专题3.2 双曲线的标准方程重难点题型讲义（2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版选择性必修第一册）

专题3.2 双曲线的标准方程重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 双曲线定义的理解 题型二 利用双曲线定义求方程 题型三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 题型四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型五 根据方程表示双曲线求参数的范围 题型六 根据a、b、c求双曲线的标准方程 题型七 根据双曲线过的点求标准方程 题型八 求双曲线的轨迹方程 题型九 求双曲线的焦点坐标 题型十 求共焦点的双曲线方程 拓展训练一 双曲线的定义及应用 拓展训练二 双曲线方程相关问题 知识点一：双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 2、焦点：两个定点、 3、焦距：两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为. 4、双曲线就是下列点的集合：． 5、要点注意： （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 【即时训练】 1．（2025·四川·二模）双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（    ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 【答案】C 【分析】由双曲线的定义和性质可得； 【详解】由题意可得，即， 又，即， 由双曲线的定义可得，解得或9， 又，所以. 故选：C 2．（24-25高二上·全国·单元测试）已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】由双曲线的标准方程可得，经分析点只能在双曲线的左支上，利用双曲线的定义可得，计算可得结果. 【详解】根据双曲线方程，， ， 根据双曲线的定义，由已知， 又， 所以． 故答案为：.    知识点二：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 【即时训练】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义确定的值，即可得双曲线方程. 【详解】因为， 由双曲线的定义可得即，且焦点在x轴上， 所以双曲线的方程为． 故选：A. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ． 【答案】 【分析】由题意可知，结合可求出，从而可写出的一个标准方程． 【详解】因为，所以， 所以， 又因为，则，即， 又因为，所以， 解得， 当时，的一个标准方程为． 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 【经典例题一 双曲线定义的理解】 【例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．2 B．10 C．2或9 D．2或10 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求解. 【详解】，，，， 由，由得或10， 又. 所以. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）（1）把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是什么曲线？ （2）在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于，如果截取的长度等于，其轨迹还是上述图形吗？ 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【详解】（1）由题意，适当选取两定点，，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在处， 在另一边上截取一段（小于），作为动点到两定点和的距离之差， 而后把它固定在处，这时将铅笔（粉笔）置于处， 于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支，（如图所示）， 显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同， 其原因都是应用了“平面上到两定点的距离之差或是同一个常数”这个条件． （2）不是，是以，为端点的两条射线． 1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线T：的左、右焦点分别为，，T上的一点P满足，若的内切圆面积为，且与y轴相切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】通过内切圆的性质结合双曲线的定义和切线长定理得到内切圆的半径和的值相等，即可求出. 【详解】双曲线T：的左、右焦点分别为，，， 设的内切圆圆心为，半径为r，如图， 过其圆心向三边作垂线，垂足分别为C，D，E， ，四边形为正方形，则， ，又由切线长定理可得， 又的内切圆与y轴相切，，，解得， 又的内切圆面积为π，，． 故选：. 2．（多选题）（23-24高二下·广东阳江·期末）关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（    ） A．焦点在轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆 【答案】BC 【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案. 【详解】解：对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线， 则，无解，选项A错误； 对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆， 则，解得，选项B正确； 对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线， 则，所以或，选项C正确； 对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆， 则，， 则或， 无解，选项D错误. 故选：BC. 3．（2025高三·全国·专题练习）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于点，则和的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】分别过点和作准线的垂线，垂足为，由三角形相似可得，由双曲线的定义可得，即，最后由角平分线定理即可推得. 【详解】 如图，分别过点和作准线的垂线，垂足为， 则，故，则， 又因点为双曲线上的点，由双曲线的第三定义，可得， 即，故得， 由三角形角平分线定理的逆定理，可得是的角平分线，故. 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线和点，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求的最小值. 【答案】3 【分析】利用圆锥曲线的定义，P到右焦点的距离与P到右准线的距离之比等于离心率，结合图形的最小值即为点到双曲线右准线的距离，计算可得. 【详解】由双曲线的方程，知，， ∴，离心率，右准线的方程为， 设点P到右准线的距离为，由圆锥曲线的第二定义可得，即，    如图所示，过P作右准线的垂线，垂足为D， 则， 所以当P，A，D三点共线时， 的值最小为. 故答案为:. 【经典例题二 利用双曲线定义求方程】 【例1】（23-24高二上·北京·阶段练习）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线定义即可求解. 【详解】设动点，则由题意可得， 所以动点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数8，又， 所以由双曲线定义可知P点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）四个森林防火观察站的坐标依次为，他们都发现某一地区有火讯．若观察到的距离相差为6，且离近，观察到的距离相差也为6，且离近．试求火讯点的坐标． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，通过解方程组求解出火讯点的坐标即可. 【详解】设火讯点的坐标为，由于观察到的距离相差为6，且， 所以点在双曲线上．则焦距为，半实轴长为，所以半虚轴长为， 由于离近，所以点在双曲线上； 由于离近，所以点也在双曲线上． 联立两双曲线的方程可得即火讯点的坐标为． 1．（24-25高二上·全国·单元测试）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意得且，则，根据双曲线定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出其方程即可得解. 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且． 连接，因为点关于点的对称点为， 线段的垂直平分线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，， 所以，所以曲线的方程为， 令可得，即． 2．（多选题）（23-24高三下·福建厦门·阶段练习）已知P是圆O:x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】BC 【分析】分点A在圆内、圆外、圆上、圆心，作图，结合椭圆、双曲线定义以及圆的性质可知. 【详解】当点A在圆内时，如图1，因为点Q在PA的垂直平分线上，所以，所以，又，所以由椭圆定义知，此时轨迹为椭圆； 当点A在圆外时，如图2，，且，由双曲线定义可知，此时轨迹为双曲线；当点A在圆上时，易知点Q为定点，即圆心O；当点A在于点O重合时，易知Q为AP的中点，轨迹为圆. 故选：BC 3．（2025高二·全国·专题练习）已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆的圆心的轨迹方程． 【详解】设，的圆心分别为，，圆的半径为． 因为，所以当动圆的半径小于2时，与其中一圆内切后，不可能与另一圆外切，所以， 当圆与圆内切、与圆外切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的左支； 当圆与圆外切、与圆内切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的右支． 因此圆的圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，，， 则，，，方程为． 故答案为：． 4．（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 【答案】(1)的长度最短，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用两点距离公式，通过比较，可得答案； （2）由题意整理等量关系，结合双曲线方程，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，，， ，， 路线的长度：， 路线的长度：， 因为，则路线的长度最短. （2）设点，已知， 可得， 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 则点的轨迹方程为. 【经典例题三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值】 【例1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义分析即可求解. 【详解】由双曲线，可得，所以， 所以与是双曲线的焦点， 因为双曲线上的点到点的距离为，且， 所以或，又，所以. 故选：A. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）设声速是a（），在相距10a（）的A､B两哨所，听到一炮弹的爆炸声，爆炸声的时间相差6，已知声强与距离的平方成反比.试建立适当的坐标系. (1)求点P所在曲线的方程； (2)若哨所B处的声强是哨所A处声强的9倍，试求炮弹爆炸点P的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据双曲线的定义，设出方程，即可求得结果； （2）根据题意，求得，结合点的坐标满足双曲线方程，联立方程组即可求得点的坐标. 【详解】（1）以A､B所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设､，则点满足， 故点在以为焦点的双曲线上，设其方程为， 则，解得， 故点P所在曲线的方程为； （2）根据题意可得：，即， 又，故可得，设点坐标为， 由点在双曲线上，故可得，则， 由，故可得，即， 整理得：，解得（舍）或，此时，， 故点的坐标为. 1．（23-24高二·全国·课堂例题）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义可得，求的最小值相当于求的最小值，当三点共线时能取得最小值. 【详解】因为，所以要求的最小值， 只需求的最小值. 如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时， 最小，最小值为. 故的最小值为.    故选：C 2．（多选题）（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用双曲线的定义即可求解. 【详解】因为双曲线的方程为，所以，即， 由双曲线的定义可得， 又，所以，即， 当时，， 当时，， 所以的值为或. 故选：AC. 3．（24-25高二·全国·课后作业）过双曲线的右支上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ；此时P点坐标为 ． 【答案】 13 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为． 设双曲线的左、右焦点分别为，，连接，，，， 可得， 当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为13， 此时P点坐标为． 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知双曲线，、分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围． 【答案】 【分析】考虑点P在双曲线的两支，左支时，由双曲线定义可得，右支时，，据此可得答案. 【详解】因双曲线为，则. 为双曲线上一点，当在左支上时，由双曲线定义可得: , 当且仅当三点共线时取等号； 当在右支上时，， 所以， 当且仅当三点共线时取等号. 又，则的取值范围为． 【经典例题四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一动点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A．［0，6］ B． C． D． 【答案】B 【分析】设是双曲线右支上的一点，则有 ， ，所以，再根据，即可求得范围. 【详解】解：如图所示，,    不妨设是双曲线右支上的一点， 由焦半径公式可得 ， 所以，同理可得， 所以， 又因为，， 所以原式， 又因为，所以， 所以，， 所以 故选：B. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离. 【答案】 【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形中利用等面积法求解即可. 【详解】    由题可得，， 所以, 设，则，解得, 由于对称性，不妨取，所以 根据双曲线的定义可得，，解得， 设到直线的距离为， 在直角三角形中，， 所以. 1．（23-24高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】通过双曲线的定义以及勾股定理求出，再结合几何关系求出直线的斜率. 【详解】设，因为，所以， 根据双曲线的定义，可得，即， 解得，所以，， 又， 因为为中点，且，所以， 那么， 所以，则， 则， ， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以直线的斜率. 故选：. 2．（多选题）（2024·全国·模拟预测）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】AC 【分析】根据双曲线方程求出，再根据对称性只需考虑或.当时，将代入双曲线方程，求出，即可求出三角形面积，当时，由双曲线的定义可知，再由勾股定理求出，即可得解； 【详解】解：由双曲线可得.根据双曲线的对称性只需考虑或. 当时，将代入可得，所以的面积为. 当时，由双曲线的定义可知， ，由勾股定理可得. 因为， 所以，此时的面积为 综上所述，的面积为4或. 故选：. 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，双曲线C上存在一点P，满足，O为坐标原点，则|PO|= . 【答案】 【分析】根据双曲线的方程得到，从而得到的关系，然后用向量表示，根据可求得. 【详解】由双曲线C：知：，所以. 设双曲线C上存在一点P，满足，则整理得. 中，点是的中点，所以，所以 所以. 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）经过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，设为双曲线的左焦点，求△的周长． 【答案】 【分析】由题设可知为，联立双曲线方程应用韦达定理求、，进而求出及，根据双曲线定义可得，即可求△的周长． 【详解】由，得，，，焦点，． 设，，则直线的方程为． 由得：，则，． 于是． 由，解得A的横坐标，代入直线：，得． ∴． 由图所示，由双曲线的定义得，两式相减． ∴△的周长. 【经典例题五 根据方程表示双曲线求参数的范围】 【例1】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线？ (2)方程表示焦点在轴上的双曲线？ 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）（2）根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可. 【详解】（1）原方程可变形为， 要使方程表示双曲线，必须满足， 即或，解得或， 所以当或时，方程表示双曲线. （2）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得， 所以当时，方程表示焦点在轴上的双曲线. 1．（24-25高二上·浙江衢州·期中）“”是方程“表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求出的取值范围使得方程表示双曲线，然后再判断与这个取值范围的关系. 【详解】要使方程表示双曲线，则. 解不等式，可得. 当时，不一定满足，例如当时，方程不表示双曲线； 而当方程表示双曲线时，一定有，那么一定满足. 所以是方程表示双曲线的必要不充分条件. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知曲线，则下列结论正确的有（　　） A．若，则C是焦点在x轴上的双曲线 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 【答案】BCD 【分析】根据题意结合双曲线、椭圆和圆的方程，逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故A错误； 对于B，若，则曲线， 所以C是圆，故B正确； 对于C，若，则， 所以C是焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于D，若，则， 所以C是两条平行于y轴的直线，故D正确. 故选：ABD. 3．（23-24高二·全国·课后作业）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用双曲线方程的特点，可得，解不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，即或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知命题p：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题． (1)若为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当为真时，根据双曲线的标准方程列不等式，确定实数的取值范围； （2）根据是的充分不必要条件，列不等式，并检验即可得实数的取值范围． 【详解】（1）解：当为真时： 由方程表示焦点在x轴上的双曲线， 可得，解得 ∴实数m的取值范围为； （2）解：是的充分不必要条件，则是的真子集 ∴，且等号不同时成立，解得， 经检验，满足题意， ∴实数a的取值范围为. 【经典例题六 根据a、b、c求双曲线的标准方程】 【例1】（24-25高二上·河北邢台·期末）如图，在直角中，.若以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以为焦点，且过点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定即可求解； 【详解】由题意可知：，即， 可得：,由结合双曲线的定义可得：, 即，则， 所以双曲线方程为：， 故选：B 【例2】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间距离是8且的双曲线的标准方程； (2)与双曲线有相同焦点，并且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设椭圆方程，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为顶点在轴上，设双曲线方程为， 又两顶点间距离是8，即，所以， 且，所以， 又， 所以双曲线方程为. （2）因为双曲线中， 设椭圆方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 1．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由四边形的面积为，可得，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形的面积可求出，进而得到关于a，b的两个方程，联立求解即可得答案． 【详解】解：因为四边形的面积为， 所以，整理得， 记四边形内切圆半径为r，则，得． 又，所以， 又，联立可得，或， 所以双曲线的方程为或． 故选：AB. 3．（23-24高三上·甘肃·阶段练习）如图，点，是双曲线的左，右焦点，同时也是双曲线的左，右顶点，过点的直线交双曲线的左，右两支分别于，两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为6，则双曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意及双曲线的定义得到，，进而求解即可得到双曲线的方程． 【详解】不妨设双曲线的焦距为， 因为与的周长之差为6， 所以， 又点，是双曲线的左，右顶点，所以， 所以，，， 所以双曲线的方程为． 故答案为：． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在x轴上，且过点； (2)，一个焦点的坐标是； (3)经过两点，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点位置及过点求出得出标准方程； （2）根据焦点及，求出即可得出标准方程； （3）设双曲线方程为，利用待定系数法求解. 【详解】（1）由于双曲线的焦点在x轴上， 故可设它的标准方程为． 因为双曲线过点， 所以，又， 解得，， 因此，所求双曲线的标准方程为． （2）由题意知，，且焦点在x轴上， 所以， 故所求双曲线方程为： （3）设双曲线方程为， 代入点，， 则，解得， 所以所求双曲线方程为. 【经典例题七 根据双曲线过的点求标准方程】 【例1】（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 1．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（    ）    A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【分析】先作出双曲线图，根据图像代入点，求出点的坐标，最后求出的值. 【详解】如图所示，    根据题意，作出冷却塔的双曲线函数图，设双曲线方程为， 因为冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm， 所以设双曲线上的点且， 将代入可得，两式相减得， 又双曲线离心率为3，所以，所以， 代入可得，得，所以， 将点代入可得，解得， 所以冷却塔的最小直径为， 故选：C 2．（多选题）（23-24高二上·黑龙江·期中）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设出双曲线方程，代入点即可求出. 【详解】因为，则可设双曲线方程为或， 将点代入方程可得，解得， 所以双曲线方程为或. 故选：AC. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是 .      【答案】 【分析】设双曲线的标准方程为，分析可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】以双曲线最小口径所在直线为轴，轴与该双曲线两交点连线线段的中点为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，    由题意可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上， 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）某科研团队在科研基地点西侧、东侧20千米处设有两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在以为焦点的双曲线上，以点为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线的标准方程和点坐标． （2）团队又在正南、正北15千米处设有两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1千米）和点位置（精确到）． 【答案】（1）， （2）千米，点位置北偏东 【分析】（1）由题意可得，所以，即可得到双曲线的标准方程；可得直线，由直曲联立即可求得点坐标； （2）由已知，可得为和在第一象限的交点，联立解出点坐标，即可求得和点位置. 【详解】（1） 设双曲线的标准方程为， 由题意可得，所以， 所以双曲线的标准方程为， 因为在北偏东处，所以直线的斜率为， 所以直线， 与双曲线方程联立，可得， 所以点的坐标为． （2） ①由，可得，所以， 则双曲线的方程为； ②由，可得，所以， 所以双曲线的方程为； 由题意可得为的右支与的上支的交点， 两双曲线方程联立，解得， 所以， 所以千米，点位置北偏东． 【经典例题八 求双曲线的轨迹方程】 【例1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 【例2】（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【答案】 【分析】利用两圆相切分别可得，结合双曲线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支，从而可得的轨迹方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 1．（24-25高二上·山东滨州·期末）与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 【答案】B 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与圆的位置关系可得，， 所以，， 所以，圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 故选：B. 2．（多选题）（23-24高二上·吉林长春·期末）若，，动点满足，当和时，点轨迹（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线 【答案】BC 【分析】根据已知条件判断的大小关系，结合双曲线定义判断轨迹的图形. 【详解】当时，，故轨迹为双曲线的右支； 当时，，故轨迹为射线； 故选：BC. 3．（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，首先求到直线、的距离，再利用面积为3，列式求轨迹方程. 【详解】设，由题意在、相交的右侧部分，如下图， 则有，，， 所以到直线、的距离分别为、， 由题设，整理得，即为动点M的轨迹方程. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．求的轨迹的方程． 【答案】 【分析】 利用垂直平分线的性质及双曲线的定义可得答案. 【详解】 由题意可知，点在线段的垂直平分线上， 所以， 又点是圆上一动点， 所以． ①当时，； ②当时，， 所以的轨迹满足， 根据双曲线定义可知，点的轨迹是以为左､右焦点，实轴长为的双曲线， 可得， 所以的轨迹的方程为． 【经典例题九 求双曲线的焦点坐标】 【例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程可得，且焦点在y轴上，即可得焦点坐标. 【详解】由双曲线方程可知：，且焦点在y轴上， 则，所以双曲线的焦点坐标为. 故选：B. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）求双曲线的焦点坐标，并画出该双曲线的图形. 【答案】焦点坐标为和，图形见解析； 【分析】根据双曲线方程求出，即可得到焦点坐标，从而得到双曲线的图形； 【详解】解：因为双曲线方程为，所以、，因为，所以，，所以双曲线的焦点坐标为和； 双曲线的图形如下所示： 1．（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线与椭圆的的公式求解即可. 【详解】双曲线中，焦点在轴， 故椭圆中有，解得， 故选：C. 2．（多选题）（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知方程表示的曲线为，则（    ） A．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 【答案】BCD 【分析】根据双曲线、椭圆的标准方程以及性质即可判断. 【详解】根据题意知，可化为， 对于A，根据题意知，可化为， 当时，则，曲线为焦点在轴上的椭圆，故A错误； 对于B，根据题意知，可化为， 当时，，曲线为焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，根据题意知，可化为， 当时，，曲线为焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，根据题意知，可化为， 当时，，曲线为焦点在轴上的双曲线，故D正确. 故选：BCD 3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）形如的函数图象均为双曲线，则双曲线的一个焦点坐标为 . 【答案】或 【分析】先确定双曲线的渐近线、对称轴方程，确定焦点位置及实半轴，最后由渐近线与对称轴夹角正切值确定，利用双曲线性质求出焦点. 【详解】由知，其两条渐近线分别为， 所以双曲线的两条对称轴为的夹角平分线， 令的倾斜角为，则，且一条对称轴倾斜角为， 而，则，解得（舍去），， 所以，即一条对称轴为， 故另一条对称轴为， 显然与有交点即为双曲线的顶点， 则双曲线的实半轴长， 而渐近线与对称轴夹角的正切值为， ，又因为，所以， 由，设焦点为，则， 所以，所以焦点坐标为. 故答案为：或. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）设是已知的双曲线，以的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线． (1)求双曲线的共轭双曲线的方程； (2)求证：双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一圆上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据共轭双曲线的定义即可得解； （2）分别求出两双曲线的焦点坐标，再分析即可得证. 【详解】（1）双曲线的实轴在轴上长，虚轴在轴上长， 则其共轭双曲线的实轴在轴上长，虚轴在轴上长， 所以双曲线的方程为； （2）设， 则双曲线的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标为， 这个焦点到原点的距离都等于， 所以它们都在圆上， 即双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一圆上． 【经典例题十 求共焦点的双曲线方程】 【例1】（23-24高二上·四川凉山·阶段练习）已知双曲线与有相同的焦点，则等于（    ） A．3 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为双曲线与有相同的焦点， ， 解得 ， 故选：C. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分焦点在轴，设出双曲线方程，利用待定系数法带入点求解； （2）根据相同焦点设出所求方程，代入点求解. 【详解】（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为， 把点A的坐标代入，可得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为， 把A点的坐标代入，可得， 故所求双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以，解得或 (舍去). 所以双曲线的标准方程为. 1．（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出的值，结合可求的值，则双曲线方程可求. 【详解】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以， 记，所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为， 故选：C. 2．（23-24高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为，根据焦点坐标及点可求双曲线的方程. 【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 3．（23-24高二·全国·课后作业）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解． 【详解】解：设双曲线方程为，将点代入， 即，解得或（舍去）， 故所求双曲线方程为． 故答案为： 4．（24-25高二·上海·随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，可设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，得，即可求得双曲线的标准方程； （2）由已知，求得，设出双曲线标准方程，点在双曲线上，联立，解出，，即可得到双曲线的标准方程. 【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为； （2）在椭圆中，， 所以椭圆的焦点坐标为，， 设双曲线标准方程为，， 因为双曲线与椭圆有相同焦点， 所以， 点代入双曲线方程，可得， 联立，解得，， 所以双曲线标准方程为． 【拓展训练一 双曲线的定义及应用】 【例1】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知，动点满足，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义可知点的轨迹是双曲线的右支，利用题设的建立等量关系即可求得点轨迹方程，从而得解. 【详解】已知，为动点， 根据双曲线的定义可得，由于， 所以点的轨迹是双曲线的右支，且， 即，则， 则点的轨迹方程为，， 设，由可得， 整理得点轨迹方程为， 所以. 故选：C. 【例2】（2024高二上·全国·专题练习）双曲线，､为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆. (1)求的轨迹方程； (2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可. （2）求解轨迹方程求谁设谁，设，用点M的坐标表示点P的坐标，带入方程即可得到答案. 【详解】（1）由已知得，，故，所以､， 因为是以为圆心且过原点的圆，故圆心为，半径为4， 所以的轨迹方程为； （2）设动点，， 则，， 由，得，，， 即，解得， 因为点在上，所以， 代入得， 化简得. 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 2．（多选题）（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，圆是以双曲线的实轴为直径的圆，过作圆的切线与交于、两点若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据在双曲线的两支或双曲线的一支进行分类讨论，结合圆的几何性质以及双曲线的定义，先求得，然后求得. 【详解】双曲线，则， 圆是以双曲线的实轴为直径的圆，则圆方程为， 当直线与双曲线交于两支时， 设过的切线与圆相切于点， 则，， 因为，所以， 过点作于点， 所以， 因为为的中点， 所以，， 因为为锐角， 所以， 所以， 所以． 当直线与双曲线交于一支时，记切点为， 连接，则，， 过作于，则， 所以， 因为， 所以为锐角， 所以， 所以， ， 所以， 所以，解得， 所以． 综上，或． 故选：AD． 3．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】利用双曲线的定义将进行转化，再结合三角形三边关系求的最小值； 【详解】设双曲线的右焦点为. 对于双曲线，可得，则. 因为点在双曲线的右支上，所以，即. 则. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得，当且仅当，，三点共线时取等号. 已知，，根据两点间距离公式，可得. 所以，即的最小值为. 故答案为： 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切. (1)求圆心C的轨迹E的方程； (2)过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长. 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据几何意义即可求得轨迹方程； （2）求出直线l的方程，结合双曲线的几何性质即可得解. 【详解】（1）圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切， 则， 所以的轨迹是以为焦点，2为实轴长的双曲线， 其标准方程 （2）过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l， 其方程，恰好经过， N在线段上，， ， 即， 所以的周长 【拓展训练二 双曲线方程相关问题】 【例1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）如图，双曲线：（，）的左、右焦点为，，过，作圆：的切线，四条切线围成的四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形的面积求出直角三角形面积，利用三角形面积公式计算出、，再由可得、，从而得到答案. 【详解】如图，由题意，因为四边形的面积为，所以直角三角形面积为，即，，，，，，双曲线的方程为. 故选：B. 【例2】（23-24高二下·全国·随堂练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可． 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称. 设，由两圆外切可得，所以, 所以，点的轨迹为双曲线的右支. 设双曲线的方程为，则，，， 所以，点的轨迹方程为. 故选：D. 2．（多选题）（2023·浙江绍兴·模拟预测）过双曲线的左焦点的直线交的左､右支分别于两点，交直线于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设，利用点差法可求两点坐标，求出各线段的长度后可判断各项的正误，我们可可以根据双曲线中的极线是可得判断C，再由及比例的性质可判断B，由B的结论根据比例性质可推出判断A，再由及比例性质可判断D. 【详解】法1：设，不妨设. 由题设可得，故即为， 故，而，， 故，所以， 所以，故，故， 故，故，. 故的直线方程为：，故 故， ， ，， ，， 故，故A错误. 而，故B成立， 又，故C成立. 又，故成立， 故D成立， 故选：BCD . 法2：如图， 点的极线是，故成调和点列，即，故C正确； 又，所以，所以， 所以，故B正确； ，故A错误； ，故D正确. 故选：BCD 3．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】分析可知点、在双曲线上，利用不等式的基本性质分析出点不在双曲线上，可知点、、都在双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】因为点、关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，故点、都在双曲线上， 对于点，，，所以，，即点不在双曲线上， 所以，点、、都在双曲线上，所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故答案为：. 4．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； 【答案】 【分析】 讨论直线的斜率存在和不存在的两种情况，当不与轴垂直时，利用的中点坐标和的坐标表示直线的斜率，从而得到的方程，结合点差法消去的坐标可求得结果，当与轴垂直时，也满足，得到答案. 【详解】，即，故，，设，，． 则，，，， 由得即， 于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时，，即． 又因为两点在双曲线上，所以，， 两式相减得，即． 将代入上式，化简得． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 综上所述：点的轨迹方程是． 1．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】求出上焦点的坐标，由双曲线的定义可得，求得的值，即得结果． 【详解】由得，， ， 所以下焦点，上焦点为， 由双曲线的定义得 ， 当，，三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由焦点在y轴上的双曲线方程的结构特征列出关于m的不等式组求解即得. 【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：A 3．（2024·北京朝阳·一模）如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设双曲线的标准方程为，进而结合题意得，设，则，再待定系数，结合已知数据计算即可. 【详解】解：根据题意，设双曲线的标准方程为， 因为，，，， 所以，设， 则点在双曲线上， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，解得， 所以. 故双曲线的方程近似为. 故选：A 4．（2025高三·全国·专题练习）已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动点的坐标为，则（）.逐项代入求出动点的轨迹方程即可求解. 【详解】设动点的坐标为，则（）. 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是圆上去掉点，，不符合题意，故选项A错误； 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项B错误； 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是椭圆上去掉点，，符合题意，故选项C正确； 若，则，整理得（）， 此时动点的轨迹是双曲线上去掉点，，不符合题意，故选项D错误. 故选：C. 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点坐标求出的值，设双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义得出，利用当为线段与双曲线的交点时，的周长取最小值，求解即可. 【详解】因为双曲线的右焦点为，则， 且，可得，则，，， 所以，双曲线的标准方程为，如下图所示： 双曲线的左焦点为，且， 同理可得， 由双曲线的定义可得，所以，， 所以，的周长为， 当且仅当为线段与双曲线的交点时，等号成立， 所以，周长的最小值为. 故选：A. 6．（多选题）（2025·四川攀枝花·三模）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】由题设条件线段和垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）若为圆内的一定点，P是圆O上一个动点，线段AP的垂直平分线l与 直线OP相交于点Q，可得，， 即动点到两定点的距离之和为定值， ①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆； ②当重合时，点的轨迹是以为圆心的圆； （2）若为圆外的一定点，为圆上的一动点，线段的垂直平分线交直线于点， 可得，，即动点到两定点 的距离之差绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是： 以为焦点的双曲线； （3）若为圆上的一定点，为圆上的一动点，此时点的轨迹是圆心. 综上可得即点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故选：ABC 7．（多选题）（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 【答案】AC 【分析】利用椭圆和双曲线的定理逐个判断即可. 【详解】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确； 对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误； 对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确； 对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误. 故选：AC. 8．（多选题）（24-25高二下·湖南·开学考试）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为椭圆，则且 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为双曲线，则 【答案】ACD 【分析】由圆、椭圆、双曲线方程的结构特点逐项判断即可； 【详解】对于A选项，若曲线表示圆，则，解得，即曲线可能是圆，A正确； 对于B选项，若曲线为椭圆，则，解得且，B错误； 对于C选项，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确； 对于D选项，若曲线为双曲线，则，解得，D正确． 故选：ACD． 9．（多选题）（2023·湖北荆门·模拟预测）已知是圆上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】分点A在圆外，圆内（非原点），原点，圆上四种情况，结合图形可得答案. 【详解】当点A在圆外，如下图所示：设AP中点为B，过B作AP垂线交直线OP为Q，连接AQ，则，则，又，则此时Q轨迹为以为焦点的双曲线； 当点A在圆内（非原点），如下图所示，此时，又，则此时Q轨迹为以为焦点的椭圆； 当A在坐标原点，如下图所示，此时B，Q重合，则，则此时Q轨迹为以O为原点，半径为2的圆； 当在圆上，由垂径定理，可知Q点与O重合，此时的轨迹为点O. 故选：ABC 10．（多选题）（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，那么下列说法中正确的有（    ） A．若点在双曲线上，则 B．双曲线的焦点均在以为直径的圆上 C．双曲线上存在点，使得 D．双曲线上有8个点，使得△是直角三角形 【答案】BD 【分析】对于A，举例判断即可，对于B，设和的半焦距分别为，，再由双曲线的性质可得，，再由以为直径的圆的方程可得结论，对于C，结合双曲线的定义求解判断，对于D，以为直径的圆与双曲线有4个交点，过、分别作轴的垂线，与双曲线有4个交点，从而可得结论 【详解】对于A，若为双曲线的一个顶点，如， 则，故A错误； 对于B，设曲线的半焦距为，则， 双曲线的半焦距为，则， 双曲线的焦点坐标为，， 以为直径的圆的方程为， 点，适合上式，故B正确； 对于C，若双曲线上存在点，使得， 由，两式联立可得或，故C错误； 对于D，以为直径的圆与双曲线有4个交点，过、分别作轴的垂线，与双曲线有4个交点，可得双曲线上有8个点，使得△是直角三角形， 故D正确． 故选：BD 11．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据圆的性质，结合平行关系，即可得，由双曲线的定义即可求解. 【详解】如图，根据题意，，因为，， 所以，所以， 所以． 当位置互换时，， 当过的直线与轴重合时，无法作出， 所以点在以为焦点的双曲线上， 设该双曲线方程为，则，所以， 所以的轨迹方程为． 故答案为： 12．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）已知分别是双曲线的左右焦点，若，则 . 【答案】9 【分析】利用双曲线方程及其定义解得或，又因为，即可得. 【详解】根据双曲线方程可得， 再由双曲线定义可得，解得或， 又因为，所以可得. 故答案为： 13．（23-24高二上·江西南昌·期中）对于曲线C：，给出下面四个命题： ①曲线C不可能表示椭圆； ②当1<k<4时，曲线C表示椭圆； ③若曲线C表示双曲线，则k< 1或k> 4； ④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，其中所有正确命题的序号为 . 【答案】③④/④③ 【分析】利用圆、椭圆、双曲线对参数的限制条件分别列等式与不等式计算，即得解. 【详解】对于①，当时，曲线C表示椭圆，故①错误； 对于②，当时，曲线C表示圆，故②错误； 对于③，，即或表示双曲线，故③正确； 对于④， C表示焦点在轴上的椭圆，得； ，解得，故④正确. 故答案为： ③④. 14．（24-25高二上·山西·期末）已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 . 【答案】18 【分析】根据双曲线的方程求出，再由双曲线定义求出，结合可得答案． 【详解】因为，所以， 可得， 因为，，所以，或， 因为，所以舍去，故. 故答案为：. 15．（2025高三·全国·专题练习）双曲线的虚轴长为4，离心率，是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于两点，且是与的等差中项，则 ． 【答案】 【分析】先求出双曲线的方程，由是与的等差中项，可得+，结合双曲线的定义可得，从而得，即可得答案. 【详解】解：设双曲线的虚半轴长为，实半轴长为，半焦距为 由题意可得，解得， 所以双曲线的方程为， 所以，， 因为过的直线与双曲线的左支交于两点， 且是与的等差中项， 所以+，    由双曲线的定义可得：，， 所以+， 所以， 所以， 故答案为： 16．（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）（1）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程； （2）若动圆与圆､圆都外切.求动圆圆心的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设点，分别表示两点间距离及点到直线的距离，化简可得解； （2）由外切可知，，即，根据双曲线的定义可轨迹方程. 【详解】（1）设点，由题意得：， 化简得： 所以点的轨迹方程是； （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为，则圆与圆外离， 设圆的半径为， 由题意可得， 所以， 即圆心满足到定点、的距离之差为定值， 所以，圆心的轨迹是以点、分别为左右焦点的双曲线的右支， 设圆心的轨迹方程为， 由题意可得，则，， 因此，圆心的轨迹方程为. 17．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用两点间的距离公式计算可得答案； （2）设曲线的左焦点为，由双曲线定义得，当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小即周长的最小． 【详解】（1）设．因为，所以， 整理得，即曲线的方程为； （2）设曲线的左焦点为，则． 因为点在双曲线的右支上，所以，所以． 因为， 所以的周长为． 当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小值， 所以周长的最小值为． 18．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．    【答案】48 【分析】过点作边上的高，根据所给条件结合双曲线的定义可求出三角形的高，即可求出三角形的面积. 【详解】如图，    由可得，， ， ， ， 过点作边上的高，则， ， 所以的面积为. 19．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与，两点.点的坐标为，当点的坐标为时，点坐标为. (1)求双曲线的标准方程； (2)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 【答案】(1) (2)点的轨迹方程为，轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）. 【分析】（1）根据直线和双曲线相切求出a,b即可写出双曲线的标准方程； （2）相关点法求出P点的轨迹方程即可. 【详解】（1）设： ，， ，可得， 又因为直线：过，则， 所以：， 又因为与双曲线相切，所以， ， ，且， 即， 即，（1） 又因为点在双曲线上，所以，（2） 由（1）（2）式可得， 所以双曲线的标准方程为 （2） ， 是双曲线与直线的唯一公共点， 所以，即，（3） 解得， 即，其中 于是过点且与垂直的直线为， 可得，，， 所以 将（3）式代入可得： 即，其中， 所以，点的轨迹方程为， 轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）. 20．（2023·全国·模拟预测）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹； (2)设点位于第一象限，是的右焦点，的平分线交于点，求证：． 【答案】(1)动点的轨迹是以，为顶点、焦距为8的双曲线（不包含顶点，） (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得到，化简得到答案. （2）题目转化为，考虑和两种情况，计算，，计算得到，得到证明. 【详解】（1）由已知，得，化简并整理，得． 故动点P的轨迹E是以A，B为顶点、焦距为8的双曲线（不包含顶点A，B）． （2）点M是∠AFP的平分线与AP的交点，所以， 又，故，所以， 要证，即证， 也即证，只需证明成立． 当时，因为，，所以，故，显然成立． 当时，由，得，． 所以． 因为点P在双曲线上，所以， 所以，故． 又∠PAF为锐角，所以，从而得证． 【点睛】关键点睛：本题考查了双曲线的轨迹方程，双曲线相关的证明问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和和综合应用能力，其中将双曲线中的线段关系转化为，进而用斜率公式计算是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 双曲线的标准方程重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 双曲线定义的理解 题型二 利用双曲线定义求方程 题型三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 题型四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型五 根据方程表示双曲线求参数的范围 题型六 根据a、b、c求双曲线的标准方程 题型七 根据双曲线过的点求标准方程 题型八 求双曲线的轨迹方程 题型九 求双曲线的焦点坐标 题型十 求共焦点的双曲线方程 拓展训练一 双曲线的定义及应用 拓展训练二 双曲线方程相关问题 知识点一：双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线. 2、焦点：两个定点、 3、焦距：两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为. 4、双曲线就是下列点的集合：． 5、要点注意： （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 【即时训练】 1．（2025·四川·二模）双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（    ） A．1 B．1或9 C．9 D．3 2．（24-25高二上·全国·单元测试）已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则 ． 知识点二：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 【即时训练】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ． 【经典例题一 双曲线定义的理解】 【例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．2 B．10 C．2或9 D．2或10 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）（1）把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是什么曲线？ （2）在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于，如果截取的长度等于，其轨迹还是上述图形吗？ 1．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线T：的左、右焦点分别为，，T上的一点P满足，若的内切圆面积为，且与y轴相切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选题）（23-24高二下·广东阳江·期末）关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（    ） A．焦点在轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆 3．（2025高三·全国·专题练习）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于点，则和的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 4．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线和点，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求的最小值. 【经典例题二 利用双曲线定义求方程】 【例1】（23-24高二上·北京·阶段练习）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）四个森林防火观察站的坐标依次为，他们都发现某一地区有火讯．若观察到的距离相差为6，且离近，观察到的距离相差也为6，且离近．试求火讯点的坐标． 1．（24-25高二上·全国·单元测试）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 2．（多选题）（23-24高三下·福建厦门·阶段练习）已知P是圆O:x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．（2025高二·全国·专题练习）已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 4．（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 【经典例题三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值】 【例1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）双曲线上的点到点的距离为，则点到点的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）设声速是a（），在相距10a（）的A､B两哨所，听到一炮弹的爆炸声，爆炸声的时间相差6，已知声强与距离的平方成反比.试建立适当的坐标系. (1)求点P所在曲线的方程； (2)若哨所B处的声强是哨所A处声强的9倍，试求炮弹爆炸点P的坐标. 1．（23-24高二·全国·课堂例题）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·全国·课后作业）过双曲线的右支上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ；此时P点坐标为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知双曲线，、分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围． 【经典例题四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一动点，为坐标原点，则的取值范围是（    ） A．［0，6］ B． C． D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离. 1．（23-24高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（   ） A． B．或 C． D．或 2．（多选题）（2024·全国·模拟预测）双曲线的左，右焦点分别为，，点P在C上.若是直角三角形，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．2 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，双曲线C上存在一点P，满足，O为坐标原点，则|PO|= . 4．（2024高三·全国·专题练习）经过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，设为双曲线的左焦点，求△的周长． 【经典例题五 根据方程表示双曲线求参数的范围】 【例1】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线？ (2)方程表示焦点在轴上的双曲线？ 1．（24-25高二上·浙江衢州·期中）“”是方程“表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选题）（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知曲线，则下列结论正确的有（　　） A．若，则C是焦点在x轴上的双曲线 B．若，则C是圆 C．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 D．若，则C是两条平行于y轴的直线 3．（23-24高二·全国·课后作业）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 . 4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知命题p：方程表示焦点在轴上的双曲线，命题． (1)若为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【经典例题六 根据a、b、c求双曲线的标准方程】 【例1】（24-25高二上·河北邢台·期末）如图，在直角中，.若以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以为焦点，且过点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间距离是8且的双曲线的标准方程； (2)与双曲线有相同焦点，并且经过点的椭圆的标准方程. 1．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·甘肃·阶段练习）如图，点，是双曲线的左，右焦点，同时也是双曲线的左，右顶点，过点的直线交双曲线的左，右两支分别于，两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为6，则双曲线的方程为 ． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在x轴上，且过点； (2)，一个焦点的坐标是； (3)经过两点，． 【经典例题七 根据双曲线过的点求标准方程】 【例1】（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 1．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（    ）    A．cm B．cm C．cm D．cm 2．（多选题）（23-24高二上·黑龙江·期中）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是 .      4．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）某科研团队在科研基地点西侧、东侧20千米处设有两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在以为焦点的双曲线上，以点为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线的标准方程和点坐标． （2）团队又在正南、正北15千米处设有两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1千米）和点位置（精确到）． 【经典例题八 求双曲线的轨迹方程】 【例1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 1．（24-25高二上·山东滨州·期末）与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 2．（多选题）（23-24高二上·吉林长春·期末）若，，动点满足，当和时，点轨迹（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线 3．（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．求的轨迹的方程． 【经典例题九 求双曲线的焦点坐标】 【例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）求双曲线的焦点坐标，并画出该双曲线的图形. 1．（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（多选题）（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知方程表示的曲线为，则（    ） A．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 D．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）形如的函数图象均为双曲线，则双曲线的一个焦点坐标为 . 4．（23-24高二上·全国·课后作业）设是已知的双曲线，以的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线． (1)求双曲线的共轭双曲线的方程； (2)求证：双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一圆上． 【经典例题十 求共焦点的双曲线方程】 【例1】（23-24高二上·四川凉山·阶段练习）已知双曲线与有相同的焦点，则等于（    ） A．3 B． C．2 D．3 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点. 1．（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·课后作业）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 【拓展训练一 双曲线的定义及应用】 【例1】（24-25高三上·山西·阶段练习）已知，动点满足，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【例2】（2024高二上·全国·专题练习）双曲线，､为其左右焦点，是以为圆心且过原点的圆. (1)求的轨迹方程； (2)动点在上运动，满足，求的轨迹方程. 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 2．（多选题）（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，圆是以双曲线的实轴为直径的圆，过作圆的切线与交于、两点若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·三模）双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为 ． 4．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切. (1)求圆心C的轨迹E的方程； (2)过曲线E上一点M（2，3）作斜率为的直线l，与曲线E交于另外一点N.试求的周长. 【拓展训练二 双曲线方程相关问题】 【例1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）如图，双曲线：（，）的左、右焦点为，，过，作圆：的切线，四条切线围成的四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二下·全国·随堂练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）若动圆过定点，且和定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2023·浙江绍兴·模拟预测）过双曲线的左焦点的直线交的左､右支分别于两点，交直线于点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为 ． 4．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； 1．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 3．（2024·北京朝阳·一模）如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知定点，，平面上满足下列斜率关系的动点的轨迹是椭圆的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点，点为双曲线左支上的动点，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2025·四川攀枝花·三模）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．（多选题）（23-24高二上·江苏泰州·期末）下列结论正确的是（    ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 8．（多选题）（24-25高二下·湖南·开学考试）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（    ） A．曲线可能是圆 B．若曲线为椭圆，则且 C．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线为双曲线，则 9．（多选题）（2023·湖北荆门·模拟预测）已知是圆上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 10．（多选题）（2024·江苏南通·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，那么下列说法中正确的有（    ） A．若点在双曲线上，则 B．双曲线的焦点均在以为直径的圆上 C．双曲线上存在点，使得 D．双曲线上有8个点，使得△是直角三角形 11．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，，过的直线与圆交于两点，过作的平行线交直线于点，则点的轨迹方程为 ． 12．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）已知分别是双曲线的左右焦点，若，则 . 13．（23-24高二上·江西南昌·期中）对于曲线C：，给出下面四个命题： ①曲线C不可能表示椭圆； ②当1<k<4时，曲线C表示椭圆； ③若曲线C表示双曲线，则k< 1或k> 4； ④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，其中所有正确命题的序号为 . 14．（24-25高二上·山西·期末）已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 . 15．（2025高三·全国·专题练习）双曲线的虚轴长为4，离心率，是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于两点，且是与的等差中项，则 ． 16．（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）（1）在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程； （2）若动圆与圆､圆都外切.求动圆圆心的轨迹方程. 17．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 18．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，求的面积．    19．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴与，两点.点的坐标为，当点的坐标为时，点坐标为. (1)求双曲线的标准方程； (2)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 20．（2023·全国·模拟预测）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹； (2)设点位于第一象限，是的右焦点，的平分线交于点，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $