精品解析：贵州省贵阳市南明区绿苑中学2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

贵阳市南明区绿苑中学2024-2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 1 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 从﹣2，3，4，5中随机选取一个数作为二次函数中a的值，则抛物线开口向下的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 4. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知是方程两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 如图，在中，，，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，切于点，线段交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ） A 5cm B. 10cm C. 20cm D. 5πcm 11. 如图，已知与是位似图形，，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，则下列说法错误的是（ ） A. 直线一定经过点O B. C. B为的中点 D. 12. 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件___________． 14. 如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_____． 15. 如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是___________． 16. 当时，函数的最大值为3，则的值为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是1个单位长度）建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为． （1）以坐标原点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到，作出； （2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将放大，放大后得到作出，并写出点C的对应点的坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）当时，对于x的每一个值，函数的值均大于反比例函数的值，求b的取值范围． 20. 某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有2名男生，2名女生报名参加演讲比赛． （1）若从报名4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是___________； （2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生都是女生的概率． 21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E， 且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长． 22. 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？ 23. 如图，数学课外实践活动小组要测量某路灯顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下． 测量项目 测量数据 从处测得路灯顶部的仰角 从处测得路灯顶部的仰角 测角仪到地面的距离 两次测量时测角仪之间的水平距离 求路灯顶部到地面的距离．（结果精确到，参考数据：， ） 24. 如图，是的直径，是的两条弦，且与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求弦长； （3）在（2）的条件下，延长至点，使，连接．求证：是的切线． 25. 如图，过原点的抛物线与轴交于另一点，抛物线顶点的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，连接，，求当面积最大时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵阳市南明区绿苑中学2024-2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握是解题关键 根据计算即可. 【详解】解：原式. 故选：D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A：不是中心对称图形，故该选项不合题意； B：是中心对称图形，故该选项符合题意； C：不是中心对称图形，故该选项不合题意； D：不是中心对称图形，故该选项不合题意．   故选：B ． 3. 从﹣2，3，4，5中随机选取一个数作为二次函数中a值，则抛物线开口向下的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数开口方向向下时得到，再根据概率计算公式计算即可； 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∴在﹣2，3，4，5中符合条件的是， ∴概率是． 故选C． 【点睛】本题主要考查了概率公式和二次函数的图像性质，准确计算是解题的关键． 4. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体几何的三视图，理解并掌握三视图的特点是解题的关键． 根据立体几何的特点，确定三视图，注意：立体几何中能看到的线用实线，存在但看不到的线用虚线表示，由此即可求解． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形， 即看到的图形为， 故选：C． 5. 已知是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，，，则的长为（　　） A 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查平行线分线段成比例，理解题意，结合图形求解是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 7. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程无实数根．根据方程的系数结合根的判别式，得出关于的一元一次不等式，并解不等式得出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． 故选：B． 8. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故选：A． 9. 如图，是的直径，切于点，线段交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握相关定理的应用是解题的关键． 首先根据是的直径，切于点，可求得的度数，然后根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，切于点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴．   故选：A ． 10. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ） A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 5πcm 【答案】B 【解析】 【分析】圆锥的底面周长=扇形的弧长，据此列等式求出r的值． 【详解】解： ，解得r=10c． 故选：B． 【点睛】本题考查圆锥的有关计算． 11. 如图，已知与是位似图形，，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，则下列说法错误的是（ ） A. 直线一定经过点O B. C. B为的中点 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的性质即可进行解答． 【详解】解：A、∵位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，∴直线一定经过点O，故A正确，不符合题意； B、∵与是位似图形，∴，故B错误，符合题意； C、∵与是位似图形，，∴，即B为的中点，故C正确，不符合题意； D、∵， ∴，又， ∴， ∴则， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，位似图形对应边成比例，对应角相等，面积比等于位似比的平方． 12. 抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①由对称轴即可判断； ②将c≤3a转化为时所对应的函数值，由对称性转化为时所对应的函数值，即可判断； ③根据图象所体现的最大值即可判断； ④根据图象的最值结合对称轴即可判断． 【详解】①因为对称轴为，所以，即，故①正确； ②由①知，所以时，； 因为抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，所以时， 又因为与关于抛物线的对称轴对称，所以，即，故②错误； ③由图可知y＝ax2+bx+c的最大值为3，所以当ax2+bx+c＝2时有两个不相等的实数根；故③正确； ④由图可知：，即， 又且，所以=， 所以，即，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知以上知识点的应用是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 如图，为的边上一点，要使，请添加一个条件___________． 【答案】（或或） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个角形相似定理的应用．两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角或夹此对应角的两边对应成比例即可． 【详解】解：要使相似，已知，还需具备的一个条件是或或． 故答案为∶ （或或） 14. 如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上， ∴a==5， ∵PH⊥x轴于H， ∴PH=5，OH=12， ∴tan∠POH=， 故答案为． 15. 如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是___________． 【答案】124°##124度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆心角与圆周角的关系．解题的关键是先根据圆心角的度数求出对应的圆周角的度数，再利用圆内接四边形的对角互补求出的度数． 先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，由的度数求出弧所对的圆周角的度数；再依据圆内接四边形的对角互补，即与互补，求出的度数． 【详解】解：∵四边形内接于 又∵同弧所对的圆周角是圆心角的一半，弧所对的圆心角是，所对的圆周角是 ∴． ∵圆内接四边形的对角互补，即， ∴． 故答案为：． 16. 当时，函数的最大值为3，则的值为______． 【答案】或4##4或 【解析】 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最大值3，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：，， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当或时，， 时，函数的最大值为3 或， 或， 故答案为：或4． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂公式，负整数指数幂，特殊角的三角函数计算，绝对值的化简，公式法解方程，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂公式，负整数指数幂，特殊角的三角函数计算，绝对值的化简，解答即可． （2）根据公式法解方程即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ， ， ． 18. 如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长都是1个单位长度）建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为． （1）以坐标原点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到，作出； （2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将放大，放大后得到作出，并写出点C的对应点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），作图见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、，再顺次连接起来即可． （2）把、、点的横纵坐标够乘以得到、、的坐标，然后描点连线即可． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，即为所求． 点的对应点的坐标为． 【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．位似图形与坐标．也考查了旋转变换． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）当时，对于x的每一个值，函数的值均大于反比例函数的值，求b的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入反比例函数中，得．将代入函数中，得，解得．进而观察函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入中，得． 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 将代入反比例函数中，得． 将代入函数中，得，解得． 根据题意，当时，直线均在反比例函数的图象上方． 结合图象，可得． 20. 某中学决定举办“青春心向党，奋进新征程”主题演讲比赛，该校九年级有2名男生，2名女生报名参加演讲比赛． （1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是___________； （2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生都是女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式、树状图法求概率，解题的关键是正确列出树状图． （1）根据概率公式进行计算即可求解． （2）利用树状图列出所有情况，找出2名学生都是女生的情况，代入即可得到答案； 【小问1详解】 解：从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中2名学生都是女生的结果有2种， 名学生都是女生的概率为． 21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E， 且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长． 【答案】（1）见解析； （2）DE＝6cm 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A=∠C，即可求得∠A=∠EDB，又由公共角∠E=∠E，可证得△ADE∽△DBE； （2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠EDB＝∠C， ∴∠A＝∠EDB， 又∠E＝∠E， ∴△ADE∽△DBE； 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB， 由（1）得△ADE∽△DBE， ∴， ∵DC＝10cm，BE＝18cm， ∴AB＝DC＝10cm，AE＝AB＋ BE ＝28cm， 即 ∴DE＝6cm 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图． 22. 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量（桶）与每桶降价（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？ 【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元 【解析】 【分析】（1）设与之间的函数表达式为，将点、代入一次函数表达式，即可求解； （2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于的一元二次方程，通过解方程即可求解． 【详解】解：（1）设与销售单价之间的函数关系式为：， 将点、代入一次函数表达式得：， 解得：， 故函数的表达式为：； （2）由题意得：， 整理，得． 解得，（舍去）． 所以． 答：这种消毒液每桶实际售价43元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润总利润得出一元二次方程是解题关键． 23. 如图，数学课外实践活动小组要测量某路灯顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下． 测量项目 测量数据 从处测得路灯顶部的仰角 从处测得路灯顶部的仰角 测角仪到地面的距离 两次测量时测角仪之间的水平距离 求路灯顶部到地面的距离．（结果精确到，参考数据：， ） 【答案】路灯顶部到地面的距离约为 【解析】 【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及正确的列方程是解题的关键．延长交于点F，得和，设，根据将用含x的代数式表示出来，根据，将用含x的代数式表示出来，再根据列方程求出x的值，即可求得的长． 【详解】解：连接并延长，交于点． 由题意，得． 设，在中，， ， 在中，， ， 解得， ． 答：路灯顶部到地面的距离约为． 24. 如图，是的直径，是的两条弦，且与交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求弦的长； （3）在（2）的条件下，延长至点，使，连接．求证：是的切线． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键； （1）可证，则由定理可证明结论； （2）连接，根据垂径定理可得，根据全等三角形的性质可得，从而证明是等边三角形，由直角三角形的性质即可求解； （3）根据是等边三角形，可得，得出，即可证明． 【小问1详解】 证明：是的直径， ． ， ； 【小问2详解】 解：连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 25. 如图，过原点的抛物线与轴交于另一点，抛物线顶点的坐标为． （1）求抛物线函数解析式； （2）D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，连接，，求当面积最大时点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确求出函数解析式，是解题的关键． （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出直线的解析式，过点作轴，交于点，设，利用分割法将三角形的面积转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的函数解析式为． 图象过原点， ， 解得． ， 即抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 令，即， 解得， ． 设直线的函数解析式为， 将代入，得 解得 直线的函数解析式为． 过点作轴，交于点， 设，则． ． ． ， ∴当时，有最大值，此时． 当面积最大时点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$