4.1 平面向量的概念及运算-【十年高考】备战2026年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

第四章　平面向量与复数 §4.1　平面向量的概念及运算 课时 2016~2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 合计 46.平面向量的线性运算及 平面向量基本定理 4 0 1 0 0 0 5 47.平面向量的坐标运算 2 1 0 0 2 1 6 命题热度 本专题命题热度不高() 课程标准 备考策略 (1)平面向量的线性运算及平面向量基本定理 ①理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义 ②掌握平面向量的加法、减法运算,并理解其几何意义及向量共线的含义 ③了解平面向量线性运算的性质及其几何意义 ④理解平面向量基本定理及其意义 掌握平面图形中的线性运算,明确有关平面向量线性运算问题的解题策略;理解用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (2)平面向量的坐标运算 ①掌握平面向量的正交分解及坐标表示 ②会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 ③能用坐标表示平面向量共线的条件 抓住利用向量的坐标运算解题的关键,很多几何问题建立恰当的坐标系后,可使向量运算代数化;准确记忆向量共线的坐标公式,树立坐标意识 考点46平面向量的线性运算及平面向量基本定理答案P296　 1.(讲解 2022·全国新高考1,3,5分,难度★★)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 2.(讲解 2020·海南,3,5分,难度★★)在△ABC中,D是AB边上的中点,则= (　　) A.2+ B.-2 C.2- D.+2 3.(讲解 2018·全国1,文7,5分,难度★)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= (　　) A.- B.- C.+ D.+ 4.(讲解 2020·江苏,13,5分,难度★★★)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+-m(m为常数),则CD的长度是　　　　.  5.(2017·江苏,12,5分,难度★★★)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=　　　　　.  考点47平面向量的坐标运算答案P296　 1.(2025·全国新高考1,6,5分,难度★★)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为 (　　) 级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 图1 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 2.(2024·全国新高考1,3,5分,难度★★)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(2024·全国甲,理9,5分,难度★★)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 (　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 4.(讲解 2021·全国乙,文13,5分,难度★★)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　　.  5.(讲解 2018·全国3,理13文13,5分,难度★★)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　　.  6.(2017·山东,文11,5分,难度★★)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章　平面向量与复数 §4.1　平面向量的概念及运算 考点46　平面向量的线性运算及平面向量基本定理 1.B　 如图, ∵BD=2DA,∴=3, ∴=+=+3=+3(-)=-2+3. 又=m,=n, 所以=-2m+3n.故选B. 通过观察图象直接寻求向量之间的关系的具体步骤 第一步,观察待求向量所在的三角形或平行四边形,利用三角形法则或平行四边形法则先将待求向量表示成两个(或多个)相关向量a,b(c,d,…)的和或差; 第二步,把向量a,b(c,d,…)分别进行分解,直到用基底表示向量a,b(c,d,…); 第三步,将向量a,b(c,d,…)代入第一步中的式子,从而得到结果. 2.C　如图,=+=+2=+2(-)=2-.故选C. 3.A　如图, =-=-(+)=- =-(-)=-. 4.或0　如图,以A为坐标原点,分别以AB,AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系, 则B(4,0),C(0,3). 由=m+-m, 得=m(+)+-m(+), 整理得=-2m+(2m-3) =-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6m-9). 又AP=9,所以64m2+(6m-9)2=81, 解得m=或m=0. 当m=0时,=(0,-9),此时,C,D重合,CD=0; 当m=时,直线PA的方程为y=x, 直线BC的方程为+=1, 联立两直线方程可得x=m,y=3-2m. 即D,,∴CD==. ∴CD的长度是或0. 5.3　由tan α=7可得cos α=,sin α=, 则==, 由cos∠BOC=可得==, 因为cos∠AOB=cos (α+45°)=cos αcos 45°-sin αsin 45°=×-×=-,所以·=-,所以m-n=,-m+n=1, 所以m+n=,所以m+n=3. 考点47　平面向量的坐标运算 1.A　由题可知,视风风速为(0,2)-(3,3)=(-3,-1),船速为(3,3)-(2,0)=(1,3). 因为船行风风速与船速大小相等,方向相反,则船行风风速为(-1,-3). 又视风风速是真风风速和船行风风速的和向量,所以真风风速为(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),故真风风速大小为=2≈2.828.故选A. 速度、位移的合成与分解,实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、位移等问题,主要借助于向量的线性运算,有时也借助于坐标来运算. 2.D　∵a=(0,1),b=(2,x), ∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4). ∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0, 即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2. 3.C　若a⊥b,则x(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3.若a∥b,则2(x+1)-x2=0,解得x=1+或x=1-.故选C. 4.　由a∥b,可得=,解得λ=. 5.　2a+b=(4,2),c=(1,λ), 由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=. 6.-3　∵a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3. 学科网（北京）股份有限公司 $$