第一章勾股定理 习题课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

2　一定是直角三角形吗 1．[2025·漳州期末]在下列各组数中，是勾股数的是( ) A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．0.6，0.8，1 2．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别是a，b，c，根据下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( ) A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B．∠A＝∠C－∠B C．a＝10，b＝24，c＝26 D．(a＋b)(a－b)＝c2 4．已知三角形的三边长a，b，c满足(b2＋a2)(b－a)＝bc2－ac2，则△ABC是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．[2024·葫芦岛期中]如图，李伯伯家有一块四边形田地ABCD，其中∠A＝90°，AB＝3 m，BC＝12 m，CD＝13 m，AD＝4 m，则这块地的面积为( ) A．36 m2 B．42 m2 C．66 m2 D．72 m2 6．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点O是三条角平分线的交点，则△BOC的BC边上的高是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝___°. (点A，B，P是网格线交点) 45 8．若9，41，m是一组勾股数，则m的值为___． 9．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，D是BC边所在直线上的点， AD＝12，BD＝9，则△ABC的面积为_______． 40 84或24 10．一块田地的形状如图所示，已知AB＝13 m，BC＝12 m， CD＝3 m，AD＝4 m，∠ADC＝90°，则该田地的面积为___m2. 24 11．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小 格的顶点叫作格点，小明以格点为顶点画出了△ABC. (1)小华看了看说，△ABC是直角三角形，你同意他的观点吗？ 说明理由； (2)在△ABC中，求AC边上高的平方． 解：(1)我同意他的观点； 理由：由勾股定理，得 AB2＝32＋12＝10，BC2＝32＋12＝10， AC2＝22＋42＝20， 所以AB2＋BC2＝AC2， 所以△ABC是直角三角形； 12．如图，四边形ABCD的三边(AB，BC，CD)和BD的长度都为5 cm， 动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线AB－BD运动，动点Q从点 D出发以2.8 cm/s的速度沿折线DC－CB－BA运动，5 s时，点P， Q相距3 cm，试确定5 s时△APQ的形状． 解：因为5 s时P点运动路程为2×5＝10(cm)， AB＋BD＝10 cm， 所以此时P与D重合． 因为5 s时Q点运动路程为2.8×5＝14(cm)， DC＋CB＋BA＝15 cm， 所以Q在AB边上，且BQ＝4 cm， 如图，连接PQ， 在△BPQ中，因为BQ＝4 cm，PQ＝3 cm，BP＝5 cm， 所以BQ2＋PQ2＝BP2，所以△BPQ为直角三角形，∠BQP＝90°， 所以∠AQP＝180°－∠BQP＝90°， 所以△APQ为直角三角形． 13.[规律探究][2025·南京期末]【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数(a，b，c)，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如(6，8，10)(9，12，15)(12，16，20)等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如(5，12，13)(8，15，17)等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数(a，b，c)才能满足关系式a2＋b2＝c2.设(a，b，c)为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数(11， ， )；观察可得，表1中b，c与a2之间的关系是 ； (2)根据表2的规律写出勾股数(16， ， )；观察可得，表2中b，c与a2之间的关系是 ； (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？(请用勾股定理的形式直接写出结果，例如32＋42＝52) 3．若一个三角形的三边长为5，12，13，则这个三角形最长边上的高为( ) A．12 B．eq \f(12,5) C．eq \f(30,13) D．eq \f(60,13) (2)由(1)，得△ABC是直角三角形，AB2＝BC2＝10，∠ABC＝90°. 设AC边上高的长为h， 所以S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)AC·h， 所以AB2·BC2＝AC2·h2， 所以h2＝5， 所以AC边上高的平方为5. 解：(1)60，61，a2＝b＋c； (2)63，65，eq \f(1,2)a2＝b＋c； (3)由题意得c＝145， 如果满足表1的规律，那么b＝c－1＝144，a2＝b＋c＝144＋145＝289， 所以a＝17， 且172＋1442＝1452，符合题意； 如果满足表2的规律，那么b＝c－2＝143， eq \f(1,2)a2＝b＋c＝143＋145＝288， 所以a＝24， 且242＋1432＝1452，符合题意； 综上所述，这组勾股数可能为172＋1442＝1452或242＋1432＝1452. $$第一章 勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时　认识勾股定 1．若直角三角形的三边长为3，4，m，则m2的值为( ) A．10 B．7 C．25 D．25或7 2．如图是4×4方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的面积为( ) A．12 B．9 C．8 D．10 3．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E.若AB＝4，AD＝8，则△BDE的面积是( ) A．5 B．10 C．15 D．20 4．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝1，BC＝4，则AB2＋CD2等于( ) A．14 B．15 C．16 D．17 6．在Rt△ABC中，斜边BC2＝9，则AB2＋AC2＋BC2的值为___． 7．若一个直角三角形的两直角边长分别是5和12，则斜边长 为___． 8．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若CE＝2，BE＝3，则正方 形ABCD的面积为__． 18 13 5 9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，以斜边AC和直 角边BC为直径的半圆面积分别记为S1，S2，则S1－S2＝____． (结果保留π) 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7，AB＝25，AD 是∠BAC的平分线，若M，N分别是AD和AC上的动点，则MC＋MN 的最小值是____． 解析：如图，在AB上截取AN1＝AN，过C作CH⊥AB， 因为AD平分∠CAB， 所以∠MAN＝∠MAN1， 在△MAN和△MAN1中 所以△MAN≌△MAN1(SAS)， 所以MN＝MN1， 11．某滑雪台的截面示意图如图所示，已知滑雪台的高度AC为7 米，滑雪台的长度AB为25米，则滑雪台水平距离BC长为多少米？ 解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，AC＝7，由勾股定理得BC2＝AB2－AC2＝252－72＝576，所以BC＝24. 答：滑雪台整体的水平距离BC为24米． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C 所对应的边． (1)已知a＝16，b＝12，求c的长； (2)已知c＝13，b＝12，求a的长． 解：(1)因为∠C＝90°，a＝16，b＝12， 所以c2＝a2＋b2＝162＋122＝400， 所以c＝20； (2)因为∠C＝90°，c＝13，b＝12， 所以a2＝c2－b2＝132－122＝25， 所以a＝5. 13．古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC.某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5 m. (1)若AB＝7.5 m，AE＝15.5 m，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长；(保留一位小数，参考数据：10.6072≈112.5) (2)若BE的长为12 m，CD比BC长6.5 m，求桥面的宽AB. 解：(1)依题意得四边形DFBE是长方形， 所以BF＝DE＝1.5 m，DF＝BE， 因为AB＝7.5 m，AE＝15.5 m， 所以BC＝AB＝7.5 m，DF＝BE＝AE－AB＝15.5－7.5＝8(m)， 所以CF＝BC－BF＝7.5－1.5＝6(m)， 在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2， 所以AC2＝112.5，AC≈10.607， 在Rt△CDF中，CD2＝CF2＋DF2， 所以CD＝10， 绳长为AC＋CD＝10.607＋10≈20.6(m)； (2)由题意得DF＝BE＝12 m， 在Rt△CDF中，CD2＝CF2＋DF2， 设CD＝x，BC＝x－6.5， 因为BF＝1.5， 所以CF＝BC－BF＝x－6.5－1.5＝x－8， 即x2＝(x－8)2＋122， 解得x＝13， BC＝x－6.5＝13－6.5＝6.5， 所以AB＝BC＝6.5 m. 14．[2025·长春期末]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝4， CD＝2. 【提出问题】 (1)当AD＝3时，AB2－AC2＝ ；当AD＝4时， AB2－AC2＝ ；当AD＝5时，AB2－AC2＝ ； (2)猜想：小明发现无论线段AD的长度是多少，AB2－AC2的值始 终不变，值为 ； 【解决问题】 (3)小明的猜想是正确的吗？如果正确请给予证明；如果不正确请举出反例； 【应用结论】 (4)当AB－AC＝1时，△ABC的周长为 ． 解：(1)12，12，12； (2)12； (3)正确，证明如下： 证明：因为AD⊥BC， 所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，AB2＝BD2＋AD2， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2， 所以AB2－AC2＝(BD2＋AD2)－(AD2＋CD2)＝BD2－CD2＝42－22＝12； (4)18. 5．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝12，∠C＝90°，将△ABC折叠后点A恰好落在BC边上的点D处，折痕为MN，CD＝eq \f(1,3)BC，则线段CN的长为( ) A．2 B．3 C．eq \f(5,3) D．eq \f(10,3) eq \f(25,8)π eq \f(168,25) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AM＝AM，,∠MAN＝∠MAN1，,AN＝AN1，)) 所以MC＋MN＝MC＋MN1， 所以当MC＋MN1＝CH时，取得最小值， 因为∠ACB＝90°，AC＝7，AB＝25， 所以BC2＝AB2－AC2＝252－72＝576， 所以BC＝24， 因为eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·CH， 所以eq \f(1,2)×7×24＝eq \f(1,2)×25·CH， 解得CH＝eq \f(168,25). $$3　勾股定理的应用 1．小明从家出发向正北方向走了60 m，接着向正东方向走到离家100 m远的地方，小明向正东方向走了( ) A．60 m B．80 m C．100 m D．160 m 2．[2024·张家口期末]如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B，A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行( ) A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 3．如图，从电线杆高于地面6 m的C处，向地面拉一条10 m长的缆绳AC，那么固定点A到电线杆底部B的距离为( ) A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m 4．[2025·青岛期末]《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺(1丈＝10尺)，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”设木长x尺，依题意，下列方程正确的是( ) A．x2＝(x－1)2＋12 B．(x＋1)2＝x2＋102 C．x2＝(x－1)2＋102 D．(x＋1)2＝x2＋12 5．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2，则图2中阴影部分面积等于( ) A．直角三角形的面积 B．最小正方形的面积 C．两个较小正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 6．