比较. 4.会在集合、函数、数列、三角函数等知识点中进行相关的不等式关系求解. 5.会使用糖水不等式和对数型糖水不等式进行快速求解. 知识点1 等式的性质 性质1 如果，那么__________； 性质2 如果，，那么___ _； 性质3 如果，那么___ _； 性质4 如果，那么__________； 性质5 如果，，那么___ _； 自主检测下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 知识点2 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 自主检测已知，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 知识点3 不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 2 传递性 3 可加性 推论1：； 推论2： 4 可乘性 ； 推论3：； 推论4： （，）； 推论5： 5 取倒数 自主检测若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点4 糖水不等式及其变形 若实数a，b，c，满足，，则_____，_____，(b－m＞0)；_____；__ ___，(b－m＞0)（用不等号填空）． 自主检测已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点5 对数型糖水不等式及其变形 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 自主检测克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则 A． B． C． D． 题型1 由已知条件判断所给不等式是否正确 例1-1若，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例1-2（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 由已知条件判断所给不等式是否正确 （1） 直接法：依据不等式基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等 ），结合已知条件直接推导判断。 （2）特殊值法：选取满足已知条件的特殊数值代入不等式，验证是否成立。 （3）作差（商）法：对不等式两边作差（商），结合已知条件判断差（商）的正负，进而确定不等式是否成立（作商法需注意正负），部分复杂式子判断可用此思路延伸。 【变式训练1-1】已知，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】，下列不等式恒成立的是（        ） A． B． C． D． 【变式训练1-3·变载体】若，且，则（    ） A． B． C． D． 题型2 由不等式关系，求解不等式范围 例2-1已知，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例2-2若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 由不等式关系，求解不等式范围 （1）直接运算：依据不等式基本性质，对已知不等式变形求解即可． （2）线性组合：若求多个式子线性组合的范围，先将目标式表示为已知范围式子的线性组合，再利用不等式性质，分别求各组合部分范围后“同向可加”即可. 【变式训练2-1】已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3·变载体】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4·变载体】若实数，且，则的取值范围是 . 题型3 作差法或作商法比较式子大小关系 例3-1如果，比较与的大小并证明． 例3-2已知，试比较与的大小. 【变式训练3-1】设，，则M与N的大小关系为 . 【变式训练3-2·变载体】若，则与的大小关系是 ．（用“>”连接） 【变式训练3-3·变载体】若，求证：． 【变式训练3-4·变载体】（1）比较与的大小； （2）已知，比较与大小 题型4 由不等式性质证明不等式 例4-1（1）证明：； （2）已知，，且，求证：. 【变式训练4-1】已知为正实数．求证：. 【变式训练4-2】已知，求证. 【变式训练4-3·变载体】证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则” 题型5 糖水不等式及其应用 例5-1克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则 .（填“>，<，=，≥，≤”之一）. （2），，则M N（填“>，<，=，≥，≤”之一）. 【变式训练5-2】若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 1．已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．已知，，，则 C．若，则 D．若，则 3．用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么 ; (2)如果,,那么 ; (3)如果,那么 ; (4)如果,那么 . 4．比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 5．已知，且，求证： 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$