精品解析：2024年浙江省宁波市余姚市高风中学中考数学四模试卷

2024年浙江省宁波市余姚市高风中学中考数学四模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 舟山市体育中考，女生立定跳远的测试中，以为满分标准，若小贺跳出了，可记作，则小郑跳出了，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，2019年某市初中七年级学生为25000余人，25000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，将点向左平移个单位，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，格点三角形放置在的正方形网格中，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 关于二次函数（其中）有以下论述，正确的是（ ） 当时，对称轴为直线． 函数图象与轴必有两个不同的交点． 函数图象必过某一定点． A. B. C. D. 10. 如图，已知，M、N分别是边上动点．将沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，A的对应点为，连结、．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分）（其中第1题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看） 11. 因式分解：_____ 12. 一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同之外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是__________． 13. 计算：_______． 14. 如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则______． 15. 等腰中，，，以C为圆心，为半径作圆弧与的边交于点D．则__________． 16. “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点． （1）若，则点的坐标为________． （2）若点的坐标为，则________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 作图题：如图，在方格纸中，请按要求画出以为边的格点四边形． （1）在图1中画出一个，使得格点为的对称中心； （2）在图2中画出一个，使得的周长为整数且邻边不垂直． 19. 如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 20. 小海准备购买一辆新能源汽车，在预算范围内，他打算从甲、乙两款汽车中购买一辆，为此，小海收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下： 表一：甲、乙两款汽车的四项得分数据统计表 外观造型 舒适程度 操控性能 售后服务 甲款 7 6 7 8 乙款 7 8 6 7 表二：甲，乙两款汽车的满意度得分统计表（满分10分） 甲款 5 5 6 6 7 8 8 8 8 9 乙款 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）若小海认为汽车四项的重要程度有所不同，而给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项得分的占比为2：3：3：2，请你帮小海计算甲、乙两款汽车的平均分． （2）结合（1）的结论和甲、乙两款汽车满意度得分的众数和中位数，你建议小海购买哪款汽车？请详细说明你的理由． 21. 某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，） （1）若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米） （2）若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 22. 如图，在三角形纸片中，，．把三角形纸片分别沿对折（点分别在边上，点在边上），使点落在边上同一点处． （1）若，则五边形的周长为______； 若，则五边形的周长为______． （2）根据题（）的研究结果，提出一个合理猜想，并证明猜想成立． 23. 设y关于x的二次函数为，其中． （1）用含m或a的代数式表示该二次函数图象的对称轴和最大值． （2）若该二次函数图象与x轴交于，且过点，求二次函数表达式． （3）若该二次函数图象过点，而，求m的值． 24. 如图1，中，，M是中点，过点B、M、C作，P是上一点，连结交于K，连结． （1）若，求． （2）如图2，连结，若过圆心O，且O恰为重心，求的值． （3）如图1，若，，回答以下问题中的两个： ①当时，求的值． ②当时，求四边形面积（用含x的代数式表示） ③若P是的四等分点，且，则当面积最大时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年浙江省宁波市余姚市高风中学中考数学四模试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 舟山市体育中考，女生立定跳远的测试中，以为满分标准，若小贺跳出了，可记作，则小郑跳出了，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数减法的应用，正确列出运算式子是解题关键．根据题意，列出运算式子，再计算有理数的减法即可得答案． 【详解】解：根据题意，小郑跳出了，应记作． 故选：A 2. 据统计，2019年某市初中七年级学生为25000余人，25000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于25000有5位，所以可以确定n＝5−1＝4． 【详解】25000＝2.5×104．故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是解题的关键． 3. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：由题意可得， A、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵不是同类项，无法计算， 故A不合题意． ∵， ∴B不合题意． ∵， ∴C合题意． ∵， ∴D不合题意． 故选：C． 5. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，将点向左平移个单位，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形，平移的性质以及轴对称的性质，根据轴对称的性质，求出的值，点的坐标，最后由平移的性质求解即可，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴点， 则点向左平移个单位，得到的点的坐标为， 故选：． 6. 如图所示，格点三角形放置在的正方形网格中，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和正弦定义，能够构造直角三角形是解题的关键，过点A作，交于点D，则，先由勾股定理求出的长，再利用正弦定义求解即可． 【详解】过点A作，交于点D，则， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，根据圆周角定理求出，结合等腰三角形的性质进而求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图： ∵C为的中点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据加压后气体对气缸壁所产生的压强比加压前增加列方程即可． 【详解】解：根据题意得，即， 故选：A． 9. 关于二次函数（其中）有以下论述，正确的是（ ） 当时，对称轴为直线． 函数图象与轴必有两个不同的交点． 函数图象必过某一定点． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一判断即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线故正确； 令得，， 则， ∵， ∴， ∴函数图象与轴必有两个不同的交点，故正确； ∵， 由得，，， 由得，， 所以当时，， 即函数图象过定点，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 10. 如图，已知，M、N分别是边上动点．将沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，A的对应点为，连结、．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质．连接，在上截取，作，交的延长线于点F，交于T，证明，推出，，设，则，在中，由勾股定理求得，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图， 连接，在上截取，作，交的延长线于点F，交于T， 设，， ∵沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，是等边三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分）（其中第1题包含解题视频，可扫描页眉二维码，点击对应试题进行查看） 11. 因式分解：_____ 【答案】 【解析】 【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 12. 一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同之外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率．根据题意，画出树状图，得到所有等可能结果及满足题意的结果数，由简单概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有12种等可能性，其中两次摸出的球所标数字之和为6的可能性有2种， ∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率为， 故答案为：． 13. 计算：_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的加减法运算方法先计算，然后约分即可； 【详解】解：原式 ， 故答案为：1． 14. 如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、勾股定理．根据角平分线定义及平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ， ， ，， ， 于点， ， 故答案为：4． 15. 等腰中，，，以C为圆心，为半径作圆弧与的边交于点D．则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，由等边对等角和三角形内角和定理得到，再分点D在上和点D在上两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，当与交于D时， ∵， ∴， 如图，当与交于D时， ∵， ∴； ∴的度数为或． 故答案为：或． 16. “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点． （1）若，则点的坐标为________． （2）若点的坐标为，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）证明四边形是正方形，由是的中点，可得，，则，由，，可得，由，可得，同理，则，设，则，计算求出满足要求的解，进而可得结果； （2）由（1）可知，，则，可求，即，，． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，， ∵坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，平方差公式． （1）根据特殊角的三角函数值，负指数幂，零指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18. 作图题：如图，在方格纸中，请按要求画出以为边的格点四边形． （1）在图1中画出一个，使得格点为的对称中心； （2）在图2中画出一个，使得的周长为整数且邻边不垂直． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： 【解析】 【分析】（1）连接BP并延长，取BP=PD，连接AP并延长，取AP=PC，依次连接AD，DC，CB即可求解． （2）根据题意，，即可求解． 【小问1详解】 解：连接BP并延长，取BP=PD，连接AP并延长，取AP=PC， 依次连接AD，DC，CB，如图所示： ∵CD=BA，AD=BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故边形ABCD即为所求． 【小问2详解】 如图所示： ，， ∵BC=AD，CD=BA， ∴四边形ABCD为平行四边形，且周长=，且邻边不垂直， 故四边形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查了作图—中心对称图形及平行四边形的判定及性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 19. 如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握菱形性质是解题的关键． （）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明； （）由菱形性质及（）中结论得到，在中，由勾股定理得，再结合面积公式即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 20. 小海准备购买一辆新能源汽车，在预算范围内，他打算从甲、乙两款汽车中购买一辆，为此，小海收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下： 表一：甲、乙两款汽车的四项得分数据统计表 外观造型 舒适程度 操控性能 售后服务 甲款 7 6 7 8 乙款 7 8 6 7 表二：甲，乙两款汽车的满意度得分统计表（满分10分） 甲款 5 5 6 6 7 8 8 8 8 9 乙款 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 根据以上信息，解答下列问题： （1）若小海认为汽车四项的重要程度有所不同，而给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项得分的占比为2：3：3：2，请你帮小海计算甲、乙两款汽车的平均分． （2）结合（1）的结论和甲、乙两款汽车满意度得分的众数和中位数，你建议小海购买哪款汽车？请详细说明你的理由． 【答案】（1）甲、乙两款汽车的平均分分别为6.9分，7分 （2）甲款的中位数为，众数为8，乙款的中位数为，众数为7，甲乙两款车的满意度得分的平均数接近，但甲款车的满意度得分中位数和众数都高于乙款车，故选择甲款车． 【解析】 【分析】（1）利用加权平均数的计算方法求解即可； （2）根据中位数和众数的定义求出甲、乙两款车的满意度得分的众数和中位数，然后结合（1）中所求平均数分析即可． 【小问1详解】 解：甲款：， 乙款：， ∴甲、乙两款汽车的平均分分别为6.9分，7分． 【小问2详解】 略 21. 某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，） （1）若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米） （2）若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明． 【答案】（1）点距离地面的高度约为米 （2）宽为3米，高为米的货车能安全通过此拦道闸 【解析】 【分析】本题考查三角函数解直角三角形，特殊角三角函数值． （1）根据题意过点作于点，过点作于点，再列式求出的长，后即可得到本题答案； （2）根据题意分别计算出，列式并计算即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中， （米）， ∴（米）， 答：点距离地面的高度约为2.5米； 【小问2详解】 解：根据题意四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中， （米），（米）， ∴（米），， （米）， （米）， ， ∴宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸， 答：宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸． 22. 如图，在三角形纸片中，，．把三角形纸片分别沿对折（点分别在边上，点在边上），使点落在边上同一点处． （1）若，则五边形的周长为______； 若，则五边形的周长为______． （2）根据题（）的研究结果，提出一个合理猜想，并证明猜想成立． 【答案】（1）；； （2） 猜想：五边形的周长为定值． 证明：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的周长． 【解析】 【分析】（）过点作于，求出，得到，由，得到，利用勾股定理和三角函数分别求出，即可求解； 同理解答即可求解； （）猜想：五边形的周长为定值．设，同理证明即可求证； 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，掌握等腰三角形和折叠的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由折叠可得，，，，，， ∵，， ∴， 过点作于，则，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的周长； 故答案为：； 当时，同理可得，，，，，， ∴五边形的周长， 故答案为：； 【小问2详解】 略 23. 设y关于x的二次函数为，其中． （1）用含m或a的代数式表示该二次函数图象的对称轴和最大值． （2）若该二次函数图象与x轴交于，且过点，求二次函数表达式． （3）若该二次函数图象过点，而，求m的值． 【答案】（1）二次函数图象的对称轴是直线，函数的最大值为 （2）或 （3）． 【解析】 【分析】（1）依据题意，令，又，从而可得或，故抛物线的对称轴是直线，又抛物线开口向下，进而可得当时，y取最大值，计算即可得解； （2）依据题意，根据（1）可得抛物线与x轴交于，，又图象与x轴交于，故或，则或，从而抛物线为或，据此求解即可； （3）依据题意，由二次函数图象过点，从而，故，结合，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，令， 又， ∴或， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，y取最大值，最大值为， 答：二次函数图象的对称轴是直线，函数的最大值为； 【小问2详解】 解：由题意，根据（1）可得抛物线与x轴交于，， 又图象与x轴交于， ∴或， ∴或， ∴抛物线为或， 又抛物线过点， ∴或， ∴或， ∴抛物线的解析式为或； 【小问3详解】 解：∵二次函数图象过点， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 24. 如图1，中，，M是中点，过点B、M、C作，P是上一点，连结交于K，连结． （1）若，求． （2）如图2，连结，若过圆心O，且O恰为重心，求的值． （3）如图1，若，，回答以下问题中的两个： ①当时，求的值． ②当时，求四边形面积（用含x的代数式表示） ③若P是的四等分点，且，则当面积最大时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）连接，利用直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质和圆周角定理解答即可； （2）连接，并延长，交于点F，利用垂径定理的推论，等边三角形的判定与性质，三角形的重心的性质，平行线的性质和同时进行的三角函数运算解答即可； （3）①连接，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可； ②过点M作于点G，过点P作于点H，利用直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质求得，利用相似三角形的判定与性质求得，，再利用相似三角形的判定与性质求得，最后利用四边形面积解答即可； ③当△面积最大时，，连接，过点作于点，再利用四边形的面积解答即可． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵，， ∴． ∵，M是中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，并延长，交于点F，如图， 则为的直径， ∵O恰为重心， ∴平分， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵过圆心O， ∴为圆的直径， ∵O恰为重心， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴； 【小问3详解】 解：①连接，如图， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点M作于点G，过点P作于点H，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴． 由①知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴四边形面积 ． ∴四边形面积为． ③由题意得：， 当△面积最大时，，连接，过点作于点，如图， 为的直径， ， ． 是的四等分点， ， ， ， ． 四边形的面积 ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，圆的内接四边形的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，恰当的作出辅助线，构造直角三角形的和相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 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