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30 cm.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，若知道红莲移动的水平距离为60 cm，则水深是( ) A．35 cm B．40 cm C．50 cm D．45 cm 7．如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端 拉到离旗杆底端(BC)6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度 为__米． 8 8．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5 m， 将它往前推送1.5 m(水平距离BC＝1.5 m)时，秋千的踏板离地 的垂直高度BF＝1 m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 ____m. 2.5 9．[2025·宁波期末]如图，甲船以20千米/时的速度从港口A向 正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东 方向航行，行驶2小时后，两船相距___千米． 50 10．[2025·连云港期末]如图，经过A村和B村(将A，B村看成直线l上的点)的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为300米， C处与B村的距离为400米，且AC⊥BC. (1)求A，B两村之间的距离； (2)为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 解：(1)在Rt△ABC中，AC＝300米，BC＝400米， 所以AB2＝AC2＋BC2＝3002＋4002＝250 000，所以AB＝500(米)． 答：A，B两村之间的距离为500米； (2)公路AB有危险而需要封锁． 理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D.以点C为圆心，250米为半 径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF， 因为EC＝FC＝250米， 所以ED2＝2502－2402＝4 900， 所以ED＝70(米)， 故EF＝2ED＝140米， 则需要封锁的路段长度为140(米)． 11．[2025·万州期末]放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在F处，先测得他抓线的地方与地面的距离AB为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离BC为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米． (1)求此时风筝的垂直高度EF的长； (2)若放风筝的同学站在点A不动，风筝沿EF的方向继续上升到D处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿EF方向上升的高度FD的长． 解：(1)因为BC＝15米，BF＝17米，BC⊥DE， 所以FC2＝BF2－BC2＝64，所以FC＝8米， 因为AB＝1.5米， 所以CE＝AB＝1.5米， 所以FE＝FC＋CE＝8＋1.5＝9.5(米)； (2)因为风筝线又放出了8米， 所以BD＝BF＋8＝25米， 所以CD2＝BD2－BC2＝400，所以CD＝20米， 所以DF＝DC－FC＝20－8＝12米． 12.[将军饮马模型]如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸DC的距离AC，BD的长分别为5 km和10 km，且C，D两点的距离为8 km，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走多少距离？ 解：作点A关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸于点P，连接PA，过点A′作A′B′⊥BD交BD的延长线于点B′. 则PB＋PA＝PB＋PA′＝BA′时路线最短，故牧童应将牛赶到河边的点P处． 因为B′D＝A′C＝CA＝5 km， 所以BB′＝BD＋DB′＝10＋5＝15(km)． 因为A′B′＝CD＝8 km， 所以BA′2＝BB′2＋A′B′2＝152＋82＝289， 所以BA′＝17 km. 所以牧童最少要走的距离为17 km. 因为S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CD＝eq \f(1,2)BC·AC， 所以CD＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(300×400,500)＝240(米)． 由于240米<250米，故有危险， 因此AB段公路需要封锁． $$专题训练一　勾股定理与图形折叠 方法指导：解决图形折叠问题的关键是抓住对称性，即折叠前后的对应角和对应边相等．勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时可以利用勾股定理直接计算，也可以根据题目的情境设未知数由勾股定理列出方程，运用方程思想解决问题． 1．如图，把一张长为4，宽为2的长方形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为( ) A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4 解析：①如图1，当点E在线段DC上时． 当∠ED′A＝∠D＝∠AD′B＝90°时， B，D′，E三点共线． 因为S△ABE＝ AB·AD＝ BE·AD′， 所以BE＝AB＝5. 因为BD′2＝AB2－AD′2＝52－32＝16， 所以BD′＝4， 所以DE＝D′E＝BE－BD′＝5－4＝1； ②如图2，当点E在DC的延长线上时． 因为∠AD′B＝∠BCE＝90°，AD′＝AD＝BC＝3，AB＝CD＝5， 所以BD′＝4. 设CE＝x，则D′E＝DE＝x＋5， 所以BE＝D′E－BD′＝x＋1. 因为CE2＋BC2＝BE2， 所以x2＋32＝(x＋1)2， 解得x＝4， 所以DE＝CD＋CE＝5＋4＝9. 综上所述，DE的长为1或9. 3．如图，在长方形ABCD中，DC＝9.在DC上找一点E，沿直线AE 把△AED折叠，使D点恰好落在BC上的点F处，若△ABF的面积是 54，则DE的长为__． 5 4．[2025·石景山期末]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝4， CB＝6，D是BC的中点，E是AC边上一点，连接DA，DE.将△DCE沿 直线DE翻折，点C恰好落在DA上的点F处． (1)AD的长为__； (2)CE的长为___． 5 5．[2025·榆林期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3， BC＝4，D是边BC上一动点，连接AD.