第十九章 二次函数和反比例函数（单元测试·提升卷）数学北京版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十九章 二次函数和反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2025·北京西城·模拟预测）已知点在反比例函数上，则下列各点也在该反比例图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线不具有的性质是（   ） A．开口向上 B．与轴不相交 C．对称轴是轴 D．最低点是坐标原点 3．（24-25九年级上·北京顺义·期中）若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C． D． 5．（24-25九年级上·北京·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 6．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知二次函数的图象如图所示，是方程的两根，且．则下列说法市确的是(   ) A． B． C． D． 7．（2025·北京海淀·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 10．（2025九年级下·北京·学业考试）在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数的图象上，则 （填“>”“=”或“<”）． 11．（24-25九年级上·北京丰台·期末）某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是 ． 12．（2025·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 13．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点两个不同的点和，若，则的值为 ． 14．（22-23八年级下·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是12，则k的值为 ． 15．（2025·北京·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 16．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，矩形的顶点坐标分别为，，．二次函数（其中m为常数）的图象在矩形内（不含边界）的部分均为y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京·期末）已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 18．（5分）（23-24九年级上·北京顺义·期中）已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式． 19．（6分）（2025·北京·模拟预测）如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 20．（6分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______． 21．（6分）（24-25九年级上·北京·期中）如图，是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，点在的延长线上，，设的长为米． (1)根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积为 平方米，若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时的值； (2)若使得改造后的面积最大，求此时的值． 22．（8分）（2025·北京·一模）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 23．（8分）（2025·北京石景山·二模）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 24．（8分）（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 25．（10分）（2025·北京·一模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 26．（10分）（2025·北京·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值； (3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十九章 二次函数和反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2025·北京西城·模拟预测）已知点在反比例函数上，则下列各点也在该反比例图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数图象过点求出k的值，再根据的特点进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数图象过点， ∴，即， A、，点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B、，在反比例函数的图象上，故本选项正确； C、∵，∴不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D、∵，∴不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选：B． 2．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线不具有的性质是（   ） A．开口向上 B．与轴不相交 C．对称轴是轴 D．最低点是坐标原点 【答案】B 【分析】本题考査二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意．根据题目中的抛物线的解析式可以判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：∵， ∴开口向上， ∴顶点坐标为，对称轴是y轴，有最低点为原点，与x轴交于点， 故选B． 3．（24-25九年级上·北京顺义·期中）若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，根据抛物线的平移规律进行作答即可．抛物线的平移规律：上加、下减、左加、右减． 【详解】解：因为先向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 所以， 故选：D． 4．（2025·北京·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 5．（24-25九年级上·北京·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与销售问题，熟练掌握二次函数与销售问题是解题的关键．根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：定价70元时，利润为，故选项A正确，不符合题意； 定价元时，利润为，故选项B正确，不符合题意； 设每件降价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项C错误，符合题意； 设每件涨价元，利润为， 则， 当时，利润最大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知二次函数的图象如图所示，是方程的两根，且．则下列说法市确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点；根据抛物线与x轴的交点问题得到二次函数的图象与轴的交点坐标为，，然后利用图象中交点的横坐标的范围可对各选项进行判断． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为，， 由函数图象可得． 故选：B． 7．（2025·北京海淀·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，根据的坐标得到在一三象限的角平分线上，根据菱形的对角线互相垂直平分，得到为反比例函数与二四象限角平分线的交点，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在一三象限的角平分线上， ∵四边形是菱形， ∴为反比例函数与二四象限角平分线的交点， 联立，解得：或， ∴点的坐标可以为； 故选C． 8．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，把，代入，求出或，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 10．（2025九年级下·北京·学业考试）在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数的图象上，则 （填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据，可得反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵， ∴点，在第四象限，y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·北京丰台·期末）某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数解析式为，将，代入即可求出函数解析式，于是得解． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，羽毛球飞行的水平距离为时，达到最高，高度为，故抛物线的顶点的坐标为， 由题意可得：,, 设抛物线的函数解析式为， 代入点,，得： ， 解得：， 故抛物线的函数解析式为， 故答案为：． 12．（2025·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于，两点， 当时，，当时， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴点， ∵直线是第一象限的角平分线，且， ∴直线垂直直线， ∵对于，当时，， ∴在直线上， ∴当时，线段最小，此时点P在直线上， ∵点P在反比例函数的图象上， 联立与得： ，解得：或， ∴点， ∴，， ∴的最小值为． 故答案为： 13．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点两个不同的点和，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得或，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴，， 又∵， ∴或 ∴（不合题意，舍去）或 即的值为． 故答案为：． 14．（22-23八年级下·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是12，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数的的意义，设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 设点的坐标为， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 15．（2025·北京·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 【答案】 和 0或 【分析】本题主要考查二次函数与反比例的函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则可求出，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可分当时，当时，当时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解． 【详解】解：（1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则有： ， 解得：， ∴函数的图象上的“半值点”的坐标是和， 故答案为和； （2）由题意得：， 整理得：， ∴，即， 此时可看作是n与m成二次函数关系， 即当时，n有最小值， ∵， ∴当时，则n的最小值为0，即，符合题意； 当时，此时n随m的增大而增大， ∴当时，n有最小值k，即，（此时方程无解）； 当时，此时n随m的增大而减小， ∴当时，n有最小值k，即， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：k的值为0或； 故答案为0或． 16．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，矩形的顶点坐标分别为，，．二次函数（其中m为常数）的图象在矩形内（不含边界）的部分均为y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得抛物线开口方向及顶点坐标，再确定临界点，当抛物线对称轴与重合时求出m的值，当抛物线经过点D时，可得解集；然后求出抛物线经过点C，B时m的值，可得答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线顶点在抛物线上， 由题意得点D坐标为， 如图，当抛物线对称轴与重合时符合题意， 此时， 解得， 将点代入得， 解得， 时符合题意． 将点代入得， 解得， 将点代入得， 解得， ，符合题意， 综上所述，或 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京·期末）已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴． 18．（5分）（23-24九年级上·北京顺义·期中）已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，把化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得出，解出，即可作答． （2）依题意，把化为，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入，得出， 解得， ∴； （2）解：依题意，． 19．（6分）（2025·北京·模拟预测）如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此求解即可； （2）先求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，设与x轴交于D，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，，且点A在双曲线的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，. 设与x轴交于D，则， ∴，, ∴． 20．（6分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______． 【答案】(1) (2)图象见详解 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格代值进行求解即可； （2）根据描点、连线可进行求解； （3）由（2）中图象，结合求函数值，求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，由表格可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题意可得函数图象如下： （3）解：当时，， 当时，， 当时，函数有最小值，最小值为：， ∴当时，y的取值范围为； 故答案为：． 21．（6分）（24-25九年级上·北京·期中）如图，是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，点在的延长线上，，设的长为米． (1)根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积为 平方米，若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时的值； (2)若使得改造后的面积最大，求此时的值． 【答案】(1)，2 (2)1 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． （1）根据    ，表示出和，然后利用面积公式求解，再若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等列出方程求解． （2）由改造后的矩形苗圃的面积来求解． 【详解】（1）解：设的长度为米， 根据题意得（米），（米）， 改造后的矩形苗圃的面积为. 若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等， ， 整理得， 解得，（不符合题意合去） 答：此时的值为2． 故答案为：． （2）解：改造后的矩形苗圃的面积， 当时，使得改造后的面积最大， 即此时的值为1． 22．（8分）（2025·北京·一模）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 【答案】(1) (2)个月 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入，求出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）求出的解析式，当时，，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得：， 所以施工结束后关于的函数解析式为； （2）解：当时，，解得：， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住． 23．（8分）（2025·北京石景山·二模）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】(1)230，45 (2) (3)能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ∴； （2）解：设， 把代入中得，解得， ∴满足条件的函数表达式为； （3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 24．（8分）（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． （1）①将代入即可求出该抛物线的对称轴； ②根据二次函数的性质即可求解； （2）因为不确定，所以要分类讨论，根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：①将代入得， ∴该抛物线的对称轴为直线； 即该抛物线的对称轴为直线； ②∵， ∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，，在对称轴右侧， 当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大， ∵对于，，都有， ，， ； 即 当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ∵， ∴， ∵对于，，都有， ，即， ， ∵， ∴此时没有符合条件的a存在； 综上分析可知：此时； ②当时，，在对称轴左侧， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ∵对于，，都有， ， ； 综上，的取值范围为或． 