精品解析：天津市西青区当城中学2024-2025学年高一下学期6月考试数学试卷

当城中学2024-2025学年第二学期6月考试 高一年级 数学试卷 高______年级______班 姓名：______ 一、选择题（共40分） 1. 已知向量，，若，则m的值为（ ） A. －1 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两向量平行的坐标表示列出等式，即可解出答案. 【详解】因为， 所以， 解得：. 故选：D 2. 8个样本数据11，2，8，13，5，7，4，6的75%分位数为（ ） A. 11 B. 9.5 C. 8 D. 7.5 【答案】B 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的求法，即可求得答案. 【详解】8个样本数据从小到大排列为：2，4，5，6，7，8，11，13， 由于，故这8个样本数据的75%分位数为， 故选：B 3. 由下列条件解，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和为及三角形三边关系，结合正弦定理和余弦定理逐项判断即可. 【详解】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 4. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式即可. 【详解】复数与对应的向量分别是与， . 故选：A. 5. 设，为两个平面，m为平面内一条直线．则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理以及性质，即可判断出答案. 【详解】由于m为平面内一条直线．若，则根据面面垂直的判定定理可得； 当时，m可能平行于，或与斜交，不一定有， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：D 6. 有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8，①这组数据的中位数是3；②这组数据的方差是；③这组数据的众数是8；④这组数据的第百分位数是.以上四个结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数、中位数、方差及百分位数的运算判断即可. 【详解】把这一组数据从小到大排列：数据2，3，3，3，6，7，8，8，则该组的众数为3， 中位数为，平均数为， 方差为， 因为，所以第百分位数为数据从小到大排列的第、两个数的平均数，即. 所以正确的结论有：②④，共2个. 故选：B 7. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为.故选C. 8. 已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用投影向量的计算公式进行计算即可. 【详解】由题意知，在上的投影向量为： . 故选：C. 9. 某单位对全体职工的某项指标进行调查，按性别进行分层随机抽样，得到样本职工该项指标数据，分别计算他们的数据平均分和方差，结果如下： 班级 抽取人数 样本平均分 样本方差 男职工 20 7 4 女职工 5 8 1 则以此估计总体的方差为（ ） A. 3.56 B. 2 C. 0.2 D. 3.25 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出总平均数，再结合方差的公式，即可求解. 【详解】由题意可得， 总体平均数为， 则总体方差为. 故选：A 10. 天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（ ） A. 414m B. C. D. 207m 【答案】A 【解析】 【分析】设，在和 中，求出，在中借助余弦定理求出的值，即的值. 【详解】设， 在中，有题意知，则， 在中，有题意知，则， 在中， ，， 由余弦定理可得：， 即，解得，即. 故选：A. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 二、填空题（共30分） 11. 已知复数z满足______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可. 【详解】由， 故答案为：. 12. 已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用已知条件求出外接圆的半径，再根据几何关系进一步解出外接球半径，代入表面积公式求解即可. 【详解】根据题意，是边长为的等边三角形， 设其外接圆的圆心为， 则， 因球心到平面的距离为，即， 则球的半径， 故球的表面积为. 故答案为： 13. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角______． 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理进行边化角得到，从而得解； 【详解】，由正弦定理可得， 在中，，， ， . 故答案为：. 14. 如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为______；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据异面直线以及二面角的定义求解，即可得答案. 【详解】在正方体中，， 故异面直线与BC所成角即为直线与AD所成角， 由于，故异面直线与BC所成角的大小为； 在正方体中，平面， 而平面，故， 又平面，平面， 故为平面与平面ABCD所成的二面角，而, 故平面与平面ABCD所成的二面角的大小为， 故答案为：； 15. 甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分；乙班的平均成绩为85分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的方差是___________分． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差公式求解即可. 【详解】设甲班50人的成绩为，则其平均成绩， 设乙班40人的成绩为，则其平均成绩， 则甲乙两班全部90名学生的平均成绩为； 设甲班50人成绩的方差为，所以 则， 设乙班40人成绩的方差为，则， 设甲乙两班全部90人成绩的方差为，则 故答案为：. 16. 在平行四边形中，是线段的中点，点满足若设，则可用表示为______；若，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由向量的线性运算，可将用表示出来；以为基底，即可对的数量积进行运算求解. 【详解】 由E是线段CD的中点，，可得，， 则， 则， 所以； 由题意知，，，，， 则. 故答案为：；. 【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 三、解答题（共50分） 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． （1）求角的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理进行求解即可； （2）结合正弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 由， 则， 又，则； 【小问2详解】 由（1）知，又， 则由正弦定理知，，即 . 18. 今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届全国人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团． ①求应从和学生中分别抽取的学生人数； ②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表示） 【答案】（1）； （2）①5，2； ② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率和为1求出的值，利用频率分布直方图平均数的计算方法求平均数即可； （2）①根据两组频率之比，结合分层抽样的概念求解即可；②设从中抽取的5人为，中抽取的2人为，根据题意写出样本空间即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图可得， 解得， 估算这40名学生测试成绩的平均数为. 【小问2详解】 ①由图可知和这两组的频率之比为， 所以应从中抽取人，从中抽取人. ②设从中抽取的5人为，中抽取的2人为， 则这个试验的样本空间， 共21个基本事件. 19. 已知向量满足 （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的坐标运算计算即可； （2）由向量夹角公式计算即可； （3）由向量垂直的坐标表示建立方程，进行求解即可. 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 由，知与夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ， 由与垂直， 则， 解得. 20. 如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，直线EF与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：连接交于O点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则O为的中点，又E为AB的中点，故， 平面，平面， 故平面； （2）证明：取BC中点为H，连接, F为的中点，故，而底面， 故底面，底面，故; 又E为AB的中点，则，而，即， 故，而平面， 故平面，平面，故，即； （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）取BC中点为H，先证明平面，再根据线面垂直的性质定理，即可证明结论； （3）证明平面，根据等体积法即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知为直线EF与平面ABC所成角，即， 由，E为AB中点，则； 又，得， 又底面，底面，故， 而平面，故平面， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 当城中学2024-2025学年第二学期6月考试 高一年级 数学试卷 高______年级______班 姓名：______ 一、选择题（共40分） 1. 已知向量，，若，则m的值为（ ） A. －1 B. 1 C. D. 2. 8个样本数据11，2，8，13，5，7，4，6的75%分位数为（ ） A. 11 B. 9.5 C. 8 D. 7.5 3. 由下列条件解，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 5. 设，为两个平面，m为平面内一条直线．则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 6. 有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8，①这组数据的中位数是3；②这组数据的方差是；③这组数据的众数是8；④这组数据的第百分位数是.以上四个结论正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 9. 某单位对全体职工的某项指标进行调查，按性别进行分层随机抽样，得到样本职工该项指标数据，分别计算他们的数据平均分和方差，结果如下： 班级 抽取人数 样本平均分 样本方差 男职工 20 7 4 女职工 5 8 1 则以此估计总体的方差为（ ） A. 3.56 B. 2 C. 0.2 D. 3.25 10. 天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（ ） A. 414m B. C. D. 207m 二、填空题（共30分） 11. 已知复数z满足______． 12. 已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为______． 13. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角______． 14. 如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为______；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为______． 15. 甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为76分，方差为96分；乙班的平均成绩为85分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的方差是___________分． 16. 在平行四边形中，是线段的中点，点满足若设，则可用表示为______；若，则______． 三、解答题（共50分） 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，． （1）求角的值； （2）求的值． 18. 今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届全国人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团． ①求应从和学生中分别抽取的学生人数； ②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表示） 19. 已知向量满足 （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 20. 如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，直线EF与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $