第五章 直角三角形 单元练习 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 湘教版八年级上册直角三角形单元卷，以勾股定理及逆定理为核心，融合实际应用与文化传承，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|勾股定理逆定理、斜边上中线性质|第12题结合《周髀算经》考勾股定理证明，渗透文化传承| |填空题|4|折叠问题、动点最值、中线性质|第14题以双直角三角形为背景，考查中线性质与角的计算| |解答题|7|旋转综合、实际应用（秋千/云梯/巡航）|第21题云梯消防车情境，运用勾股定理解决救援高度与距离问题，体现应用意识；第23题海警船巡航，结合方位角与勾股定理逆定理，培养模型观念|

2026-2027学年湘教版八年级上册第五章直角三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 2．下列各组数中的三个数可作为三边长构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部处，则这棵树折断前的高度为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，则数轴上点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是斜边上的中线．若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A．8 B． C． D． 7．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，在中，D、E分别为、上的动点，且，，P为内一点，连接、、、．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在直角中，，将绕着点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，点恰好落在边上，连接．若，，则线段的长为（   ） A．2 B． C． D． 10．已知的、和的对边分别是，和，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 11．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 12．在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 二、填空题 13．在中，，，，P是上一动点，则的最小值为________． 14．如图，以线段为斜边向两侧作和，，是线段的中点，连接．若，则的度数为___________． 15．如图，在中，，，，点D是边上的一点，连接并延长至点E，使得，连接．若，则的长为________． 16．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题 17．如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 18．如图，在中，，点D为斜边的中点，，求的长． 19．如图，中，，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于点，，，求的长． 20．如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即），如图1到达的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度； (2)当秋千静止后，如果将秋千往前推送（即），如图2求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 21．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 22．学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 测量工具 皮尺 测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点C，使；第二步：在的一侧选点D，使点D能直接到达A，B，C三点，测得，，． 问题解决： (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求池塘两端A，B之间的距离． 23．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里． (1)若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处（图1），且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：） 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年7月29日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D B C C A C B 题号 11 12 答案 B C 1．B 【分析】利用完全平方公式展开等式，整理得到三边的平方关系，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形形状 【详解】解：∵ ， ∴ ， 整理得：， ∴该三角形是直角三角形． 2．C 【分析】利用三角形三边关系坡度是否构成三角形；根据勾股定理的逆定理，计算每组中两个较小数的平方和，验证是否等于最大数的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A 、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3．C 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴这棵树在折断前的高度． 4．D 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可求出A点表示的数． 【详解】解：∵在中，． ，， ∴， ， 点表示的数是． 5．B 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角得出，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴． 6．C 【分析】连接，交于点，由旋转可得，，，为等边三角形，垂直平分，根据勾股定理可得，，即可得的长． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵绕点逆时针旋转得到，，， ∴，，， ∴为等边三角形，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴． 7．C 【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 8．A 【分析】由结合三角形内角和得到，连接，把绕点顺时针旋转到，使与重合，连接，，得到，，，，即可推出，，再证明，得到，，当在上时，最小，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴连接，把绕点顺时针旋转到，使与重合，连接，，， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小，最小值为． 9．C 【分析】先由旋转性质得到相关边与角的等量关系，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理得出是直角三角形，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转性质可得，，，， ， 则， ，， ， ， ， 在中，，，则由勾股定理可得． 10．B 【分析】结合三角形内角和定理，勾股定理逆定理以及三角形三边关系，逐一判断即可． 【详解】解：①∵ ，三角形内角和为， ∴ ， ∴ 是直角三角形；故①符合要求； ②∵ ，设， ∵ ，即， ∴ 是直角三角形；故②符合要求； ③∵ ，， ∴ ，解得，， 无法得到有内角为， ∴ 不一定是直角三角形；故③不符合要求； ④∵ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形；故④符合要求； ⑤∵ ，，不满足三角形三边关系，不能构成三角形， ∴不能判定是直角三角形，故⑤不符合要求； 综上，能独立判定是直角三角形的条件共3个． 11．B 【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求． 【详解】解：连接，如图所示： 在 中， ， ∴ 在中，， 即， ∴为直角三角形， ∴. 12．C 【分析】逐项利用“等面积法”判断能否证明勾股定理即可． 【详解】解：选项A、梯形面积可以表示为，同时梯形面积还可以表示为三个直角三角形面积和，即， 则， 整理得：，可以证明勾股定理； 选项B、大正方形面积为，同时大正方形面积还可以表示为4个直角三角形面积与中间小正方形面积总和，即， 则， 整理得：，可以证明勾股定理； 选项C、该图形的面积分割整理后，得到的是完全平方公式，无法推导出，不能证明勾股定理； 选项D、大正方形面积为，同时大正方形面积还可以表示为4个直角三角形面积与中间边长为的正方形面积总和，即， 则， 整理得：，可以证明勾股定理， 故选：C． 13． 【分析】由题意可知，当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，先求出，根据等面积法求，即可解答． 【详解】解：∵点P是上的动点， ∴当时，根据“垂线段最短”，此时取得最小值，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 14． 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵，是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴. 15． 【分析】作于点，利用勾股定理求得，证明和，求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．24 【分析】在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，然后根据图中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴图中阴影部分的面积为． 17．证明：平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 18．5 【分析】先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点D为斜边的中点， ∴． 19．(1)见解析 (2) (3)14 【分析】（1）由，，判定为等边三角形，得，；结合，用可证； （2）由得，根据外角的性质进行求解即可； （3）根据，，可得中，则；结合，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 为等边三角形， ，． ， ； （2）解：， ． ， ， ； （3）解：，， ， ． ， ． 【点睛】本题核心是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定、含角的直角三角形性质；关键是通过全等转化角的关系，再利用特殊直角三角形的性质快速求边长． 20．(1) (2) 【分析】（1）设秋千的长度为，在中，由勾股定理建立方程进行求解即可； （2）在中，由勾股定理得到的长，进而求出的长，即可. 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，， ， ， ， ， ， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即秋千的长度是； （2）解：在中，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 即此时踏板离地的垂直高度为． 21．(1)21米 (2)6米 【分析】（1）在中，由勾股定理得；再加上消防车自身高度，即可得处到地面的距离； （2）先根据题意求出竖直高度，在中，由勾股定理得水平距离；则可得到消防车靠近的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，米，米，米， ∴在中，（米）， （米）， 答：B处与地面的距离是21米； （2）解：由题意得米． 米，（米）， （米）， （米）， 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为6米． 22．(1)是直角三角形，理由见解析 (2)池塘两端A，B之间的距离为 【分析】（1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）利用勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知：是直角三角形，且， ∴， ∵，， ∴； 答：池塘两端A，B之间的距离为． 23．(1) 乙船沿南偏东方向航行； 理由如下： 由题意可得： ，（海里），（海里）， 在中， ，， ， 是直角三角形，且， ， 乙船沿南偏东方向航行； (2) 他能在分钟内到海岸线．理由如下： 如图，过点作于， 由题意可得： ，（海里）， ， （海里）， （海里）， （海里）， ， 他能在分钟内到海岸线． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可； （2）过点作于，根据含度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的长，进一步计算得出答案． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 答案第12页，共12页 答案第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $