单元综合复习(五)直角三角形&综合与实践 利用拼接探究勾股定理-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版2024）

单元综目复习( ■●●热门考点突破■■■ 考点1直角三角形的性质与判定 1.(娄底阶段练习)在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A-∠B=10°，则∠A的度数为 () A.50 B.60° C.70 D.809 2.(长沙期末)如图①②，云梯斜靠在墙上，墙垂 直于地面.如图②，记云梯为AB,P是AB的 中点，A'B′表示云梯AB在沿墙下滑过程中的 某个位置，点A,B,P的对应点分别为点A', B',P',在云梯的下滑过程中，下列关于OP与 OP'的长度关系判断正确的是 () B'B 图 图② A.OP>OP' B.OP=OP' C.OP<OP' D.无法确定 3.(长沙期中)在△ABC中，a,b,c分别是∠A, ∠B,∠C的对边，下列条件中，不能判断 △ABC是直角三角形的是 () A.a:b:c=1:1√2 B.a=2m,b=m2-1,c=m2十1(m>1) C.∠A:∠B:∠C=2:3:4 D.∠A+∠B=∠C 4.(岳阳模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,AE ⊥BD于点E,点D在BC的延长线上，∠D= 60°，AD=8,BD=5,则BC的长为 B EC 第4题图 第6题图 直角三角形 考点2勾股定理及其逆定理 5.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九 章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块， 有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三 里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三 角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里， 问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国 市制长度单位，1里=500m,则该沙田的面积 为 km2. 6.(中考·徐州)如图，将长方形纸片ABCD沿 边EF折叠，使点D落在边BC中点M处.若 AB=4,BC=6,则CF= 7.(衡阳期末)如图，一个圆柱形容器的高为 10dm,底面半径为是dm,在容器外壁中点B 处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁 的底部与蚊子相对的点A处，壁虎捕捉蚊子的 最短距离为 dm.(容器厚度忽略不计) 第7题图 第8题图 8.(长沙开学考试)三个边长为1的小正方形按 如图所示叠放在一起，点A,B,C都在小正方 形的顶点上，那么∠BAC的度数等于 9.(中考·广元)如图，将△ABC绕点A顺时针 旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为 点D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上， 若CD=3,BC=1,则AD的长为 () A.√5 B.√10 C.2 D.2√2 第5章120 考点3直角三角形全等的判定 10.如图，AC⊥AB,AC⊥CD,要使得△ABC≌ △CDA.若以“斜边、直角边”为依据，需添加 的条件是 A.BC=DA B.AB=CD C.∠B=∠D D.∠ACB=∠CAD 11.如图，在△ABC中，D是AB中点，DE⊥AC, 垂足为点E,DF⊥BC,垂足为点F,且ED= FD.求证：△ABC是等腰三角形 考点④角平分线的性质与判定 12.(湘西期中)如图，在△ABC中，∠C=90° AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足 为点E,若BC=5,DE=2,则BD的长为 第12题图 第13题图 13.如图，P是∠AOB内一点，PC⊥OA于点C, PD⊥OB于点D,且PC=PD,点E在OA 上，∠AOB=50°，∠OPE=30°，则∠PEC的 度数是 () A.50° B.55° C.45 D.60 14.(长沙期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，O为△ABC角平分线的交点，OD⊥BC 于点D. 121探究在线八年级数学（上）·X灯 (1)∠AOB的度数为 (2)若AC=6,BC=8,求OD的长 ■●●核心素养提升●■口 15.(郴州阶段练习)《勾股举隅》为梅文鼎研究中 国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是 对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推 广，书中的证明方法是将4个三边长分别为 a,b,c的全等直角三角形拼成如图①所示的 五边形ABCDE,然后通过添加辅助线，用面 积法证明勾股定理.下面是小华给出的相关 证明： 图①D 图2四 如图②，丝长MN交①十点G 用两种不同的方法表示五边形ABCDE的面积S: 力法一：将五边形ABCDE看成是由正方形AFDE 与AABF,ACDF拼成， 则5=②· 方法二：将五边形ABCDE看成是由③，正方 形CDNG,AAME,ADEN拼成， 则Swa+b+ab×2=a'+b+ab 根据面积相等可以得到④，即a+b= 则下列说法错误的是 A.①代表BC B.②代表c2+ab C.③代表正方形AFDE D.④代表c2+ab=a2+b2+ab ©综合与实践 利F 基础在线 》知识要点分类 知识点利用拼接探究勾股定理 1.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所 示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证 勾股定理时，用到的相等关系是 ) A.c2=(a-b)2 B.zab-(a-6) C.c2=2ab+(a-b)2 D.ab=c2-(a-b)2 bi s 图 图2 第1题图 第2题图 2.如图①是边长分别为a,b的两个正方形，经如 图②所示的割补可以得到边长为c的正方形， 且面积等于割补前的两正方形的面积之和.利 用这个方法可以推得或验证勾股定理.现请你 通过对图②的观察指出下面对割补过程的理 解不正确的是 () A.割⑤补⑥ B.割③补① C.割①补④ D.割③补② 3.把一个直立的火柴盒ABCD放倒（如图所示） 后变成ABCD',通过不同的方法计算梯形 B'C'CD的面积，可以验证勾股定理.请写出 验证过程. 用拼接探究勾股定理 ②能力在线 >方法规律综合练 4.勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地 位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三， 股四，则弦五”的记载，如图①是由边长均为1 的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关 系验证勾股定理，将图①按图②所示“嵌入”长 方形LM)K,则该长方形的面积为 ) 图① 图② A.60 B.100 C.110 D.121 ③拓展在线 》培优拔尖提升然 年44444444 5.我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的 直角三角形拼成如图①的“弦图”（史称“赵爽 弦图”) 图① 图② 图③ (1)如图②，将四个全等的直角三角形紧密地 拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廓（粗线） 的周长为24，OC=3,则该“勾股风车”图案的 面积为 (2)如图③，将八个全等的直角三角形（外围四 个和内部四个)紧密地拼接，记图中正方形 ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面 积分别为S1,S2,S,若S十2S2十S=20,则 S2= 综合与实践122斯∠-∠A.