精品解析：广东省中山市2023-2024学年下学期九年级数学第四次模拟考试卷

2023-2024学年第二学期九年级数学四次模拟考试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 估算 的值在（ ） A. 2和3 之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 为了丰富校园生活，培养学生特长，学校开展了特色课程．小明从感兴趣的“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程中随机选择一门学习．小明选中“天文地理”这一门课程的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线 向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≤﹣4 B. k＜﹣4 C. k≤4 D. k＜4 9. 将一块三角板和一块直尺如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式_______． 12. 关于的一元二次方程的一个根，则_______． 13. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 14. 如图，已知一圆在扇形的外部，沿扇形的，从点A滚动一周，恰好到达点B．如果，，圆的半径为________． 15. 如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共4小题，（一）16、17题各5分，（二）18、19题各7分，共24分） 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，． （1）请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的长． 19. 如图，某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面的倾斜角由降为，如果改动前电梯的坡面长为12米，点D，B、C在同一水平地面上，求改动后电梯水平宽度增加部分的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 四、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20. 为组织学生参加“百校联动，百校同跳”广东省跳绳挑战赛活动，体育老师在学校随机抽取部分学生进行“一分钟跳绳”测试摸底，并将数据绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题： 组别 A B C D E F 跳绳次数 人数 1 10 15 n 8 3 （1）随机抽取的学生共有______人，扇形统计图中______． （2）这组数据的中位数所在的组别为______．（填写对应大写字母） （3）若该校准备安排“一分钟跳绳”不低于次的学生参加“一分钟跳绳速度赛”项目，已知学校学生共有人，请估计该校符合条件的学生大约有多少人？ 21. 加强劳动教育，落实五育并举．某校准备在校内建立劳动实践基地，现对其果蔬栽培区建设拟定相关设备采购方案． 生活中的数学：如何设计合理的采购方案 素材一 根据劳动实践基地管理制度相关要求，结合安全性能、果蔬栽培架质量、性价比等多方面考虑，综合多家招标公司监督公开比较，规范严谨选择供货单位．现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架，便于学生认领并体验自己所选蔬果的种植栽培全过程． 素材二 若购买甲种栽培架12个、乙种栽培架7个，共需资金747元；若购买甲种栽培架6个，乙种栽培架3个，共需资金351元． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）请你求出甲、乙两种栽培架的单价； 任务二 （2）若该校计划购进这两种规格的栽培架共140个，且乙种栽培架的数量不少于56个，设购买这批栽培架所需费用为w元，甲种栽培架购买a个，求w与a之间的函数关系式，并请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 22. 如图1，在中，直径，，点D是半圆上的一个动点，过点D作∥交直径于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）如图2，连接，若点A是弧的中点，请判断四边形的形状，并证明； （3）如图3，当点D在半圆的中点时，求的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，问：是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上找一点D，过点D作x轴的垂线，交AC于点E，是否存在这样的点D，使DE最长，若存在，求出点D的坐标，以及此时DE的长，若不存在，请说明理由． 24. （1）[探究发现]如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点落在处，、的延长线交于点． 小明探究发现：当点在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长交于点． （2）[类比迁移]如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，将沿折叠，点落在处，的延长线与的延长线交于点，连接，当，，时，求的长； （3）[拓展应用]如图③，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期九年级数学四次模拟考试 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形，轴对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，找出中心对称点，对称轴是解题的关键． 中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，对称中心在旋转图形对应点连线的垂直平分线的交点处．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解． 【详解】解：A、在图形中能找到对称中心和对称轴，故该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、在图形中不能找到对称中心，但能找到对称轴，故该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、在图形中不能找到对称中心和对称轴，故该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D、在图形中不能找到对称中心，但能找到对称轴，故该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 2. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值小于时，是负数． 【详解】解：, 用科学记数法表示为：． 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法绝对值ju较小的数，表示形式为的形式，解题的关键是要注意确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数． 3. 估算 的值在（ ） A. 2和3 之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先估算出的范围即可． 【详解】解：∵, ∴ ∴的值在4和5之间， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 5. 如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点表示的数是，点距离点有4个单位， 点表示的数是， 故选：C． 6. 为了丰富校园生活，培养学生特长，学校开展了特色课程．小明从感兴趣的“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程中随机选择一门学习．