5.1 第1课时 直角三角形的性质与判定-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版2024）

第5章直角三角形 5.1 直角三角形的性质定理 ©第1课时 直角三角形的性质与判定 ①基础在线》知识要点分桑鳞 知识点2有两个角互余的三角形是直角三 角形 知识点1直角三角形的两个锐角互余 6.在△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，则△ABC 1.(永州期中)如图所示，在△ABC中，∠C= 的形状为 () 90°，∠A=55°，则∠B的度数为 ( A.锐角三角形 B.直角三角形 Λ.35 C.钝角三角形 D.不确定 B.45° 7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是 C.55 AB边上一点，CE交AD于点M,且∠DCM D.70° =∠MAE.求证：△AEM是直角三角形. 2.(郴州期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 2∠A,则∠A= () A.45°B.30° C.15° D.20 3.(中考·资阳)如图，AB∥CD,过点D作DE ⊥AC于点E.若∠D-50°，则∠A的度数为 () A.130°B.140° C.150 D.160 知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半 第3题图 第4题图 8.(永州期末)如图，公路AC,BC互相垂直，公路 4.(娄底期中)将一副三角板按如图所示的方式 AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的 重叠摆放，则∠a的度数为 ( 长为1.2km,则M,C两点间的距离为() A.70° B.75° C.60° D.65 A.0.3 km B.0.6 km 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过点A作 C.1 km D.2.4 km AD⊥AB,BD平分∠ABC,交AD于点D,交 AC于点E.试说明：∠ADE=∠AED 0 E 第8题图 第9题图 B 9.(益阳期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC= 90°，∠C=40°，D是AC的中点，则∠ABD的 度数为 () A.30° B.40° C.45 D.50 101探究在线八年级数学（上）·灯 易错点直角不确定导致漏解 14.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,E为 10.(永州期末)在Rt△ABC中，∠A:∠B=1:2, AC上一点，且BD=AD,DF=DC.求证： 则两个锐角的度数为 () △BEC是直角三角形. A.45°和459 B.30°和60 C.45°和45°或30°和60° D.以上说法都不对 ②能力在线 沙方法规律综合练 … 11.(中考·青海)如图，在Rt△ABC中，D是 AC的中点，∠BDC=60°，AC=6,则BC的 长是 () A.3 B.6 ③拓展在线沙培倪骏尖提升鳞 C.3 15.如图，点B在线段AC上，点E在线段BD D.33 上，∠ABD=∠DBC=90°，AB=DB,EB= 12.(数学文化)《周礼考工记》中记载有：“…半 CB,M,N分别是AE,CD的中点. 矩谓之宣，一宣有半谓之橛…”意思是： (1)求证：△ABE≌△DBC: …直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫 (2)试探索BM和BN的数量关系和位置关 作樱….即：1宜=2矩，1樱=12宜（其中 系，并证明你的结论。 1矩=90)，图①为中国古代一种强弩图，图② 为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A =1矩，∠B=1搁，则∠C的度数为() 图① 图② A.15° B.22.5°C.30° D.45 13.(益阳期末)在△ABC中，下列条件能说明 △ABC是直角三角形的是 () A.∠A=35°，∠B=65 B.∠A=∠B=∠C C.∠A=∠B+∠C D.∠A=2∠B=3∠C 第5章102香以A法=Ak十E=拍+D=五 AH-AK 以0=75 IC-ED, 3.法14底长法)在C上取点E,使BEA A40 △△AD(边边边.所∠-∠E 因为D平发∠A',则以∠AD=∠民 1.M N AB 在△Ab△ED中， 在△M用△1D中， AB- ∠从=∠ ∠ABD∠E8D ∠A∠C, D=, 简以△AHKa△款X边作边 0日△1I产了X 新以∠44=∠D=na” 所(A=(N2 以∠DE=丝 过点？雀线段D的直率分线上 因为ABAC 又顶为EDE。 ∠C=∠4C- 以点E线程D的直平分线上 青以∠CDE= 展且常垂直平分D A以=∠《)=32，★卫= 管力在候 法2，（补相法蓝至4至真E,提BE=连接DE,日 k275D10A11.u AE经△CTD博g. 12门证副，因为1D是△AC的角平计线，所区∠DAE ∠DAF 国为减.P分刚是△AD和△AD的商 所线∠AD-∠AFD- 国为A=AD,所H色AEI4△1F (2证：为AA2AAF7 5.如图，摇长DL时点E,资AE A-AF,DED 所这点1，D在线段于的单直平分线上 ∠LAC=∠E十∠E=∠5 所程AD直平分F 国为∠且-2∠B, 所以∠H-∠E-∠ACE所以- 场展在蜂 博为CD平分∠ACB,两以∠ACDm∠L 以∠A-∠+∠D=∠B+∠MC AP.M. 美M为∠-∠AE+∠AD-∠作r∠ 周为P上香直平分AH,盒直 所以∠Ax=∠E所国泥=CE, 世AC-AD-E+ADE-EC-度 PA-'E,PA-代所以P作-C .1)9 侧以点P在找段微的海直平学找上 (2)睛鄂：AD+AC-C 明：在CD造上规束C'=AC 所A=.N=,∠A=∠A=∠= 难接AF N=0清2A1W+112=kA+21国t 以∠AC一∠AB2 国为∠AB=∠C+2A2∠A℃ 设∠H比-：∠1=，圳∠AHF=∠A5=: C8-2∠B.青以AB℃=∠L但AB-AF ∠A-∠1N-∠HFE-∠Mw2 所∠PFN=∠BFE-∠PVF∠NC 出为AD平分∠AP,∠AD-CCAD 单∠B∠D-∠HAC+∠BAD 因为∠ABF+∠A+∠1B-18∠FAN=,周 为∠BAC=∠A=∠B,所以∠0=∠A 民2r+2J十”m1:厚十y=2. 霄以A店= 因为∠PFN+∠PNF+∠FPN=T, 两以CD-r+rD-AC+Ar=AC+AL “+ -+∠FPN1, 州以∠FPNm1-18+(T+y)=6, (,6楼段的重直平分线 第说时 作残我的金是平分线及角平分线 第1球时气我的每直平分或的注质考料定 基醒在战 基随在线 、等程直角三角电AX射图情球， LC 2.C 1.B 4.连接AC,AD,如霄 因为AF是D的每直平分线 所AC-A 在△AE程△AT中， 26 一深究在饭·八用 通边 国：为代与PA意直，后以∠PA=,所以 能力在提 ∠CTD+∠AP-e 国为DLDB,A1D路.所其∠1D小-∠P4= T(1》用所示，E即方用求作 而以∠P+∠P=,两以∠DCP=∠APA 用为P=AB,所民△☑△P1(身角边)， 2因为△CDP△PA,《D=PB,AB=DP 国为墙=葛.-15m: 丽位LB0P=8S一H-m 容：大楼A的高度差的m 佑侧在线 t 1不如图，点严率为师常， 阶段周停引4,44司 LA1.A&iL0瓦D&A 12k2多衡-子。n.3L,1w221n 口，博.△L岸为所求作 信心奢养望并 其级得：两为A=AE,两以∠B=∠品， IAN-AE. 在△A和△ED中，∠山-∠E 14,国为AD系直平分，所D=BC,A=AC Ene-Ds: m为AB+D-DE,厨且C+C-DE 所以△L当△AEA所以∠AC-∠EA 应用， 两凹或C角线是AE的景直平计线上 112如图所示， 15,1)国座孩42， 园为点月天手时线AD的对称点方E,明 HAE-LB,∠HF-∠EAF- 圆为△AC为等边三角老， 标世AH-A,∠=∠A= 需但AE-AC,∠EC4-4 第5章直角三角形 新∠AcE-r-d-r+ 五，1直角三角形的性衡定理 第1球叶直角三角形的性城与料定 基础在超 2)知盾，作∠Fm,u文1D子挂G-生接fF 圆为∠AF∠Fa∠ADB=∠DF, 气明为AD4A8, 新以∠A-∠A4=4心 所过∠4= 辉以点FO是等边三A用.所以F-F W以∠ADE+∠AD=: 的为△AC是等造三角形， 铜为∠C=”, 以=，∠M=， 以∠(E+∠CE= ∠AG∠CF 月为平分∠A.所∠-∠ WH∠ADE-∠EL 在△GE△F中，∠G=∠CF 国青∠CB=∠ATh.所误∠AD减-∠A因 =, 两凹AA9△F所以M=BF. 7,到为AD是雀由上的所∠A= 题为点B美T鞋线A?的对库点为E· ∠a+∠M. 米∠国3M-∠MAE,∠'-∠AME. 圆为FA=AG+GFF=F℃，e队FAFE+FC 所以∠AE+∠MAEr, 单元输合复习网】三角形 所L△A是直角三角礼 桃门考点菜暗 ,DC 健力在线 机内桥角相平离直线平行真 ,A2.41a.0 T53,AD-T答室不喻一1,10 1.因为ADC, 数学（上》·X灯 所过∠2动一∠A'= 国为∠NA-3∠N-, 在A4D2和△DF中， (AD-BD. 所以=函-6×0一音-打海里 2AC=么DF 过点C作P上A干点P,周线皇乎博为 DC-DF. 小船与对场C筒最板距肉， 线以△A△D边n边，满但∠求D-∠C 国为CPA,以∠(T一时 所∠CB=-∠N=3 ∠7其+∠D-∠K+∠=9 所红作==15海里.所以5+1山一1时。 军1∠BC=9 所以△汉是直角三角形 所只这养船灌传自正老敏行，在上午目时小量与T培 拓黑在线 的离品划， 1山，《)E所：在△ABE和△D中 苑展在线 [AD-Dn. 1t12-3)m ∠E-∠K 11L2∠AQ=0. E-食， 目力A=3, 所日△AH☑△D气边角虚). 所∠QP=10 4)切=N.MW」N理鱼F 反AQ=A 角(1可理，△1HE2△0， 所任设-数么背一 W以A5-风.∠AE=∠DN C若∠QP. 四为M,N冷渊是AE,CD的中A, 国为∠A=,侧队∠A日=初 ∠AD=∠g=, 袋过it-子状-A,V-与D-M, 以M=V,∠MD=∠A.∠NDi=∠NID 信上新注，当一兰晚学时，△A四是直角三角形 5:?句股定程及其定定理 8为∠A十∠D=国， 第1课时：与配厘 年H∠h山+∠NBD+0片 基稻在 即∠MmV=特州以AnLN属 .C丝DL.nkD航I丘.T币 第2课时舍切"角真角天角形的性滑及其庭用 ,题，图①中变白停分的售 基德在楼 1上9不 8一，4w+2h-,4影+w 创心中义自革计的度积 L因为边A形的康直平什线资微干成D 所以A=山-： 品-2+2g+b ∠AD∠= 由5,4，得十十=/十 所以∠AC=2BMD十∠B-JD g为∠C-两uA汇-立0一 点C且.A 储力在线， 10.D IL.A 12.A B.C ?.如国，过点B作D1CA安 44.411复明：金图，连接M,(.母为 A的题献线于点口， ∠D-∠T=r,M是D中A, 周∠D=时， 为∠B-,斯以∠4-3 期uM-专BMM-号Bn 又∠D9B0n 所以AM=A 听过-子A-国 图为N基C的中点，青以N上AC 2例为N是C的中点，'=， 所过5一}×勿×1a-m, 烟为这种阜发每早方末的情的基4元 为MX⊥AMN=7 所以的买这种原皮需夏1如元 所但在k△N中， 民A活 C=W+CN=√《7)+T=4 能力在拔 10.I ILA IE D 18 D 员为M号D,质HD=人 一深究在所·八年 国为=所以在△中， -/0--w=T- 托属在级 13,(1)1 0日EF一ED-1n(m (2山由断最，得A0=DB, 纹额要时镇的碎反长为1特型 良(=，州AD=D= 第3课时好限定理的说定理 -,在N△CD0中， 基健在模 Cp◆X-iP. .A玉B 3.0 LB5.24w 4,△AD是直角已角形， 理由国为C-B4C》-3, 则Ab--号-号 3)再为△AC的积为w中4， 图有A打=13,2)-4， 写￥+AD手=A 青但AC,-w+4 斯以△AI阳是直角三角老 两以汇，Cn+3, 7,1)w而/m 在△A出中，+F= 2)凸A是直角S身形，理电如下： 周以C1+CB+2AC,C=k+1C· 所以A十=十十1请-《十4)' AC=严+=物 青但CA+CI=m+ 间为AD-DB,所社CD+D站+C-十 两巴△AC是直角三角起 即△CD的网民为料+L 髓力在候 第2球叶与度发理转应调 R朝C1C11,1(12,1 蒂健在线 11.i1i四为在6HB中，H=-2m. 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