第一章 特殊平行四边形 考点复习题2025-2026学年 北师大版 九年级数学 上册

第一章 特殊的平行四边形 考点 01 菱形的性质 1．C 2．D 3． 4．12 考点 02 菱形的判定 1．C 2．B 3．证明：（1）在平行四边形ABCD 中， ∵ AD / /BC ， :∠AEB = ∠EAD ， ∵ AE = AB ， :∠ABE = ∠AEB ， :∠ABE = ∠EAD ； （2） ∵ AD / /BC ， :∠ADB = ∠DBE ， ∵ ∠ABE = ∠AEB ， ∠AEB = 2∠ADB ， :∠ABE = 2∠ADB ， :∠ABD = ∠ABE − ∠DBE = 2∠ADB − ∠ADB = ∠ADB ， : AB = AD ， 又 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， : 四边形ABCD 是菱形． 考点 03 菱形的判定与性质 1．解：（1）四边形AEBO 是矩形． 证明： ∵ BE / /AC ， AE / /BD : 四边形AEBO 是平行四边形．又∵菱形ABCD 对角线交于点O : AC 丄 BD ，即 ∠AOB = 90° . : 四边形AEBO 是矩形． （2） ∵ 四边形 AEBO 是矩形 : EO = AB ， 在菱形ABCD 中， AB = DC ． : EO = DC ． 2．解：（1） ∵ AB / /CD ， :∠OAB = ∠DCA ， ∵ AC 为 ∠DAB 的平分线， :∠OAB = ∠DAC ， :∠DCA= ∠DAC ， : CD = AD = AB ， ∵ AB / /CD ， : 四边形ABCD 是平行四边形， ∵ AD = AB ， :▱ABCD 是菱形； （2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形， : OA = OC ，BD 丄 AC ， ∵ CE 丄 AB ， : OE = OA = OC ， ∵ BD = 2 ， 在RtΔAOB 中，AB = ， OB = 1 ， :OA = = 2 ， : OE = OA = 2 ． 3．（1）证明： ∵ E 为 AD 的中点， : AD = 2DE ， ∵ AD = 2BC ， :DE = BC ， ∵ AD / /BC ， : 四边形BCDE 是平行四边形， ∵ ∠ABD = 90° , E 为AD 的中点， : 四边形BCDE 是菱形； （2）AC 与 CD 的数量关系是AC = CD ，位置关系是AC 丄 CD ． ∵ AD / /BC ， : ∠DAC = ∠BCA ∵ AC 平分 ∠BAD ， : ∠BAC = ∠DAC : ∠BAC = ∠BCA ， : AB = BC ， ∵ ∠ABD = 90° , E 为AD 的中点， 由（1）得四边形BCDE 为菱形 : BE / /CD ，BE = BC : AB = BE = AE : ΔABE 是等边三角形 : ∠BAD = 60° 在等边 ΔABE 中， ∵ AC 平分 ∠BAD ， : AC 丄 BE ， ∠CAD = 30° , ∵ BE / /CD ， : AC 丄 CD ， 在RtΔACD 中， AC = CD ． 考点 04 矩形的性质 1．C 2．2 3． 4． 60° 5．70° 考点 05 矩形的判定 1．D 2．D 学科网（北京）股份有限公司 3．证明：（1）在 ▱ABCD 中， AB = CD ， ∠A= ∠C ． ∵ AB / /CD ， :∠ABD = ∠CDB ． ∵ BE 平分 ∠ABD ，DF 平分 ∠CDB ， :∠ABE = ∠CDF ． ∵在 ΔABE 和 ΔCDF 中， :ΔABE ≅ ΔCDF(ASA) ． （2） ∵ ΔABE ≅ ΔCDF ， :AE = CF ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， :AD / /BC ， AD = BC ， :DE / /BF ，DE = BF ， : 四边形DFBE 是平行四边形， ∵ AB = DB ，BE 平分 ∠ABD ， :BE 丄 AD ，即 ∠DEB = 90° . :平行四边形DFBE 是矩形． 4．证明：在 ▱ABCD 中， ∵ AD / /BC ， AD = BC ， :∠EBC = ∠ADF ， 由题意知，BE = DF ， 在 ΔBEC 与 ΔDFC 中， :ΔBEC ≅ ΔDFC(SAS) ， :CE = AF ， 学科网（北京）股份有限公司 同理可得：AE = CF ， : 四边形AECF 为平行四边形； （2）当t = 2 或t = 10 时以点A ，C ，E ，F 为顶点的四边形为矩形； 理由：由矩形的性质知OE = OF 、OA = OC ，要使 ∠EAF 是直角，只需OE = OF = OA AC = 4cm ． 则 ∠1= ∠2 ， ∠3= ∠4 ， ∵ ∠1+ ∠2 + ∠3+ ∠4 = 180° , : 2∠2 + 2∠3 = 180° , : ∠2+ ∠3 = 90° 即 ∠EDF = 90° . 此时BE = DF = 1 (BD − EF) = 1 (12 − 8) = 2cm 或BE = DF = 12 − 2 = 10cm 2 2 考点 06 矩形的判定与性质 1．