微专题7 全等三角形的基本模型-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（湘教版2024）

微专题7全等 像型0 平移模型 模型构建 模型 展示 州AAAA 模型 特点 沿同一直线平移可得两三角形重合。 解题 (1)加（减）共线部分CE,得BC=EF: 思路 (2)利用平行线的性质找对应角相等。 1.(中考·内江)如图，点A,D,B,E在同一条直 线上，AD=BE,AC=DF,BC=EF (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数. 模型2 对称（翻折）模型 模型构建 有公 模型 共边 展示 有公 共点 模型 沿某条直线折叠，两个三角形完全重合。 特点 (1)找公共角，垂直、对顶角等条件得对 解题 应角相等， 思路 (2)找公共边、中点，相等边、线段的和差 等条件得对应边相等。 2.(永州期末)如图，在△ABC中，D,E分别是 BC,AB上一点，其中AD为∠CAB的平分 线，AC=AE 77探究在线八年级数学（上）·灯 角形的基本模型 (1)求证：△ACD≌△AED: (2)若∠C=105°，∠B=35°，求∠EDB的大小 模型3 旋转模型 模型构建 共 模型 顶点 展示 不共 顶点 此模型可看成是将三角形绕某一个点旋 模型 特点 转而成，故一般有一对相等的角隐含在 平行线、对项角、某些角的和或差中 共顶点：加（诚）共顶点的角的共角部分 得一组对应角相等 解题 不共顶点：①加（减）共线部分CF,得 思路 BC=EF:②利用平行线的性质找对应 角相等， 3.(开放性题)(1)如图①，点A,F,E,C在同一 条直线上，AE=CF,AD∥CB,AD=CB,求 证：△ADF≌△CBE: (2)若将图①中的△BEC沿CA方向平移得到 图②、图③，其他条件不变，△ADF≌△CBE还 成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由） 区空 图原 很型4 一线三等角型 模型构建 1.同侧型 条件：A,P,B三点共线，且∠1=∠2=∠ AC=BP(或AP=BD或CP=PD). 结论：△CAP≌△PBD,AB=AC+BD 2.异侧型 条件：A,P,B三点共线，且∠1=∠2=∠3， AC=BP(或AP=BD或CP=PD). 结论：△CAP≌△PBD,AB=BD-AC 4.(邵阳期末)(1)如图①，在△ABC中，∠BAC =90°，AB=AC,直线m经过点A,BD⊥m于 点D,CE⊥m于点E,则DEBD十CE (填“>”“<”或“=”)； (2)拓展：如图②，将(1)中的条件改为：在 △ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m 上，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,a为任 意锐角或钝角，请问结论DE=BD十CE是否成 立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝 角，AB=AC,∠BAD>∠CAE,∠BDA= ∠AEC=∠BAC,直线m与BC的延长线交 于点F,若BC=2CF,△ABC的面积是16，求 △ABD与△CEF的面积之和. 图 第4章78∠-∠ △1崖能底上的高为，则△A的底边于上 在△DE程△D中， ∠E=∠B. 色也为A 1月， 新以5=■宁孩，1，凡=字（下， 周以A后=A4(=7==9() 量专量？全等三角形的基本模型 两山么A0△(E下的面积之和为8. 所世AD+DB=E+b,目.AB=BE 阶腰测评41儿1-4.8) 耳，A"@,下， 7.如果有再个角的阳是：厚这两个角军为补 (性为△A△DEF,∠A-时 ,A=F容素不响一) 商以∠A-∠求=司 为∠=4,以∠=M-∠F-∠E= 区后如十3整数能念再个整的平方自，不国 之延明：因身AD为∠CAB的平什线 设这同个整数为品 所以∠CD-∠E AC-AE. 在△D和△A中.∠CA-∠A, 听口眼设不流这， 所以形如4a十3的整数不隐化为两个极数羽平本 所其△AD泰△AEx边角边 (为△MT2△AED,∠C=105, 12)国为a-6-C0山.-6-D,一u+30. 丽∠AD∠C-G, 世￥4十~十4一ub=-(a6) M为∠D=∠H+∠，∠B=J, 所∠= 64: 3.(1)量明，周为1E=F, 国为PDLA 所以AE一E-F一EF.所核AFE 为ADL,情∠A∠G 时为∠=3.所以∠从T=∠AIP=T A=术. 因为∠AUC=,满货∠PC=时∠A代一∠C= 在：达ADF和△图中，∠A=∠C, LAD-CB. 园为∠PA-了，青以∠M-∠”A2 所以△，2△HE(边身边. 因为AP=UP,情民△A△球4角角华) 长如匠，在AD上裁第 因为A=F, A书，把国A月=A 因秀AE平分∠ 因为ADgD.所以∠-∠Ca F凹，CAE-∠FAE 所以r一∠CB=ar一∠2 南△E利△AFE中 所∠=∠DAF. AE-AE. AF=万 在△AD时△（中， ∠AN=∠K. ∠尾AF=∠FAE,以△A△AFE AAF. 所以△AD≌△IE(边角边1， LI HE-FE,∠EA∠AEF 道四的算况F明降 为之AD=,所过∠E1+∠D=∠AEF+ 1f11m ∠泽F,屈∠=∠F D成立，证师s下： 因为E是边C的中点：所以F■E白FE 为∠1=∠A-∠' 所以2BD+∠CAE=1f-a 在A△DF中，∠D=∠EF, 几∠RA十∠RAD=1-4 3"。, ∠A-∠CA 所6△DEF所H=D 了山)=/EA. 所以AD-AF+D5-AB+0-AB+之i=1AB-1 在△A的△(AE中， 听以A-线， AB-AC. 4.尺根作图 所比△ADE△CE角角边 第1康时用尺规作三角形(1) 所D-AE,ED 所以D5-AE+A=+E 1,@四@品bLb (到可△AXG△A角) 管力在线 24 一深究在低·八用 AP-CH. 院力在线 10041t,减5，n c"m1. 五国为AB=:∠A=2∠ 所以△A代△A直角边 所其∠'∠=∠C 所∠AN-∠A 为A=以，AD为道丝上的中线 托保在拔 府H∠B1D∠AD∠&1C,AD1 54十 设∠D,∠CAD,∠MC=2.∠A (2)证晴：国为△H1D2△A AD-D-AG 有△A改中，∠AC+∠ABC+∠C=2++2 在△A和△p中 A=, AC-lin. 国为BE⊥A,所以∠CEB,所∠E= 所∠C∠1∠E的夏数分别为，W,1 情风△A2△D(边边边) 拓展在 (3) 4.C 第2谋时￥麓三角列的判发 基赠在候 L如图所，AC库为辉果： IAn=球. 2在△和含DFE中，-, 所△A12△BPK所误∠ACI=∠求 两以-(Y,商以△GY是尊根三身形 力在 因务AD平∠C 餐H∠AD=乙CA国 五如国期，材AP作PQAB复C干 钢为DE及A, 点Q,同点Q每为所求.由平行线网间 ∠EDA=∠CAD 5弄得甲，0A及的青通相等 四A=74 拓满有值 钢★AD1D. 以∠nAD+∠B-∠EB+∠EDA=H g)f画，月为山H/A,E以 年以∠D=∠E所民E=E M9.且m. 信力在线 为E:期L∠DF=∠. ,H1B1,111230 可为D为AH的中点，所过1D=川 1么1任国，明券DE9C 桥星△A☑△尚E(角边角，所其AF= 用以∠AED∠C 4,子幕强三角形 因为∠EDF-∠C, 第【课时等腰兰角形的性圆 所以∠EDF-∠AE 而文下A. LB2.8盖A 所其∠BF=∠A. L国为AB=C,少=B △AC是等厘直角达角即， 所以∠A度-∠AC W为.∠BDF-∠A.所过∠DF-∠A=4 ∠a'-∠C 国为F平外∠呢，其∠E-2∠-时 所误∠AX∠2K-∠A-∠I风国 博∠AD=∠A 所以∠=r-∠A一∠B=4B=∠A C 6C T.D 所其= 有△A山中 所以△AC是等直角三角用 国为A得=，ADL灯， 霜概在线 所以∠B=∠C,D-D 14A 在△M与△CDN中， 口明：在△A中，时为A-,随∠A风-∠国 国为∠H=∠C.D=CD, 为A=,所保2AX=∠C=T ∠f-∠N. 因为D平分∠A,所以1-∠里=- 所△n2△DN(角查箱，所以=N m以A=∠1.∠C--7 7盒75或30 所从AD=-D,0-' 数学（上）·灯