专题3.4 双曲线的标准方程（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题3.4 双曲线的标准方程（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 双曲线的定义及辨析】 1 【题型2 曲线方程与双曲线】 2 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 3 【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】 4 【题型5 求双曲线的轨迹方程】 4 【题型6 双曲线中焦点三角形问题】 5 【题型7 利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】 6 【题型8 双曲线中线段和、差的最值问题】 7 知识点1 双曲线的定义 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 【题型1 双曲线的定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【变式1-1】（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【变式1-2】（24-25高二上·北京延庆·期末）已知是双曲线 上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 知识点2 双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 2．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【题型2 曲线方程与双曲线】 【例2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程 表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·北京延庆·期末）“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 【例3】（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式3-1】（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【变式3-3】（24-25高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】 【例4】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．24 B．25 C．7 D．8 【变式4-1】（24-25高二上·河南驻马店·期中）若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知双曲线的上焦点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高三上·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（    ） A．1 B． C． D． 【题型5 求双曲线的轨迹方程】 【例5】（24-25高二上·山东·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【变式5-3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 知识点3 双曲线的焦点三角形 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【题型6 双曲线中焦点三角形问题】 【例6】（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式6-1】（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式6-2】（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线是上的任意一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积. 【变式6-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【题型7 利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】 【例7】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知定点，且，动点满足，则的最小值是 . 【变式7-3】（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【题型8 双曲线中线段和、差的最值问题】 【例8】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【变式8-2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【变式8-3】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 双曲线的标准方程（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 双曲线的定义及辨析】 1 【题型2 曲线方程与双曲线】 3 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 5 【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】 8 【题型5 求双曲线的轨迹方程】 9 【题型6 双曲线中焦点三角形问题】 12 【题型7 利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】 15 【题型8 双曲线中线段和、差的最值问题】 17 知识点1 双曲线的定义 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 【题型1 双曲线的定义及辨析】 【例1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）双曲线上一点到它的一个焦点的距离为4，那么点到另一个焦点的距离为（   ） A．2 B．6 C．2或6 D．4 【答案】B 【解题思路】根据双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，再结合双曲线的性质舍去不符合条件的值. 【解答过程】双曲线，. 设双曲线的两个焦点为，，已知，由双曲线定义，即. 当时，可得； 当时，可得.所以或. 在双曲线中，双曲线上的点到焦点的距离存在最小值，这个最小值为. 对于双曲线，可得. 那么，因为，，所以. 这就说明双曲线上的点到焦点的距离不可能为，所以要舍去这个值. 因此，即点到另一个焦点的距离等于. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【解题思路】根据双曲线定义可求得，再根据或，即可得解. 【解答过程】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·北京延庆·期末）已知是双曲线 上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为，即可得解. 【解答过程】由可得，即； 再由双曲线定义可得到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】由双曲线的定义即可求解. 【解答过程】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B. 知识点2 双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 2．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 【题型2 曲线方程与双曲线】 【例2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程 表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的标准方程即可得到结果. 【解答过程】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为． 故选：B. 【变式2-1】（24-25高二上·北京延庆·期末）“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由标准方程表示双曲线得出不等式可判断出结论. 【解答过程】若“方程表示焦点在轴上双曲线”可得，解得； 当时，方程表示焦点在轴上双曲线， 因此“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的充分必要条件. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（     ） A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆 C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值 【答案】C 【解题思路】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程特征即可判断各选项. 【解答过程】对于A，若方程表示双曲线，则，即，所以方程可以表示双曲线，故A正确； 对于B，若方程表示椭圆，则，即，所以方程可以表示椭圆，故B正确； 对于C，若方程表示圆，则，方程无解，所以方程不可以表示圆，故C错误； 对于D，由A可知当方程表示双曲线时，，所以焦距为，故D正确. 故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【答案】B 【解题思路】对A，根据的取值，即可判断选项.；对B若为负角，即，双曲线标准方程的形式，即可判断；对C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【解答过程】对A，当，即时，曲线的方程为， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对D，若为椭圆，则，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 故选：B． 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 【例3】（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【解答过程】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的定义确定的值，可得双曲线的标准方程. 【解答过程】不妨设点在第一象限. 设，， 根据题意：， 所以，即，所以，， 所以双曲线的方程为：. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解； （2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可. 【解答过程】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为. 【变式3-3】（24-25高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)半焦距为，经过点，且焦点在轴上； (2)两个焦点的坐标分别为，，双曲线上一点到，的距离之差的绝对值等于6； (3)与双曲线有公共焦点，且过点． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）可设双曲线的标准方程为，将点代入，求得，即可得出答案； （2）设标准方程为，根据题意可得，求得，即可得解； （2）方法一：设双曲线的标准方程为，利用待定系数法求得，即可得解； 方法二：设双曲线的标准方程为（，且），将点代入方程，求得，即可得解. 【解答过程】（1）因为半焦距为，且焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 因为双曲线经过点，所以， 解得或（舍去）． 于是双曲线的标准方程为； （2）因为双曲线的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 于是双曲线的标准方程为； （3）方法一：设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，故． 又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 方法二：设双曲线的标准方程为（，且）， 将点代入方程，解得或（舍去），则双曲线的标准方程为． 【题型4 根据双曲线方程求a、b、c】 【例4】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．24 B．25 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】由双曲线标准方程得，然后根据关系求得． 【解答过程】由题意，，， 故选：D． 【变式4-1】（24-25高二上·河南驻马店·期中）若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出椭圆的半焦距，利用双曲线与该椭圆半焦距相等，以及之间的关系，即可求出结果. 【解答过程】由题知，椭圆的半焦距为， 所以，解得. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知双曲线的上焦点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的焦点位置可得标准方程，即可得解. 【解答过程】因为知双曲线的上焦点为， 所以可化为， 故. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高三上·上海虹口·期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由双曲线方程可知焦点在x轴上，结合椭圆方程和双曲线方程列式求解即可. 【解答过程】由双曲线可知焦点在x轴上， 由题意可得：，解得. 故选：C. 【题型5 求双曲线的轨迹方程】 【例5】（24-25高二上·山东·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用直接法求解. 【解答过程】解：由题意可得， 化简得． 故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【解答过程】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的定义进行求解即可. 【解答过程】设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D. 【变式5-3】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知 ，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设点,根据题意建立方程，化简即得点的轨迹方程，同时要注意条件的满足即得. 【解答过程】设点，则， 化简即得：. 即点的轨迹方程为：. 故选：B. 知识点3 双曲线的焦点三角形 1．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，F1,F2为双曲线的焦点，当点P,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法 方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式，求得面积. 方法二：利用公式，求得面积. (3)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为. 【题型6 双曲线中焦点三角形问题】 【例6】（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的定义可求得的周长. 【解答过程】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得 ，又 ， 所以 ， 所以的周长为12． 故选：B.    【变式6-1】（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【解答过程】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选：D 【变式6-2】（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线是上的任意一点. (1)设点的坐标为，求的最小值； (2)若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）设出点的坐标为，表示出，利用点再双曲线上，借助二次函数知识计算即可; （2）由双曲线的定义及余弦定理表示出，结合面积公式计算即可. 【解答过程】（1）    设点的坐标为， 则， 因为，所以当时，取得最小值. （2）由双曲线的定义知①, 由余弦定理得②, 根据①②可得，所以. 【变式6-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 【题型7 利用双曲线定义求点到焦点的距离最值】 【例7】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【解答过程】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 【变式7-1】（2025·青海玉树·模拟预测）已知，为双曲线的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则的最小值为（    ） A．16 B．18 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用双曲线的定义表示，结合基本不等式求解最小值. 【解答过程】因为，为双曲线的左、右焦点，P是C的右支上的一点， 所以， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立； 因为，所以，所以成立，的最小值为16. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知定点，且，动点满足，则的最小值是 . 【答案】6 【解题思路】根据动点满足，得到点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，不妨设焦点在x轴上，写出双曲线方程，设，利用两点间距离公式求解. 【解答过程】因为动点满足， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支， 则，即， 不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为， 左焦点为，右焦点为， 设，则， 所以， 所以的最小值是6， 故答案为：6. 【变式7-3】（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】设，且，通过可求得最小值. 【解答过程】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值. 故答案为：. 【题型8 双曲线中线段和、差的最值问题】 【例8】（24-25高二上·江西·阶段练习）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用双曲线的定义将的最小值转化为的最小值即可. 【解答过程】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【解答过程】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】B 【解题思路】先由已知条件得双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用圆的几何性质和双曲线的定义即可求的最大值. 【解答过程】 由，得，，则， 则双曲线的两个焦点，， 又，分别是两个圆的圆心，两圆的半径， 所以，， 则 ， 即的最大值为． 故选：B. 【变式8-3】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可. 【解答过程】 在双曲线中，，， ， ， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为. 故选：D. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$