1.2.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 教案-2024-2025学年高一上学期数学北师大版必修第一册

《2.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定》教案 - 2024-2025学年北师大版2019高中数学必修第一册 一、教学目标 1. 学生能够准确理解全称量词命题和存在量词命题的否定的概念，掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题这一转换规律。 2. 学生能够熟练运用“变量词，否结论”的口诀对全称量词命题和存在量词命题进行否定，并能准确判断其否定命题的真假。 3. 学生能够运用原命题与命题的否定的真假性相反这一性质，解决相关的数学问题，如判断命题真假和求解参数取值范围。 4. 通过对命题否定的学习，培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学态度，提升学生的数学抽象和逻辑推理核心素养。 二、教学重难点 1. 教学重点 （1）理解全称量词命题和存在量词命题的否定的概念和转换规律。 （2）掌握“变量词，否结论”的方法，能正确写出全称量词命题和存在量词命题的否定，并判断其真假。 （3）运用原命题与命题的否定的真假性相反的性质解决相关数学问题。 2. 教学难点 （1）理解全称量词命题和存在量词命题否定的逻辑依据。 （2）在实际问题中准确判断命题类型并写出其否定，以及根据命题真假性求解参数取值范围。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合 四、教学过程 （一）导入课题（5分钟） 教师行为：提出问题“求证：三角形至少有一个内角小于等于60°”，引导学生思考如何证明该命题。 学生行为：思考问题，尝试从正面进行证明，发现直接证明比较麻烦。 所需工具：黑板、粉笔 教师引导：我们可以考虑把命题转换成“在三角形的三个内角中，存在一个内角小于等于60°”，然后从反面入手，即证明“在三角形的三个内角中，任意的内角都大于60°”为假（利用三角形内角和为180°证明），从而得到原命题为真。通过这个例子引出本节课要学习的全称量词命题与存在量词命题的否定的内容。 （二）新知讲授（15分钟） 1. 全称量词命题的否定 教师行为：讲解全称量词命题的否定的概念，一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中找到一个元素，使命题的结论不正确，即全称量词命题不成立。全称量词命题的否定是存在量词命题。对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∃x∈M，x不具有性质p(x)。 学生行为：认真听讲，理解全称量词命题否定的概念和表示方法。 所需工具：黑板、粉笔 举例说明：以“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”为例，它是一个全称量词命题，其否定为“存在一个一元二次函数的图象不与x轴相交”。 2. 存在量词命题的否定 教师行为：讲解存在量词命题的否定的概念，一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立。存在量词命题的否定是全称量词命题。对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∀x∈M，x不具有性质p(x)。 学生行为：认真听讲，理解存在量词命题否定的概念和表示方法。 所需工具：黑板、粉笔 举例说明：以“方程x² - 8x + 15 = 0有一个根为偶数”为例，它是一个存在量词命题，其否定为“方程x² - 8x + 15 = 0的所有根都不是偶数”。 3. 命题的否定的变换口诀 教师行为：总结命题的否定的变换口诀“变量词，否结论”，并强调这是写出命题否定的关键方法。 学生行为：记录口诀，理解其含义。 所需工具：黑板、粉笔 举例说明：对于命题“∀x∈R，x² = x”，根据口诀，变量词将“∀”变为“∃”，否结论将“x² = x”变为“x² ≠ x”，所以其否定为“∃x∈R，x² ≠ x”。 4. 常见量词的否定词 教师行为：展示常见量词的否定词表格，如“所有的”否定为“存在有”，“任意的”否定为“某些个”等，详细讲解每个量词与其否定词的对应关系。 学生行为：观看表格，理解常见量词否定词的含义，并记录下来。 所需工具：黑板、粉笔 举例说明：命题“所有的矩形都是平行四边形”，“所有的”否定为“存在有”，“是”否定为“不是”，所以其否定为“存在有一个矩形不是平行四边形”。 5. 原命题与命题的否定的真假性 教师行为：讲解原命题与命题的否定的真假性相反这一性质，并说明其应用思路。一是若原命题的真假性不好判断，可以先判断命题的否定的真假，然后再根据原命题与命题的否定的真假性相反，得出原命题的真假；二是若已知条件给出命题为假，可以先求命题的否定，然后根据原命题与命题的否定的真假性相反，得出命题的否定为真，从而求出题目所求的量。 学生行为：认真听讲，理解原命题与命题否定真假性的关系及应用思路。 所需工具：黑板、粉笔 举例说明： （1）试判断命题“∀x≠2，都有x²≠4”的真假。其命题的否定为“∃x₀≠2，x₀² = 4”，显然命题的否定为真，所以原命题为假。 （2）已知集合A = {x|x² + ax + 1 = 0}，若命题“∀x∈R，都有集合A = ∅”为假命题，求a的取值范围。其命题的否定为“∃x₀∈R，使得A ≠ ∅”，因为原命题为假，所以其命题的否定为真，所以，Δ≥0，所以a² - 4≥0，所以a≥2，或a≤ - 2。 （三）典例剖析（12分钟） 1. 例6：写出下列全称量词命题的否定，并判断真假 （1）任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； （2）∀x∈R，x² = x。 教师行为：在黑板上写出题目，引导学生分析命题类型，根据所学知识写出命题的否定，并判断真假。 学生行为：思考题目，尝试写出命题的否定并判断真假，然后与同桌交流讨论。 所需工具：黑板、粉笔 教师讲解： （1）该命题是全称量词命题，其否定为“存在一个一元二次函数的图象不与x轴相交”。例如二次函数y = x² + 1，其判别式Δ = 0 - 4 = - 4 < 0，图象与x轴不相交，所以该否定命题为真。 （2）该命题的否定为“∃x∈R，x² ≠ x”。当x = 2时，2² = 4 ≠ 2，所以该否定命题为真。 2. 例7：写出下列存在量词命题的否定，并判断真假 （1）方程x² - 8x + 15 = 0有一个根为偶数； （2）∃x∈R，使x² + x + 1≤0。 教师行为：写出题目，让学生独立完成，然后请学生上台讲解自己的解题思路和答案。 学生行为：独立完成题目，上台讲解解题过程。 所需工具：黑板、粉笔 教师点评： （1）该命题的否定为“方程x² - 8x + 15 = 0的所有根都不是偶数”。解方程x² - 8x + 15 = 0，即(x - 3)(x - 5) = 0，得x = 3或x = 5，确实所有根都不是偶数，所以该否定命题为真。 （2）该命题的否定为“∀x∈R，x² + x + 1 > 0”。对于二次函数y = x² + x + 1，其判别式Δ = 1² - 4×1×1 = - 3 < 0，图象开口向上，所以对于任意x∈R，y > 0，即该否定命题为真。 （四）课堂练习（8分钟） 练习1：写出下列命题的否定，并判断真假 （1）对于任意一个实数x，都有x² > x； （2）三个连续整数中，至少有一个数是3的倍数； （3）所有的矩形都是平行四边形； （4）所有的平行四边形都是菱形； （5）∀x∈R，有3x² + 2x + 1∈R； （6）∃锐角α，使sinα = cosα。 教师行为：布置练习题目，巡视学生做题情况，及时给予指导。 学生行为：认真完成练习，遇到问题向教师或同学请教。 所需工具：黑板、粉笔、课堂练习本 教师讲解： （1）命题的否定为“存在一个实数x，使得x² ≤ x”。当x = 0或x = 1时，x² = x，所以该否定命题为真。 （2）命题的否定为“三个连续整数中，所有的数都不是3的倍数”。例如1、2、3这三个连续整数中，3是3的倍数，所以该否定命题为假。 （3）命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，因为矩形是特殊的平行四边形，所以该否定命题为假。 （4）命题的否定为“存在一个平行四边形不是菱形”，普通的平行四边形邻边不相等，不是菱形，所以该否定命题为真。 （5）命题的否定为“∃x∈R，使得3x² + 2x + 1∉R”，因为对于任意实数x，3x² + 2x + 1都是实数，所以该否定命题为假。 （6）命题的否定为“∀锐角α，sinα ≠ cosα”。当α = 45°时，sinα = cosα = √2/2，所以该否定命题为假。 （五）课堂小结（2分钟） 教师行为：引导学生回顾本节课所学内容，包括全称量词命题和存在量词命题的否定的概念、方法、常见量词的否定词以及原命题与命题否定的真假性关系等。 学生行为：跟随教师的引导进行回顾和总结，提出自己还存在疑问的地方。 所需工具：黑板、粉笔 教师总结：强调重点内容和易错点，鼓励学生在课后继续练习巩固。 五、板书设计 1. 全称量词命题的否定 概念：要否定一个全称量词命题，只需在给定集合中找一个元素使结论不成立 表示：∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，¬p(x) 2. 存在量词命题的否定 概念：要否定一个存在量词命题，需判定给定集合中每一个元素均不能使结论成立 表示：∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，¬p(x) 3. 命题的否定的变换口诀：变量词，否结论 4. 常见量词的否定词 所有的 - 存在有 任意的 - 某些个 …… 5. 原命题与命题的否定的真假性：相反 6. 例题讲解 例6 例7 练习1 六、作业布置 1. 书面作业：完成教材上相关练习题。 2. 思考作业：思考生活中还有哪些可以用全称量词命题和存在量词命题描述的现象，并写出其否定。 七、教学反思 通过本节课的教学，学生对全称量词命题和存在量词命题的否定有了一定的理解，但在实际应用中还存在一些问题，如对命题类型的判断不准确、否定词使用不当等。在今后的教学中，应加强练习，让学生在实践中不断提高运用能力。同时，要注重引导学生理解命题否定的逻辑依据，培养学生的逻辑思维能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$