第三章　整式及其加减 习题课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学六年级上册

1.式子中除了含有数字或表示数的字母之外,通常还含有运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方),像这样的式子都是　 　.  注意:单独一个数或一个字母也是　 　.  过教材　要点概览 第2课时　代数式 代数式 代数式 初中五四制练案·数学·LJ·六上 2.书写代数式的注意事项 (1)a×b通常写成a·b或ab; (3)数字通常写在字母前面; (4)带分数一般写成假分数; (5)实际问题中含有单位时,若最后运算的结果是和或差的形式,则要把整个的代数式括起来再写单位. 2 精讲练　新知探究 探究点一　代数式 B B 3 点睛 代数式的书写要求: (1)代数式中出现的乘号,通常简写成“·”或者省略不写; (2)数字与字母相乘时,数字要写在字母的前面; (3)代数式中出现的除法运算,一般按照分数的写法来写,带分数要写成假分数的形式. 4 探究点二　列代数式 [典例2] 字母x表示甲数,字母y表示乙数,用代数式表示: (1)甲、乙两数和的5倍; [变式2]每个苹果x元,买8个苹果,付给售货员30元,应找回 　 　元.  (30-8x) 5 点睛 如何列代数式? (1)判断语句的层次,明确运算顺序; (2)掌握实际问题中的基本数量关系,抓住关键词,确定数量关系,正确列式. 6 探究点三　代数式的意义 [典例3] 用文字语言叙述下列代数式: 解:(1)a与b两数差的20%. (3)x与y两数和的倒数. (4)a与b,c两数和的平方的差. 7 [变式3]下列关于“代数式3x+2y”的意义叙述不正确的有( ) ①x的3倍加上y的2倍的和;②小明跑步速度为x千米/小时,步行的速度为y千米/时,则小明跑步3小时后步行2小时,走了(3x+2y)千米;③某小商品以每个3元卖了x个,又以每个2元卖了y个,则共卖了(3x+2y)元. A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 D 8 点睛 用文字语言叙述代数式,一定要正确判定代数式中含有的各种运算及其顺序. 9 谢谢观赏！ 10 (2)a÷b通常写成; [典例1] 在-3x,6-a=2,4ab2,0,,,>,x中,代数式有( ) A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 [变式1]下列各式中,符合代数式书写规则的是( ) A.x×5　 B.xy　 C.2ab　 D.m-1÷n (2)甲数的与乙数的3倍的差; (3)甲、乙两数的积与甲、乙两数的差的商; (4)甲、乙两数的倒数和. 解:(1)5(x+y).(2)x-3y.(3).(4)+. (1)20%(a-b);(2)x-y;(3);(4)a-(b+c)2. (2)x的与y的的差. $$ 过教材　要点概览 第3课时　去括号 1.去括号依据的运算律是　 　.  2.括号前是“+”,把括号和它前面的“+”去掉后,原括号里各项的符号 　 　;括号前是“-”,把括号和它前面的“-”去掉后,原括号里各项的符号　 　.  乘法对加法的分配律 都不改变 都要改变 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　去括号 [典例1] 下列各式中,去括号正确的是( ) A.a2-2(-b+c)=a2-2b+c B.-(2x+y)-(a+b)=-2x-y-a+b C.a+(-3x-2y)=a-3x+2y D.ab-5(-a+3)=ab+5a-15 D 2 [变式1]去括号: (1)-[-(-x)]=　 　;  (2)-2(a-b)=　 　;  (3)4x3-(-3x2+2x-1)=　 　;  (4)2a-[3b-(c+d)]=　 　.  -x -2a+2b 4x3+3x2-2x+1 2a-3b+c+d 3 点睛 (1)去括号时,要连同括号前的符号一同去掉; (2)注意括号前面的符号,它是去掉括号后,括号内各项是否变号的依据; (3)括号前面是“-”时,括号里各项都要改变符号,不能只改变第一项或某几项; (4)括号前面有系数时,应先进行乘法对加法的分配律,再去括号; (5)遇到多重括号时,其方法一般是由里到外逐层去括号,也可由外到里,要灵活运用. 4 探究点二　去括号、合并同类项 [典例2] 先去括号,再合并同类项: (1)-3a+b-(6a-2b); (2)x-(5x+4)+(3x-4); 解:(1)-3a+b-(6a-2b) =-3a+b-6a+2b =-9a+3b. (2)x-(5x+4)+(3x-4) =x-5x-4+3x-4 =-x-8. 5 (3)3x+2(y-x)-(-x-4y); (4)3(a2-a+1)-2(a2+2a+3). 解:(3)3x+2(y-x)-(-x-4y) =3x+2y-2x+x+4y =2x+6y. (4)3(a2-a+1)-2(a2+2a+3) =(3a2-3a+3)-(2a2+4a+6) =3a2-3a+3-2a2-4a-6 =a2-7a-3. 6 [变式2]化简: (1)(3a-b)-(3b-2a)-4(2a+b); 解:(1)(3a-b)-(3b-2a)-4(2a+b) =3a-b-3b+2a-8a-4b =-3a-8b. 7 (2)3(4m2-3m+2)-2(1-4m2+m); (3)2x-[2(x+3y)-3(x-2y)]. 解:(2)3(4m2-3m+2)-2(1-4m2+m) =12m2-9m+6-2+8m2-2m =20m2-11m+4. (3)2x-[2(x+3y)-3(x-2y)] =2x-2x-6y+3x-6y =3x-12y. 8 点睛 去括号时,改变了式子的形式,但并没有改变式子的值. 9 谢谢观赏！ 10 $$ 过教材　要点概览 3　探索与表达规律 1.解决与数、式有关的规律问题:根据数字特点,通过分析、观察、归纳,发现规律,进而猜想出具有一般性的结论.对于不容易找到规律的问题,可以将每个数分解成和、差、积、商、乘方等形式,探究其隐含的规律. 2.解决与图形有关的规律问题:其基本思路是对图案进行分析,把图案中蕴含的有关数量关系表达出来,再对所列的式子进行分析,通过概括、猜 想、归纳得到其中的规律并用字母表达出来. 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　与数、式有关的规律 [典例1] 观察等式:①9-1=2×4,②25-1=4×6,③49-1=6×8,….按此规律写出第n个等式为　 　.  (2n+1)2-1=2n(2n+2) 2 3 探究点二　与图形有关的规律 [典例2] 图①是一个水平摆放的小正方体木块,图②③是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律叠放下去,则第n个叠放的图形中,最下面一层小正方体木块的总数是　 　.  ① ② ③ 4n-3 4 探究点三　月历中的规律 [典例3] 如图所示是某月的月历,任意选取“H”形框中的7个数(如阴影部分所示),请你运用所学的数学知识,判断这7个数的和是否可能为162. 5 [变式3]小明在某月的月历(月历的第一行标注了“星期日～星期六”)上圈出三个数a,b,c,并求出它们的和是42,则这三个数在月历中的位置不可能是( ) A　　 B　　 C　　 D B 6 谢谢观赏！ 7 [变式1]给定一列按规律排列的数:-,,-,,….则这列数的第9个数 是　 　.  - 解:(1)- [变式2]根据下列材料,回答问题: =1-,=-,=-. 请根据以上各式完成下列题目: (1)=　　　　;  (2)=　　　　(n为正整数);  (3)用简便方法计算:+++++++. (2)- (3)+++++++=1-+-+-+-+-+-+-+ -=1-=. 解:设中间的数为x,则另外6个数分别为x-8,x-6,x-1,x+1,x+6,x+8, 所以7个数的和为 x-8+x-6+x-1+x+x+1+x+6+x+8=7x, 即7个数的和为7的整数倍. 因为162÷7=23,不为整数, 所以这7个数的和不可能是162. $$1.所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫作　 　.  2.把同类项合并成一项叫作　 　.  3.合并同类项法则 合并同类项时,把　 　相加,　 　不变.  过教材　要点概览 2　整式的加减 第1课时　合并同类项 同类项 合并同类项 同类项的系数 字母和字母的指数 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　同类项的概念 D 9 2 点睛 (1)同类项必须具备两个条件:一是所含字母相同,二是相同字母的指数也分别相同.两者缺一不可. (2)同类项与系数、字母的排列顺序无关. (3)所有的常数项都是同类项. (4)单独的一项不能说是同类项. 3 探究点二　合并同类项 [典例2] 合并同类项: (1)-3a2b+5-5b2+6a2b-7+5b2+4a3; 解:(1)-3a2b+5-5b2+6a2b-7+5b2+4a3 =(-3a2b+6a2b)+(-5b2+5b2)+4a3+(5-7) =(-3+6)a2b+(-5+5)b2+4a3-2 =3a2b+4a3-2. 4 5 6 点睛 (1)合并同类项的依据是乘法对加法的分配律. (2)只有同类项才能合并,不是同类项不能合并,不能合并的项,在每步运算中不要漏掉. (3)若代数式中含有相同的多项式,则可以把这个多项式看成一个整体来合并. (4)若合并同类项后的系数为带分数,则要把它化成假分数. 7 谢谢观赏！ 8 [典例1] 下列各选项中是同类项的是( ) A.-a2b和ab2 B.a2和22 C.2ab和2abc D.-ab2和2b2a [变式1](2024临淄期末)若5xa-2y3与-3x4yb是同类项,则a+b的值为 　 　.  (2)a-0.4ab2-a+ab2. 解:(2)a-0.4ab2-a+ab2 =(a-a)+(-0.4ab2+ab2) =(-)a+(-+)ab2 =-a. [变式2]如果把(2m-3n)看作一个整体,那么就可以把-2(2m-3n)和(2m- 3n)看作同类项,这样便于代数式的化简.合并下列式子中的同类项: 3(a-2b)3-(a-2b)2-5(a-2b)3+(a-2b)2. 解:3(a-2b)3-(a-2b)2-5(a-2b)3+(a-2b)2 =+ =(3-5)(a-2b)3+(a-2b)2. =-2+(a-2b)2. $$1.字母可以表示　 　.  2.用字母表示数,能把　 　和　 　一般而又简明地表达出来,为研究和叙述问题带来方便.  过教材　要点概览 1　认识代数式 第1课时　用字母表示数 第三章　整式及其加减 任何数 数量 数量关系 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　用字母表示数 (a-am%) [或a(1-m%)] 2 [变式1]请仔细分析下列赋予4a实际意义的例子,其中错误的是( ) A.若每千克葡萄的价格是4元,则4a表示买a千克葡萄的金额 B.若a表示一个正方形的边长,则4a表示这个正方形的周长 C.若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字,则4a表示这个两位数 D.某款凉鞋的进价为a元,销售这款凉鞋盈利100%,则两双的销售额为 4a元 C 3 点睛 用字母表示数的特点: (1)任意性:用字母可表示任意数或式子; (2)限制性:字母的取值应使具体式子有意义; (3)确定性:字母取值一旦确定,式子的值也随之确定; (4)一般性:用字母表示数能更准确地反映事物的规律,更具一般性. 4 探究点二　用字母表示图形规律 [典例2] 用棋子摆出下列一组图形: ① ② ③ 按照这种规律摆下去,第n个图形用的棋子个数为　 　.  3n+3 5 [变式2]如图所示,用火柴棒按下面的方式搭图形,若第n个图形由2 025根火柴棒组成,则n的值为( ) A.1 010 B.1 011 C.1 012 D.1 013 B 6 [变式3]小红用黑、白两种方块按如图所示的规律拼图: (1)观察图形并填表. 图序 ① ② ③ … 图中黑方块的个数 4 　   　  … 解:(1)6　8 7 (2)图序为⑩的图中有　　 　个黑方块;图序为 的图中有　　 　个黑方块.  (3)小红拼成的图序为⑧的图中,有多少个白方块? 解:(2)22　(2n+2) 8 谢谢观赏！ 9 [典例1] (1)小亮跑步的速度是a m/s,小莉跑步的速度是小亮的,则小莉跑步的速度是 　m/s;  (2)如果m公顷麦田产小麦n kg,那么a公顷麦田产小麦 　kg;  (3)某种品牌的微波炉原来每台的出厂价是a元,现改进生产工艺,降低了成本,每台出厂价降低了m%,则现在每台的出厂价为　 　元.  a (3)图序为①的图中有5个白方块; 图序为②的图中有5+3=8(个)白方块; 图序为③的图中有5+3+3=11(个)白方块; …. 故图序为的图中有5+3(n-1)=(3n+2)(个)白方块, 故图序为⑧的图中有3×8+2=26(个)白方块. $$ 1.单项式的相关概念 过教材　要点概览 第4课时　整式 乘积 (2)系数:单项式中的　　 　叫作这个单项式的系数.  (3)次数:一个单项式中,所有字母的　 　叫作这个单项式的 次数. 数字因数 指数和 初中五四制练案·数学·LJ·六上 2.多项式的相关概念 (1)定义:几个单项式的　 　叫作多项式.  (2)项:在多项式中,每个单项式叫作多项式的项,其中不含字母的项叫作 　 　.  3.单项式和多项式统称　 　.  和 常数项 整式 2 精讲练　新知探究 探究点一　单项式及其有关概念 [典例1] 写出下列各单项式的系数和次数: 解:(1)3xy的系数是3,次数是2. (2)-y的系数是-1,次数是1. (3)23x7y2z的系数是8,次数是10. 3 D 4 点睛 (1)单项式的系数包括它前面的性质符号,有“-”时,一定不要漏 掉“-”. (2)当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写,但“-1”的符号“-”不能省略,也不能认为它们不存在或为0. (3)π是数字,不是字母. (4)单项式的次数只与字母的指数有关,与系数的指数无关. 5 探究点二　多项式及其有关概念 6 [变式2]多项式2x2y+3xy3-5共有多少项?各项分别是什么?常数项是什么? 解:多项式2x2y+3xy3-5共有3项, 分别是2x2y,3xy3,-5. 常数项是-5. 7 点睛 (1)多项式的每一项包含前面的性质符号. 8 探究点三　整式的概念 9 谢谢观赏！ 10 (1)定义:像5ab,5abc,b2等,都是数与字母的　 　,这样的代数式叫作单项式.单独一个数或一个字母也是单项式.  (1)3xy; (2)-y; (3)23x7y2z; (4)-; (5)-πx2y3z. (4)-的系数是-,次数是4. (5)-πx2y3z的系数是-π,次数是6. [变式1]下列各组单项式中,次数相同的是( ) A.3ab与-4xy2 B.3π与a C.-x2y2与xy D.a3与xy2 [典例2] 写出多项式-5x2a+1y2-x3y3+x4y各项的系数和次数. 解:-5x2a+1y2的系数是-5,次数是2a+3; -x3y3的系数是-,次数是6; x4y的系数是,次数是5. (2)多项式由单项式组成,若一个代数式中有不是单项式的式子,则该代数式不是多项式,如+不是多项式. [典例3] 下列代数式中,哪些是整式? ①x2+y2;②-x;③;④6xy+1;⑤;⑥0;⑦. 解:①x2+y2是整式;②-x是整式; ③是整式;④6xy+1是整式; ⑥0是整式. $$1.多项式中,如果有同类项,应先通过　 　进行化简,然后再求值,这样可以使计算简便.  2.合并同类项后的多项式中,含有几项,就叫作几项式,　 　 . 的次数,叫作多项式的次数.  过教材　要点概览 第2课时　多项式的化简求值 合并同类项 次数最高的项 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　化简求值 [典例1] (2023济南期中)先化简,再求值: 2 3 [变式2]已知单项式5xm+5ym与单项式4y2n-2x11的和仍为单项式,求-m2-4n+ 2m2+3n的值. 解:根据题意,得m+5=11,m=2n-2, 解得m=6,n=4, 所以-m2-4n+2m2+3n=m2-n=62-4=36-4=32. 4 点睛 合并同类项只是改变式子的形式,不改变代数式的值,先化简再代入可以使运算简便. 5 探究点二　多项式的次数 6 [变式3]若多项式(m-2)x2y3-π2xyn-1+2xy+1是四次三项式,则m-n=　 　. -2 点睛 (1)多项式中,次数最高的项的次数,叫作这个多项式的次数. (2)多项式通常以它的次数和项数来命名,称几次几项式,最高次项的次数是几,就是几次式,项数是几,就是几项式. 7 谢谢观赏！ 8 3a2-b-a2+2b+b-a2,其中a=-2,b=-. 解:3a2-b-a2+2b+b-a2 =(3-1-1)a2+(-1+2+1)b =a2+2b, 当a=-2,b=-时, 原式=(-2)2+2×(-)=4-1=3. [变式1]已知a2xb3y与3a4b6是同类项,求3y3-4x3y-4y3+2x3y的值. 解:因为a2xb3y与3a4b6是同类项, 所以2x=4,3y=6,所以x=2,y=2. 3y3-4x3y-4y3+2x3y =+ =-y3-2x3y. 当x=2,y=2时, 原式=-23-2×23×2=-40. [典例2] 已知多项式xm+1y2+xy-4x3+1是六次多项式,单项式x2ny5-m与该多项式的次数相同,求(-m)3+2n的值. 解:因为多项式xm+1y2+xy-4x3+1是六次多项式,单项式x2ny5-m与该多项式的次数相同, 所以m+1+2=6,2n+5-m=6, 解得m=3,n=2, 所以(-m)3+2n=-27+4=-23. $$ 过教材　要点概览 第4课时　整式的加减 1.整式加减的实质是“去括号”和“合并同类项”法则的综合运用,一般步骤是:如果遇到括号要先　 　,再　 　.  2.整式的化简求值中,注意运算律与去括号法则的应用,去括号时,要用系数乘括号中的每一项,不要漏乘. 去括号 合并同类项 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　整式的加减 [典例1]计算: (1)5xy-2y2-3xy-4y2; 解:(1)5xy-2y2-3xy-4y2 =5xy-3xy-2y2-4y2 =2xy-6y2. 2 (2)4-(3-x+2x2)-(2x-x2+x3). 解:(2)4-(3-x+2x2)-(2x-x2+x3) =4-3+x-2x2-2x+x2-x3 =-x3-2x2+x2+x-2x+4-3 =-x3-x2-x+1. 3 [变式1]已知A=x2-2x,B=-x+1,C=x2-x+1,求A+B-2C的值. 解:因为A=x2-2x,B=-x+1, C=x2-x+1, 所以A+B-2C =(x2-2x)+(-x+1)-2(x2-x+1) =x2-2x-x+1-2x2+2x-2 =-x2-x-1. 4 点睛 解决整式加减问题的一般步骤: (1)根据题意,列出整式加减的代数式; (2)去括号; (3)合并同类项,得出结果. 5 6 [变式2](2024高青期末)先化简,再求值: 已知|a+2|+(b-1)2=0,求(4a2b+2ab+2)-[3-2(ab-2a2b)]的值. 解:因为|a+2|+(b-1)2=0, 所以a=-2,b=1. (4a2b+2ab+2)-[3-2(ab-2a2b)] =4a2b+2ab+2-(3-2ab+4a2b) =4a2b+2ab+2-3+2ab-4a2b=4ab-1, 当a=-2,b=1时, 原式=4×(-2)×1-1=-9. 7 点睛 求整式的值时,一般要先化简,再把给定字母的值代入计算,得出整式的值,一般不把数值直接代入整式中计算. 8 谢谢观赏！ 9 解:(-x2+3xy-2y2)-2(-x2+4xy-y2) =-x2+3xy-2y2+x2-8xy+3y2 =y2-5xy, 当x=3,y=-2时, 原式=(-2)2-5×3×(-2) =4+30=34. 探究点二　整式的化简求值 [典例2] 先化简,再求值: (-x2+3xy-2y2)-2(-x2+4xy-y2),其中x=3,y=-2. $$ 过教材　要点概览 ★　问题解决策略:归纳 1.归纳 即从几种　 　情形出发,进而找到一般规律的过程.  2.运用归纳策略寻找规律 在运用归纳策略寻找规律时,要先在若干简单情形中寻找相应的规律.初步发现规律后,可以通过更多的情形验证,再考虑　 　情况.最后, 试着给出合理的解释,并用数学语言简洁地表达规律.  特殊 一般 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点　用归纳的策略解决问题 [典例] (2024日照期末改编)如图所示,将图①中的正方形剪开得到图 ②,图②中共有4个正方形;将图②中一个正方形剪开得到图③,图③中共有7个正方形;将图③中一个较小正方形剪开得到图④,图④中共有10个正方形;….按照这个规律剪下去. 2 (1)根据图中的规律补全表格: 解:(1)13　16 图形序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 正方形个数 1 4 7 10 　  　  3 (2)第n个图形中有多少个正方形? (3)当n=674时,图形中有多少个正方形? 解:(2)第1个图形中有1个正方形,即1=3×1-2, 第2个图形中有4个正方形,即4=3×2-2, 第3个图形中有7个正方形,即7=3×3-2, 第4个图形中有10个正方形,即10=3×4-2, …, 所以第n个图形中有(3n-2)个正方形. (3)当n=674时, 图形中有3×674-2=2 020(个)正方形. 4 [变式](2024高青期末)用火柴棒按图中的方式搭图形. 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 5 9 13 a b 按上述信息填空: (1)a=　　　　,b=　　　　;  解:(1)17　21 5 (2)按照这种方式搭下去,搭第n个图形需要火柴棒的根数为　　 　　; (用含n的代数式来表示)  (3)按照这种方式搭下去,用(2)中的代数式求第2 023个图形需要的火柴棒根数. 解:(2)4n+1 (3)当n=2 023时, 4n+1=4×2 023+1=8 093. 即第2 023个图形需要的火柴棒根数为8 093根. 6 点睛 数学归纳法是一种推理方法,称为归纳推理,它可以为我们提出猜想,为论证提供基础和依据.归纳也是一种研究方法,归纳是一种创造性的探索式思维方法,能开发智力,拓宽思路,引出猜想,它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用. 7 谢谢观赏！ 8 $$一般地,用　 　代替代数式中的字母,计算所得的结果叫作代数式的值.  过教材　要点概览 第3课时　代数式的值 数值 初中五四制练案·数学·LJ·六上 精讲练　新知探究 探究点一　求代数式的值 2 [变式1]如果某船行驶第1千米的运费是25元,以后每增加1千米,运费增加5元.现在某人租船要行驶s千米(s为整数,s>1). (1)所需运费表示为　　　　;  (2)当s为6千米时,运费是多少? 解:(1)(20+5s)元 (2)当s=6千米时, 运费为20+5×6=50(元). 3 点睛 代数式求值的两种常见类型: (1)直接代入求值 用具体数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算顺序计算. (2)整体代入求值 根据代数式的特点,整体代入求得代数式的值.一般分直接整体代入与变形后整体代入两种. 4 探究点二　数值转换机问题 [典例2] 如图所示是一个计算程序,程序规定从左至右逐步计算,若输入a的值为1,则输出的b的值为( ) A.-5 B.5 C.7 D.-3 A 5 [变式2]按如图所示的运算程序,能使输出的y值为3的是( ) A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4 D 6 探究点三　用代数式表示变化的规律 [典例3] 填写下表. m 1 2 3 4 5 6 6m+8 2m2+1 解:填表如下: m 1 2 3 4 5 6 6m+8 14 20 26 32 38 44 2m2+1 3 9 19 33 51 73 7 (1)当m>0时,随着m值的逐渐变大,两个代数式的值如何变化? (2)哪个代数式的值先超过200? 解:(1)当m>0时,随着m值的逐渐变大,两个代数式的值变大. (2)当m=10时,6m+8=68,2m2+1=201, 所以代数式2m2+1的值先超过200. 8 谢谢观赏！ 9 [典例1] 已知x=-,y=-2,求代数式4x2-6xy-3y2的值. 解:当x=-,y=-2时, 原式=4×-6×(-)×(-2)-3×(-2)2 =9-18-12 =-21. $$