将△ABD沿着直线AD翻折．使 点B落到点B′处，得到△AB′D. (1)如图1，当点B′在线段AC的延长线上时，连接BB′，求BB′2； (2)如图2，当DB′∥AC时，求∠CAD的度数． 解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝3，BC＝4， 所以AB2＝AC2＋BC2＝25，所以AB＝5， 由折叠得，AB′＝AB＝5， 所以B′C＝AB′－AC＝5－3＝2， 所以BB′2＝BC2＋B′C2＝42＋22＝20； (2)因为DB′∥AC，∠ACB＝90°， 所以∠CDB′＝90°， 所以∠BDB′＝90°. 由折叠的性质得∠ADB＝∠ADB′. 因为∠ADB＋∠ADB′＋∠BDB′＝360°， 所以∠ADB′＝135°， 所以∠ADC＝∠ADB′－∠CDB′＝135°－90°＝45°， 所以∠CAD＝180°－90°－45°＝45°. 6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△DEB沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′. (1)如图1，如果点B′和顶点A重合，求CE的长； (2)如图2，如果点B′落在AC的中点处，求CE的长． 2．如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，点E为射线DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′B，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为( ) A．1或4 B．eq \f(4,3)或9 C．1或9 D．eq \f(4,3)或1 eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(3,2) 解：(1)若点B′和顶点A重合，由折叠的性质得AE＝BE， 设CE＝x，则AE＝BE＝BC－CE＝8－x， 因为∠C＝90°， 所以由勾股定理得AC2＋CE2＝AE2， 所以62＋x2＝(8－x)2， 解得x＝eq \f(7,4)，所以CE＝eq \f(7,4)； (2)因为点B′落在AC的中点处， 所以CB′＝eq \f(1,2)AC＝3. 设CE＝y，则B′E＝BE＝BC－CE＝8－y， 因为∠C＝90°， 所以由勾股定理得B′C2＋CE2＝B′E2， 所以32＋y2＝(8－y)2， 解得y＝eq \f(55,16)，即CE的长为eq \f(55,16). $$第一章综合测试卷 一、选择题(共10小题，每题3分) 1．[2025·扬州期中]我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是( ) A．1，1，2 B．1，3，2 C．3，4，5 D．0.5，1.2，1.3 2．[2025·沧州期末]如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若∠C＝90°，BC＝4米，AB＝5米，则边AC需要的篱笆长为( ) A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD为∠BAC的平分线，则△ADC的面积为( ) A．3 B．10 C．12 D．15 5．[2025·咸阳期中]如图△ABD中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知CB＝9，AB＝17，AD＝8，则DC的长是( ) A．8 B．9 C．6 D．15 6．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在表格中： 则当a＝18时，b＋c的值为( ) A．242 B．200 C．128 D．162 a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 7．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm， 底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭 粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁上的点A处，且离容器上沿 3 cm，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是( ) A．12 cm B．13 cm C．14 cm D．15 cm 8．如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水面上的鱼线BC长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为8 m，则BB′的长为( ) A．1 m B．2 m C．3 m D．4 m 9．[2025·东营期中]有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2 024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( ) A．2 025 B．2 024 C．2 023 D．1 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，给出下列结论：①S△ABC＝S△BEH　②过点B作BI⊥EH于点I，延长IB交AC于点J，则BJ平分∠ABC　③若AB2＝2，则EH2＋FN2＝10.其中错误的结论有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题(共6小题，每题3分) 11．如图以直角三角形三条边为分别向外作三个正方形，其中 两个正方形的面积分别为225和289，则图中正方形字母A所代 表的正方形的面积为___． 64 12．[2025·长沙期末]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ 12，BC＝5，AN＝AC，BM＝BC，则MN的长为__． 4 13．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器 人从A点先往东走8 m，又往北走3 m，遇到障碍后又往西走4 m， 再转向北走9 m，最后往东拐仅走1 m就到达B点．A，B两点之 间的距离为___ m. 13 14．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC上的点F处， 已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，则EC的长为__ cm. 3 15.[数学文化][2025·扬州期中]如图，清代数学家梅文鼎在 《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 ABCD的方法证明了勾股定理．连接CE，若CE＝5，BE＝4，则正 方形ABCD的面积为___． 17 16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为 直角边作三个等腰直角三角形：△ABD，△ACE，△BCF，若图中 阴影部分的面积S1＝6.2，S2＝4.3，S3＝5.5，则S4＝____． 3.6 三、解答题(共7小题，共72分) 17．(9分)[2025·吉林期中]如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图1中画出一个以BC为一边，面积为12的三角形； (2)在图2中画出一个以AB为腰的等腰三角形． 解：(1)如图1，△ABC即为所求作的三角形；(答案不唯一) (2)如图2，△ABC即为所求作的三角形．(答案不唯一) 18．(10分)[2025·驻马店期末]如图，A，B是某小区花坛的两个喷泉，AC是一条小路，两个喷泉间的距离AB的长为25 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为12 m，BM的长为15 m. (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)请求出喷泉B到小路AC的最短距离． 解：(1)由题意得MN⊥AB，AB＝25 m，MN＝12 m，BM＝15 m， 在Rt△BMN中，∠BNM＝90°， 所以BN2＝BM2－MN2＝81， 所以BN＝9 m， 所以AN＝AB－BN＝25－9＝16(m)， 在Rt△AMN，∠ANM＝90°， 所以AM2＝AN2＋MN2＝400， 所以AM＝20(m)， 所以AM＋BM＝20＋15＝35(m)， 即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为35 m； (2)在△ABM中，AB＝25 m，AM＝20 m，BM＝15 m， 因为BM2＋AM2＝152＋202＝625＝252＝AB2， 所以△ABM是直角三角形，∠AMB＝90°， 所以BM⊥AC， 所以喷泉B到小路AC的最短距离为BM＝15 m. 19．(9分)[2025·济宁期中]如图所示，在设计修建桥洞时，为使车辆顺利通过，一般设计为上边为半圆形，下边为长方形的桥洞，设计一桥洞下面长方形的一边长是2.3 m. (1)如果设计半圆的直径为2 m单行道的桥洞，一辆装满货物的卡车，高2.5 m，宽1.6 m，那么，此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由； (2)为了适应车流量的增加，设计把桥洞改为双行道，要使宽为1.2 m，高为2.8 m的卡车能刚好安全通过，那么此桥洞半圆的直径应设计成多少米？ 解：(1)这辆卡车能通过，理由如下： 如图1，MN为卡车的宽度， 过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足， CD＝MN＝1.6 m，AB＝2 m，CE＝DE＝0.8 m， 又因为OC＝OA＝1 m， 在Rt△OCE中，OE2＝OC2－CE2＝0.36，OE＝0.6(m)， 所以CM＝2.3＋0.6＝2.9(m)>2.5(m)． 所以这辆卡车能通过； (2)如图2，CE为卡车的宽度，过E作AO的垂线交半圆于点B，交AO于点F，作BG⊥CO，连接OB， 根据题意得CG＝BE＝2.8 m，BG＝OF ＝1.2 m，EF＝AD＝2.3 m， 所以BF＝0.5 m， 所以根据勾股定理得OA2＝OB2＝BF2＋OF2＝0.52＋1.22＝1.69， 所以OA＝1.3(m)， 所以此桥洞半圆的直径应设计成2.6 m. 20.[手拉手模型](10分)[2024·三明期中]如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角△PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点P在AB的延长线上，在(1)中所猜想的PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 解：(1)结论：PB2＋PA2＝PQ2，理由如下： 如图1，连接BQ， 因为△ABC，△PCQ均为等腰直角三角形， ∠ACB＝∠PCQ＝90°， 所以CA＝CB，CP＝CQ, ∠ACP＝∠BCQ，∠CAB＝∠CBA＝45°， 在△CAP和△CBQ中， 所以△CAP≌△CBQ(SAS)， 所以PA＝BQ，∠CAP＝∠CBQ＝45°， 所以∠PBQ＝∠ABC＋∠CBQ＝90°， 在Rt△PBQ中，因为PB2＋BQ2＝PQ2， 所以PB2＋PA2＝PQ2； 所以PA＝BQ，∠CAP＝∠CBQ＝45°， 所以∠ABQ＝∠ABC＋∠CBQ＝90°，即∠PBQ＝90°， 在Rt△PBQ中，因为PB2＋BQ2＝PQ2， 所以PB2＋PA2＝PQ2. 21．(10分)如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，P为边BC上一点，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，DE，PE分别交AB于点F，G，已知GE＝GB. (1)试说明：△GEF≌△GBP； (2)求BF的长． 22.[分类讨论](12分)[2024·佛山期末]如图，在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，AB＝10 cm，AC＝6 cm，动点P从点B出发沿射 线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s. (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 解：(1)在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝102－62＝64， 所以BC＝8 cm； (2)由题意知BP＝2t cm， (3)①当AB＝BP＝10时，t＝5； ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16 cm，t＝8； 23.[综合实践](12分)[2025·无锡期中]【项目主题】监控器如 何布设才最优 【项目背景】监控器有效监测距离为500 m，最大旋转角度为 90°.村落、河流如图1所示，河流南岸长5 000 m．监控布设 线l距离河流300 m，l上任意两个监控(M1，M2……)之间的距离 相等． 【项目方案】 (1)方案1：如图1所示，从河流南岸边缘A点处起，使AM1＝500 m， BM1⊥AB，即AB为监控器M1监测范围．以此类推继续设置监控器， 至少需要布设多少监控器？ (2)方案2：如图2所示，AB为监控器M1监测范围，BC为监控器M2监 测范围，AM1⊥BM1，BM2⊥CM2，此时BM1＝CM2＝375 m，至少需要布 设多少监控器？ (3)【项目总结】我认为方案 是最优方案． 解：(1)因为AM1＝500 m，BM1＝300 m，BM1⊥AB， 在Rt△ABM1中，AB2＝AM12－BM12＝5002－3002＝160 000， 所以AB＝400 m. 