1.2.2.1 全称量词与存在量词 教案-2024-2025学年高一上学期数学北师大版必修第一册

《1.2.2.1全称量词与存在量词》教案 - 2024-2025学年北师大版2019高中数学必修第一册 一、教学目标 1. 会用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容。 2. 理解全称量词命题和存在量词命题的概念，掌握这两类命题的真假判断方法。 3. 通过从实际情境中抽象出全称量词命题和存在量词命题的过程，培养学生的数学抽象素养。 4. 在判断全称量词命题和存在量词命题真假的过程中，提升逻辑推理能力。 5. 体会数学语言的准确性和严谨性，培养学生一丝不苟的科学精神。 二、教学重难点 1. 教学重点 理解全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题的概念。 掌握全称量词命题和存在量词命题真假的判断方法。 2. 教学难点 对全称量词和存在量词的理解。 能正确判断全称量词命题和存在量词命题的真假。 三、教学方法 讲授法、讨论法、练习法相结合。 四、教学过程 （一）导入（5分钟） 1. 教师行为：讲述著名的“罗素理发师悖论”问题。在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，问学生：“你们说他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于‘不给自己刮脸的人’，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于‘给自己刮脸的人’，他就不该给自己刮脸。”引导学生思考这个悖论是由一个关键的词引发的，让学生尝试找出这个词。 2. 学生行为：认真倾听故事，积极思考教师提出的问题，尝试找出引发悖论的关键的词。 3. 设计意图：通过有趣的悖论故事，激发学生的学习兴趣和好奇心，自然地引出本节课要学习的与用词相关的内容——全称量词与存在量词。 （二）新授（20分钟） 1. 全称量词与全称量词命题（10分钟） 教师行为：给出以下命题让学生观察：(1)所有正方形都是矩形；(2)每一个有理数都能写成分数的形式；(3)对于任意的正实数，y的值随x值的增大而增大；(4)空集是任何集合的子集；(5)一切三角形的内角和都等于180°。引导学生分析这些命题中“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这些词的含义，指出它们都是在指定范围内表示整体或全部的含义。接着给出全称量词与全称量词命题的定义：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题，在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“任意的”。结合前面的命题，详细说明每个命题为何是全称量词命题以及对应的全称量词是什么。 学生行为：仔细观察教师给出的命题，思考这些命题中特定词语的含义。认真理解全称量词与全称量词命题的定义，跟随教师的讲解，分析每个命题与定义的对应关系。 举例解析：以命题“所有正方形都是矩形”为例，这里的“所有”是全称量词，该命题是在正方形这个集合中，断言所有的正方形都具有“是矩形”这一性质，所以它是全称量词命题。再如“每一个有理数都能写成分数的形式”，“每一个”是全称量词，在有理数这个集合中，表明所有有理数都有能写成分数形式这一性质，属于全称量词命题。 设计意图：通过具体的命题实例，让学生直观地感受全称量词的含义，进而准确理解全称量词命题的概念，为后续的学习打下基础。 2. 存在量词与存在量词命题（5分钟） 教师行为：给出另外一组命题：(1)有些三角形是直角三角形；(2)在素数中，有一个是偶数；(3)存在实数x，使得x² = 2。引导学生分析这些命题中“有些”“有一个”“存在”的含义，指出它们都有表示个别或者一部分的含义。然后给出存在量词与存在量词命题的定义：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题。在命题中的“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”。结合这些命题，说明每个命题为何是存在量词命题以及对应的存在量词是什么。 学生行为：观察新给出的命题，思考其中特定词语的含义。理解存在量词与存在量词命题的定义，分析每个命题与定义的对应关系。 举例解析：对于命题“有些三角形是直角三角形”，“有些”是存在量词，它是在三角形这个集合中，断言存在一部分三角形具有“是直角三角形”这一性质，所以是存在量词命题。又如“存在实数x，使得x² = 2”，“存在”是存在量词，在实数集合中，表明存在个别实数满足x² = 2这一性质，属于存在量词命题。 设计意图：通过与全称量词命题对比，给出存在量词命题的相关概念，让学生清晰地分辨两种不同类型的命题，加深对存在量词和存在量词命题的理解。 3. 全称量词命题、存在量词命题真假的判断方法（5分钟） 教师行为：详细讲解全称量词命题和存在量词命题真假的判断方法。对于全称量词命题“∀x∈M，p(x)成立”，指出它是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题。要判断全称量词命题为假命题，只需要在集合M中找到一个元素x₀，使得p(x₀)不成立即可；要判断全称量词命题为真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立。简单地说，判断全称量词命题真假的步骤为“先找反例后证明”。对于存在量词命题“∃x∈M，使p(x)成立”，它是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题。要判断存在量词命题为真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使得p(x)成立即可；要判断存在量词命题为假命题，必须说明集合M中不存在元素x，使得p(x)成立。简单地说，判断存在量词命题真假的步骤为“先找正例后证明”。结合具体例子进行说明。 学生行为：认真倾听教师讲解判断方法，理解判断全称量词命题和存在量词命题真假的思路和步骤。跟随教师的例子，思考如何运用判断方法进行判断。 举例解析：对于全称量词命题“所有的素数都是奇数”，要判断其真假，先尝试找反例。因为2是素数，但2不是奇数，所以找到了反例，该全称量词命题为假命题。对于存在量词命题“存在一个无理数x，使x²也是无理数”，可以找到正例，如√2是无理数，(√2)² = 2也是无理数，所以该存在量词命题为真命题。 设计意图：让学生掌握判断两类命题真假的方法，提升学生的逻辑推理能力和对命题的分析判断能力。 （三）练习（10分钟） 1. 教师行为：给出以下练习题。 练习1：判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断命题的真假：（1）每一个多边形的外角和都是360°；（2）所有的素数都是奇数；（3）对任意的无理数x，x²也是无理数；（4）∀x∈R，x都有平方根；（5）∀x∈R，有|x|≥0。 练习2：判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词，并判断命题的真假：（1）实数都能写成小数；（2）在实数集内，有些一元二次方程无解；（3）在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；（4）存在一个自然数n，使代数式n² - 3n + 6的值是负数。 教师巡视学生的做题情况，及时给予指导和帮助。 2. 学生行为：独立完成练习题，运用所学的全称量词命题、存在量词命题的概念以及真假判断方法进行判断和解答。对于遇到的问题，积极思考或向教师和同学请教。 3. 互动素材：在学生完成练习后，组织学生进行小组讨论，让学生在小组内交流自己的答案和思路，互相检查和纠正。然后每个小组选派代表，在全班汇报小组讨论的结果，其他小组可以进行质疑和补充。 4. 解析步骤： 练习1解析： （1）“每一个多边形的外角和都是360°”，“每一个”是全称量词。因为任意多边形的外角和都固定为360°，所以该命题是真命题。 （2）“所有的素数都是奇数”，“所有”是全称量词。由于2是素数但不是奇数，存在反例，所以该命题是假命题。 （3）“对任意的无理数x，x²也是无理数”，“任意”是全称量词。例如√2是无理数，但(√2)² = 2是有理数，存在反例，所以该命题是假命题。 （4）“∀x∈R，x都有平方根”，“∀”是全称量词。当x为负数时，在实数范围内没有平方根，存在反例，所以该命题是假命题。 （5）“∀x∈R，有|x|≥0”，“∀”是全称量词。因为对于任意实数x，绝对值都大于等于0，所以该命题是真命题。 练习2解析： （1）“实数都能写成小数”可表述为“所有实数都能写成小数”，不是存在量词命题，是全称量词命题，“所有”（省略）是全称量词。因为实数包括有理数和无理数，有理数可以写成有限小数或无限循环小数，无理数可以写成无限不循环小数，所以该命题是真命题。 （2）“在实数集内，有些一元二次方程无解”，“有些”是存在量词。对于一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0），当判别式Δ = b² - 4ac＜0时，方程无解，所以存在这样的一元二次方程，该命题是真命题。 （3）“在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直”，“存在”是存在量词。根据平面几何知识，在平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以该命题是真命题。 （4）“存在一个自然数n，使代数式n² - 3n + 6的值是负数”，“存在”是存在量词。对于二次函数y = n² - 3n + 6，其判别式Δ = (-3)² - 4×6 = 9 - 24 = -15＜0，且二次项系数1＞0，函数图象开口向上，所以对于任意自然数n，n² - 3n + 6＞0，不存在使代数式值为负数的自然数n，该命题是假命题。 5. 设计意图：通过练习题，让学生巩固所学的全称量词命题和存在量词命题的概念以及真假判断方法，提高学生运用知识解决问题的能力。小组讨论和全班汇报的形式，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队协作精神和表达能力。 （四）总结（3分钟） 1. 教师行为：引导学生回顾本节课的主要内容，包括全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题的概念，以及这两类命题真假的判断方法。强调量词在数学中的重要性，指出熟练地掌握量词的用法及含量词的命题真假性判断，可以帮助我们准确地理解、描述数学对象。 2. 学生行为：跟随教师的引导，回顾本节课所学内容，认真思考教师强调的重点知识。 3. 设计意图：帮助学生梳理本节课的知识体系，加深对重点知识的记忆和理解，使学生对所学内容有一个整体的认识。 （五）作业（2分钟） 1. 教师行为：布置课后作业：下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？判断命题真假，并说明理由。(1)存在x∈Q，使2x - x³ = 0；(2)存在x∈R，使x² + x + 1 = 0；(3)对任意的实数a，b，a² + b² ≥ 2ab；(4)任意x∈R，y∈R，x² + |y|＞0。 2. 学生行为：记录教师布置的作业内容。 3. 设计意图：通过课后作业，让学生进一步巩固课堂所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力，同时教师可以通过批改作业了解学生对知识的掌握情况，以便进行有针对性的辅导。 五、板书设计 1. 全称量词与全称量词命题 全称量词：所有、每一个、任意、任何、一切（∀） 全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题 举例：所有正方形都是矩形 2. 存在量词与存在量词命题 存在量词：有些、有一个、存在（∃） 存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题 举例：有些三角形是直角三角形 3. 命题真假判断方法 全称量词命题：先找反例后证明 存在量词命题：先找正例后证明 六、教学反思 在教学过程中，通过有趣的悖论故事导入，成功吸引了学生的注意力，激发了学生的学习兴趣。在新授环节，结合具体的命题实例讲解全称量词命题和存在量词命题的概念以及真假判断方法，学生能够较好地理解。练习环节的小组讨论和全班汇报形式，促进了学生之间的交流与合作，但在讨论过程中，部分小组的讨论效果不够理想，需要在今后的教学中加强引导。在今后的教学中，还可以增加更多贴近生活的实例，让学生更好地体会量词在实际生活中的应用。同时，要更加关注学生的个体差异，对于学习困难的学生给予更多的帮助和指导。 学科网（北京）股份有限公司 $$