上海市杨浦高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期期末高一数学试卷 命题人：徐安琪 审核：张君 时间90分钟 满分150分 2025.6 一､填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数__________. 2. 已知向量，，若，则实数__________. 3. 已知，则__________. 4. 若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 __________． 5. 已知直线与平面相交，则它们所成角的范围为__________.（角度单位用弧度） 6. 若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 7. 若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为_____. 8. 已知复数满足，则的值为______． 9. 已知中，，，点在线段上，且，则的值为_________. 10. 在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 11. 某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米） 12. 设平面向量满足：，，，，则的取值范围是__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分. 13. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 14. 已知两个非零向量、满足，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图所示，棱长为1的四面体木块，其四个面均为等边三角形，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（ ） ①截面是矩形； ②截面的面积为； ③截面与侧面的交线平行于侧面. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 三､解答题（满分76分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 如图，在长方体中，证明：直线平面. 18. 设，函数的表达式为. （1）若，求的单调增区间； （2）若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积. 19. 如图，一块正方体木料，面上有一点， （1）经过点在面上能否画一条直线，使其与垂直，若可以，该怎么画，在答题纸上作图，写出作图过程并加以证明；若不能，说明理由. （2）若正方体棱长为2，为线段中点，求直线与面所成角的正弦值. 20. 如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. （1）用和表示； （2）若，求实数； （3）如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 21. 已知集合{（其中是虚数单位）}，定义：，. （1）计算的值； （2）记，若，且满足，求的最大值； （3）若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，. 2024-2025学年度第二学期期末高一数学试卷 命题人：徐安琪 审核：张君 时间90分钟 满分150分 2025.6 一､填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 【1题答案】 【答案】1 【2题答案】 【答案】2 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】平行或异面 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】4 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】或 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二､选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】B 三､解答题（满分76分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】 在长方体中，且，且， 得且， 得四边形为平行四边形，得， 而平面，平面， 得直线平面. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） 过点在面上能画一条直线，使其与垂直, 如图所示，连接，在平面上过点作直线, 则， 证明：在正方体中易得：面， 因为面，所以. 又因为,,且面， 所以面， 因为面，所以. （2）. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）2 （2）4 （3）证明：由条件可知， 所以，设， 当时，和是单调递增函数， 则在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点， 当时，是单调递增函数， 得，先增后减，且， 因此，即在上没有零点， 当时，是单调递增函数， 则，而， 因此，即在上没有零点， 综上，当时, 必存在唯一的零点， 当时，， 且得， 所以, 其中， 此时是单调递增函数，所以， 从而， 所以当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $