第3章图形的相似单元测试卷2025-2026学年湘教版九年级数学上册

图形的相似单元测试卷(培优卷) 满分120分 时量120分钟 一、选择题（每题3分，共30分）. 1．如果，那么下列各式中一定成立的是 ( ). A. B. C. D. 2.下列各组中的四条线段成比例的是( ). A.4cm,2cm,1cm,3cm B.1.1cm,2.2cm,3.3cm,6.6cm C.2.5cm,3.5cm,4.5cm,5.5cm D.1cm,2cm,4cm,20cm 3．如图,AB//CD//EF,AC=2,,AE=5,BD=1.8，那么DF的长为( ). A.6 B.4.5 C.2.7 D.2.5 4．在ΔABC和ΔDEF中，已知，且ΔABC的周长为8，ΔDEF的周长为（ ）. A.4 B.6 C.12 D.18 5．如图，在ΔABC中，点D在AC边上，下列给出的条件不能得出ΔABD∽ΔACB的是 ( ) A. B.∠ABD=∠ACB C. D.∠ADB=∠ABC 6．如图，FD∥BC,FB∥AC,，则的值为( ). A. B. C. D. 7．“计里画方”（比例缩放和平面直角坐标网格体系）是中国古代制作地图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志.制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，若某次测量中 ，则下列结论中错误的是 ( ) A. B. C. D. 8．东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的A4纸（图①），对折后得到两个全等的A5纸并与A4纸相似（图②），则A4纸长与宽的比值为 ( ) A.-1 B. C.D. 9．如图，在ΔABC中AB=6cm,AC=12cm，动点D以1cm／s的速度从点A出发沿AB方向向点B运动，动点E以2cm／s的速度从点C出发沿CA方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D 运动到点B的位置时，两点均停止运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与ΔABC相似时，运动的时间是 ( ). A．4.5s或4.8s B.3s C.4.5s D．3s或4.8s 10．如图，在ΔABC中，已知MN∥BC,DN∥MC，小华同学由此得出以下四个结论:①;④ .其中正确结论的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每题3分，共24分）. 11．若，则 12．在比例尺为1：10000的地图上，相距8cm的两地A，B之间的实际距离为 . 13．测量小玻璃管口径的量具ABC如图放置，AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是 . 14．如图，点E(-4,2),F(-2,-2)，以O为位似中心，将ΔEFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1 的坐标是 . 15．某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某大厦CD的高度．如图，在点P处放一面水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，B，P，D在同一水平线上，测得AB=1.5m,BP=2m,PD=52m，那么该大厦的高度约为 ． 16．如图，正方形EFGH内接于ΔABC，已知BC=12，高AD=4，则正方形EFGH的边长为 . 17．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,∠ADE=，则AE的长为 . 18．如图，在矩形ABCD中，AB=9,,BC=15,P,Q分别是BC，CD上的点，且CQ=4，若ΔABP与ΔPCQ相似，则BP的值为 . 三、解答题(6+6+8+8+9+9+10+10=66分). 19. 已知线段a，b，c，且== （1）求的值； （2） 20．如图，图中的两个多边形ABCDEF和相似（各字母已按对应关系排列），∠A=∠=135°,∠B=∠=120°,∠=95°. （1）求∠F的度数； （2）如果多边形ABCDEF和的相似比是1：1.5，且CD=15cm，求 的长度. 21．（8分）如图，在ΔABC中，,DE∥BC,DF∥AC,AD=4cm,BD=8cm,DE=5cm，求线段BF的长. 学科网（北京）股份有限公司 22．（8分）如图，已知D，E是ΔABC的边AB，AC上的点，∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°.求证：AD⋅AB=AE⋅AC 23．（9分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC 上，且CF:BC=1:4,ΔADE与ΔECF相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由. 24．（9分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=，且= （1）求证：ΔAFB∽ΔFEC; （2）求矩形的周长． 25．(10分)如图，点C，D在线段AB上，ΔPCD是等边三角形. （1）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB? (2)当ΔACP∽ΔPDB时，求∠APB的度数. 26．（10分）如图，在ΔABC中，AB=AC=5cm,BC=8cm，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线PM交AC 于点M，使∠APM=∠B. （1）求证：= （2）当点P为BC的中点时，求CM的长； （3）当MP⊥BC时，求BP的长. 图形的相似单元测试卷(培优卷)参考答案 满分120分 时量120分钟 1. 选择题（每题3分，共30分）. 1．如果，那么下列各式中一定成立的是 ( ). A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积。 【详解】解：选项A、B、C, 根据比的性质可得 3a=5b,均排除． 故选D． 2.下列各组中的四条线段成比例的是( ). A.4cm,2cm,1cm,3cm B.1.1cm,2.2cm,3.3cm,6.6cm C.2.5cm,3.5cm,4.5cm,5.5cm D.1cm,2cm,4cm,20cm 【答案】B 【分析】本题考查成比例线段的定义 。 【详解】解：根据定义B选项符合． 故选B． 3．如图,AB//CD//EF,AC=2,,AE=5,BD=1.8，那么DF的长为( ). A.6 B.4.5 C.2.7 D.2.5 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例 。 【详解】解：根据 ,即可求得BF=4.5，故DF=4.5-1.8=2.7． 故选C． 4．在ΔABC和ΔDEF中，已知，且ΔABC的周长为8，ΔDEF的周长为（ ）. A.4 B.6 C.12 D.18 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的周长比等于相似比 。 【详解】解：相似比 = ．故周长比= ，而ΔABC的周长为8，故ΔDEF的周长为12. 故选C． 5．如图，在ΔABC中，点D在AC边上，下列给出的条件不能得出ΔABD∽ΔACB的是 ( ) A. B.∠ABD=∠ACB C. D.∠ADB=∠ABC 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的现在，其中两边对应成比例，且夹角相等最容易出错。 【详解】解： 因为 故选A． 6．如图，FD∥BC,FB∥AC, ，则 的值为( ). A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质和相似三角形的性质。 【详解】解：∵FD∥BC,FB∥AC 四边形FBCD是平行四边形 ∴ FD=BC,CD=FB ∵FD∥BC ΔAED∽ΔABC ∴ ∵ ∴ ∴ 故选 A. 7．“计里画方”（比例缩放和平面直角坐标网格体系）是中国古代制作地图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志.制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，若某次测量中 ，则下列结论中错误的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用。 【详解】解： 由题可得ΔCEF∽ΔCAB ∴EF/AB=CF/CB 又∵CF/BF=1/5 ∴CF/CB=1/6=EF/AB 故选A． 8．东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的A4纸（图①），对折后得到两个全等的A5纸并与A4纸相似（图②），则A4纸长与宽的比值为 ( ) A. -1 B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质。 【详解】解： 由题可得多边形A4 ∽A5多边形 ∴长/宽=宽/(1/2 长) 即长/宽=√2 故选C 9．如图，在ΔABC中AB=6cm,AC=12cm，动点D以1cm／s的速度从点A出发沿AB方向向点B运动，动点E以2cm／s的速度从点C出发沿CA方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D 运动到点B的位置时，两点均停止运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与ΔABC相似时，运动的时间是 ( ). A．4.5s或4.8s B.3s C.4.5s D．3s或4.8s 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定及应用。 【详解】解： 设运动的时间是t，则AD=tcm,AE=(12-2t)cm. 当ΔADE∽ΔABC时，则AD/AB=AE/AC ,即t/6=(12-2t)/12 ,解得t=3s. 当ΔADE∽ΔACB时，则AD/AC=AE/AB ,即 t/12=(12-2t)/6 ,解得t=4.8s. 故运动时间是3s或者4.8s. 故选D. 10．如图，在ΔABC中，已知MN∥BC,DN∥MC，小华同学由此得出以下四个结论:① ;④ .其中正确结论的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用。 【详解】解：A：∵MN∥BC，∴AN/CN=AM/BM ,所以此项错误； B: ∵DN∥MC, ∴AD/AM=DN/CM ,所以此项错误； C:根据选项A可知，此项正确； D:根据平行线分线段成比例定理得，左右两边的比都等于AN/NC ，所以此项正确。所以正确的有两个，故选B. 二、填空题（每题3分，共24分）. 11．若，则 【答案】 8 【分析】本题考查了比的性质。 【详解】∵可令 a/2=b/3=c/4=ϰ ∴a=2ϰ，b=3ϰ，c=4ϰ. (3a+2b+c)/a=(6ϰ+6ϰ+4ϰ)/2ϰ=8. 12．在比例尺为1：10000的地图上，相距8cm的两地A，B之间的实际距离为 . 【答案】 800m 【分析】本题考查了比例尺的应用。 