又因为河流的长度是5 000 m， 所以5 000÷400＝12.5， 所以至少要布设13个监控； (2)因为AM1⊥BM1，AM1＝500 m，BM1＝375 m， 所以在Rt△AM1B中，AB2＝AM12＋BM12＝390 625， 所以AB＝625 m，5 000÷625＝8， 所以至少需要布设8个监控器； (3)2. 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.若AC＝6，BC＝8，则AD的长为( ) A．5 B．7 C．eq \f(13,2) D．eq \f(25,4) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CA＝CB，,∠ACP＝∠BCQ，,CP＝CQ，)) (2)PB2＋PA2＝PQ2.证明如下： 如图2，连接BQ， 因为△ABC，△PCQ均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠PCQ＝90°， 所以CA＝CB，CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，∠CAB＝∠CBA＝45°， 在△CAP和△CBQ中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CA＝CB，,∠ACP＝∠BCQ，,CP＝CQ，)) 所以△CAP≌△CBQ(SAS)， 解：(1)证明：因为四边形ABCD是长方形， 所以∠B＝∠C＝90°， 由翻折得∠E＝∠C＝90°， 所以∠E＝∠B， 在△GEF和△GBP中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠E＝∠B，,GE＝GB，,∠EGF＝∠BGP，)) 所以△GEF≌△GBP(ASA)； (2)因为△GEF≌△GBP，所以BP＝EF，FG＝GP， 因为GE＝GB，所以BF＝PE， 设BP＝EF＝x，则PC＝PE＝BF＝3－x， 因为DE＝DC＝4， 所以DF＝4－x，AF＝AB－BF＝4－(3－x)＝1＋x， 在Rt△ADF中，AD2＋AF2＝DF2， 即32＋(1＋x)2＝(4－x)2，解得x＝eq \f(3,5)， 所以BF＝CP＝3－eq \f(3,5)＝eq \f(12,5). ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8 cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝2t cm，CP＝(2t－8) cm，AC＝6 cm， 在Rt△ACP中，AP2＝62＋(2t－8)2， 在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2， 即102＋[62＋(2t－8)2]＝(2t)2，解得t＝eq \f(25,4)， 故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝eq \f(25,4)； ③当BP＝AP时，AP＝BP＝2t cm，CP＝|2t－8| cm，AC＝6 cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2， 所以(2t)2＝62＋(2t－8)2，解得t＝eq \f(25,8)， 综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝eq \f(25,8). $$第一章　章末能力突破 3．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三边长的平方为( ) A．16 B．4或34 C．16或34 D．4或24 5．△ABC的三边a，b，c满足(a－13)2＋|b－12|＋|c－5|＝0，则△ABC为( ) A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C.等边三角形 D．直角三角形 6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，∠B＝90°，∠D＝α，则∠BCD＝( ) A．α B．90°－α C．45°＋α D．135°－α 7．如图，一个长、宽、高分别为4 cm，3 cm，12 cm 的长方体盒子能容下的最长木棒长为( ) A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm 8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，则AB的长是( ) A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 二、填空题 9.[数学文化]青朱出入图(图1)是东汉末年数学家刘徽根据“割 补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青 入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形 全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若 记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长 为b，已知b－a＝3，a2＋b2＝29，则图2中的阴影部分面积为___． 10 10．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千 未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女 佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．” 此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距 离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即 A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D 就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千 的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为_____尺． 14.5 三、解答题 11．[2025·丽水期末]已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F. (1)求证：△ADC≌△FDB； (2)若BD＝12，AC＝13，求AD的长． 解：(1)证明：因为CD⊥AB，BE⊥AC， 所以∠ADC＝∠FDB＝90°， 所以∠A＋∠DBF＝∠A＋∠ACD＝90°， 所以∠DBF＝∠ACD， 因为∠ABC＝45°，CD⊥AB， 所以∠BCD＝∠ABC＝45°， 所以DB＝DC. 所以△ADC≌△FDB(ASA)； (2)因为△ADC≌△FDB， 所以AD＝DF，AC＝BF＝13， 在Rt△FDB中，BD＝12， 所以DF2＝BF2－BD2＝25，DF＝5， 所以AD＝5. 12．[2025·咸阳期末]如图是“梦起航”游乐场的部分平面图，摩天轮和淘气堡均在入口A的正北方向，入口A和出口B在同一条直线上，DA⊥AB，测得AB＝80 m，AD＝135 m，BC＝100 m. (1)求摩天轮C到淘气堡D的距离； (2)现要在距离摩天轮45 m的E处修建游 乐项目旋转木马(CE＝45 m)，点B，C， E在同一条直线上，此时恰好DE⊥EC， 求淘气堡D到旋转木马E的距离． 解：(1)因为DA⊥AB， 所以∠BAC＝90°. 因为AB＝80 m，BC＝100 m， 所以AC2＝BC2－AB2＝1002－802＝3 600，AC＝60(m)． 因为AD＝135 m，点C，D均在点A的正北方向，即点A，C，D在同一条直线上， 所以CD＝135－60＝75(m)． 答：摩天轮C到淘气堡D的距离为75 m； (2)因为DE⊥EC， 所以∠DEC＝90°， 因为CD＝75 m，CE＝45 m， 所以DE2＝CD2－CE2＝752－452＝3 600，DE＝60(m)， 答：淘气堡D到旋转木马E的距离为60 m. 一、选择题 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按如图所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则点D到AB的距离是( ) A．3 B．4 C．5 D．eq \f(12,5) 2．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为( ) A.eq \f(4,5) B．eq \f(8,5) C．eq \f(16,5) D．eq \f(24,5) 4. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的有( ) ①∠A－∠B＝∠C ②(b＋a)(b－a)＝c2 ③∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶2 ④a2∶b2∶c2＝3∶4∶5 ⑤a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(1,4)，c＝eq \f(1,5) ⑥∠A∶∠B∶∠C＝1∶eq \f(1,2)∶eq \f(1,3) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 $$第2课时　验证勾股定理 1．[2025·淮安期末]如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是( ) A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 2．下列选项中(图中三角形都是直角三角形)，不能用来验证勾股定理的是( ) 4．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定 理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a，b， 斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可 以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是 (用含有a，b，c的式子表示)______，__________． c2＋ab a2＋b2＋ab 5．[2025·宿迁期末改编]把一个直立的火柴盒ABCD放倒(如图 所示)后变成AB′C′D′，通过不同的方法计算梯形B′C′CD的 面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 6．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，巧妙且各有不同，其 中的“面积法”给了小聪以灵感． 他将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中∠DAB＝90°. 请帮助小聪证明：a2＋b2＝c2. 7．[2024·赣州期末]【课本再现】(1)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：a2＋b2＝c2； 【类比迁移】(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a＝3，b＝4，求空白部分的面积． 8．[2025·常州期末]勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角△BCA和△DEB按如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠ABC＝∠BDE＝90°，可得AC⊥BE.请用a，b，c分别写出梯形ABDE，四边形ABCE，△CDE的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2＋b2＝c2； (2)若图1中a＝3，b＝4，图3方格纸中的小正方形的边长为1， 请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3、 图4的五边形中，并涂上阴影，则图3中空白部分的面积为 ， 图4中空白部分的面积为 ，从而得到a2＋b2＝c2； (3)用(2)中4个全等的直角三角形(AH＝AI＝a＝3，BH＝ID＝b＝4)拼成如图5所示的形状，则这个图形外围轮廓(实线)的周长为 ． (2)如图3，图4所示， 因为a＝3，b＝4， 所以图3中空白面积＝c2＝a2＋b2＝32＋42＝25； 图4中空白面积＝a2＋b2＝32＋42＝25. 故答案为：25，25； (3)因为a＝3，b＝4，∠AHB＝90°， 所以AB＝5， 因为△ABH≌△AFH≌△ADI≌△ADG， 所以AD＝AF＝AB＝5， 所以DH＝AD－AH＝5－3＝2，BI＝AB－AI＝5－3＝2， 所以DH＝BI， 因为∠DCH＝∠BCI，∠CHD＝∠BIC＝90°， 所以△CIB≌△CHD(AAS)， 3．[2025·南阳期末]如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c.下列结论：①△ABC≌△CDE　②AC⊥CE　③四边形ABDE的面积是eq \f(1,2)a2＋ ab＋eq \f(1,2)b2　④a2＋b2＝c2.其中正确结论的个数是( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：连接AC，AC′， 由图形可知 S四边形B′C′CD＝S△ACC′＋S△ADC＋S△AB′C′， 则eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝eq \f(1,2)c2＋2×eq \f(1,2)ab， 所以eq \f(1,2)(a2＋b2)＋ab＝eq \f(1,2)c2＋ab， 所以a2＋b2＝c2. 证明：如图，连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a. 因为S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝eq \f(1,2)b2＋eq \f(1,2)ab， S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝eq \f(1,2)c2＋eq \f(1,2)a(b－a)， 所以eq \f(1,2)b2＋eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)c2＋eq \f(1,2)a(b－a)， 所以a2＋b2＝c2. 解：(1)证明：因为大的正方形的面积可以表示为(a＋b)2，又可以表示为c2＋4×eq \f(1,2)ab， 所以c2＋2ab＝a2＋b2＋2ab， 所以a2＋b2＝c2； (2)空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积－2个直角三角形的面积＝c2－2×eq \f(1,2)ab， 因为a＝3，b＝4， 所以空白部分的面积＝32＋42－2×eq \f(1,2)×3×4＝25－12＝13. 解：(1)证明：由题意可知AB＝BD＝b，BC＝DE＝a，AC＝BE＝c，CD＝ b－a， 因为AC垂直BE，所以S四边形ABCE＝S△ABC＋S△ACE＝eq \f(1,2)AC·BF＋eq \f(1,2)AC·EF＝eq \f(1,2)AC·BE. 所以S梯形ABDE＝S△DCE＋S四边形ABCE， 所以eq \f(1,2)(AB＋DE)·BD＝eq \f(1,2)CD·DE＋eq \f(1,2)AC·BE， 所以eq \f(1,2)b(a＋b)＝eq \f(1,2)a(b－a)＋eq \f(1,2)c2， 所以eq \f(1,2)b2＋eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)ab－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,2)c2， 所以a2＋b2＝c2； 所以CD＝BC， 设BC＝CD＝x，则CH＝BH－BC＝4－x， 所以Rt△CDH中，CH2＋DH2＝CD2， 所以(4－x)2＋22＝x2，解得x＝eq \f(5,2)， 所以BC＝CD＝eq \f(5,2)， 同理，得DE＝EF＝BC＝eq \f(5,2)， 所以这个图形外围轮廓(实线)的周长＝AB＋AF＋BC＋CD＋DE＋EF＝5＋5＋4×eq \f(5,2)＝20. 故答案为：20. $$☆ 问题解决策略：反思 几何体中最短路径基本模型如下： 2．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9 cm，内壁高12 cm.若这支铅笔长为18 cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是( ) A．3 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm 3．[2025·无锡期末]如图，长方体的底面边长分别为3 cm和 9 cm，高为7 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈 到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为( ) A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．25 cm 25 5．如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为 16 cm，在容器内壁离容器底部4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时 一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4 cm的点A处，若 蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20 cm，则该圆柱底面周长 为___ cm. 24 6．如图，一只蚂蚁从长为7 cm，宽为5 cm，高为9 cm的长方体 纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是___ cm. 15 7．[2025·锦州期末]如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几 何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路 径的长是__． 5 8．如图，有两条互相垂直的街道a和b，a路上有一小商店A，b 路上有一批发部B.小商店主人每次进货都沿着A—O—B路线到达 B处，然后原路返回．已知A，B两处距十字路口O的距离分别为 600米、800米，如果小商店主人重新选一条最近的路线，那么 往返一趟最多可比原来少走____米． 800 9．某会展中心在会展期间准备将高5 m、长13 m、宽2 m的楼道 铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完 这个楼道至少需要______元． 1 020 10．如图，观察图形解答下面的问题： (1)此图形的名称为 ； (2)把它的侧面沿AS剪开，铺在平面上，则它的侧面展开图是一 个 ； (3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的 食物，且它只能绕此立体图形的侧面爬行一周到C处．你能在侧面展开 图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？ (4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求 出蜗牛爬行的最短路程的平方． 解：(1)圆锥；(2)扇形； (3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，连接AC，则AC为蜗牛爬行的最短路线． (4)由题易知SC＝5. 在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125. 故蜗牛爬行的最短路程的平方为125. 1.如图所示，一个圆柱体高4 cm，底面直径eq \f(6,π) cm.一只蚂蚁在 圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处去吃食物，要爬行的最短路 程是( ) A．5 cm B．10 cm C．12 cm D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,π)＋4)) cm 4．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池的示意图，该U形池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 eq \f(40,π) m的半圆，其边缘AB＝CD＝20 m，点E在CD上，CE＝5 m．一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．(边缘部分的厚度忽略不计) $$