（1）证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， : AB / /CD ． ∵ BE / /DF ，BE = DF ， : 四边形BFDE 是平行四边形． ∵ DE 丄 AB ， : ∠DEB = 90° , : 四边形BFDE 是矩形； （2）解： ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， : AB / /DC ， :∠DFA= ∠FAB ． 在RtΔBCF 中，由勾股定理，得 : AD = BC = DF = 10 ， :∠DAF = ∠DFA ， :∠DAF = ∠FAB ， 即 AF 平分 ∠DAB ． 2．（1）证明： ∵ AD / /BC ， : ∠ABC + ∠BAD = 180° , ∵ ∠ABC = 90° , : ∠BAD = 90° , : ∠BAD = ∠ABC = ∠ADC = 90° , : 四边形ABCD 是矩形． （2）作OF 丄 BC 于F ． ∵ 四边形ABCD 是矩形， ( : CD = AB = 2 ， ∠ BCD = 90 ° , AO = CO ， BO = DO ， AC = BD ， : AO = BO = CO = DO ， : BF = FC ， ) : OF CD = 1 ， ∵ DE 平分 ∠ADC ， ∠ADC = 90° , : ∠EDC = 45° , 在RtΔEDC 中，EC = CD = 2 ， : ΔOEC 的面积 iECiOF = 1 ． 3．解：结论均是PA2 + PC2 = PB2 + PD2 ． （1）如图 2，过点P 作MN/ / AB ，交AD 于点M ，交BC 于点N ， : 四边形ABNM 和四边形NCDM均为矩形， 根据（1）中的结论可得， 在矩形ABNM 中有PA2 + PN2 = PB2 + PM2 ，在矩形NCDM 中有PC2 + PM2 = PD2 + PN2 ， 两式相加得PA2 + PN2 + PC2 + PM2 = PB2 + PM2 + PD2 + PN2 ， :PA2 + PC2 = PB2 + PD2 ． （2）如图 3，过点P 作MN/ / AB ，交AB 的延长线于点M ，交 CD 的延长线于点N ， : 四边形BCNM 和四边形ADNM 均为矩形，同样根据（1）中的结论可得， 在矩形BCNM 中有PC2 + PM2 = PB2 + PN2 ，在矩形ADNM 中有 PA2 + PN2 = PD2 + PM2 ， 两式相加得PA2 + PN2 + PC2 + PM2 = PD2 + PM2 + PB2 + PN2 ， :PA2 + PC2 = PB2 + PD2 ． 考点 07 正方形的性质 1． 2．75° 3．①②④ 4．2 考点 08 正方形的判定 1．菱形、矩形、矩形、正方形、正方形 考点 09 正方形的判定与性质 1．解：作DE 丄 BC ，交BC 延长线于E ，如图， ∵ DP 丄 AB ， ABC = 90° , : 四边形BEDP 为矩形， : ∠PDE = 90° , 即 ∠CDE + ∠PDC = 90° , ∵ ∠ADC = 90° , 即 ∠ADP + ∠PDC = 90° , : ∠ADP = ∠CDE ， 在 ΔADP 和 ΔCDE 中， : ΔADP ≅ ΔCDE ， :DP = DE ，SΔADP = SΔCDE ， : 四边形BEDP 为正方形，S四边形ABCD = S矩形BEDP ， :DP2 = 36 ， :DP = 6 ． 2．①证明：过E 作EM 丄 BC 于M 点，过E 作EN丄 CD 于N 点，如图所示： ∵正方形ABCD : ∠BCD = 90° , ∠ECN = 45° : ∠EMC = ∠ENC = ∠BCD = 90° 且 NE = NC ， : 四边形EMCN 为正方形∵ 四边形DEFG 是矩形， :EM = EN ， ∠DEN+ ∠NEF = ∠MEF + ∠NEF = 90° : ∠DEN = ∠MEF ， 又 ∠DNE = ∠FME = 90° , 在 ΔDEN 和 ΔFEM 中， ， :ΔDEN ≅ ΔFEM (ASA) ， :ED = EF ， :矩形DEFG 为正方形， ②解：CE + CG 的值为定值，理由如下： ∵矩形DEFG 为正方形， :DE = DG ， ∠EDC + ∠CDG = 90° ∵ 四边形ABCD 是正方形， ∵ AD = DC ， ∠ADE + ∠EDC = 90° : ∠ADE = ∠CDG ， 在 ΔADE 和 ΔCDG 中， CDG ， :ΔADE ≅ ΔCDG(SAS) ， :AE = CG :AC = AE + CE = AB = × 2 = 4 ， :CE + CG = 4 是定值． 3．（1）PB = PQ ， 证明：过P 作PE 丄 BC ，PF 丄 CD ， ∵ P ，C 为正方形对角线AC 上的点， :PC 平分 ∠DCB ， ∠DCB = 90° , :PF = PE ， : 四边形PECF 为正方形， ∵∠BPE + ∠QPE = 90° , ∠QPE + ∠QPF = 90° , :∠BPE = ∠QPF ， :RtΔPQF ≅ RtΔPBE ， :PB = PQ ； （2）PB = PQ ， 证明：过P 作PE 丄 BC ，PF 丄 CD ， ∵ P ，C 为正方形对角线AC 上的点， :PC 平分 ∠DCB ， ∠DCB = 90° , :PF = PE ， :四边形PECF 为正方形， ∵∠BPF + ∠QPF = 90° , ∠BPF + ∠BPE = 90° , :∠BPE = ∠QPF ， :RtΔPQF ≅ RtΔPBE ， :PB = PQ ． $$ 第一章 特殊的平行四边形 考点 01 菱形的性质 1．下列性质中菱形不一定具有的性质是( ) A ．对角线互相平分 B ．对角线互相垂直 C ．对角线相等 D ．既是轴对称图形又是中心对称图形 2．若菱形的周长为52cm ，面积为120cm2 ，则它的对角线之和为( ) A ．14cm B ．17cm C ． 28cm D ．34cm 3．菱形ABCD 的边长为 6 ， ∠ABC = 60° , 则较长对角线BD 的长是 ． 4．菱形ABCD 的两条对角线长分别为 6 和4，则菱形ABCD 的面积是 ． 5．如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，DE 丄 AB ．则 ∠ABC的度数是 ． 6．如图，在边长为 4 的菱形ABCD 中， ∠A = 60° , M 是AD 边的中点，点N是 AB 边上一动点，将 ΔAMN沿MN 所在的直线翻折得到△ A′MN ，连接 A′C ，则线段 A′C 长度的最小值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 考点 02 菱形的判定 1．如图，添加下列条件仍然不能使 ▱ABCD 成为菱形的是( ) A ．AB = BC B ． AC 丄 BD C ． ∠ABC = 90° D ． ∠1= ∠2 2．如图，四边形ABCD 的对角线相交于O 点，AD = BC ，作AE 丄 BD 于点E ，CF 丄 BD 于点F ，连接AF ， CE ，且DE = BF ，则下列结论： ① AE = CF ； ② AO = CO ； ③ AC = EF ； ④ AC 丄 EF ； ⑤四边形AECF 是菱形； ⑥四边形ABCD 为平行四边形；其中正确结论的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．如图，在 ▱ABCD 中，E 为BC 上的一点，连接AE ，BD ，且AE = AB （1）求证： ∠ABE = ∠EAD （2）若 ∠AEB = 2∠ADB ，求证：四边形ABCD 是菱形． 2 学科网（北京）股份有限公司 考点 03 菱形的判定与性质 1．如图，菱形ABCD 对角线交于点O ，BE / / AC ，AE / /BD ，EO 与 AB 交于点F ． （1）试判断四边形AEBO 的形状，并说明你的理由； （2）求证：EO = DC ． 2．如图，在四边形 ABCD 中， AB / /DC ， AB = AD ，对角线 AC ，BD 交于点 O ， AC 平分 ∠BAD ，过点C 作 CE 丄 AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若AB ，BD = 2 ，求OE 的长． 3 学科网（北京）股份有限公司 3 ．如图，在四边形 ABCD 中， BD 为一条对角线， AD / /BC ， AD = 2BC ， ∠ABD = 90° , E 为 AD 的中点，连接BE ． （1）求证：四边形BCDE 为菱形； （2）连接AC ，若AC 平分 ∠BAD ，判断 AC 与 CD 的数量关系和位置关系，并说明理由． 考点 04 矩形的性质 1．矩形的对角线一定具有的性质是( ) A ．互相垂直 B ．互相垂直且相等 C ．相等 D ．互相垂直平分 2．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ， ∠AOD = 120° , 对角线AC = 4 ，则BC 的长为 ． 3 ．如图，矩形 ABCD 对角线 AC 、 BD 交于点O ， AB = 6 ，BC = 8 ，点P 为 AD 边上的一个动点，PE 丄 AC 于点E ，PF 丄 BD 于点F ，则PE + PF = ． 4 学科网（北京）股份有限公司 4．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AE 丄 BD ，垂足为E ，ED = 3BE ，则 ∠AOB 的度数为 ． 5．如图，在矩形ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点O ，点E 在OC 边上，且 AB = BE ，若 ∠CBE = 20° , 则 ∠COD = ． 考点 05 矩形的判定 1．如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，下列条件在，能判定四边形ABCD是矩形的是( ) A ． AB / /DC ， AB = CD B ． AB / /CD ， AD / /BC C ． AC = BD ， AC 丄 BD D ．OA = OB = OC = OD 2．下列说法正确的是( ) A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 D ．对角互补的平行四边形是矩形 5 学科网（北京）股份有限公司 3．如图，在 ▱ABCD 中， ∠ABD 的平分线BE 交 AD 于点E ， ∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ． （1）求证： ΔABE ≅ ΔCDF ； （2）若AB = DB ，求证：四边形DFBE 是矩形． 4 ．如图，在 ▱ABCD 中， AC = 8 ， BD = 12 ，点E 、F 在对角线BD 上，点E 从点B 出发以 1 个单位每秒的速度向点D 运动，同时点F 从点D 出发以相同速度向点B 运动，到端点时运动停止，运动时间为t 秒． （1）求证：四边形AECF 为平行四边形． （2）求t 为何值时，四边形AECF 为矩形． 6 学科网（北京）股份有限公司 考点 06 矩形的判定与性质 1．在 ▱ABCD 中，过点D 作DE 丄 AB 于点E ，点F 在边 CD 上，DF = BE ，连接AF 、BF ． （1）求证：四边形BFDE 是矩形； （2）若CF = 6 ，BF = 8 ，DF = 10 ，求证：AF 平分 ∠DAB ． 2．如图，在四边形ABCD 中，AD / /BC ， ∠ABC = ∠ADC = 90° , 对角线AC ，BD 交于点O ，DE 平分 ∠ADC 交BC 于点E ，连接 OE ． （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB = 2 ，求 ΔOEC 的面积． 7 学科网（北京）股份有限公司 3．已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论： PA2 + PC2 = PB2 + PD2 ，请你探究：当点P 分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2 、 PB2 、PC2 和PD2 又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论． 答：对图（2）的探究结论为 ； 对图（3）的探究结论为 ； 证明：如图（2） 8 学科网（北京）股份有限公司 考点 07 正方形的性质 1 ．如图，点 A 在线段BG 上，四边形 ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，面积分别是 10和 19，则 ΔCDE 的面积为 ． 2．如图，四边形ABCD 是正方形，以 CD 为边作等边三角形CDE ，BE 与 AC 相交于点M ，则 ∠ADM 的度数是 ． 3．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在OC 上一点（不与点O 、 C 重合）， AF 丄 BE 于点 F ， AF 交 BD 于点 G ，则下述结论：① ΔABG ≅ ΔBCE 、② AG = BE 、③ ∠DAG = ∠BGF 、④ AE = DG 中，一定成立的有 ． 4．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的角平分线分别交AB 、BD于M 、N 两点，若AM = 4 ，则线段ON 的长为 ． 9 学科网（北京）股份有限公司 考点 08 正方形的判定 1．已知平行四边形ABCD ，对角线AC 、BD 相交于点O ． （1）若AB = BC ，则平行四边形ABCD 是 ． （2）若AC = BD ，则平行四边形ABCD 是 ． （3）若 ∠BCD = 90° , 则平行四边形ABCD 是 ． （4）若OA = OB ，且OA 丄 OB ，则平行四边形ABCD 是 ． （5）若AB = BC ，且 AC = BD ，则平行四边形ABCD 是 ． 考点 09 正方形的判定与性质 31．如图所示，四边形ABCD 中， ∠ADC = ∠ABC = 90° , AD = CD ，DP 丄 AB 于点P ，若四边形ABCD 的面积是 36，求DP 的长． 10 学科网（北京）股份有限公司 32．如图，已知四边形ABCD 为正方形，AB = 2 ，点E 为对角线AC 上一动点，连接DE ，过点E 作EF 丄 DE ．交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接 CG ． ①求证：矩形DEFG 是正方形； ②探究：CE + CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 33．如图，正方形ABCD 中， AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC 于Q ． （1）如图 1，当点Q 在DC 边上时，猜想并写出PB 与PQ 所满足的数量关系；并加以证明； （2）如图 2，当点Q 落在DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$