小明选中“天文地理”这一门课程的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接利用概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵一共有4门课程，每门课程被选择的概率相同， ∴小明选中“天文地理”这一门课程的概率为， 故选：B． 7. 把抛物线 向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移．直接根据“上加下减，左加右减”进行解答即可． 【详解】解：把抛物线 向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为． 故选：C 8. 关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≤﹣4 B. k＜﹣4 C. k≤4 D. k＜4 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义得∆=42﹣4k≥0，然后解不等式即可． 【详解】根据题意得∆=42﹣4k≥0， 解得k≤4． 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与∆=b2﹣4ac有如下关系：当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆＜0时，方程无实数根． 9. 将一块三角板和一块直尺如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可得，再由对顶角相等可得，从而得到，根据计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行线的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 10. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当P、Q分别在AB、AC上运动时，y=AP×QH=（2-t）×tsin60°；当P、Q分别在AC、DC上运动时，同理可得：，即可求解． 【详解】解：（1）当、分别在、上运动时， 是菱形，，则、为边长为2的等边三角形， 过点作于点， ， 函数最大值为，符合条件的A、B、D； （2）当、分别在、上运动时， 同理可得：， 符合条件的有B； 故选B． 【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于分情况讨论. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程的一个根，则_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，把代入方程，解关于的方程即可． 【详解】解：把代入方程 得 解得： 故答案为：． 13. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是_____． 【答案】140°． 【解析】 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【详解】解：该正九边形内角和， 则每个内角的度数． 故答案为140°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和． 14. 如图，已知一圆在扇形的外部，沿扇形的，从点A滚动一周，恰好到达点B．如果，，圆的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长，由扇形弧长公式得，再由圆的周长公式即可求解；理解扇形的弧长与圆的周长之间的关系，掌握扇形弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， 解得：； 故答案：． 15. 如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可． 【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接 ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形的外接圆，其半径为4 ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为的长度 ∵是等边三角形，， ∴ ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共4小题，（一）16、17题各5分，（二）18、19题各7分，共24分） 16. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，在中，，． （1）请在图中用尺规作图的方法作出的垂直平分线交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过两个交点作直线即可； （2）由线段垂直平分线的性质，可得，由等边对等角，可得，从而可得，所以，等量代换可得，从而可得的长度，根据角所对直角边与斜边的关系，即可得的长． 【小问1详解】 解：如图，分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过两个交点作直线，交于点，交于点，直线即为所求． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， 答：的长为． 【点睛】本题考查作已知线段的垂直平分线，平行线的判定，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含角的直角三角形，解题的关键是熟练掌握尺规作图原理和相关定理． 19. 如图，某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面的倾斜角由降为，如果改动前电梯的坡面长为12米，点D，B、C在同一水平地面上，求改动后电梯水平宽度增加部分的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】改动后电梯水平宽度增加部分的长为6.2米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数，是解题的关键，分别解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：由题意，在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 答：改动后电梯水平宽度增加部分的长为6.2米． 四、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20. 为组织学生参加“百校联动，百校同跳”广东省跳绳挑战赛活动，体育老师在学校随机抽取部分学生进行“一分钟跳绳”测试摸底，并将数据绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题： 组别 A B C D E F 跳绳次数 人数 1 10 15 n 8 3 （1）随机抽取的学生共有______人，扇形统计图中______． （2）这组数据的中位数所在的组别为______．（填写对应大写字母） （3）若该校准备安排“一分钟跳绳”不低于次的学生参加“一分钟跳绳速度赛”项目，已知学校学生共有人，请估计该校符合条件的学生大约有多少人？ 【答案】（1）， （2）C （3）该校符合条件的学生大约有人 【解析】 【分析】本题主要考查了调查与统计的相关计算，掌握频数分布表，扇形图，中位数，利用样本估计总体的方法是解题的关键． （1）根据C组的人数和所占百分比可算出抽取的总人数，进而计算出B组所占百分比即可； （2）根据中位数的概念进行求解即可； （3）利用样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵C组有15人，C组所占百分比为， ∴随机抽取的学生共有：（人）， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵共抽取50名学生， ∴中位数是排序后第25，26名学生成绩的中位数， 由表格可知，第25，26名学生的成绩均在C组， ∴这组数据的中位数所在的组别为C组， 故答案为：C； 【小问3详解】 （人）， ∴该校符合条件的学生大约有人． 21. 加强劳动教育，落实五育并举．某校准备在校内建立劳动实践基地，现对其果蔬栽培区建设拟定相关设备采购方案． 生活中的数学：如何设计合理的采购方案 素材一 根据劳动实践基地管理制度相关要求，结合安全性能、果蔬栽培架质量、性价比等多方面考虑，综合多家招标公司监督公开比较，规范严谨选择供货单位．现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架，便于学生认领并体验自己所选蔬果的种植栽培全过程． 素材二 若购买甲种栽培架12个、乙种栽培架7个，共需资金747元；若购买甲种栽培架6个，乙种栽培架3个，共需资金351元． 根据以上素材，完成下列两个任务的解答 任务一 （1）请你求出甲、乙两种栽培架的单价； 任务二 （2）若该校计划购进这两种规格的栽培架共140个，且乙种栽培架的数量不少于56个，设购买这批栽培架所需费用为w元，甲种栽培架购买a个，求w与a之间的函数关系式，并请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）甲种栽培架单价为36元，乙种栽培架单价为45元；（2）当购买甲种栽培架84个，乙种栽培架56个时，所需费用最少，最少费用为5544元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一次函数的应用，读懂题意、列出方程组和函数关系式是解题的关键． （1）设甲种栽培架单价为x元，乙种栽培架单价为y元，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）由乙种花架的数量不少于56个可得，而，然后根据一次函数性质即可解答． 【详解】解：设甲种栽培架单价为x元，乙种栽培架单价为y元， 根据题意得：，解得：， 答：甲种栽培架单价为36元，乙种栽培架单价为45元； （2）∵甲种花架购买a个， ∴乙种花架购买个， ∵乙种花架的数量不少于56个， ∴，解得：， 根据题意得：， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，，w取最小值，最小值为， ∴当购买甲种栽培架84个，乙种栽培架56个时，所需费用最少，最少费用为5544元． 22. 如图1，在中，直径，，点D是半圆上的一个动点，过点D作∥交直径于点E，连接交于点F． （1）求证：； （2）如图2，连接，若点A是弧的中点，请判断四边形的形状，并证明； （3）如图3，当点D在半圆的中点时，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是圆内接四边形， ， ， ， ； （2） 解四边形是菱形． 证明：， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆内接四边形的对角互补和平行线同旁内角互补，说明同角的补角相等； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明它是菱形； （3）先证明，然后在直角三角形中即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 点是半圆的中点， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的性质，结合了三角形全等、菱形的判定、解直角三角形等知识，难度不大． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，问：是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上找一点D，过点D作x轴的垂线，交AC于点E，是否存在这样的点D，使DE最长，若存在，求出点D的坐标，以及此时DE的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x﹣2；（2）存在，P（2，1）；（3）存在，点D的坐标（2，1），此时DE的长为2． 【解析】 【分析】（1）用抛物线交点式表达式确定c的值，进而求解； （2）tan∠OAC＝，以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，则tan∠PAM＝2或，即可求解； （3）确定DE的函数表达式，即可求解． 【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣4）＝a（x2﹣5x+4）＝ax2+bx﹣2， 故4a＝﹣2，解得：a＝﹣， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+﹣2； （2）存在，理由： 设点P（x，﹣x2+﹣2），则点M（x，0）， 则PM＝﹣x2+﹣2，AM＝4﹣x， ∵tan∠OAC＝， ∵以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似， 故tan∠PAM＝或2，故＝2或， 解得：x＝2或4（舍去）或5（舍去）， 故x＝2， 经检验x＝2是方程的解， 故P（2，1）； （3）设直线AC的表达式为：y＝kx+t，则，解得， 故直线AC的表达式为：y＝x﹣2， 设点D（x，﹣x2+x﹣2），则点E（x，x﹣2）， DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x， ∵＜0，故DE有最大值，当x＝2时，DE的最大值为2， 此时点D（2，1）； 故点D的坐标（2，1），此时DE的长为2． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的基本性质、相似三角形的基本性质、待定系数法求函数解析式、配方法求二次函数最值等知识点，熟悉数形结合与分类讨论思想是解答关键． 24. （1）[探究发现]如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点落在处，、的延长线交于点． 小明探究发现：当点在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长交于点． （2）[类比迁移]如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，将沿折叠，点落在处，的延长线与的延长线交于点，连接，当，，时，求的长； （3）[拓展应用]如图③，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长． 【答案】（1）证明：如图①，延长交于点． 由折叠可知，， ， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）延长交于点，则由折叠可知，结合得到，由正方形的性质得到、，从而证明； （2）延长交于点，由折叠可知点是的中点、，结合得到，从而有是的中位线，得到点是的中点，从而求得，再由勾股定理求得的长；由，得到，进而借助相似三角形的性质求得的长，然后由中位线的性质求得的长； （3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点，然后分点在上和点在上讨论，延长交于点，然后借助（1）（2）的思路求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图②，延长交于点， 由折叠可知，点是的中点，， ， ， 是的中位线， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ， ， 是的中位线， ； （3）以点为圆心，的长为半径作圆弧，与和的交点即为点， ①如图③，当点在上时，延长交于点， 由（1）可得，， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图④，当点在上时，延长交于点，则，， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到，从而得到相似三角形或全等三角形，难度较大，需要学生学会利用前面所学的知识解答后面的题目，具有很强的综合性，是中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $