精品解析：浙江省宁波市宁波中学2025年 九年级数学大讲堂测试卷

宁波中学大讲堂测试 一．单选题（每题5分，共20分） 1. 已知关于x的方程有三个互不相等的正整数解，则b的值为（ ） A. B. C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方程的解，多项式给与多项式相乘，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 根据方程有三个互不相等的正整数解，不妨设方程三个解为m、n、p，且m、n、p均为互不相等的正整数，则，从而得到，因为m、n、p均为互不相等的正整数，又，所以方程的解为或或，代入即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵方程有三个互不相等的正整数解 ∴不妨设方程三个解为、、，且m、n、p均为正整数， ∴ ∴，， ∴ ∵m、n、p均为正整数，， ∴方程的解为或或， ∴ 故选：A． 2. 下列说法： ①已知，，满足，则； ②已知，，是正整数，，且，则，，； ③实数，，满足，，则代数式的值可以是6； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式及平方的非负性，二次根式的性质，不定方程的解，①利用完全平方公式及平方的非负性判定即可，②利用平方差公式转化成方程组，判定方程组的整数解即可，③两方程相减得，根据，得取值判断即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故①正确， ② ， ，，是正整数， ，都是整数， ， ， ， 而只能分解成和的乘积， ∴当时， 解得：，，或，，， 当时， 解得：，， ， ，与矛盾，不符合题意，舍去， 故②错误， ③实数，，满足，， 两方程相减得：， 当，均大于或等于时， 即， ， 则，故不成立， 当，有一个大于有一个小于时， ，故不成立， 当，都小于时，，不符合题意， 故③错误． 故正确的为：①，共个， 故选：B． 3. 二次函数的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点和点均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时， D. 若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为．则当或时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．由题意得到，即可判断A选项，当时，随着的增大而减小，即可判断B选项，抛物线开口向下，当时，函数有最大值，为，当时，，即可判断C选项，函数图象与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性得到函数图象与x轴的一个交点为，结合图象即可判断D选项． 【详解】解：由题意可知：对称轴为直线， ∴， 故选项A错误； 当时，随着的增大而减小， ∴若，则， 故选项B错误， ∵ ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值，为， ∴当时，，则， 故选项C正确； 若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为．即函数图象与x轴的一个交点为，根据抛物线的对称性得到函数图象与x轴的一个交点为， ∵抛物线开口向下， ∴由图象可知，当时，， 故选项D错误，   故选：C． 4. 如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意和三角形的面积公式列出函数关系进而判断①②，根据二次函数的性质，即可判断③． 【详解】解：由题意得：，， ，， ，， 当时，，故①正确； 当的面积为时，，解得：或，即有两个不同的值，都使的面积为，故②正确； ，， 当时，面积有最大值，其最大值为，故③错误； 故选：． 二．填空题（每题5分，共20分） 5. 多项式可分解为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分解因式的方法，先把变成，再根据提公因式法和十字相乘法分解因式即可． 【详解】解析：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解的方法——提公因式法和十字相乘法，解决此题的关键是要想到把分开用． 6. 当正整数_______时，分式的值也是正整数． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解． 【详解】解： ， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：或2或或8， ∵为正整数， ∴或2或8， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，当或8时，分式的值也是正整数． 故答案为：2或8． 7. 实数、、满足条件，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． 8. 若方程有两个质数根，则______． 【答案】3994 【解析】 【分析】 【详解】设的两根为，则．因1999必是一个偶数与一个奇数之和，且偶数中只有2为质数，故中必有一个为2，另一个为，所以．故填3994． 三．解答题（每题15分，共60分） 9. （1）因式分解：． （2）设表示不超过的最大整数（例如：，），求方程的解． 【答案】（1）；（2）或或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解一元一次方程与一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并充分理解新定义是解题的关键． （1）先将原式展开，对其进行重新分组得到，再分解即可； （2）首先令，可得方程，求得的值，然后由，可得关于的不等式组，解不等式组即可求得的值，则代入方程即可求得的值． 【详解】解：（1）原式 （2）令，则原方程变形为，解得， 易知， ，解得， 或或， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，原方程的解为或或． 10. 在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连接起来，如图所示，若小正方形面积为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质等知识点的理解与掌握．根据已知条件可得，，，然后过 作 于 ，证明，可得，将小正方形面积为，代入即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得，，，， ∴， 过 作 于 ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ （负值舍去）． 故答案为：41 ． 11. 已知p为质数，使二次方程的两根都是整数，求出p的所有可能值． 【答案】或7 【解析】 【分析】 【详解】为完全平方数，从而为完全平方数． 令，注意到，故，且n为整数，于是， 则中至少有一个是5的倍数，即（k为整数）． 则． 由p为质数，知或7． 当时，原方程变为，得； 当时，原方程变为，得． 所以，或7． 12. 如图1，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式： （2）如图2，过点作轴交二次函数图象于点，是二次函数图象上异于点的一个动点，连结、，若，求点的坐标； （3）如图3，若点是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点．是否存在点使的值最大．若存在请求出的最大值；若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设出两点式，待定系数法求出解析式即可； （2）当点在直线的上方时，过点作轴，交的延长线于点，待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，根据二次函数的对称性求出，根据题意求出，列出方程式，解方程求出的值，即可求出点的坐标；当点在的下方时，点和点重合，舍去； （3）作于，交于，根据，，表示出的长，根据相似三角形判定和性质即可求出的值，结合二次函数的最值即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图： 当点在直线的上方时， 过点作轴，交的延长线于点， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∵， ∴对称轴为， ∴， 即， 则，， ∵， ∴， 即， 解得：， 当时，， 当时，， ∴或； 当点在的下方时， 同理得出， ∴， ∴， 此时点和点重合，故舍去， ∴或； 【小问3详解】 解：存在，如图： 作于，交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数的对称性，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波中学大讲堂测试 一．单选题（每题5分，共20分） 1. 已知关于x的方程有三个互不相等的正整数解，则b的值为（ ） A. B. C. 7 D. 6 2. 下列说法： ①已知，，满足，则； ②已知，，是正整数，，且，则，，； ③实数，，满足，，则代数式的值可以是6； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 二次函数的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点和点均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时， D. 若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为．则当或时， 4. 如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题5分，共20分） 5. 多项式可分解为______． 6. 当正整数_______时，分式的值也是正整数． 7. 实数、、满足条件，则的值是________． 8. 若方程有两个质数根，则______． 三．解答题（每题15分，共60分） 9. （1）因式分解：． （2）设表示不超过的最大整数（例如：，），求方程的解． 10. 在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连接起来，如图所示，若小正方形面积为，求的值． 11. 已知p为质数，使二次方程的两根都是整数，求出p的所有可能值． 12. 如图1，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式： （2）如图2，过点作轴交二次函数图象于点，是二次函数图象上异于点的一个动点，连结、，若，求点的坐标； （3）如图3，若点是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点．是否存在点使的值最大．若存在请求出的最大值；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $