第5章 直角三角形 学情评估-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版2024）

第5章学情评估 离为 评台内容，直角三角形 A B.2 C.3 n (时同：120分钟满分：120分) 8.《瓶西阶段练可)在学习了三角彩的内容后，李老师为了更 、选择题：本愿共10小愿，每小雁3分，共30分，在每小丽 生动地让同学门理解所学习的知识，带领大家做实验：首先 馆出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 让全班所有同学手拉手围成一个锐角三角形，李老师站在 1,(年帘期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90',AB=2m,D 三角彩的内部，第一次李老师要以相同的速度和相同的时 为AB的中点，题CD三 可走到三个顶点处的学生的位置，第二次李老师又要以相 A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 问的速度和相同的时间走到三条边上距离他最近的学生的 位置.请大家根据所学知识，依次精出李老师两次实验的初 始位置分划在三角形的什么地方 ①三条高的交点 ②三边中垂线的交点 ③三条角平分线的交点 ④三角形内部的任意位置 A.①③ B.②③ C.①@ D.①① 簧1影图 第2思图 9.如图，小卷左右两侧是竖直的嗜，一架棉子斜靠在左境时， 2.如图，ACLBC于点C,BD⊥AD于点D,要根据“斜边.直 梯子底瑞到左端的臣离为0,7m,顶端距离地面2.4m,若 角边"直接证明R:△ABC与R1△BAD全等，则还雷要 保持梯子底物位置不动，将梯子斜举在右境时，顶端距离地 加一个条样是 面1.5m则小巷的宽度为 A.∠CAB=∠DBA B.AB=BD A.1.8m B.2 m C.2.5m D.2.7m C.∠ABC=∠BAD D.BC=AD 10,(邢台模教)题目：“如图，∠B=30,BC=2,在射线M上 时3，如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E,交AC于 取一点A,议AC一d,若对于d的一个数值，只能作出唯一 点F.若∠A=35,∠D=15,则∠ACB的度数为() 一个△ABC,求d的取值范圆."对于其答案，甲答：d2: A.65 且70 C.75 D.85 乙答：d一1：内答：d一3，则正确的是 《) 4,如图，为了测量池塘的宽度DE,在池塘具围的平速上选择 A.只有甲的答案对 了A,B,C三点，且A,D,E,C四点在同一条直线上，∠C= B.乙，丙容案合在一起才完整 S0,已测得AB=100m.BC=60m.AD=20m,EC=10m, C,甲，乙答案合在一起才完整 则池糖的宽度DE是 D.三人答案合在一起才完整 A.80m 且60m C,50m D.40m 二、填空题：本题共8小题，每小愿3分，共24分 11.(淘帝期中)如图，在△AC中，∠ACB-90,CD是AB 边上的中线，且CD+AB一I8,则AB的长为 D 第4整图 第多题图 第10邀图 5.若一个三角形的三边分别是7,24,25，则它的面积是( A.84 B87.5 C.168 D.300 第11 第12题图 第13图 6.满是下列条件的△ABC不是直角三角形的是 12.如图，一艘流船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏 A.∠A-90 B.∠A:∠B:∠C-3=4:5 东60方向，距离16海里，10点到达B处，灯塔A在其E C.∠A3∠B:∠C=2:35 D.∠A+∠C=90 凳方句，此时资船与灯塔A相距海里. T,(中考·云霜)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的 13如图，已知四边形ACD,连接AC,DE LAC于点E,AB-l5, 高，若点F到直线AB的距肉为3，期点F到直线AC的距 BC=DE-9,SAwr=54,则∠ACB的度数等于 一深究在绒·八年级数学（上）· 14如图，在Rt△ABC中，∠A-90°，点D在边AB上，DE⊥ BC,垂是为点E,AD=DE,∠B=32°，则∠BCD的度数为 第14墨图 第15图 15.如图，△AC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点 M,点M到BE的距离为4.若AB一7，BC一9，则四边形 ABCM的面积为 16(中考·甘我)如图，在Rt△AC中，∠C=90°，AC=8, BC=4,折叠△ABC,使点A与点B重合，折痕DE与AB 交于点D,与AC交于点E,则CE的长为 2 Hea 890 30cn 第1⅓题压 第17■国 第1 17.(衡阳期米)如图，在△ABC和△DEC中，∠C一90°，AB- DE,AC=DC.下列结捻：①∠A=∠D:②∠A+∠DEC= 90°：③AE=DB:④OE=OD.其中正确的是 (填序号》 18运动展凤呆，筑梦向未来，为迹一步贯初“双减”政策，落实 “五育”并琴，学校组织了秋事田径运动会，如图是运动会 的缅裳台，3个长方体通奖台的长均为80cm,宽均为 60cm,1,2,3号台的高度分别是40cm,0cm,20cm,若 一只蚂蚊从3号领奖台的顶点A处沿表面爬到1号断奖 台的顶点B处，划蚂蚁爬行的最短距离为 三，解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明，证 明过程或演算步囊 1(6分)如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，若 AD=3,AC=4,BC-10,求∠DAC的度数 22 20.(6分)（岳阳期中）如图，在△AC中，∠A十∠B一90'，若 词写得很优美，整译或现代汉语的大意是：有一架秋干，当 ∠CD-2∠ACD,CD⊥AB于点D.求∠A与，∠B的度数 它静止时，踏板离鼬1尺，将它往前推进10尺(5尺为一 少)，秋千的踏板戴和某人一样高，这个人的身高为5尺 如图，请你根据词意计算秋干绳素OA的长度.《假设秋千 的绳素拉得很直) 21,(8分)如图，BE一FD,(ELAB于点E,CD⊥AF交AF的 廷长线于点D,且BC=FC求正：AC是∠BAF的平分线. 24.(B分)如图，在△ABC中，CE⊥BA的E长线于点E,BF ⊥CA的运长线于点F,M为BC的中点，分别连接ME, MF,EF. (1)若EF一2，BC一8，求△EFM的风长： 22.(8分)知图，它是屋架设计图的一部分，D是斜梁AB的中 (2)若∠ABC-30°，∠ACB-48°，求∠EMF的度数. 点，立柱BC,DE垂直于横梁AC.AB=1,4m,∠A=30 求DE和∠BCD的值 23.(9分)（中考·乐山节选）我国明朝数学家程大位写过一 本数学著作（直指算法统宗），其中有一道与酱秋千有关的 25.(10分)如图，某公同有一块四边形章坪ABCD,计划修一 数学问愿是使用K西红月)同牌写的： 条点A到点C的小路，经测量，∠D-90°，AD-14m,DC 平地状千未起，传板一尺离地. =48m,AB=40m,CB=30m, 送行二多与人本，五尺人高曾记 (1)求小驿AC的长； 仕女经人争规，终细笑语欢墙。 (2》前衡带君小购在草坪上玩要，衡期站在点B处，小剪从 丧工高士素好奇，算出索长有几？ 点B开扇以2m/s的速度在小路上悟BC·A的方向奔 12 一深究在坑，八年组数学（上）+X一 跑，胞到点A时停止弃胞，当小到在小路CA上弃张时，小 到需要跑多少秒与萌萌的距离最近？ 26.(10分)（衡射荆末）定文：如果-个三角形中有两个内角 a澜足a+2的一'，那我们称这个三角形为“近直角三 角形”： (1D若△ABC是近直角三角形，∠B>90,∠C=50.则 ∠A= (2)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,若CD 是∠ACB的平分线. ①求证：△BDC为近直角三角形： ②求BD的长，那高如- 所联BD-CE十B配 男为b一-0，青以6- AB-AC. 乐以原式一青 在△AD阳△AE中AD=AB D-CE. 21.)春题意，得a=,所以a一2点 所其△AD☑△A军（边边边） 2)自题意，得2一√(44V5和》一2. 4 2理+1 1二元一次方程里的厚一4， 断和4小店元叶m4+, 因为三角廖的三条边长分酬是a,,, 所以侧一其 所以a=<<a+k背但3<5 24.10+4=(+8=(力+2×国×8十-2× 因为为曹数，随致= /X&w(+)-16w=(w'+8)'-162=(+号 所以三角思的风长为a+十(=4+1+4=， -dwHa+at in). 2.因为AAC阳△ADE是等动三角彩， 2)同一16m十B山一0w十25一9=《m-51一9 所C-AC=AB,∠BAC-∠DAE-6,AE=AD 《m-5-3=(m一6+30(m-5-8》=(n-20(m-8) 前R∠RAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 丝.)第0个方根为中行十11，标为 厚∠HAD=∠CAE 第个方为书一：为 AB-AC. 雀△BADI△CAE中∠HAD=∠CAE 2)第：个方程为“马1 AD-AE 所以AAD2△CAE边角动》 由于量同公分得为：十1，干量将为程利动日乘十1，料 所∠ACE∠ABD n=2。一(A+12,折料==1. 楚植响用一1是原分武方程的解， 所R∠ECD=I8-∠ACB-∠ACE=1-的- 所以原方程的解为一n一L 2,《)没莽球的单蚧为无，则监球传单粉为元血园 所以∠AO∠FBC 1∠FCB=∠GB=6W. 检验，当g40时，2r中0 在AFCB和△GAB中，EC-BL, 所以x”40品原什式方程的解，且符介聪意 ∠FB-∠ABG 所以接=0 所红△FC≌△GAB(角边角). 答：整球的单许是的无，推球传单价是的元 所r=CF-14 2)设解买￥个蓝球，湖响买0一》个样球：由园意：周 41D四为AD⊥E,且D是E的中点，EF蒂直早出 AC. 4310 所AB=A= 圆为a为正领数，所豆a取0或用成2. 所u∠AED-∠B,∠C-∠CAE 则购买方案有知下三种： 国为∠8A￡一3“， 方案一：新买造球0个，利买错球0个， 方素二黔买随球3引个，利买绿球四个可 所∠AED豆X18时-)= 方案三：后买效球好个，肉凭排球活个 所∠C-∠A0-3. 第4章学情评结 LB 2.C 8.D LC T.B KC 7.H &D (为D是E的中点，所以D=DE A,D10.0 国为CD=D比+c-4m,且A8-AE= 1L,a=012,41山，@① 所其△ABE的周长=AB+BD十PD十AE=DR+2 1.12r15.5反兰m7.4银3或1g -2CD-奉cm 2益(1复期：周为AE成℃ 13.如图.△ABC甲为所作， 所其∠C=∠CAR,∠ABC=∠DAR 国为Ar平分∠已AD,所以∠Ar=,∠DAE 所其∠C-∠AG所型AB=A烂 所以△AC是等根三角形， (2因为∠CA-0',新以∠H= 20.网为D,E是边C的三等分点： 因为△AC是等根三角形， 一家究在绒·贝 所以△AC是等道三角.以A=HC- 阴为AML BC,所区AM=CM=AN=名 AD-TAB-37m 箭以C-+CM-4,斯以AC-4 所HDE-D-}×1,7-L5(m 6,1)在△AHC中，∠C-7,∠B=35“ 在民△A市中，∠A-0,斯但∠AC-s 断以∠且C=1o一75-5=76. 义BC=BD,所以△BCD是等边三角题 时为ADLC,所以∠ADC-0.青以∠CAD-1时， 所队∠CD=6的 国秀AE平分∠HAC,两H∠EACu是∠HAC35 答：立桂DE的总量1,5m+∠CD的包为 所以∠EAD-∠ACG-∠CAD=D 25知图过点A作AB⊥L,重足为直H 度批千闻素的长度为士尺 2∠EAD-子∠C-∠&第由如下， 由题意W知，OA-04'一 在△ABC中，∠BAC+∠C+∠H-14r AB=5-1=4,A'B-D 所凹∠BAC=I0-∠C-∠& 履0B■OA-AI=x-4 四为ADLC.所风∠AC= 在△04'靠中，独的股堂理 u∠CAD=-∠C 罗为A然平给∠C.断以∠EC-是∠nC-1可 爬以时+（一4）=.解得z=16.玉 答：款干佩素的长度为1L5院 -c-<n-0-支∠c-是∠n 24,11国为CE⊥HM,8F⊥CA.M为BC的中直，BC=, ∠EAD-∠EAC-∠CAD=0-∠C-∠ 期以ME-M-子C- 因为EF2,所出△FM的周长为 -w+∠C-∠C-号∠& ME+MF+EF-4+4+1-10 (a∠EFD-∠C-7∠B (2)国为.∠C-9,M为根C的中点， 用HBM-EM-MC.所H∠LBC-∠BE- ∠AFD-言∠C-青∠B f且∠EMC-∠ADC+∠EM- 国为∠BFC-0.M为C的中直： 第5章学情深估 1.A2.D3.84.C5.A4.B1.C5.B 厘aFM-CM-C R.D10.C1L1212.813.901.29°162 所以∠CB=∠CFNw48 16.812.D2零1860v/而m ∠BF-∠ACB+∠CFM-9 19.四为AD是DC边上.的中线，BC30, 所且∠ENF-IT∠-∠Mf-2 所以CD号k×0-5 所以∠EMF的厦数为24 25.10因为∠D=9时，AD-14m:DC-m: 图为AD-3,AC=4, 所且在△AC中， 新以A+AC-+=-CD. AG-干=0(m) 所以△D4C为直角三角形，具∠D4C=0 则以小略C的长为0L 0,段∠A-0, ()如图所示，过息B作BHLC 为∠BCD=2∠CD,所H∠BCD 依意.肾小胸在个降CA上齐角：且 四为∠A+∠B=,所以∠ACB=9时 刷列点H的位置时，么构与南南的胞 新以+2-矿，解得=3 南最近 所以∠ACD=',∠BD-的” 国为A=4nCH=mC-50n 因为CD⊥AB.所以∠A0”,∠B=3时 ,因为CE⊥AB,DLAF, 所以∠CFB=∠D=30 ,所∠A-0,则5-受A8X-子A 在R△BCE阳△FCD中， (BC-FC, ng-yp. H月8n-区。o”-(m.期C- 断HR△E≌Rt△FCD.所以CE=CD 因为CE⊥AB,CDLAF, 因为小胸风点B开单以12m/:的速夏在小降上沿B一C 所以点C在∠BAP的平分线上 →A的方向奔呢，扇明点A时停止奔那： 新以AC是∠BAF的平分线 周且C+C=18+程-报(m),周4银÷1=44). 22,四为DELAC,⊥AC,∠A-0，DA的中点 质红当小物在小备CA上奔靠时.公养雷要对物与自 以C-AB-BD 自的距离最近 年级收学（上）·X灯 31 所A十A=100=保 23四王明：国为在民△AC中，∠BAC 所以△AC是直角三角廖，且∠A- 所以∠H+∠ACH-r 网为D是∠AC君的平分线 前以5aaw一56一品m一壹A8·AC一安C· 所以∠ACB=∠CD 所以在△BC中，∠B+2∠KD- 容：国边形A述的齿就为派 所△C为透点角三角飞 L(1因为AD为△ABC的角平计线，DE⊥AB,DFLAC, ⊙国为指R1△AHC中，∠BAC=0,AB=5,AC=4 所E-DF 所HBC-W+T-容+平-5. 国为D为C的中直，所以BD=D 知图，作D呢⊥于点P 所以RIABEDGRL△CFD(韩政.直角边). 盟为D量∠MCB的平分线。 所区∠B-∠C质以AB-AC DM⊥AC,DE⊥EC, 厚△AKC为等艇三角港 所慰DA-D述 (2由1)可如，DE-DF, 倒为气a一5m十5=所以号A·A-壹AC: 国为AB=AC,AD平升∠BC,所以AD工BC AD+是院，DE-}《C+C)AD 所钱5e=-,AD-名am 期以号×8×4-号×4+5)，AD 又因为5w一56+5n-AB·E+AC: 拆得AD-宁 球-文AC·DE+子C,DE-AC·DE-w, 所鞋D-B-A0-守一子一景 所民子雨一如，母w一h H(1》x-8:十4=2-x+16+4-1t=(x-4F-12 期末学情评估（一】 〔答常不难一) LC名naD4C5CG,A7,pA (2》W为士2+y+y-3y+3■0 9.D10.B1L612-11k5 14.BD-CE容案不灌一1 所x(+'+(x=0 1534,5的以.青18.D28④ 所以十子y-0一1-折特=-1- 1.山式-(2式--子“ 所风=《-1=1 2五1迁明，知周，过点D作0W生AB: N⊥AC,G1AB,垂足分到为点M, N,0, 国为ABAC.AHLBC于点H 21,为AB平分∠心AD 所AH平分∠BAC 所∠CA=∠DA 国为DM⊥AB,DN⊥AC AC-AD. 所DM-DK. 在△CAB△DMB中，∠CAB=∠DAB, 由析叠可得∠ABD-∠A'BD, AB-A8. 厚D平分∠AA 期以△CA能2△DA(边角动)，面反∠C-∠D 母为MLA银，G上A'B, 22.段D型车的干烤速度为xkm/h,则C西车的平均速度 所RDM=D所以DN-DR 是知km/h,根暴延意，得 因为DNLAC,DG⊥AB: 所以点D在∠AEB的平什线上 整轮验口-100是诚分式方舰的解，且菊介通息 所以D宽半分∠AE机 答：D程的早均速度为1a0hm/% (连接CD,因为AB=AC,AH⊥BC,所红BH=CH 2L.四为∠EDC-r,DC=3,DE=4 所反AH垂直平升C.所以D=CD 期国C正+E=罗干T- 周为BD=BC,期里BD=EC=CD 所以AC=AE十E=5, 所以△中是等边三角港.所以∠1DC-∠D市=， 因为C=D+>-+7一的.A=8: 因为AB=AC,所以∠ABC-∠ACR 32 一深究在城，八 以∠AC-∠DBC-∠-∠DH (连接AF,型为C⊥AB,⊥A,所议∠A-9 即∠AD-∠ACD -∠ABC 图为∠ABD=∠A'BD 在△ACD与△ABE中， 所U∠ABD=∠A'BD=∠ACD ∠A-∠A,∠ADC='-∠AEB,MC=AB 年仅∠AEB=∠CBE+∠BCE=∠CE+∠CD+ 所其△A△AHE联默AE=AD ∠ACD=∠CEE+∠A'BD+∠BCD=∠CBD+∠BD 在RIAAEF N R△ADF中，AE=AD,AF=F, =0+60”-12 所H△AEFOR△ADR,所以∠EAP=∠LF 所但∠-1s一∠AEH一1位-13=00 所以点F在∠CAn的平#线上 期末学情评估（二） 25(1)传AD⊥QV于点D, LD生DB4,C5A5B7,eB 国为∠N-3D=1E0m a810D1146+4》11.20×1g+ 质往AD-子L-0m 到4-5，r6罗-x器 母对学校A的噪户影响最大时和牢户 n.2g-4 与学校A信距离为阴m (2》如图，保盛A为测七，10如为半轻m需.交0W于 15.1)第式E-My一2 B,C河点，断以AB-AC 2)原式-4(2十n)(n十2e 四为AD⊥BC,所以D-CD-号BC m,1)家式夏十4.(0原试=-5. 在△AD中， 出，振式 齿a一5+t时或-等 所以C-1m 四为卡车P道QW方肖行候地发为5压/， 江.量洋程一天单仪室我因国量工：州佛一天单徐国积 所以卡车整过BC的时间为12D÷一26()， 国城量为红十玉2)：根务超意，得 ，卡车严路N者向行驶一给学校A着来由 墨响的时词为24支 是验验任一54是眼分式才图的解，且林合题意。 答：律慎一天单位自积保酸量是54名 -K--D,∠AG-∠D- 厚∠AB)=∠CBD=r-∠CC AA-BC, 都格一含 在△A)和△C0中，∠A-∠GD, 经赖轮口一专是原分式左程的解 所△AB△CBD(边角边)， 〔2△D是直角三角飞：理由年子 因为△R402△kD,两∠BDC-∠ACB-15 分式有边同票（一10，.得s(一1）+6：-br十b W为∠DB=∠8D='， 板覆，对(B一)r-3+A 所以∠C0-13一=0. 庵模式方君无解时，9一b一@，周h一9： ∠0D=360-100-150-特=. 当分式方程产生增制时，增核方一0减一1， 质且△C0是直角区角罪. ①当g=0时.(0-}×0=1+4-=3： 〔3①当0-CD时.则∠0-∠C 的背r=1时.(0-b)1=1+hm3: 附以00一a-。-0矿.浙以。-行， 篇上所述，当一一1境3或9明原分式去程无解 8当O-00时，则∠0D-∠CDa 3,《红)如医，莲接C, 所其2(a-00'-1-《0m'-a).所线a-100 国为D,E分则是AB,AC的中点： 当0OD-CD时.则∠OCD=∠COD. CDLAB于点D,BE⊥AC于直E 所政2(20-g》=18创-(-0).所以a■1H0, 新但B系直平分C, 所其9：考100,13对，15明，△仪D是等展三角形 CD垂直平分A8 需HAC=CB,AB=CB 所以AC-A及 盟数学（上）·X灯