第十一章 实数和二次根式（单元测试·基础卷）数学北京版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十一章 实数和二次根式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级下·北京海淀·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义， 根据最简二次根式的定义：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一分析选项即可． 【详解】解：A ：被开方数含分母，可化简为，不是最简二次根式， B：16是完全平方数，，可化简为整数，不是最简二次根式， C：0.4化为分数为，被开方数含分母，可化简为，不是最简二次根式， D：被开方数3不含分母，且3是质数，无法再分解为平方数的乘积，因此是最简二次根式， 故选：D． 2．（24-25八年级下·北京·阶段练习）二次根式有意义，则a满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ ∴， 故选：C 3．（24-25八年级下·北京·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算 根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【详解】解：A.，所以A选项不符合题意； B.，所以B选项不符合题意； C.，所以C选项不符合题意； D. ，所以D选项符合题意； 故选：D 4．（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得每个方块的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 5．（24-25八年级上·北京·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：A． 6．（24-25七年级下·北京西城·期末）如图，数轴上点表示的数是1，点，，，中有一个点是将点向左平移个单位长度后得到的，这个点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式．由题意可知∶点P与这个点的距离为，设这个点表示的数是x，然后根据数轴上两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出x，再判断x的取值范围，结合数轴上各个点的位置求出答案即可． 【详解】解∶由题意可知∶点P与这个点的距离为， 设这个点表示的数是x， ， ． 或 (不合题意舍去)， ， ． ，即． 这个点是点B． 故选∶B 【点睛】 7．（24-25八年级下·北京密云·期末）七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查七巧板相关的计算，利用算术平方根解方程，设宽为x，则长为，列方程求解即可，解题的关键是根据图形得出矩形的长是宽的2倍． 【详解】解：∵图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4， ∴图2中由七巧板拼成的矩形的面积为4， 由图2可知，矩形的长是宽的2倍， 设宽为x，则长为， 可得， ∴（负值舍去） 故选：D． 8．（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京·期末）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式，分式有意义的条件，掌握二次根式以及分式有意义的条件是正确解答的关键． 根据二次根式、分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：由题意得，且， 解得且 故答案为：且 10．（24-25八年级下·北京丰台·期末）计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据平方差公式和二次根式的乘法法则来计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 11．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·北京·期中）若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负性以及立方根的定义，根据绝对值和算术平方根的非负性求出，再求解立方根即可． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ， 的立方根是， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·北京丰台·期末）已知为整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算．先根据 得，结合，且为整数，即可得出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且为整数， ∴， 故答案为：9 14．（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式： ； 根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及实数的运算，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为；；；…， 所以第n个等式可表示为 当时， 第4个等式为 由上述规律可知， 原式 故答案为：， 15．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）根据如表估计 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解答本题的关键． 根据表格可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·北京·期中）定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，， 试解决下列问题 ① ； ② ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，与实数运算有关的规律探索，解第①小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，，从而得到；解题②的要点是：当n为正整数时，． ①根据题意，先推导出等于什么，再比较与的大小关系，可得，即可求解； ②根据，原式可变形为，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， 当时，； 当为正整数时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵， ∴ ． 故答案为：， 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质化简，再计算括号内的，即可求解； （2）先根据二次根式的性质化简，再和并即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 19．（6分）（23-24七年级下·北京密云·期末）已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求a的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，平方根的概念，熟知平方根的相关知识是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，则，即，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和，且， ∴； （2）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和， ∴，即， ∴． 20．（6分）（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是对代数式进行因式分解后再代入计算． 先对代数式因式分解，再代入、的值计算． 【详解】解：， 当，时， 原式 ． 21．（6分）（24-25八年级下·北京·期中）在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）把二次根式分母有理化即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ，即， ， ． 22．（8分）（24-25七年级下·北京·期中）已知r是正实数，对实数x和有序有理数对，若，则称是x的一个“有序表示”． (1)写出的一个“有序表示” ； (2)若是的一个“有序表示”，求的平方根； (3)若是x的一个“有序表示”，也是的一个“有序表示”，m为正实数，判断x是否存在“有序表示”，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)x存在“有序表示”，见解析 【分析】本题考查与新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义列出式子即可求解； （2）根据题意得，进而求出，，代入，再计算平方根即可； （3）根据题意得，，进而得到，求出（满足条件），设是x的“有序表示”，则 ，其中 为有理数，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：， 则只要满足的都是有序数对， ∴（答案不唯一）； （2）解：， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； （3）解：，， ∴，， ∴， ∴（满足条件）， 此时，，即， ∵均为有理数，为有理数， 设是x的“有序表示”， ∴，其中为有理数， ∵为有理数， 当或等均可满足， ∴x存在“有序表示”． 23．（8分）（24-25七年级下·北京·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为86的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． (1)填空：的整数部分的值为________； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)12 (2)12.21 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； （2）解：面积为149的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． 24．（8分）（24-25八年级下·北京·期中）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：． 类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①_____； ②_____； (2)利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由； (3)当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3)1，大，． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据阅读材料中的方法进行分子有理化即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后再比较即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后确定最值即可解答． 【详解】（1）解：① ； ②． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： 由， ， 又∵， ∴． ∴． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值． 故答案为：1，大，． 25．（10分）（24-25八年级下·北京·期中）观察计算： （1）_____ ____ ____（填“>” “<”“=”） 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______． 【答案】（1）>，>，=；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）分别进行出对应小题中两个式子的结果，再比较大小即可； （2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；根据，可由完全平方公式得到，据此可证明结论； （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为米，利用第（2）问的公式即可求得最小值． 【详解】解：（1）①，， ∵， ∴； ②，， ∵， ∴； ③， ∴ 故答案为：>，>，=； （2）猜想，理由如下： 当，时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，则， ∴， 根据（2）的结论可得：． ∴篱笆至少需要40米． 故答案为： 26．（10分）（24-25八年级下·北京·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______； (2)求分式的最大值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意得到原分式化简为，由，推出当时，有最小值为2，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∵分式可以变形为，∴；； 故答案为：2，； （2）解： ， ∵， ∴当时，有最小值为2， ∴有最大值为， ∴有最大值为， ∴分式的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十一章 实数和二次根式·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C D B A B D D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．且 10．4 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质化简，再计算括号内的，即可求解； （2）先根据二次根式的性质化简，再和并即可求解． 【详解】（1）解： ；··········································2分 （2）解： ．··········································5分 18．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ；··········································2分 （2）解：， ， ．··········································5分 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，平方根的概念，熟知平方根的相关知识是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，则，即，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和，且， ∴；··········································3分 （2）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和， ∴，即， ∴．··········································6分 20．（6分） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是对代数式进行因式分解后再代入计算． 先对代数式因式分解，再代入、的值计算． 【详解】解：，··········································2分 当，时， 原式 ．··········································6分 21．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）把二次根式分母有理化即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：；··········································2分 （2）解：， ， ， ，即， ， ．··········································6分 22．（8分） 【答案】(1) (2) (3)x存在“有序表示”，见解析 【分析】本题考查与新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义列出式子即可求解； （2）根据题意得，进而求出，，代入，再计算平方根即可； （3）根据题意得，，进而得到，求出（满足条件），设是x的“有序表示”，则 ，其中 为有理数，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：， 则只要满足的都是有序数对， ∴（答案不唯一）；··········································2分 （2）解：， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为；··········································4分 （3）解：，， ∴，， ∴， ∴（满足条件），··········································5分 此时，，即， ∵均为有理数，为有理数， 设是x的“有序表示”， ∴，其中为有理数， ∵为有理数， 当或等均可满足， ∴x存在“有序表示”．··········································8分 23．（8分）（2 【答案】(1)12 (2)12.21 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12；··········································3分 （2）解：面积为149的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ．··········································6分 当时，可忽略，得，解得， ．··········································8分 24．（8分） 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3)1，大，． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据阅读材料中的方法进行分子有理化即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后再比较即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后确定最值即可解答． 【详解】（1）解：① ； ②． 故答案为：，．··········································2分 （2）解：，理由如下： 由， ， 又∵， ∴． ∴．··········································5分 （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值． 故答案为：1，大，．··········································8分 25．（10分） 【答案】（1）>，>，=；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）分别进行出对应小题中两个式子的结果，再比较大小即可； （2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；根据，可由完全平方公式得到，据此可证明结论； （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为米，利用第（2）问的公式即可求得最小值． 【详解】解：（1）①，， ∵， ∴；··········································1分 ②，， ∵， ∴；··········································2分 ③， ∴ 故答案为：>，>，=；··········································3分 （2）猜想，理由如下： 当，时， ∵， ∴， ∴， ∴；··········································6分 （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，则， ∴， 根据（2）的结论可得：． ∴篱笆至少需要40米． 故答案为：··········································10分 26．（10分） 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意得到原分式化简为，由，推出当时，有最小值为2，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∵分式可以变形为，∴；； 故答案为：2，；··········································4分 （2）解： ，··········································6分 ∵， ∴当时，有最小值为2， ∴有最大值为， ∴有最大值为， ∴分式的最大值为．··········································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十一章 实数和二次根式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级下·北京海淀·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京·阶段练习）二次根式有意义，则a满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·北京·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 6．（24-25七年级下·北京西城·期末）如图，数轴上点表示的数是1，点，，，中有一个点是将点向左平移个单位长度后得到的，这个点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．（24-25八年级下·北京密云·期末）七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（    ） A． B． C．1 D． 8．（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京·期末）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 10．（24-25八年级下·北京丰台·期末）计算： ． 11．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 12．（24-25七年级下·北京·期中）若，则的立方根是 ． 13．（24-25七年级下·北京丰台·期末）已知为整数，且，则的值为 ． 14．（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式： ； 根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）． 15．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）根据如表估计 （精确到）． 16．（24-25八年级下·北京·期中）定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，， 试解决下列问题 ① ； ② ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京·期末）计算： (1) (2) 18．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 19．（6分）（23-24七年级下·北京密云·期末）已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求a的值． (2)求代数式的值． 20．（6分）（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知，，求代数式的值． 21．（6分）（24-25八年级下·北京·期中）在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)若，求的值． 22．（8分）（24-25七年级下·北京·期中）已知r是正实数，对实数x和有序有理数对，若，则称是x的一个“有序表示”． (1)写出的一个“有序表示” ； (2)若是的一个“有序表示”，求的平方根； (3)若是x的一个“有序表示”，也是的一个“有序表示”，m为正实数，判断x是否存在“有序表示”，请说明理由． 23．（8分）（24-25七年级下·北京·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为86的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． (1)填空：的整数部分的值为________； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 24．（8分）（24-25八年级下·北京·期中）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：． 类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①_____； ②_____； (2)利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由； (3)当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____． 25．（10分）（24-25八年级下·北京·期中）观察计算： （1）_____ ____ ____（填“>” “<”“=”） 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______． 26．（10分）（24-25八年级下·北京·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______； (2)求分式的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十一章 实数和二次根式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25八年级下·北京海淀·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京·阶段练习）二次根式有意义，则a满足的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·北京·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京丰台·期末）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的边长为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 6．（24-25七年级下·北京西城·期末）如图，数轴上点表示的数是1，点，，，中有一个点是将点向左平移个单位长度后得到的，这个点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．（24-25八年级下·北京密云·期末）七巧板是中国传统的智力玩具．如图1，七巧板共由七块板组成：5块等腰直角三角形、1块小正方形和1块平行四边形，其完整图案为一正方形．将其打乱顺序后拼成图2所示的矩形．若图1中由七巧板拼成的正方形的面积为4，则图2中矩形的宽为（    ） A． B． C．1 D． 8．（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25七年级下·北京·期末）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 10．（24-25八年级下·北京丰台·期末）计算： ． 11．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 12．（24-25七年级下·北京·期中）若，则的立方根是 ． 13．（24-25七年级下·北京丰台·期末）已知为整数，且，则的值为 ． 14．（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式： ； 根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）． 15．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）根据如表估计 （精确到）． 16．（24-25八年级下·北京·期中）定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则． 如：，， 试解决下列问题 ① ； ② ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京·期末）计算： (1) (2) 18．（5分）（24-25七年级下·北京·期中）求下列各式中的x的值： (1)； (2)． 19．（6分）（23-24七年级下·北京密云·期末）已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求a的值． (2)求代数式的值． 20．（6分）（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知，，求代数式的值． 21．（6分）（24-25八年级下·北京·期中）在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： (1)化简：______； (2)若，求的值． 22．（8分）（24-25七年级下·北京·期中）已知r是正实数，对实数x和有序有理数对，若，则称是x的一个“有序表示”． (1)写出的一个“有序表示” ； (2)若是的一个“有序表示”，求的平方根； (3)若是x的一个“有序表示”，也是的一个“有序表示”，m为正实数，判断x是否存在“有序表示”，请说明理由． 23．（8分）（24-25七年级下·北京·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为86的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又， ． 当时，可忽略，得，解得， ． (1)填空：的整数部分的值为________； (2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 24．（8分）（24-25八年级下·北京·期中）阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：． 类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①_____； ②_____； (2)利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由； (3)当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____． 25．（10分）（24-25八年级下·北京·期中）观察计算： （1）_____ ____ ____（填“>” “<”“=”） 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______． 26．（10分）（24-25八年级下·北京·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______； (2)求分式的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$