25．（10分）（2025·北京·一模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为； (2)16 (3)点E的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； （2）解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积； （3）解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，点E的坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， 所以点E的坐标为． 26．（10分）（2025·北京·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值； (3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先求出点A，B，C的坐标，设直线的解析式为，代入点B，C的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，利用割补法表示出以A，B，P，C为顶点的四边形面积，再利用二次函数的性质求出最大值，再比较2种情况的最大值的大小即可得出答案； （3）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，得出，，通过证明，得到，结合图形列出方程，解出的值即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ，， 令，则， ， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得：， 直线的解析式为． （2）解：由（1）得，，，， ，， 设， ①若点在直线上方，则， 如图，连接、、、， ， ， 当时，有最大值； ②若点在直线下方，则， 如图，连接、、， ， ， 当时，有最大值； ， 以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值为． （3）解：由（1）得，直线的解析式为，， 设， ①若点在直线上方，则， 如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、， ， 当，则， ， ， 轴， ， ， ， 解得：，， 点的坐标为或； ②若点在直线下方，则， 如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、， 同理①中的方法可得，，， 轴， ， ， ， 解得：（舍去），， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十九章 二次函数和反比例函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2025·北京西城·模拟预测）已知点在反比例函数上，则下列各点也在该反比例图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线不具有的性质是（   ） A．开口向上 B．与轴不相交 C．对称轴是轴 D．最低点是坐标原点 3．（24-25九年级上·北京顺义·期中）若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C． D． 5．（24-25九年级上·北京·期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（　　） A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元 C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大 6．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知二次函数的图象如图所示，是方程的两根，且．则下列说法市确的是(   ) A． B． C． D． 7．（2025·北京海淀·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 10．（2025九年级下·北京·学业考试）在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数的图象上，则 （填“>”“=”或“<”）． 11．（24-25九年级上·北京丰台·期末）某校羽毛球社团使用发球机辅助训练，如图所示，将发球机放置在点处，羽毛球发射的初始位置的高为，．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为的点处的正上方达到最高点，且高度为．在与点的水平距离为的点处落地，则的值是 ． 12．（2025·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 13．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点两个不同的点和，若，则的值为 ． 14．（22-23八年级下·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是12，则k的值为 ． 15．（2025·北京·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是 ． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为 ． 16．（24-25九年级下·北京·开学考试）如图，矩形的顶点坐标分别为，，．二次函数（其中m为常数）的图象在矩形内（不含边界）的部分均为y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25八年级下·北京·期末）已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 18．（5分）（23-24九年级上·北京顺义·期中）已知：二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式． 19．（6分）（2025·北京·模拟预测）如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 20．（6分）（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，y的取值范围为______． 21．（6分）（24-25九年级上·北京·期中）如图，是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，点在的延长线上，，设的长为米． (1)根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积为 平方米，若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，求此时的值； (2)若使得改造后的面积最大，求此时的值． 22．（8分）（2025·北京·一模）小明家在进行房屋装修时，使用了某品牌的装修材料，此材料会散发甲醛．经过测试，在自然扩散的情况下，从施工开始到结束，室内平均每立方米的甲醛含量（毫克/立方米）与时间（月）成正比例．施工结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．请根据图中信息，回答下列问题： (1)求施工结束后关于的函数解析式； (2)已知国际上适宜居住的甲醛含量标准为小于或等于毫克/立方米，按照这个标准．请问小明一家从施工开始计算，至少经过多久才可以入住？ 23．（8分）（2025·北京石景山·二模）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 24．（8分）（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 25．（10分）（2025·北京·一模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 26．（10分）（2025·北京·一模）如图1，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值； (3)如图2，若直线与直线相交于点M，且，求点P的坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十九章 二次函数和反比例函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B B D B C B C B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．或 10． 11． 12． 13． 14．5 15． 和 0或 16．或 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得，·····································3分 ∴．····································5分 18．（5分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，把化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入，得出，解出，即可作答． （2）依题意，把化为，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入，得出， 解得， ∴；····································3分 （2）解：依题意，．·································2分 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此求解即可； （2）先求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，设与x轴交于D，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，，且点A在双曲线的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴，····································2分 ∴直线的表达式为；····································3分 （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，.····································4分 设与x轴交于D，则， ∴，, ∴．····································6分 20．（6分） 【答案】(1) (2)图象见详解 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据表格代值进行求解即可； （2）根据描点、连线可进行求解； （3）由（2）中图象，结合求函数值，求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，由表格可得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为；····································2分 （2）解：由题意可得函数图象如下： ····································4分 （3）解：当时，， 当时，， 当时，函数有最小值，最小值为：， ∴当时，y的取值范围为； 故答案为：．····································6分 21．（6分） 【答案】(1)，2 (2)1 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． （1）根据    ，表示出和，然后利用面积公式求解，再若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等列出方程求解． （2）由改造后的矩形苗圃的面积来求解． 【详解】（1）解：设的长度为米， 根据题意得（米），（米）， 改造后的矩形苗圃的面积为. 若改造后的苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等， ， 整理得， 解得，（不符合题意合去） 答：此时的值为2． 故答案为：．····································3分 （2）解：改造后的矩形苗圃的面积， 当时，使得改造后的面积最大， 即此时的值为1．····································6分 22．（8分） 【答案】(1) (2)个月 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入，求出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）求出的解析式，当时，，解得，即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得：， 所以施工结束后关于的函数解析式为；····································4分 （2）解：当时，，解得：， 答：小明一家从施工开始计算，至少经过个月才可以入住．·······························8分 23．（8分） 【答案】(1)230，45 (2) (3)能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ∴；····································2分 （2）解：设， 把代入中得，解得， ∴满足条件的函数表达式为；····································5分 （3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上．····································8分 24．（8分） 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． （1）①将代入即可求出该抛物线的对称轴； ②根据二次函数的性质即可求解； （2）因为不确定，所以要分类讨论，根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：①将代入得， ∴该抛物线的对称轴为直线； 即该抛物线的对称轴为直线；····································2分 ②∵， ∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴；····································4分 （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，，在对称轴右侧， 当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大， ∵对于，，都有， ，， ； 即 当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ∵， ∴， ∵对于，，都有， ，即， ， ∵， ∴此时没有符合条件的a存在； 综上分析可知：此时；····································6分 ②当时，，在对称轴左侧， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ∵对于，，都有， ， ； 综上，的取值范围为或．····································8分 25．（10分） 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的表达式为； (2)16 (3)点E的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴，····································2分 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴；····································4分 （2）解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积；····································6分 （3）解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，点E的坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， 所以点E的坐标为．····································10分 26．（10分） 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先求出点A，B，C的坐标，设直线的解析式为，代入点B，C的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，利用割补法表示出以A，B，P，C为顶点的四边形面积，再利用二次函数的性质求出最大值，再比较2种情况的最大值的大小即可得出答案； （3）设，分2种情况①点在直线上方；②点在直线下方，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、，得出，，通过证明，得到，结合图形列出方程，解出的值即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ，， 令，则， ， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得：， 直线的解析式为．····································3分 （2）解：由（1）得，，，， ，， 设， ①若点在直线上方，则， 如图，连接、、、， ， ， 当时，有最大值；····································6分 ②若点在直线下方，则， 如图，连接、、， ， ， 当时，有最大值； ， 以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值为． （3）解：由（1）得，直线的解析式为，， 设， ①若点在直线上方，则， 如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、， ， 当，则， ， ， 轴， ， ， ， 解得：，， 点的坐标为或； ②若点在直线下方，则， 如图，过点、分别作轴的平行线，交直线于点、， 同理①中的方法可得，，， 轴， ， ， ， 解得：（舍去），， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或．·······························10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$