1.4.1 线段垂直平分线与角平分线-线段垂直平分线的性质（同步课件）-2025-2026学年八年级数学上册新苏科版（2024）同步教学课件

第1章 三角形 1.4.1 线段垂直平分线与角平分线-线段垂直平分线的性质 苏科版 八年级上册 教学目标 01 理解线段垂直平分线的性质定理 02 理解线段垂直平分线性质定理的逆定理 01 课前预习 我们已经知道，线段和角都是轴对称图形，它们的对称轴分别是线段的垂直平分线和角平分线。下面，我们利用全等三角形研究它们的性质。 线段垂直平分线的性质 02 课堂导入 问 题 如图，线段AB的垂直平分线l与AB相交于点O，在l上任意取一点P，连接PA，PB。线段PA与PB一定相等吗？如何证明？ B O l A P 解：∵OP是线段AB的垂直平分线， ∴AO = BO，∠POA = ∠POB = 90°。 通过“SAS”，可证△POA≌△POB， ∴PA = PB。 03 知识精讲 线段垂直平分线的性质定理： 于是，我们得到线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 符号语言： 如图，∵OP垂直平分AB， ∴PA = PB。 B O l A P 思 考 线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 如图，点P在线段AB的垂直平分线l外，PA交l于点Q，连接QB。 解：∵点Q在线段AB的垂直平分线上， ∴QA = QB， ∴PA = PQ + QA = PQ + QB > PB。 ∴线段的垂直平分线外的点 到这条线段两端的距离不相等。 03 知识精讲 B O l A P Q 02 课堂导入 问 题 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？如何证明？ 解：① 如图，当点Q在线段AB上时， 且QA = QB， 那么Q是线段AB的中点， ∴线段AB的垂直平分线一定经过点Q。 A B Q 02 课堂导入 问 题 ② 如图，当点Q在线段AB外时， 作QM⊥AB，垂足为M，∠QMA = ∠QMB = 90°。 如果QA = QB， 那么通过“HL”， 可以证明Rt△QAM≌Rt△QBM， ∴AM = BM，即M是线段AB的中点， ∴QM是线段AB的垂直平分线， 即点Q一定在线段AB的垂直平分线上。 B A Q M 03 知识精讲 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 于是，我们得到线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 符号语言： 如图，∵PA = PB， ∴P在AB的垂直平分线上。 B O l A P 讨 论 03 知识精讲 如图，AB = AD，CB = CD，AC，BD相交于点E。 你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？ B A C D E 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”。 解：① ∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE； ② ∠ABE = ∠ADE，∠CBE = ∠CDE； ③ ∠AEB = ∠AED = ∠CEB = ∠CED = 90°。 讨 论 ① ∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE； 03 知识精讲 B A C D E 证明：在△ABC与△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC ( SSS )， ∴ ∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE； 讨 论 ② ∠ABE = ∠ADE，∠CBE = ∠CDE； 03 知识精讲 B A C D E 证明：在△ABE与△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE ( SAS )， ∴ ∠ABE = ∠ADE， 同理：△CBE≌△CDE ( SAS )， ∴ ∠CBE = ∠CDE； 讨 论 ③ ∠AEB = ∠AED = ∠CEB = ∠CED = 90°。 03 知识精讲 B A C D E 证明：∵△ABE≌△ADE， ∴ ∠AEB = ∠AED， 又 ∠AEB + ∠AED = 180°， ∴ ∠AEB = ∠AED = 90°， 同理：∠CBE = ∠CDE = 90°。 证明：如图，OA、OB、OC， ∵点O在AB的垂直平分线l1上， ∴OA = OB ( 线段垂直平分线的性质定理 )， 同理，OA = OC， ∴OB = OC， ∴点O在BC的垂直平分线上 ( 线段垂直平分线性质定理的逆定理 )。 A B C l1 l2 O 例1 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O。 求证：点O在BC的垂直平分线上。 03 知识精讲 03 知识精讲 三角形的垂直平分线： 三角形三条边的垂直平分线交于一点， 且该点到三角形三个顶点的距离相等。 04 典例精析 题型一 根据性质定理求角度： 例1-1、如图，在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 30°，AC边的垂直平分线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 解：∵在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 30°， ∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 100°， ∵MN是AC边的垂直平分线， ∴DA = DC， ∴∠DAC =∠C = 30°， ∴∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = 100° - 30° = 70°。 C B A C D M N 04 典例精析 题型一 根据性质定理求角度： 例1-2、已知：如图，AB = AE，BC = ED，AF垂直平分CD，∠B = 110°， 求∠E的度数。 解：如图，连接AC，AD， ∵AF垂直平分CD，∴AC = AD， 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△AED ( SSS )， ∴∠E = ∠B = 110°。 B A E D F C 04 典例精析 题型二 根据性质定理求线段长： 例2、如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于 点E、F，若AB = 4，BC = 9，则△AEF的周长为（　　） A．4 B．5 C．9 D．13 解：∵EG垂直平分AB，FH垂直平分AC， ∴AE = BE，AF = CF， ∴C△ABC = AE + EF + AF = BE + EF + CF = BC = 9。 C B A C F H G E 04 典例精析 题型三 根据逆定理证明点在线段的垂直平分线上： 例3、如图，△ABC中，∠ABC的平分线上有一点D，点D恰好在线段AC的垂直平分线上，点E在边BC上，BE = AB，求证：点D在线段CE的垂直平分线上。 证明：如图，连接AD，CD， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD = ∠EBD， 在△ABD与△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD ( SAS )，∴DA = DE， ∵点D在AC的垂直平分线上，∴DA = DC， ∴DC = DE，∴点D在线段CE的垂直平分线上。 B A C D E 04 典例精析 题型四 三角形的垂直平分线的实际应用： 例4、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等， 则点P一定是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 B 课后总结 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 三角形的垂直平分线： 三角形三条边的垂直平分线交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等。 1.4.1 线段垂直平分线与角平分线-线段垂直平分线的性质 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $$