学易金卷：高二数学上学期第一次月考（北师大版2019选必一直线与圆+椭圆）

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A B A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （6分） （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为直线可化为， 令，则，故， 联立，解得，则圆心， 因为圆的半径为2，所以圆的方程为， 当所求直线斜率不存在时，此时直线方程为，易知与圆相切，符合题意； 当所求直线斜率存在时，设所求圆的切线方程为，即, 所以圆心到直线的距离为，解得, 所以切线方程为，即, 综上所述，所求圆的切线方程为或.（7分） （2）因为圆的圆心在直线：上，故设圆心为， 则圆的方程为， 又因为，故， 所以设为，则，设为圆，圆心，半径为， 则点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点， 所以，所以， 由，解得， 由，解得， 综上，的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）设动圆M的半径为r，的圆心，半径； 的圆心，半径. 圆相内切， 因为动圆M与外切，所以； 动圆M与内切，所以，则. 又. 因为， 根据椭圆的定义，点M的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆. 则，，根据，可得. 所以M的轨迹方程为.（6分） （2）设，. 因为A，B在椭圆上，所以. 两式相减得：. 因为N为线段AB的中点，所以，. 则直线AB的斜率. 直线AB的方程为，即. 设点P，则，即. 又中点在直线AB上，所以. 将代入上式得：. 解得，. 所以点P的坐标为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为圆心在直线上， 所以设，由圆过点，可得， 即， 所以， 整理得，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的方程为.（5分） （2）设，则， 因为， 所以的最小值为.（10分） （3）设，则以为直径的圆的圆心为， 记， 半径为， 则此圆的方程为， 即，记此圆为D. 因为直线为圆与圆的相交弦所在直线， 所以两圆方程作差可得直线的方程为， 即. 由，解得 所以直线恒过定点，定点坐标为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1） 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为（5分） （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以； 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；（11分） （3）设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 （17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章直线与圆+第二章（椭圆）。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 2．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 4．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D．0 6．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 7．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 10．已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 11．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线．若，则实数的值为 ． 13．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 14．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在中，，，点是此三角形的重心. （1）求边所在直线的一般式方程； （2）若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 16．（15分） 已知为坐标原点，直线过定点，设圆的半径为2，圆心在直线：上. （1）若圆心也在直线上，求过点与圆相切的直线方程； （2）若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围. 17．（15分） 已知圆心为的动圆与：外切，与：内切. （1）求的轨迹方程； （2）过点的直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标. 18．（17分） 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知平面上有两点，点是圆上的动点，求的最小值； （3）若是x轴上的动点，与圆相切，切点分别为，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 19．（17分） 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章直线与圆+第二章（椭圆）。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 2．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 4．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D．0 6．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 7．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 10．已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 11．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线．若，则实数的值为 ． 13．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 14．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在中，，，点是此三角形的重心. （1）求边所在直线的一般式方程； （2）若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 16．（15分） 已知为坐标原点，直线过定点，设圆的半径为2，圆心在直线：上. （1）若圆心也在直线上，求过点与圆相切的直线方程； （2）若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围. 17．（15分） 已知圆心为的动圆与：外切，与：内切. （1）求的轨迹方程； （2）过点的直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标. 18．（17分） 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知平面上有两点，点是圆上的动点，求的最小值； （3）若是x轴上的动点，与圆相切，切点分别为，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 19．（17分） 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版必修第一册第一章预备知识。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A． B． C．4或 D．或 1.【答案】D 【解析】当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得； 当的焦点在轴上时，， 易知，则，解得， 所以的值为或. 故选：D. 2．已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.【答案】C 【解析】由题意，在圆中，， ∴圆心坐标为，半径为3． ∵圆上所有点都在第二象限， ∴，解得． 故选：C. 3．已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 3.【答案】B 【解析】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以． 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率． 又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为． 故选：B． 4．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（    ） A． B． C． D． 4.【答案】A 【解析】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点. 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题可知，，即． 因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米， 所以，可得， 因此，结合选项可知A满足． 故选：A. 5．已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D．0 5.【答案】B 【解析】，故过定点， 又，故在圆内，    所以当⊥时，取最小值，此时， 又，所以. 故选：B. 6．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围为（     ）． A． B． C． D． 6.【答案】A 【解析】因为直线的斜率存在，所以， 圆整理为， 圆心坐标为，半径为， 要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离应小于等于，， ，， 设直线的斜率为，则，， 直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 7．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的点，的内切圆的圆心为，延长，交轴于点，若，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 7.【答案】B 【解析】解法一：因为是的内心， 由内角平分线定理得， 则，所以， 故选：B． 解法二：设内切圆的半径为， 则，， 所以， 由已知条件，得， 所以，得，即， 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.【答案】C 【解析】将直线与化为一般式为， 所以到两直线的距离之和为， 所以①． 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为． 则动点的轨迹为如图所示的四边形的边， 的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率． 由，得， 由，得, ，，，， 所以的取值范围是． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 9.【答案】BD 【解析】对于A，令得，直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，直线与直线平行，直线与直线之间的距离为，故B正确； 对于C，直线的斜率为，以为方向向量的直线的斜率为3，故C错误； 对于D，由，得，故D正确． 故选：BD. 10．已知P为圆O：上的动点，直线l：与x，y轴分别交于M，N两点，Q为直线上的动点，过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则（   ） A．若点，则的最小值为 B．的最小面积是4 C．若，则Q点坐标为或 D．四边形周长的最小值为 10.【答案】ACD 【解析】由题意得，，，因为点在圆内，点在圆外，所以可知的最小值， 即为当M，P，C三点共线时的值，，A正确； 由题意得，，圆O的圆心到直线l的距离， 所以点P到该直线距离的最小值为，所以，B错误； 当时，，，所以，所以． 设，则解得或所以点Q的坐标为或，C正确； 四边形的周长为，因为，所以四边形的周长为． 设，当时，取得最小值，此时也取得最小值， 则，则四边形的周长为， 则当t取最小值时，四边形的周长最小，最小值为，D正确． 故选：ACD. 11．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 11.【答案】ACD 【解析】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线．若，则实数的值为 ． 12.【答案】2 【解析】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 13．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 13.【答案】 【解析】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 14．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ． 14.【答案】 【解析】如图，连接，设，则， 由椭圆的定义得， 所以，，． 又为以线段直径的圆上，则， 在中，，即，得， 则， 所以直线的斜率为，    故答案为：-2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知在中，，，点是此三角形的重心. （1）求边所在直线的一般式方程； （2）若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 15．（13分） 【解析】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 16．（15分） 已知为坐标原点，直线过定点，设圆的半径为2，圆心在直线：上. （1）若圆心也在直线上，求过点与圆相切的直线方程； （2）若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围. 16．（15分） 【解析】（1）因为直线可化为， 令，则，故， 联立，解得，则圆心， 因为圆的半径为2，所以圆的方程为， 当所求直线斜率不存在时，此时直线方程为，易知与圆相切，符合题意； 当所求直线斜率存在时，设所求圆的切线方程为，即, 所以圆心到直线的距离为，解得, 所以切线方程为，即, 综上所述，所求圆的切线方程为或. （2）因为圆的圆心在直线：上，故设圆心为， 则圆的方程为， 又因为，故， 所以设为，则，设为圆，圆心，半径为， 则点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点， 所以，所以， 由，解得， 由，解得， 综上，的取值范围为. 17．（15分） 已知圆心为的动圆与：外切，与：内切. （1）求的轨迹方程； （2）过点的直线与的轨迹交于，两点，且为线段的中点，求坐标原点关于直线的对称点的坐标. 17．（15分） 【解析】（1）设动圆M的半径为r，的圆心，半径； 的圆心，半径. 圆相内切， 因为动圆M与外切，所以； 动圆M与内切，所以，则. 又. 因为， 根据椭圆的定义，点M的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆. 则，，根据，可得. 所以M的轨迹方程为. （2）设，. 因为A，B在椭圆上，所以. 两式相减得：. 因为N为线段AB的中点，所以，. 则直线AB的斜率. 直线AB的方程为，即. 设点P，则，即. 又中点在直线AB上，所以. 将代入上式得：. 解得，. 所以点P的坐标为. 18．（17分） 已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知平面上有两点，点是圆上的动点，求的最小值； （3）若是x轴上的动点，与圆相切，切点分别为，试问直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 18．（17分） 【解析】（1）因为圆心在直线上， 所以设，由圆过点，可得， 即， 所以， 整理得，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的方程为. （2）设，则， 因为， 所以的最小值为. （3）设，则以为直径的圆的圆心为， 记， 半径为， 则此圆的方程为， 即，记此圆为D. 因为直线为圆与圆的相交弦所在直线， 所以两圆方程作差可得直线的方程为， 即. 由，解得 所以直线恒过定点，定点坐标为. 19．（17分） 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）. （1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由； （2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）. 19．（17分） 【解析】（1）解: 这两个椭圆是“相似椭圆”，相似比为，理由如下： 椭圆中， 椭圆中， ， 则 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 则这两个椭圆是“相似椭圆”，且相似比为 （2）证明：必要性： 若两个椭圆是“相似椭圆”，则其焦顶三角形的三个对应角相等. 如图，若， 则， ， 所以， 又因为 ， 所以； 充分性： 若离心率相等，则，所以， 则，， 则； 同理，，， 则， 所以； 所以两个椭圆的”焦顶三角形”相似， 所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； （3）解：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，椭圆与相似， 所以椭圆的离心率也为， 若的面积为， 又，， 所以的面积与的面积之比为， 所以的面积为 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！