所△C△A BD=AE 所以DF=EF+CE 国为B形=AD+CD.所时Ag-AD+D 前段测评6(51一5,3】 限以∠ADE=6 1.D 2.B 8.B 4.A.i.B 6.D 所H∠DC=∠ADE-∠CDE- 7,4,路&103,110411，晚121线，4 期以∠ADC的度数为矿 I发因为AE-CF, 障专夏山利用勾服定理解决最灯路径和新叠问见 所以AE+EF=CF+EF, 厚AF=CE 四为DE⊥AC,BFLAC, 5,(1)-+(AE+)=45+(6+5)=+1- 所民∠D=∠HFA-0 137. 在△DC豹△hFA中·A-CR, ABCD. 8=A甲中《P+)=+〔6+4)=+1=15， =《AB+C)+C《5+4)F十=+=117， 所以R△DEC☑民△BFA(边，直角边) 所以甲，乙：用三只解配的行击路的最小指的平方分具 所民∠C=∠L所AB0CD 是137，h爸.117 14(1》△BD是等边三角愿.理直如下， (3)再甲 四为E面直率分AB,所以D为AB中点 美.3直角三角形全等的判定 国为∠ACB-,期且D-D 蒂萄在战 四为∠MCB=0',∠A= LC2Ha.B4.65 所风∠A=,所△D是等边三角题 5,s为Cn⊥AE,FDLAE C29 周以∠ABC=∠EDF=0 点白》如图，造接4C母为∠超一时°， 在△A阳△球中，C图一FD AC-EF. 酬AC-VP+= +=10(m》, 所以民△AC民△EDF(边，直角边， 所保案少寄要0量装能彩瘦， 以∠A=∠E (20因为AD=1时=10.CD旷=24°=污。 d.6 A伊-8%-67， 7,如图，△AC厚为两求 所RAC十CU-A 所仅△ACD是直角三角题且∠ACD-91 所5a-子AC:CD-量×10x-13( $e-号AB-x-子X×4-4(m。 解力在线 5×4+8×13-4阳（核3. 8,0a14n16特11.f成易 所区共调要种植和陕数养. i要晴：在△和R△AAE中，CF-AB, 5,4角平分线的性质 cB-AB. 第1深时角平线性质定 用且R△BCFAR△BAE(韩边，直角边) 都德在线 所图K-F,所以∠成苹一∠时 1.C2.A3.B465.B&0 2D网为AE=CF=,∠CBF=9,BF=, 1,因为∠C-,D求1A4, 乐HBC=√一HT- ∠C∠BFD■0. 里为BE-F一5，质以CE=C-E=]3-5=7 在△C和R△FDB中 拓在候 因为DED,E=FB, I1)为AFDE,米以∠AF= 所数R:△CDR△F8 因为∠B=0.所以∠AFD■∠& 顺点D=DF 在△ADF和R△A中，AFA, (AD-AC, 四为∠C-30,DF⊥AB 侧红点D在∠An的平分线 所日R△ADF≌△MC找所核∠DAF=∠CAH 力在道 2)电IDE时可料△ADF△ACE,黑以DF=C8 kG3,D10,D11.H 在△A和△A中，A-A (AE-AZ. 12议点P作PF⊥OB干点F,因 为∠A0B-30 所HRL△AEF2△AER所HEF一EB C平分∠A溶 28 一深究在线·八 新以∠AX-∠X=1 为PD9OM,期∠DP-∠A0P=1. DB-0C. 所以∠NC-∠DPa所HPD-O-Iam 在R△DBE和R△DCF中， n-CF 型为∠AC形=0，PDO4,期以∠IDP=朗 质a△DEOK△DF. 两在R△PDF中，PF=二PD=5m 所RDE-DF果HAD平分∠AC 两为CC为角平分线，PE⊥OA4,PFLOB, 在R△DE和△ADF中，DE-DF, (AD-AD 拓黑着线 质豆R△AD2R△DF,所以AEAF 13,1)周为∠M形=∠g∠CA■ 国为HE=F,AB=15,AC-, ∠E+∠ACD.∠DCB=∠ME 所其AB-AE=AE-AC. +∠ACD 厚15一A6-AE-9,解得AE一2 所∠DCB-∠CA 所其AF的长为12， BC-AC. 防展在线 在△D和△A军中，∠DCB=∠ECA 1总1如图，过点E作5求上M于点产 DC-EC. W为∠C=,DE平分∠ADC,EF⊥AD 所但△HC2△AE所AE=D 周aCE■ETF 2)过点C作C01 D.CHIAE, 四为E是C的中点 图为△Ca△军， 所以BE=CE所以BE=EF 两巴Sam时=Sr,BD-AE 又网为∠B-3.EF⊥AD, 两uCG·BD=CH,AE 所住AE是∠DAB的平什拔， 桥山CG=CH. 〔国为DE平分∠ABC,AE平分∠DA, 为CGLD,CHLAE,所思FC平分∠FE 质H∠ADE=∠AIC,∠DiE=∠DAB 第艺课时角平分我的性黄与料文的随用 又为∠B∠C=9约'，所数AB0CD. 蓄配在线 L.A 2.B 327 cm 所∠AC+∠DM=r 4国为C⊥a4,PDLOB,℃-PD 以∠ADE+∠DAE∠ADC+∠DMB 所区0P是∠AB平分线 国为GR⊥4,2F⊥O8. -（∠C+∠BAB)-0 周QE-QF, 际以∠AED-,事AE⊥DE 国为W⊥AD千点M (30国为∠C=∠DFE=0' PN⊥CD于点N,RPM=PN DE- 所以∠ADB=∠CDA 在民ADFE利RADCE中， K-CE. 国为D为CAC的平分线 所△DF△ 高I是∠A8Dm∠B及 在△A的相△CH0中。 附其DC-D求，同理AF一AC ∠ABD-∠CBD 因为AD=AF+DF,斯HAD=CD+A )m3力， 单无经合复习（五）直角三角形 ∠ADB=∠CDB, 的门考我完碳 所候△ABD≌△CBn,所以AD= 1,A2B3cL1i.56子元回 能力在线 &D1Ba,2,0① .A 10.A 10.如语，交金P口为桥该 11.因为DA8中点， 所以AD-BD 因为DE⊥AC,DF⊥BC 后以∠LED=∠BFD为” ED-FD 1L.)整明，如图，连接DB,DC 在民△ADE和△DF中， LAD-BD, 器为DG⊥C,G为c的中直 质其△ADER△BDP,所数∠A-∠B 斯但DB=DC 所以AG-BC,即△A仪是等要三角思 为DE⊥AB.DF⊥AC 12330 年级数学（上）·X 14.4115 期表重布点提升？分式 周长方形的国积为V区×4，■2(m):正方形的面积为 断以△AD和△HG是直角三角形， 2)雀整C,圆为O为△AKC角平分线 1.B ZA 3.C 4.A 5.C &C 7.A 3屋×52=0（血 在△AD有民△AC中：AD-E, IB-BA. 的交点， 子0-1波 闪为50效，所日围成的王方形南积大， 州以由角平台线的性题蜜理可延O到 期末重数点提升4三角形 振以△AHGk:△MAC所以AC-D 三动的型离相养。 业眼式一是a家式- D原式=一1-工 143A3C4,05日607，定胜 ∠AOC=∠D, 根整针程定表，周 8x=09.1610,的°1且3512.1512.5 在△A0C△D力中，∠C-∠D, AB=√AC+=J0 比灯一号是原处式方配的解、 (顺分式左程无解 14.1)明：国为8ELAC,CD⊥A&, AC-8D. 而以△OC4△00. 5w一宁×X5- 原式中 箭以∠AC=∠AH=9时 在△ADC和△AEB中 1L.自图，被五港，ED Se-5a+5加+am,县号×X0D叶号X 因为分式要有意义： ∠A-∠A. 国为∠AC=∠ADC=9 所反a≠生2月≠0且≠一1 ∠AIDC=∠AH, AEEC.AC-12 cn 00+×10×00-4,停0D-1 所以一1时原式一南名 MCAB 所其H-EA-r-ED-支AC 依心素养是丹 4将分式方程两过只乘(：一2》，得明-1一星： 界世△DCRAAEB.HAD=AE 15,C 解得=和一1 《)A0雅有平分C,理由如下： ×2-6m 黛合与实混利两拼轻探究勾最定 因为方程的解是非负数： 图，国为A8=C,所以∠AC=∠Am 因为BF=FD,期以LEF⊥BD 所以n一>0，解每1 明为△AD4△AEB,所以∠AHE=∠C0. 世为EA=E.所以∠EAB=∠EM=15 蒸延在线 LC 2.B 又因为士一2≠0，博≠2，斯以m≠2 界H∠DCB=∠EBC.两世BO=C2 际H∠BEC-∠EAB+∠EHA- 综上，和的家债直围为和1且牌产 灵因为AB=C,界以AO●直平分BC 因为PH-PE,两以∠EBF-∠BEC-8 三差接AC,AC 11①① 15,(1)L明：因为ADC,所以∠B=∠EAD 乐以F-EB-令×8-3m (2若道释“解法”，过W如下， 再为∠B-∠D, 品6十5周子十月十) ,如图，蓬接T市.过点D作D灯LAB,交 设甲种有盐每特进的为x无，则乙种高品相件并价为 断以∠EAD=∠D AB的延长候于点， （一扣》无，由通意，得 为AF=DF, 图为DELC,DF⊥C,DE=DF,屙 所以d++e-r+d 9吧器解得间 ∠AFE=∠D℃， 所以△APa△DC(角边角)，所以AE= 保CD平丝∠E 经投验，=D是原分式方程的解，且种合是鱼 (2)△军是等应角形，理由如下， 国为AD平分∠BAC,DE⊥ACG,G⊥AN 所以+日=， 所且一的=D一如=0. 国为∠EAD=∠D,期以BE/CD. 所以D星=所DW=IDa 能力在楼 荐，甲种南品餐件的避许为印完，乙肿商昌每件的近便 所过BD平分∠C 里为∠五=“，所以∠D=∠E- LC 为80元. 因为CE平分∠市，睛以∠C言=∠D一0 W为∠ABC-∠BCE-CAB=10M'-50-54', 拓展在城 若这择”解法二“，过型略 所以∠CE=∠E=的 析以∠CG=t-∠AG=126 5.(1)24.42)5 (分设甲种商昌斯避ā特，则乙斧商4购通(40一=》件 所以∠B=0一∠kE-∠E 所∠C-子∠G- 期末复习 由超意，得 两国∠改E=∠E=∠乱阳以△我E是等边三角形， 14,11电题意闻得，WLB,AB=25m 阁末重难点摄开1回式分解 50加+30(40一》G14转0，解得aG25. I6,可这取①或（只盛一个即可） MN12 tBM15 me 1B2,D3,C4A5,B4-6 容：置多南击甲种商品12件， 汇明当进取①时， 在RAMN中，∠BNM-0 7.(1gr+2)21(x+7)y(a)2x+20-2 帮末重率点提升3二次根式 在△BF和△CDE中 联tN=wW=13-7-0m .82.B3.A4B5.0 ABCD. 496a-1 所其AN=AB一3N=2共一P=16(m, 《0紫式--反.照式-不 AF-CE,所L△A☑△成所∠H=∠ 8.土49,10 BP-DE. 在△LMN中，∠AV=n ,)第式=工一y时一g一1， 1期式-3y后. 因为BF=DE,所以BF+EF=DE+EF 展以A=+MN=√中☒=0《m) )第式--十r+ 3网为不一在二止 厚)' BE=DF e以M+W-)+11-35(m) ++w西-， A非=CB, 厚俱水点M度泉A山需要轴设的管道总能为菊m 3)算式=(Tu-b)[a-7) 在△LBE和△CDF中.∠B-∠D, ()在△H时中，A山-路m,4M--M-15m 11.10累其-2必-2×222×221+22✉(2☒一过1=上 3+2) 网+ BE DF, 因为0+A=1+0-风一=A0, 42)原式-《1+14瑞》×《21-14w》一755X1力=T6 新以△AHE△F.∠AE∠CF 所以△ABbM是直角兰角形，∠AMB=心 ×78-73×78-769×471-373)=769×100 质旦-W修-2)'-作+2)'-3-zv%+2-(3中 断以AEF, 压以BMLC 7590城. 2v6+20=-4. 属以项亲B到个解AC的最短厘离为B时5立 1这.原式=《+a十4)《十m》十4=C+F+ 紫对-y十号-一护-《-4)'-6 当选取西时，汪阴略 期末重雄点提升5直角三角形 中考需养垂考注 4(e+6e)中4=《+n+2), 乐.由题意可知，长方形的长为4W信m: LB2.0aA4.D5D6.6☒7.7 LDL.0(案不霍一) 因为为正整数，所国十5n十2这为王驱数 质过长方形的周能为 a.毒样①C君8DF 所反代数式（体七1）(m十4)《+5n)十4的值一忽是某 2×4ws+4w8)=2×6g-2NE《dm1. 商得东该就编丙橙头平现和 延明短下 个整数的早方 所以惯成的方形直为臣4-反(》, 1t,国为∠C-∠0-时 网为AE8BF:CEDF 家究在筑·八年级数学（上）·灯一 29