5.4 角平分线的性质-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版2024）

5.4 角平 ©第1课时 角平 基础在线》 知识要点分美练 知识点1角平分线的性质定理 1.(中考·青海)如图，OC平分∠AOB,点P在 OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距 离是 () A.4 B.3 C.2 D.1 d.cm 第1题图 第2题图 2.(中考·常州)如图，在纸上画有∠AOB,将两 把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在 ∠AOB的平分线上，则 () A.d与d2一定相等 B.d1与d2一定不相等 C.l1与l2一定相等 D.l1与l2一定不相等 3.(益阳期末)如图，AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,若AB=8, AC=6,△ABC的面积为14，则DE的长为 ( A.1 B.2 C.4 D.5 第3题图 第4题图 4.(中考·湖南)如图，在锐角三角形ABC中， AD是边BC上的高，在BA,BC上分别截取 线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为 分线的性质 分线的性质与判定 圆心，大于号EF的长为半径画弧，在∠ABC 内，两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M, 过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD =4MD,则AM= 知识点2角平分线的性质定理的逆定理 5.如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于点D, PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,PD=PE, 则 () A.点P在∠A的平分线上 B.点P在∠B的平分线上 C.点P在∠C的平分线上 D.点P是∠A,∠B,∠C平分线的交点 第5题图 第6题图 6.(衡阳期中)如图，∠AOB=60°，QC⊥OA,QD ⊥OB,若QC=QD,则∠AOQ= 7.(娄底期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，DF ⊥AB,垂足为点F,DE=BD,CE=FB.求证： 点D在∠CAB的平分线上. 第5章116 2 能力在线 方法规律综合练 8.如图，M,N分别是边OA,OB上的点，点P在 射线OC上，下列条件不能说明OC平分 ∠AOB的是 () A.PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN B.PM=PN,OM=ON C.OM-ON,∠OPM-∠OPN D.PM⊥OA,PN⊥OB,OM=ON 第8题图 第9题图 9.(教材P179练习T2变式)（长沙阶段练习）如 图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为点D,E, BE,CD相交于点O,OB=OC,连接AO,若 ∠AOD=55°，则∠BAC= () A.35 B.55 C.609 D.70 10.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB,分别 交AB,BC于点D,E,AE平分∠BAC,∠B =30°，DE=2,则BC的长为 () A.25+2 B.4√3 C.4 D.6 E D 第10题图 第11题图 11.(长沙阶段练习)如图，∠ACB=90°，CD是 Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线AE 交CD于点H,EF⊥AB于点F,则下列结论 不正确的有 () A.∠ACD=∠B B.CH-HD C.CH=CE=EF D.AC=AF 117探究在线八年级数学（上）·灯 12.(教材P188复习题T7变式)如图，已知 ∠AOB=30°，P是∠AOB的平分线OC上 的任意一点，PD∥OA交OB于点D,PE⊥ OA于点E.如果OD=10cm,求PE的长. B ③拓展在线》培优我尖提升练…。 13.如图，已知等腰三角形ABC和等腰三角形 DCE,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE, 连接BD,AE交于点F,连接CF.求证： (1)AE=BD; (2)FC平分∠BFE. ©第2课时 角平分 ①基础在线 ，知识要点分类继 … 知识点角平分线的性质与判定的运用 1.如图，P为∠AOB的平分线OC上一点，PM ⊥OA于点M,PM=6,N为OB上任意一点， 则满足PN=6的点N有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 0 B 第1题图 第2题图 2.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一 凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距 离相等，凉亭的位置应选在 () A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三条角平分线的交点 C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边的中垂线的交点 3.(娄底期中)如图，BO,CO分别平分∠ABC, ∠ACB,且OD⊥BC于点D,△ABC的周长为 18cm,OD=3cm,则△ABC的面积为 D 4.如图，PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC =PD.Q是OP上一点，QE⊥OA于点E,QF ⊥OB于点F.求证：QE=QF 线的性质与判定的运用 5.(教材P181习题T3变式)如图，已知BD为 ∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AD 于点M,PN⊥CD于点N,且PM=PN.求证 AD=CD. 2 能力在线》方法规律嫁合练 6.如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油 库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则 满足条件的油库的位置有 () A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 C 第6题图 第7题图 7.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=8, AB:BC=5:3,BD平分∠ABC,则CD=() A号 B.3 c号 第5章118 8.如图，在四边形ABCD中，AB=AC,CE⊥ AD,垂足为点E.如果CE=2BC,∠CAD 18°，那么∠B= B 第8题图 第9题图 9.(长沙期末)如图，在△ABC中，∠B=∠C,D 是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F是 垂足.现给出以下四个结论：①∠DEF= ∠DFE:②AE=AF:③AD=2DF;④AD垂 直平分EF;⑤∠BDE=∠CDF.其中正确的 结论是 (填序号) 10.(教材P179练习T1变式)（郴州期末）如图， 107国道OA和320国道OB在湘潭市相交 于点O,在∠AOB的内部有一个工厂C和 D,现在要修建一个货站P,使点P到OA, OB的距离相等，且使PC=PD,用尺规作出 货站P的位置 D B 11.如图，D为△ABC外一点，G为BC的中点， DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于 点F,连接DG,AD,且DG⊥BC,BE=CF. (1)求证：AD平分∠BAC: (2)若AB=15,AC=9,求AE的长 119探究在线八年级数学（上）·灯 ③拓展在线》持优拔尖提升练 12.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE 平分∠ADC.求证： (1)AE是∠DAB的平分线： (2)AE⊥DE; (3)AB+CD=AD. 江斯∠-∠A.所△C△A BD=AE 所以DF=EF+CE 国为B形=AD+CD.所时Ag-AD+D 前段测评6(51一5,3】 限以∠ADE=6 1.D 2.B 8.B 4.A.i.B 6.D 所H∠DC=∠ADE-∠CDE- 7,4,路&103,110411，晚121线，4 期以∠ADC的度数为矿 I发因为AE-CF, 障专夏山利用勾服定理解决最灯路径和新叠问见 所以AE+EF=CF+EF, 厚AF=CE 四为DE⊥AC,BFLAC, 5,(1)-+(AE+)=45+(6+5)=+1- 所民∠D=∠HFA-0 137. 在△DC豹△hFA中·A-CR, ABCD. 8=A甲中《P+)=+〔6+4)=+1=15， =《AB+C)+C《5+4)F十=+=117， 所以R△DEC☑民△BFA(边，直角边) 所以甲，乙：用三只解配的行击路的最小指的平方分具 所民∠C=∠L所AB0CD 是137，h爸.117 14(1》△BD是等边三角愿.理直如下， (3)再甲 四为E面直率分AB,所以D为AB中点 美.3直角三角形全等的判定 国为∠ACB-,期且D-D 蒂萄在战 四为∠MCB=0',∠A= LC2Ha.B4.65 所风∠A=,所△D是等边三角题 5,s为Cn⊥AE,FDLAE C29 周以∠ABC=∠EDF=0 点白》如图，造接4C母为∠超一时°， 在△A阳△球中，C图一FD AC-EF. 酬AC-VP+= +=10(m》, 所以民△AC民△EDF(边，直角边， 所保案少寄要0量装能彩瘦， 以∠A=∠E (20因为AD=1时=10.CD旷=24°=污。 d.6 A伊-8%-67， 7,如图，△AC厚为两求 所RAC十CU-A 所仅△ACD是直角三角题且∠ACD-91 所5a-子AC:CD-量×10x-13( $e-号AB-x-子X×4-4(m。 解力在线 5×4+8×13-4阳（核3. 8,0a14n16特11.f成易 所区共调要种植和陕数养. i要晴：在△和R△AAE中，CF-AB, 5,4角平分线的性质 cB-AB. 第1深时角平线性质定 用且R△BCFAR△BAE(韩边，直角边) 都德在线 所图K-F,所以∠成苹一∠时 1.C2.A3.B465.B&0 2D网为AE=CF=,∠CBF=9,BF=, 1,因为∠C-,D求1A4, 乐HBC=√一HT- ∠C∠BFD■0. 里为BE-F一5，质以CE=C-E=]3-5=7 在△C和R△FDB中 拓在候 因为DED,E=FB, I1)为AFDE,米以∠AF= 所数R:△CDR△F8 因为∠B=0.所以∠AFD■∠& 顺点D=DF 在△ADF和R△A中，AFA, (AD-AC, 四为∠C-30,DF⊥AB 侧红点D在∠An的平分线 所日R△ADF≌△MC找所核∠DAF=∠CAH 力在道 2)电IDE时可料△ADF△ACE,黑以DF=C8 kG3,D10,D11.H 在△A和△A中，A-A (AE-AZ. 12议点P作PF⊥OB干点F,因 为∠A0B-30 所HRL△AEF2△AER所HEF一EB C平分∠A溶 28 一深究在线·八 新以∠AX-∠X=1 为PD9OM,期∠DP-∠A0P=1. DB-0C. 所以∠NC-∠DPa所HPD-O-Iam 在R△DBE和R△DCF中， n-CF 型为∠AC形=0，PDO4,期以∠IDP=朗 质a△DEOK△DF. 两在R△PDF中，PF=二PD=5m 所RDE-DF果HAD平分∠AC 两为CC为角平分线，PE⊥OA4,PFLOB, 在R△DE和△ADF中，DE-DF, (AD-AD 拓黑着线 质豆R△AD2R△DF,所以AEAF 13,1)周为∠M形=∠g∠CA■ 国为HE=F,AB=15,AC-, ∠E+∠ACD.∠DCB=∠ME 所其AB-AE=AE-AC. +∠ACD 厚15一A6-AE-9,解得AE一2 所∠DCB-∠CA 所其AF的长为12， BC-AC. 防展在线 在△D和△A军中，∠DCB=∠ECA 1总1如图，过点E作5求上M于点产 DC-EC. W为∠C=,DE平分∠ADC,EF⊥AD 所但△HC2△AE所AE=D 周aCE■ETF 2)过点C作C01 D.CHIAE, 四为E是C的中点 图为△Ca△军， 所以BE=CE所以BE=EF 两巴Sam时=Sr,BD-AE 又网为∠B-3.EF⊥AD, 两uCG·BD=CH,AE 所住AE是∠DAB的平什拔， 桥山CG=CH. 〔国为DE平分∠ABC,AE平分∠DA, 为CGLD,CHLAE,所思FC平分∠FE 质H∠ADE=∠AIC,∠DiE=∠DAB 第艺课时角平分我的性黄与料文的随用 又为∠B∠C=9约'，所数AB0CD. 蓄配在线 L.A 2.B 327 cm 所∠AC+∠DM=r 4国为C⊥a4,PDLOB,℃-PD 以∠ADE+∠DAE∠ADC+∠DMB 所区0P是∠AB平分线 国为GR⊥4,2F⊥O8. -（∠C+∠BAB)-0 周QE-QF, 际以∠AED-,事AE⊥DE 国为W⊥AD千点M (30国为∠C=∠DFE=0' PN⊥CD于点N,RPM=PN DE- 所以∠ADB=∠CDA 在民ADFE利RADCE中， K-CE. 国为D为CAC的平分线 所△DF△ 高I是∠A8Dm∠B及 在△A的相△CH0中。 附其DC-D求，同理AF一AC ∠ABD-∠CBD 因为AD=AF+DF,斯HAD=CD+A )m3力， 单无经合复习（五）直角三角形 ∠ADB=∠CDB, 的门考我完碳 所候△ABD≌△CBn,所以AD= 1,A2B3cL1i.56子元回 能力在线 &D1Ba,2,0① .A 10.A 10.如语，交金P口为桥该 11.因为DA8中点， 所以AD-BD 因为DE⊥AC,DF⊥BC 后以∠LED=∠BFD为” ED-FD 1L.)整明，如图，连接DB,DC 在民△ADE和△DF中， LAD-BD, 器为DG⊥C,G为c的中直 质其△ADER△BDP,所数∠A-∠B 斯但DB=DC 所以AG-BC,即△A仪是等要三角思 为DE⊥AB.DF⊥AC 12330 年级数学（上）·X