江西省 2024 年初中学业水平考试数学样卷试题卷(六)

江西省2024年初中学业水平考试 数学样卷试题卷(六) 说明：1.全卷满分120分，考试时间120分钟. 2.请将答案写在答题卡上，否则不给分. 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项) 的相反数是 A. C.-8 D.8 2.下列计算中正确的是 B.(a+b)(a-2b)=a²-2b² D.5a-2a=3 3.已知某建筑物如图所示，则该建筑物的左视图是 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°，小明根据尺规作图的痕迹得到以下结论，其中错误的是 A. ED=CD B. ED⊥AB C.∠BDE=∠BAC D. AD=DB 5.如图，在数学活动课上，小明将菱形纸片沿对角线剪出四个全等的直角三角形，再将这四个直角三角形重新拼接成一个新的四边形(无重叠、无缝隙)，则拼接成的新四边形是中心对称图形的有 A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 6.探究函数时,数学老师展示几何情景:如图,在 Rt△ABC 中,AB =3c m,BC =4 cm.点D从点 C出发沿CB方向以1 cm/s的速度向点 B 匀速运动,过点 D 作DE⊥BC于点 D.以DE 所在直线为对称轴,将△CDE 折叠,点 C 的对应点为C',运动过程中记△EDC'与△ABC重叠部分的面积为S(cm²)，运动时间为t(s)，则S与t之间函数关系的图象大致是 学科网（北京）股份有限公司 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7.2023年,吉安市外贸进出口达531.1亿元,其中进口94.4亿元.9440 000 000可用科学记数法表示为 . 8.如图，一块长方体木板的A，B，C三个面的面积比是4：2：1，如果 B面向下放在地上，地面所受压强为m Pa，那么A面向下放在地上时，地面所受压强为 Pa. 9.设m,n是方程 的两个实数根，则 的值为 . 10.《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙二人，不知他们钱包里有多少钱.若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也为50.甲、乙各有多少钱?设甲原有的钱数为x，乙原有的钱数为y，依题意可得方程组 . 11.观察下列等式中左右两部分的关系，按照等式序列数与等式中数列的规律，猜想第n个等式： (用含n的式子表示). 第1个等式:1+2=2+1. 第2个等式:4+6=8+2. 第3个等式:9+12=18+3. …… 12.在▱ABCD中,AB=10,BC=4,∠D=60°,点E在CD上,CE=4,点G在AB上,连接CG，F是CG的中点.若△EFC是等腰三角形，则BG的长为 . 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13.(1)计算: (2)如图，将矩形ABCD 绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，其中点 B 的对应点E恰好落在边CD上,连接BE.求证:EB平分∠AEC. 学科网（北京）股份有限公司 14.在分式的运算课上，老师展示了某同学的分式运算过程. 请认真阅读这位同学的运算过程，并完成下列问题. (1)以上的运算过程中，第 步开始出现错误； (2)请写出正确的运算过程. 15.图1、图2都是由小正方形组成的9×6的网格，小正方形的顶点叫做格点.△ABC 的三个顶点都是格点.请仅用无刻度的直尺按要求作图(保留作图痕迹). (1)在图1中,作出∠ABC的平分线; (2)在图2中，点D 是线段AB与网格线的交点，作线段DH，使点H在AC上，且 16.为全面贯彻党的教育方针，落实数学学科素养，某校数学组准备了4个探究活动，分别为：(活动1)在具体情境中探究抛物线模型；(活动2)用变换设计图案；(活动3)探究圆周角与圆心角的关系；(活动4)探究图形与坐标的关系.九(1)班数学老师将这4个活动分别写在4张一样的卡片上，并把卡片放进箱子里，摇匀后每个学生都依次从中随机抽取1张，抽完后放回. (1)该班学生小明抽到活动2是 事件； A.不可能 B.必然 C.随机 (2)请用画树状图或列表的方法求小明和他的同桌刘江抽到不同活动的概率. 学科网（北京）股份有限公司 17.某电脑专卖店经销的甲种笔记本电脑二月份的售价比一月份每台降了500元.如果卖出相同数量的甲种笔记本电脑，当一月份的销售额为9万元时，二月份的销售额只有8万元. (1)求一月份甲种笔记本电脑每台的售价为多少元. (2)为了提高销售额，该店三月份在甲种笔记本保持二月份售价的情况下，购进了乙种笔记本电脑进行销售.已知乙种笔记本电脑每台的售价为6000元，三月份售出甲、乙两种笔记本共30台，其销售额超过了15万元，问：甲种笔记本电脑至多销售了多少台? 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18.某数学小组为了了解甲、乙两座城市的新能源电动车专卖店4月份销售额的情况，从这两座城市的新能源电动车专卖店中，各随机抽取了25家专卖店，获得了它们4月份销售额(单位：万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. a.甲城市抽取的新能源电动车专卖店销售额数据的频数分布直方图如下(数据分成5组:60≤x<80,80≤x<100,100≤x<120,120≤x<140,140≤x≤160). b.甲城市抽取的新能源电动车专卖店销售额数据在100≤x<120这一组的是：100,100,101,109,114,115,116,118. c.甲、乙两座城市抽取的新能源电动车专卖店销售额数据的平均数、中位数如右下表： 平均数 中位数 甲 108 m 乙 110 115 根据以上信息，回答下列问题. (1)表中m的值为 . (2)在甲城市抽取的新能源电动车专卖店中，记4月份销售额高于它们的平均销售额的专卖店的个数为p₁；在乙城市抽取的新能源电动车专卖店中，记4月份销售额高于它们的平均销售额的专卖店的个数为p₂.比较p₁，P₂的大小，并说明理由. (3)若乙城市共有200家新能源电动车专卖店，估计乙城市的新能源电动车专卖店4月份的总销售额(直接写出结果). 学科网（北京）股份有限公司 19.某数学小组用五个全等的菱形在同一平面上拼成了一个轴对称的无人机模型，图1是无人机模型的示意图，其中A，D，F，G四点在同一条直线上，若菱形的边长为10 cm. (1)若B，C，D，E四点在同一条直线上，∠CAD=53°，求此时无人机模型的宽度KH; (2)如图2，当无人机模型中的菱形被调整为正方形时，无人机模型的宽度相比(1)中增加了多少? (结果精确到(0.1 cm. 20.如图，反比例函数 的图象经过菱形 ABCD 的顶点 B 和 4,m),已知A(0,m),D(-6,0). (1)求反比例函数的解析式； (2)若直线 BC 的解析式为y= ax+b,当 时，求x的取值范围； (3)若点 B关于原点中心对称后得到点 E，连接CE，求△BCE的面积. 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,AC 为直径,延长 DA 到 E,连接BE,AB 平分∠EAC. (1)求证:BO 垂直平分线段CD. (2)若∠ABE=∠CBO, ①求证:BE与⊙O 相切. ②若BE=4,AD=3AE,求AE 的长. 学科网（北京）股份有限公司 22.许多休闲广场建有喷泉景观，喷泉水柱的高低、落地点远近随着音乐节奏的变化而变化，水柱的形状都是抛物线.建立合适的平面直角坐标系，若水柱对应的抛物线的解析式为 且顶点始终在直线y=kx+2 上. 特例感知 (1)当k=1时，水柱对应抛物线的顶点的纵坐标为3，求水柱对应的抛物线解析式. 类比发现 (2)写出k与b之间的关系. 应用拓展 (3)若某次喷泉水柱对应抛物线的顶点的横、纵坐标均为有理数，且顶点的纵坐标是横坐标的8倍，同时直线y=kx+2中的系数k也为整数，求此时的整数a和k. 六、(本大题共12分) 23.如图1,在矩形ABCD 中,( 过对角线 BD 上的点 E 作∠GEF =90°,分别交边 CD,AD于点F,G. 特例感知 (1)图2中，若E是BD的中点，EF⊥DC，以下结论中正确的序号有 . ①四边形 EFDG 是矩形;②矩形ABCD 与四边形 GEFD 位似; 探究发现 (2)在图1中，探究 GE 与EF 的数量关系时，爱思考的小明对旋转解题特别感兴趣，他发现EF与EG垂直，便尝试将射线ED 绕着点E 逆时针旋转90°交DA 的延长线于点 K，从而构造两相似三角形求解GE 与 EF 的数量关系，请你顺着小明的思路继续完成求解过程. 类比运用 (3)若将矩形ABCD改为 如图3，过对角线BD 上的点 E作∠GEF=180°-∠C,分别交边BC,CD 于点 F,G,EB =nED,试探究 EF 与EG之间的数量关系，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学样卷(六) 1. A 2. C 3. B 4. D 5. B 6. A [提示]∵AB=3,BC=4, 当 D运动到BC的中点时，C'和B 重合. ∵DE⊥BC,AB⊥BC, ∴DE∥AB. ∴△CDE∽△CBA. ∵点D 的速度是1 cm/s,运动时间为 ts, ∴ CD=t. ①当0≤t≤2时, 由题意可得： 此时，S与t之间函数关系的图象是顶点在原点，开口向上的抛物线. ②当2<t≤4时,如图所示. 此时 ∵CD=t,BC=4, ∴BD=BC-DC=4-t,BC'=DC'-BD =DC-BD=t-(4-t)=2t-4. 同理可得： ∴当 时，S有最大值，最大值为2，此时，S与t之间函数关系的图象是开口向下的抛物线，且当 时，S有最大值. 7.9.44×10⁹8.m2 9.2 12.6,10-2 [提示]若△EFC 是等腰三角形，需分三种情况讨论. ①当EF=FC时,F 是 CG的中点,如答图1,易知∠GEC=90°,BG=4+2=6.②当EF=EC=4时,如答图2,由题意可知EN² ③当EC=FC=4 时,如答图3,由题意得 解得 ∴BG 13.(1)解:原式 … ⋯3分 (2)证明:∵将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转得到矩形AEFG， ∴AB=AE. ∴ ∠ABE=∠AEB. ∵在矩形ABCD中,AB∥CD, ∴ ∠CEB=∠ABE=∠AEB. ∴EB平分∠AEC. 3分 14.解: (1)三 2分 (2)原式 6分 15.解:(1)如答图1,射线BF 即为所求; 3分 (2)如答图2,线段 DH 即为所求. 6分 16.解:(1)C 2分 (2)设四个活动分别为 A,B,C,D,列表如下： A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表可知，共有16种等可能结果，其中两个人抽到不同活动的结果有12种， ∴P(两人抽到不同活动) ∴他们抽到不同活动的概率为 ……6分 17.解：(1)设一月份甲种笔记本电脑每台的售价为x元.由题意得， 解得x=4500. 经检验，x=4500是方程的解. 故一月份甲种笔记本电脑每台的售价为4500元. ……3分 (2)设销售了甲种笔记本电脑m台. 由题意得 4 000m +6 000(30 - m)≥150 000. 解得m≤15. 答：甲种笔记本电脑至多销售了15 台. ……6分 18.解:(1)101 3分 (2)易得，p₁=12.乙城市的中位数高于平均数，则p₂至少为13. ……6分 答案(3)由题意得200×110=22000(万元). 答：乙城市的新能源电动车专卖店4月份的总销售额约为22 000 万元.……8 分 19.解:(1)∵五个菱形全等, ∴ AD =AC = DF = FG = 10 cm. ∴ AG =30cm. 如图,连接CD,MA和CD交于点 O. ∵四边形 ADMC 为菱形, ∴CD⊥AM. 过点G作GN⊥AM 于点 N. ∵B,C,D,E四点在同一条直线上,DE∥GH, ∴N,G,H在同一直线上. 在Rt△ANG中, ∴ GN≈13.5cm .∴ NH≈13.5 +10 =23.5(cm). ∴无人机模型的宽度≈23. 5×2 =47(cm). ……4分 (2)当无人机模型中的菱形被调整为正方形时，如图，由题意可知△AGN 为等腰直角三角形,∴AN=GN. ∵AG=30cm, 连接GP.由题意可知PG∥AM,GH=PH=10 cm, 过点H作HL⊥GP 于点L,易得 ∴无人机模型的宽度 ∴ 相比(1)，无人机模型的宽度增加了40 - 47 ≈ 56. 56 - 47 = 9. 56 ≈9.6(cm). ……8分 20.解: D(-6,0), ∴AC∥x轴. ∵四边形ABCD 是菱形, ∴BD∥y轴. ∴B(-6,2m). ∵反比例函数 的图象经过菱形ABCD 的顶点 B 和C, 解得m₁=16,m₂=0(不合题意，舍去). ∴B(-6,32). 将点 B 的坐标代入反比例函数解析式，得k=-6×32=-192. ∴反比例函数的解析式为 3分 (2)-12≤x≤-6或x>0. 5分 (3)点B(-6，32)关于原点中心对称后得到点E(6,-32).设直线CE的解析式为y= nx + c,由(1)知 C( - 12, 16),则 解得 易知点D在直线 上，即点C,D,E 共线.∴ △BCE 的面积 = 32× ……8分 21.(1)证明:如图,连接OD,BD. ∵四边形ABCD 内接于⊙O, ∴ ∠BAE=∠BCD. ∵AB平分∠EAC, ∴ ∠BAE=∠BAC. ∴ ∠BCD=∠BAC. ∵∠BAC=∠BDC, ∴∠BDC=∠BCD. ∴BD=BC. ∵OD=OC, ∴BO 垂直平分线段 CD. 3分 (2)①证明:∵AC 为直径, ∴∠ABC=90°. ∵∠ABE=∠CBO,∠ABO+∠CBO=90°, ∴∠ABO+∠ABE=90°. ∴ BE与⊙O 相切. 5分 ②解:∵BO=CO, ∴ ∠OBC=∠OCB. ∵∠ACB=∠BDE,∠ABE=∠CBO, ∴ ∠BDE=∠ABE. ∵∠E=∠E,∴△EBA∽△EDB. ∵BE=4,AD=3AE, ∴AE=2. 9分 22.解:(1)当 k =1 时,y=x +2.∵y=3,∴x=1. ∴顶点为(1,3). 浑得 3分 (2)依题意，由于抛物线的顶点始终在直线y= kx+2上, 又∵ab≠0,∴a≠0,b≠0, ∴b=2k. ……5分 (3)由(2)可知抛物线的解析式为 +2kx+2,其顶点坐标是 ∵顶点的纵坐标是横坐标的8倍， 化简与配方得( =2a+16.∴2a+16≥0. 解得a≥-8. ∵抛物线形水柱的开口向下，∴a<0. ∴ - 8≤a<0. 要使顶点存在且横、纵坐标均为有理数，k为整数，. 有解，且2a+16为整数的平方. ∴2a+16的值只能是0或1或4或9. 当2a+16=0时,解得a=-8,k=4;当2a+16=1时,不合题意,舍去;当2a+16=4时,解得a=-6,k=6或2;当2a+16=9时，不合题意，舍去. 综上可知，整数a的值为-8，k的值为4，或a的值为-6,k的值为6或2.……9分 23.解:(1)①②③④ ……3分 (2)∵EF⊥EG, ∴∠EGD+∠EFD=180°. ∵∠AGE+∠EGD=180°, ∴ ∠EFD=∠EGA. 如图，将射线 ED 绕着点 E 逆时针旋转90°交 DA 的延长线于点 K, ∴ ∠GEK + ∠DEG = 90°, ∠DEG +∠FED=90°. ∴ ∠FED=∠GEK.∴ △FED∽△GEK. ∵∠K+∠BDA=90°, ∠DBA +∠BDA=90°, ∴∠K=∠DBA. ∵∠DAB=∠KED=90°, ∴△KED∽△BAD. 8分 9分 理由:∵∠GEF=180°-∠C, ∴∠C+∠FEG=180°. ∴∠EGC+∠CFE=180°. ∵∠EFB+∠CFE=180°, ∴ ∠EGC=∠EFB. 如图,在 CD 上取点 H, 使 ∠BEH =∠FEG,得∠BEF=∠HEG, ∴ △BEF∽△HEG. ∵∠BDC=∠HDE, ∴ △DEH∽△DCB. 又∵EB=nED, 即 12分 学科网（北京）股份有限公司 $$