【详解】设A,B的实际距离为xcm,根据题意列方程得，1：10000=8：x,解得x=80000cm,所以A,B的实际距离为800m. 13．测量小玻璃管口径的量具ABC如图放置，AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是 . 【答案】 8cm 【分析】本题考查了相似三角形的应用。 【详解】∵DE∥AB，∴CD：AC=DE：AB, ∴40：60=DE：12 ,∴DE=8cm. 14．如图，点E(-4,2),F(-2,-2)，以O为位似中心，将ΔEFO放大为原来的2倍，则点E的对应点E1 的坐标是 . 【答案】(8,-4)或（8，-4） 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解答本题的关键是熟练掌握位似变换的性质。 【详解】∵点E(-4,2)，以O为位似中心，将ΔEFO放大为原来的2倍则：E1（-4×2，2×2）或 [-4×（-2），2×（-2）]，∴ 点E1的坐标为（-8，4）或（8，-4）. 15．某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某大厦CD的高度．如图，在点P处放一面水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB BD，CD BD，B，P，D在同一水平线上，测得AB=1.5m,BP=2m,PD=52m，那么该大厦的高度约为 ． 【答案】39m. 【分析】本题考查相似三角形的应用。解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题。 【详解】根据题意得到：ΔABP∽ΔCDP.所以CD/AB=PD/PB,故CD=AB×PD/PB=39m. 16．如图，正方形EFGH内接于ΔABC，已知BC=12，高AD=4，则正方形EFGH的边长为 . 【答案】3. 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键。 【详解】 设AD与EH交于点M，∵正方形EFGH, ∴EH∥BC, ∠FEH=∠EHG=90°,EF=EH, ∵AD为ΔABC的高，∴∠ADF=90°,四边形EMDF为矩形，∴DM=EH=EF,AM EH, ∵EH∥BC, ∴ΔAEH∽ΔABC, ∴EH/BC=AM/AD=(AD-DM)/AD=(AD-EH)/AD ，∴EH/12=(4-EH)/4 , ∴EH=3. 17．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3, ∠ADE=60度，则AE的长为 . 【答案】7. 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得ΔABD∽ΔDCE是解答此题的关键。 【详解】 ∵ΔABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°,AB=BC, ∴CD=BC-BD=9-3=6; ∴∠BAD+∠ADB=120°, ∵∠ADE=60°, ∴∠EDC+∠ADB=120°, ∴∠DAB=∠EDC,又∵∠B=∠C=60°，ΔABD∽ΔDCE，则AB/BD=DC/CE,即9/3=6/CE,解得CE=2,故AE=9-2=7. 故答案为7. 18．如图，在矩形ABCD中，AB=9,,BC=15,P,Q分别是BC，CD上的点，且CQ=4，若ΔABP与ΔPCQ相似，则BP的值为 . 【答案】3或12或135/13. 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质等知识，解题的关键在于根据相似三角形的性质写出等量关系式。 【详解】在矩形ABCD中，AB=CD=9,,BC=AD=15, ∠B=∠C=90° , ∵ΔABP与ΔPCQ相似,∴分ΔABP∽ΔPCQ与ΔABP∽ΔQCP两种情况求解，当ΔABP∽ΔPCQ时，设BP=x,则PC=15-x, ∴AB/CQ=BP/CQ,即9/(15-x)=x/4,解得x=3或x=12; 当ΔABP∽ΔQCP时，BP=x,则PC=15-x, ∴AB/CQ=BP/CP,即∴9/4=x/(15-x),解得x= 135/13. 综上所述，BP的长为3或12或135/13. 三、解答题(6+6+8+8+9+9+10+10=66分). 19. 已知线段a，b，c，且 a/3= b/4 =c/5 （1）求(a+b)/b 的值； （2） 【答案】（1）7/4 （2）a=15,b=20,c=25. 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知得出a=3k,b=4k,c=5k进而得出k的值是解题关键。 【详解】解：（1）设a/3=b/4=c/5=k ,则a=3k,b=4k,c=5k， ∴(a+b)/b=(3k+4k)/4k=7/4 (2) ∵a+b+c=60, ∴3k+4k+5k=60,解得k=5. ∴a=15,b=20,c=25 20．如图，图中的两个多边形ABCDEF和相似（各字母已按对应关系排列），∠A=∠ =135°,∠B=∠ =120°,∠ =95°. （1）求∠F的度数； （2）如果多边形ABCDEF和的相似比是1：1.5，且CD=15cm，求 的长度. 【答案】（1）115 °, （2）22.5cm. 【分析】本题考查相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 【详解】（1）∵多边形ABCDEF∽ ∴∠A=∠A1, ∠B=∠B1, ∠C=∠C1, ∠D=∠D1, ∠E=∠E1, ∠F=∠F1. ∵∠A=∠ =135°, ∠B=∠ =120°,∠ =95°. ∴∠A=135°, ∠B= 120°, ∠C=95°, ∠D=135°, ∠E=120°. ∵六边形的内角和为（6-2）×180°=720°， ∴∠F=720°-135°-120°-95°-135°-120°=115°. （2）∵多边形ABCDEF∽ ∴CD/(C1 D1 )=1/1.5, ∵CD=15cm, ∴C1 D1=22.5cm. 21．（8分）如图，在ΔABC中,DE∥BC,DF∥AC,AD=4cm,BD=8cm,DE=5cm，求线段BF的长. 【答案】10cm. 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质以及平行线分线段成比例 。 【详解】 ∵DE∥BC,DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形。∴CF=DE=5cm. ∵DF∥AC ∴BD/AD=BF/CF,且D=4cm,BD=8cm，CF=5cm, ∴BF=10cm. 22．（8分）如图，已知D，E是ΔABC的边AB，AC上的点，∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°.求证：AD⋅AB=AE⋅AC 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键在于证明ΔAED∽ΔABC. 【详解】 ∵∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60° ， ∴∠B=180°-35°-85°=60°，∴∠AED=∠B，又∵∠A=∠A， ∴ΔAED∽ΔABC，∴AD/AC=AE/AB,即AD⋅AB=AE⋅AC. 23．（9分）如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC 上，且CF:BC=1:4,ΔADE与ΔECF相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由. 【分析】本题考查相似三角形的判定. 【详解】ΔADE∽ΔECF 理由如下：在正方形ABCD中， AD=CD=BC, ∠D=∠C=90°. ∵E是CD的中点, CF:BC=1:4, AD/EC=DE/CF=2 ∴ΔADE∽ΔECF,相似比为AD/EC =2. 24．（9分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE= ，且 EC/FC=3/4. （1）求证：ΔAFB∽ΔFEC; （2）求矩形的周长． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理以及折叠的性质.此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用。 【详解】 （1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=∠D=90°, ∴∠BAF+∠AFB=90°,由折叠的性质可得： ∠AFE=∠D=90°, ∴∠CFE+∠AFB=90°, ∴∠BAF=∠EFC, ∴ΔAFB∽ΔFEC. (2).由Rt△FEC中，tan∠EFC=3/4,可得EC/FC=3/4，则可设CE=3k,CF=4k,由勾股定理可得EF=5k=DE.所以AB=CD=CE+DE=8k, ∵∠BAF=∠EFC,tan∠BAF=3/4,BF=6k,AF=10k, ∴由勾股定理AE= 5√5k, ∵AE= ∵k=1,AD=BC=10cm,AB=CD=8cm. ∴矩形ABCD的周长为36cm. 25．(10分)如图，点C，D在线段AB上，ΔPCD是等边三角形. （1）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPDB? (2)当ΔACP∽ΔPDB时，求∠APB的度数. 【分析】本题考查是开放性试题，要熟练运用相似三角形的性质和等边三角形的性质。 【详解】 （1）当CD^2=AC∙DB时，ΔACP∽ΔPDB， ∵ΔPCD是等边三角形， ∴∠PCD=∠PDC=60°, ∴∠ACP=∠PDB=120°,若CD^2=AC∙DB，由PC=PD=CD可得：PC∙DP=AC∙DB,即PC/BD=AC/PD, ∴ΔACP∽ΔPDB. （2）当ΔACP∽ΔPDB时，∠APC =∠PBD , ∵∠PDB=120°， ∴∠DPB+∠DBP=60°, ∴∠APC+∠BPD=60°, ∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°. 即可得∠APB的度数是120°. 26．（10分）如图，在ΔABC中，AB=AC=5cm,BC=8cm，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线PM交AC 于点M，使∠APM=∠B. （1）求证：AB/PC=BP/CM （2）当点P为BC的中点时，求CM的长； （3）当MP⊥BC时，求BP的长. 【分析】本题主要考查利用等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质来解决。通过分析三角形的角和边的关系，证明相似三角形，进而利用相似三角形的性质求解未知边长。 【详解】 （1） ∵AB=AC, ∴∠C=∠B, ∵∠APM=∠B. ∴∠BAP=∠CPM, ΔBAP∽ΔCPM, ∴AB/PC=BP/CM (2). ∵AB=AC=5cm,BC=8cm,点P为BC的中点，∴BP=CP=4cm. 由（1）可得AB/PC=BP/CM，∴CM=3.2cm. (3)作AD⊥BC于点D,则BD=CD=4cm,由（1）可得∠BAP=∠CPM， ∵∠CPM=90°，∴∠BAP=∠BDA=90°, ∵∠B =∠B, ΔBAP∽ΔBDA, ∴BP/AB=AB/BD, ∴BP=6.25cm. $$