专题6.3 等比数列及其前n项和讲义-2026届高三数学大一轮复习

专题6.3 等比数列及其前n项和 题型1 等比数列通项公式与前n项公式的基本应用 4 题型2 等比数列的判断与证明 6 题型3 等比数列的性质 10 考点1 等比数列项的性质 10 考点2 等比数列前n项和的性质 12 考点3 等比数列奇数项与偶数项的和 15 题型4 等比数列的单调性 16 题型5 等比数列中的最大（小）项 20 题型6 等比数列的实际应用 24 高考真题演练 28 知识点一 等比数列的有关概念 1．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做 等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然 用数学符号语言描述为：在数列中，若(为常数且，则是等比数列. 2.等比中项：如果在与中间插入一个数，使,,成等比数列，那么叫做与的等比中项. 由等比中项的定义可知，. 反之，若，则，即，，成等比数列. 综上，，，成等比数列. 知识点二 等比数列的通项公式与前n项和公式 1．等比数列的通项公式： 2．等比数列的前项和公式： 知识点三 等比数列与指数函数的关系 1．等比数列的图象 等比数列的通项公式，还可以整理为，当且时，等比数列的第项是函数 当时的函数值，即.因此等比数列的图象是函数图象上的一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为，则 条件 单调性 或 为递增数列 或 为递减数列 为常数列，不存在单调性 为摆动数列(所有奇数项同号，所有偶数项同号，但奇数项与偶数项异号)，不存在单调性 知识点四 等比数列的性质 1．等比数列项的性质 若数列是公比为的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质. (1) (2)若，则. 特别地：①若，则; (3)若成等差数列，则成等比数列. (4)数列(为不等于零的常数)仍是公比为的等比数列； (5)在数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (6)在数列中，依次每项的和(或积)构成公比为(或的等比数列. (7)已知且，如果数列是以为公差的等差数列，那么数列是以为公比的等比数列.如果数列是各项均为正且公比为的等比数列，那么数列是以为公差的等差数列 . 2.等比数列前n项和的性质 设等比数列的前项和为，公比为，则利用等比数列的通项公式及前项和公式可推得等比数列的前项和具有以下性质. (1)当时，；当时，. (2). (3)设与分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为，则； 若项数为，则. (4)当时，连续项的和(如)仍组成等比数列(公比为). 说明①当且为偶数时，不是等比数列； ②当，或且为奇数时，是等比数列. 由①②可知，当连续项的和(如)不为零时，性质(4)才成立. 题型1 等比数列通项公式与前n项公式的基本应用 1．（2025·河南·一模）等比数列，，，则公比（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式及已知，列方程求得公比. 【详解】由题设，又，解得. 故选：B 2．（25-26高三上·陕西商洛·期中）设等比数列的前项和为，公比，则（   ） A．4 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列求和公式可直接化简计算得到结果. 【详解】. 故选：B. 3．（25-26高三上·河北石家庄·期中）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A．16 B． C．18 D．20 【答案】A 【分析】利用等差数列基本量方法计算出，再根据等差数列的通项公式可得答案. 【详解】设公差为 ， ，，， 由于 成等比数列，可得：， 即：， 即：， 解得： 或 ， 又因为，所以， 故. 故选：A 4．（25-26高三上·山东聊城·期中）设等比数列前项和为，若，，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．63 【答案】B 【分析】根据已知及等比数列的通项公式求基本量，再由等比数列的前n项和公式求. 【详解】设的公比为，则，可得， 所以，则. 故选：B 5．（25-26高三上·上海·期中）已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，分和两种情况讨论，根据等比数列求和公式得到方程，解得即可. 【详解】设等比数列的公比为， 因为， 当时，则，所以，则，不符合题意； 当时，则，，所以， 所以，即，所以，解得或（舍去）； 综上可得. 故答案为： 6．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，得，进而得，从而有，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为等差数列的前项和为，且， 所以，解得， 又等比数列的首项为，且，所以，解得，所以， 则， 故答案为：. 题型2 等比数列的判断与证明 7．（多选题）（2025高三�全国�专题练习）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（   ） A．若，则，，成等比数列 B．若为等差数列，则为等比数列 C．若，则数列为等比数列 D．若，，，则为等比数列 【答案】BCD 【分析】根据特殊数列法判断A，应用等比数列定义及指数幂的运算判断B,D，应用计算得出，然后根据等比数列定义判断C. 【详解】对于A，当时有，此时，，不成等比数列，故A错误； 对于B，若为等差数列，设其公差为，则此时有， 且，所以数列为等比数列，故B正确； 对于C，若，则， （）， 满足，于是， 则，且，所以数列为等比数列，故C正确； 对于D：因为，所以， 而，，，， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，故D正确． 故选：BCD. 8．（2025高三·全国·专题练习）数列的前n项和记为，已知，（），求证：数列是等比数列； 【答案】证明见解析 【分析】由化简已知条件，得到，从而证得数列是等比数列. 【详解】证明：∵，， ∴. 即，∴，而， 故是以2为公比的等比数列. 9．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，． (1)判断数列是否为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）计算，则根据等比数列的定义得证； （2）利用累加法求数列的通项公式． 【详解】（1）由题意得， 且， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是． （2）由于， 把，，，，代入，得 ， ， ， … ， 把以上各式相加，得 ． 所以． 10．（2025高三·全国·专题练习）记数列的前n项和为，已知，． (1)令，证明：为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时，根据的关系可得，结合等比数列的定义即可得证； （2）首先得，根据的关系，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）当时，， 即，则， 所以，即． 又，则， 所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得， 所以． 当时，． 又，不满足上式， 故. 11．（2025·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，，． (1)求，； (2)证明：为等比数列； (3)求． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)384 【分析】（1）代入即可求解，进而根据求和的定义求解， （2）根据等比数列的定义，结合所给等式即可化简求解公比， （3）根据（2）的结论求解，即可代入求解. 【详解】（1）由可得，故，进而， （2）由可得， 为常数， 故为等比数列，且公比为，首项为， （3）由（2）知，即， ，故， 所以 题型3 等比数列的性质 考点1 等比数列项的性质 12．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知数列是等差数列，是等比数列，，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用等差、等比数列的通项公式运算判断A、C；注意常数列（反例）判断B、D. 【详解】设等差数列的公差为， 当时， ，A正确； 当时，是常数列，，但与不一定相等，B错误； 设等比数列的公比为， 若，则，C正确； 当时，是常数列，，但与不一定相等，D错误. 故选：AC 13．（25-26高三上·河南·期中）已知等比数列的前n项积为，且，，则（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合等比数列的性质，得到，即可求解. 【详解】因为等比数列的前n项积为，且，， 可得，所以， 由等比数列的性质，可得. 故选：A. 14．（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质及对数运算计算得解. 【详解】等比数列的各项均为正数，且， . 故选：C 15．（25-26高三上·天津·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列及等比数列的下标和性质求值，再代入结合诱导公式及两角差的正弦公式求解. 【详解】因为数列是等比数列，且，所以， 因为数列是等差数列，且，所以， 则 . 故选：D. 16．（2025·贵州·模拟预测）设等比数列的公比为q，若，则 ． 【答案】2 【分析】由等比数列的性质有，结合已知求公比. 【详解】因为，所以． 故答案为：2 17．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 考点2 等比数列前n项和的性质 18．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质建立方程，求解即可. 【详解】因为等比数列的前n项和为， 所以，，成等比数列，且公比为正数， 设，由题意得，， 则7，，成等比数列，得到， 即，解得或， 因为，，三者同号，所以，故C正确. 故选：C. 19．（25-26高三上·河北·月考）设为公比大于1的等比数列的前项和，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由等比数列片段和的性质可得。 【详解】设为公比大于1的等比数列的前项和， 所以成等比数列，所以， 因为，所以， 解得或者, 因为等比数列公比大于1，所以， 所以, 故选：D 20．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解. 【详解】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以. 故选：B. 21．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】A 【分析】根据等比数列片段和的性质即可得到成等比数列，再计算即可得到答案. 【详解】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 22．（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：C 考点3 等比数列奇数项与偶数项的和 23．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 24．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 25．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解. 【详解】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 题型4 等比数列的单调性 26．（多选题）（2025·云南·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，求出公比及首项，进而求出通项，再逐项判断得解. 【详解】设等比数列的公比为，由 得，解得，由，解得， 对于A，，数列是单调递增数列，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 27．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， ，或， 当时，显然满足，显然数列不是单调递增数列； 当数列为单调递增数列时，则有 ，或， 因此”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 28．（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 【答案】D 【分析】先根据题意用表示出公比，再根据选项讨论当的取值范围不同时数列的增减情况即可. 【详解】由等比数列，则公比， 对于选项A，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项A错误. 对于选项B，若，则公比，又，数列是递增数列，故选项B错误. 对于选项C，若，则公比，故，又，数列是递减数列，故选项C错误. 对于选项D，若，则公比，故，又，数列是递增数列，故选项D正确. 故选：D. 29．（多选题）（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，则（    ） A．若为等差数列，且，则单调递增 B．若为等比数列，且，则单调递增 C．若为等差数列，且，则单调递增 D．若为等比数列，且，则单调递增 【答案】ABC 【分析】利用等差数列和等比数列的性质及数列单调性的概念直接判断各选项. 【详解】A选项，若为等差数列，且，设公差为，则，即，所以单调递增；故A正确； B选项，设公比为，，则， 当时，，则，此时单调递增； 当，，则的正负交替，则不恒成立，不满足条件； 当时，，则的正负交替，则不恒成立，不满足条件； 当，，则，此时单调递增. 综上若为等比数列，且，则单调递增，故B正确； C选项：若是等差数列，且，，则， 所以，则当时，，即，所以数列单调递增，C选项正确； D选项：若是等比数列，且，，则，则，所以数列为摆动数列，所以当为奇数时，，当为偶数时，，又， 所以数列不单调，D选项错误. 故选：ABC 30．（多选题）（2024�浙江绍兴�二模）已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 【答案】ACD 【分析】写出的表达式，根据，，得到或，由此即可判断AB，进一步根据递增数列的定义分别与的关系即可判断CD. 【详解】由题意可知，且，， 故有且（否则若，则的符号会正负交替，这与，，矛盾）， 也就是有或， 无论如何，数列是递增数列，故A正确，B错误； 对于C，若数列是递增数列，即，由以上分析可知只能，故C正确； 对于D，若数列是递增数列，显然不可能是，（否则的符号会正负交替，这与数列是递增数列，矛盾）， 从而只能是，且这时有，故D正确. 故选：ACD. 题型5 等比数列中的最大（小）项 31．（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【分析】对于A，分，讨论可得；对于B、C，借助，得为递减数列，即，结合，得；对于D，由BC知当时，，当时，，即可得的最大项. 【详解】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 32．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，再利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 33．（多选题）（25-26高三上·山东青岛·开学考试）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．是中的最小项 D．是中的最小项 【答案】BCD 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的基本量运算求得，对于A，B，结合等比数列的通项公式与求和公式计算即可判断；对于C，D，要分奇偶项分析对应项的增减性即可. 【详解】设等比数列的公比为，由可得，因，故得， 又由可得，代入解得. 对于A，因 ，而，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，当为奇数时，，当为偶数时，， 此时由知数列的偶数项为递增数列，故是中的最小项，故C正确； 对于D，，要求的最小项，因的符号性质，需使为偶数， 此时有，因，则， 即，故的偶数项为递增数列，即是中的最小项，故D正确. 故选：BCD. 34．（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）已知等比数列不是递增数列，其前项和为，且，，成等差数列，，则（    ） A． B． C．数列的最大项为 D．数列的最小项为 【答案】ACD 【分析】由等差数列建立等式，整理后判断A选项；由等比数列项之间的关系得到，根据题意验证，然后得到数列通项公式判断B选项；由等比数列的前项和公式求出，并讨论为奇数和偶数得到的取值范围，借助函数的单调性求得最大项和最小项. 【详解】设等比数列的公比为. 对于A，由题意得， 则，故A正确； 对于B，由A项，可得，∴， 当时，， 此时可知数列为递增数列，故舍去； 故，∴，故B错误； 对于C，， 当为奇数时，，而指数函数在上单调递减， ∴； 当为偶数时，，而指数函数在上单调递减， ∴，故得， 又∵函数在上单调递增，∴， 当时，时为最大项，故C正确， 当时，为最小项，故D正确. 故选：ACD. 35．（多选题）（24-25高三上·重庆·期中）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助等比数列求和公式可计算出数列的通项公式，借助通项公式即可得A；借助作差法后对分奇偶进行讨论可得B；求出后对分奇偶讨论可得C、D. 【详解】由题意可得，即， 故， 对A：，故A正确； 对B：， 若为奇数，则， 若为偶数，则，随的增大而增大， 故，故B正确； 对C：， 当为奇数时，，且随的增大而减小， 当为偶数时，，随的增大而增大， 则当时，有最大值，即， 当时，有最小值，即， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 题型6 等比数列的实际应用 36．（2025·陕西榆林·一模）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 【答案】41t 【分析】由题意求等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设表示该模型第轮比第轮参数增加的数量， 则，， 所以是首项为，公比为3的等比数列，通项公式为：， 所以，第一轮参数为， 第二轮参数增加的数量为， 第三轮参数增加的数量为， 第四轮参数增加的数量为， 第五轮参数增加的数量为， 所以第五轮训练的模型参数的数量为. 故答案为： 37．（24-25高三上�江苏�阶段练习）某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 【答案】 64 126 【分析】根据给定条件，按报数次数探讨向前一步的编号特征，再结合等比数列求解. 【详解】依题意，第一次报数后向前一步的原编号为，为第二次报数时的新编号， 第二次报数后向前一步的原编号为，为第三次报数时的新编号， 第三次报数后向前一步的原编号为，为第四次报数时的新编号， 第四次报数后向前一步的原编号为，为第五次报数时的新编号， 第五次报数后向前一步的原编号为，为第六次报数时的新编号， 显然第六次报数时向前一步的编号为， 因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为， 所以走到最前面的同学第一次的序号是64；这位同学的所有序号之和为. 故答案为：64；126 【点睛】关键点点睛：探求报数前后两个编号的关系是求解问题的关键. 38．（24-25高三上�河南郑州�期末）2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层．为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰．这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（　　） A．12盏 B．24盏 C．36盏 D．48盏 【答案】B 【分析】各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，依据公比和前5项和可求得首项，即可求最中间一层的灯笼数量． 【详解】五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍， 由题意知，各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，记为数列， 第5层楼所挂灯笼数为，公比． 由，解得. 则最中间一层的灯笼数为24． 故选：B． 39．（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【答案】C 【分析】判断第n小时后细胞的个数构成等比数列，即可求出的表达式，解不等式，即可求得答案. 【详解】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C 40．（24-25高二下�上海奉贤�阶段练习）某地区要进行沙漠治理， 已知第 1 年该地区有土地 1 万平方千米， 其中 70%是沙漠， 30%是绿洲.从第 2 年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的 16% 改造成绿洲， 而原有绿洲的 4%被沙漠所侵蚀后又变成沙漠. 设第 年的绿洲面积为 万平方千米 (1)求数列的通项公式 (2)从第几年起，绿洲面积占土地面积的比例超过 60%？ 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由题意得到递推公式，再构造数列然后由等比数列的基本量法求出； （2）令，再由对数的运算性质可得. 【详解】（1）由题意，当时， ， 变形为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即， 所以数列的通项公式. （2）由题意可得， 于是， 因为， 即，又，所以从第6年起. 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以， 则，解得， 所以. 故选：D. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 二、多选题 5．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 6．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 【答案】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 7．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求 ； 【答案】189 【分析】由等比数列前项和公式求解， 【详解】由题意得， 故答案为：189. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比. 【详解】若， 则由得，则，不合题意. 所以. 当时，因为， 所以， 即，即，即， 解得. 故答案为： 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 四、解答题 10．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 11．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证； （2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 12．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式； （II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证； （ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）由题意，， 所以， 所以，且， 所以数列是等比数列； （ii）由题意知，， 所以， 所以， 设， 则， 两式相减得， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛： 最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 等比数列及其前n项和 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．11 B．31 C．32 D．121 2．（25-26高三上·陕西·月考）已知等比数列的前项积为，若，则（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 3．（25-26高三上·湖北·期中）在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A． B．6 C．36 D． 4．（2025·四川成都·一模）记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 5．（2025·河南·一模）数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，，.若存在常数a，b，使得对任意的都有，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，(        ) A．3 B．4 C．5 D．6 7．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 8．（2025高三·全国·专题练习）若数列的前项和为，则下列命题正确的是（    ） A．若数列是递增数列，则数列也是递增数列 B．数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数 C．若是等差数列（公差），则的充要条件是 D．若是等比数列，则的充要条件是 二、多选题 9．（25-26高三上·山东德州·期中）已知数列的首项，且满足，则（   ） A． B．是等比数列 C．是等差数列 D． 10．（25-26高三上·山西运城·期中）在公比为的等比数列中，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的公比为4 C．当时，的前20项积为 D．当时，数列是公差为2的等差数列 11．（25-26高三上·云南红河·月考）已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，成等比数列，则 C．若，，数列中最小的项为 D．若，，则 三、填空题 12．（25-26高三上·四川成都·期中）已知各项均为正数的等比数列满足，，则 . 13．（25-26高三上·山东德州·月考）已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则 . 14．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知数列满足则数列的前10项和为 . 四、解答题 15．（25-26高三上·北京·月考）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知等差数列满足，，等比数列是首项为的递增数列，且. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．（2025·陕西榆林·一模）已知数列中，，． (1)证明数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．（25-26高三上·湖北·期中）已知数列满足，. (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和. 19．（25-26高三上·河北沧州·月考）在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前n项和． 能力提升 一、单选题 1．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高三上·重庆·期中）已知数列的前项和为，且满足条件，若对恒成立，则整数的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（25-26高三上·河南郑州·期中）若首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等比数列 C．数列为递增数列 D．中存在三项构成等差数列 4．（2024�浙江绍兴�二模）已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 5．若数列的首项，且，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．数列为递增数列 D．存在正整数、、，使得 6．（2024�江西赣州�一模）已知等比数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列为单调数列 D．数列为单调数列 7．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·期中）数列前n项和，，则数列的最小项为（用具体数字作答） ． 8．已知数列满足对任意的，都有且. (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 等比数列及其前n项和 题型1 等比数列通项公式与前n项公式的基本应用 4 题型2 等比数列的判断与证明 4 题型3 等比数列的性质 6 考点1 等比数列项的性质 6 考点2 等比数列前n项和的性质 7 考点3 等比数列奇数项与偶数项的和 7 题型4 等比数列的单调性 8 题型5 等比数列中的最大（小）项 9 题型6 等比数列的实际应用 10 高考真题演练 11 知识点一 等比数列的有关概念 1．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做 等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然 用数学符号语言描述为：在数列中，若(为常数且，则是等比数列. 2.等比中项：如果在与中间插入一个数，使,,成等比数列，那么叫做与的等比中项. 由等比中项的定义可知，. 反之，若，则，即，，成等比数列. 综上，，，成等比数列. 知识点二 等比数列的通项公式与前n项和公式 1．等比数列的通项公式： 2．等比数列的前项和公式： 知识点三 等比数列与指数函数的关系 1．等比数列的图象 等比数列的通项公式，还可以整理为，当且时，等比数列的第项是函数 当时的函数值，即.因此等比数列的图象是函数图象上的一些孤立的点. 2．等比数列的单调性 已知等比数列的首项为，公比为，则 条件 单调性 或 为递增数列 或 为递减数列 为常数列，不存在单调性 为摆动数列(所有奇数项同号，所有偶数项同号，但奇数项与偶数项异号)，不存在单调性 知识点四 等比数列的性质 1．等比数列项的性质 若数列是公比为的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质. (1) (2)若，则. 特别地：①若，则; (3)若成等差数列，则成等比数列. (4)数列(为不等于零的常数)仍是公比为的等比数列； (5)在数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (6)在数列中，依次每项的和(或积)构成公比为(或的等比数列. (7)已知且，如果数列是以为公差的等差数列，那么数列是以为公比的等比数列.如果数列是各项均为正且公比为的等比数列，那么数列是以为公差的等差数列 . 2.等比数列前n项和的性质 设等比数列的前项和为，公比为，则利用等比数列的通项公式及前项和公式可推得等比数列的前项和具有以下性质. (1)当时，；当时，. (2). (3)设与分别是偶数项的和与奇数项的和.若项数为，则； 若项数为，则. (4)当时，连续项的和(如)仍组成等比数列(公比为). 说明①当且为偶数时，不是等比数列； ②当，或且为奇数时，是等比数列. 由①②可知，当连续项的和(如)不为零时，性质(4)才成立. 题型1 等比数列通项公式与前n项公式的基本应用 1．（2025·河南·一模）等比数列，，，则公比（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（25-26高三上·陕西商洛·期中）设等比数列的前项和为，公比，则（   ） A．4 B．7 C． D． 3．（25-26高三上·河北石家庄·期中）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A．16 B． C．18 D．20 4．（25-26高三上·山东聊城·期中）设等比数列前项和为，若，，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．63 5．（25-26高三上·上海·期中）已知正项等比数列的前项和为，若，则公比 . 6．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为，若，则的值为 ． 题型2 等比数列的判断与证明 7．（多选题）（2025高三�全国�专题练习）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（   ） A．若，则，，成等比数列 B．若为等差数列，则为等比数列 C．若，则数列为等比数列 D．若，，，则为等比数列 8．（2025高三·全国·专题练习）数列的前n项和记为，已知，（），求证：数列是等比数列； 9．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，． (1)判断数列是否为等比数列； (2)求数列的通项公式． 10．（2025高三·全国·专题练习）记数列的前n项和为，已知，． (1)令，证明：为等比数列； (2)求的通项公式． 11．（2025·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，，． (1)求，； (2)证明：为等比数列； (3)求． 题型3 等比数列的性质 考点1 等比数列项的性质 12．（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知数列是等差数列，是等比数列，，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（25-26高三上·河南·期中）已知等比数列的前n项积为，且，，则（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 14．（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．2014 B．2024 C．2025 D．2026 15．（25-26高三上·天津·月考）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·贵州·模拟预测）设等比数列的公比为q，若，则 ． 17．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知等比数列满足，则 . 考点2 等比数列前n项和的性质 18．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 19．（25-26高三上·河北·月考）设为公比大于1的等比数列的前项和，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 20．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 21．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 22．（2025·江西·二模）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．81 B．71 C．61 D．51 考点3 等比数列奇数项与偶数项的和 23．（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 24．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 25．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 题型4 等比数列的单调性 26．（多选题）（2025·云南·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 27．（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（25-26高三上·湖南株洲·期中）已知等比数列，满足，则下面说法正确的是（    ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递减数列 C．若，则数列是递增数列 D．若，则数列是递增数列 29．（多选题）（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，则（    ） A．若为等差数列，且，则单调递增 B．若为等比数列，且，则单调递增 C．若为等差数列，且，则单调递增 D．若为等比数列，且，则单调递增 30．（多选题）（2024�浙江绍兴�二模）已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，且，，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 题型5 等比数列中的最大（小）项 31．（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 32．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（多选题）（25-26高三上·山东青岛·开学考试）记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C．是中的最小项 D．是中的最小项 34．（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）已知等比数列不是递增数列，其前项和为，且，，成等差数列，，则（    ） A． B． C．数列的最大项为 D．数列的最小项为 35．（多选题）（24-25高三上·重庆·期中）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 题型6 等比数列的实际应用 36．（2025·陕西榆林·一模）某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 37．（24-25高三上�江苏�阶段练习）某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 38．（24-25高三上�河南郑州�期末）2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层．为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰．这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为（　　） A．12盏 B．24盏 C．36盏 D．48盏 39．（25-26高三上·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 40．（24-25高二下�上海奉贤�阶段练习）某地区要进行沙漠治理， 已知第 1 年该地区有土地 1 万平方千米， 其中 70%是沙漠， 30%是绿洲.从第 2 年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的 16% 改造成绿洲， 而原有绿洲的 4%被沙漠所侵蚀后又变成沙漠. 设第 年的绿洲面积为 万平方千米 (1)求数列的通项公式 (2)从第几年起，绿洲面积占土地面积的比例超过 60%？ 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 二、多选题 5．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 . 7．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求 ； 8．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 四、解答题 10．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 11．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 12．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 2 学科网（北京）股份有限公司 $专题6.3 等比数列及其前n项和 基础巩固 一、单选题 1.(25-26高三上 河南南阳 期中)已知各项均为正数的等比数列的前项和为,且满足,,则( ) A.11 B.31 C.32 D.121 【答案】B 【分析】由等比数列的性质求出,再用公比表示出,求出.由等比数列的前n项和公式即可求得. 【详解】由等比数列的性质知,又,所以, 设的公比为,则,所以或(舍), 所以. 故选:B. 2.(25-26高三上 陕西 月考)已知等比数列的前项积为,若,则( ) A.16 B.4 C.2 D.1 【答案】A 【分析】首先结合的意义,由条件得到,再根据等比数列的性质求. 【详解】因为,所以, 则. 故选:A 3.(25-26高三上 湖北 期中)在等比数列中,是方程的两个根,则( ) A. B.6 C.36 D. 【答案】D 【分析】利用韦达定理及等比数列的性质求解. 【详解】∵是方程的两个根, ∴, 由, ∴由. 故选:D. 4.(2025 四川成都 一模)记为等比数列的前项和,若,则的公比为( ) A.2 B. C. D. 【答案】D 【分析】由等比数列前项和的性质,成等比,公比为,结合即可求公比. 【详解】设等比数列的公比为, 根据等比数列前项和的性质,成等比,且公比为, 又,即,所以, 解得. 故选:D. 5.(2025 河南 一模)数列是公差为的等差数列,是公比为的等比数列,,,.若存在常数a,b,使得对任意的都有,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】应用等差、等比数列的通项公式及已知列方程求基本量,进而得到,,再由题设条件得求参数,即可得. 【详解】由题意得,解得,, 所以,, 由,即对任意的正整数n都成立, 所以,解得,,所以. 故选:C 6.(25-26高三上 北京顺义 阶段练习)已知数列为单调递增的等差数列、前项和为,若,,成等比数列,则当取最小值时,( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差,由此能求出前项和,再利用配方法能求出当取最小值时,的值. 【详解】设数列的公差为,则,,, 因为,,成等比数列, 所以,即,化简得, 解得或, 因为数列为递增的等差数列,所以, 故舍去,, 所以 开口向上,对称轴为直线,由于为正整数,且离更近, 所以当时,取得最小值。 故选:B 7.(25-26高三上 湖北 阶段练习)如图,等边三角形的边长为4,取各边的中点,,,作第2个等边三角形,然后再取各边的中点,,,作第3个等边三角形,依此方法一直继续下去,记为第1个三角形,为第2个三角形,为第3个三角形,,依此类推,则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意和图形,可得第1,第2,…,第个三角形的面积满足,即是首项为,公比为的等比数列,利用等比数列的基本量运算即得答案. 【详解】设的面积为,后续各三角形的面积依次为,,,, 则,,,,可见, 即是首项为,公比为的等比数列,则, 于是,,, 故. 故选:D. 8.(2025高三 全国 专题练习)若数列的前项和为,则下列命题正确的是( ) A.若数列是递增数列,则数列也是递增数列 B.数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数 C.若是等差数列(公差),则的充要条件是 D.若是等比数列,则的充要条件是 【答案】D 【分析】对于ABC,通过举特例可判断选项正误;对于D,设公比为q,由,可得;由,可得,据此可判断选项正误. 【详解】数列的前项和为,故. 对于A,若数列是递增数列,则数列不一定是递增数列,如当时,数列是递减数列,A不正确; 对于B,由数列是递增数列,不能推出数列的各项均为正数, 如数列:,满足是递增数列,但不满足数列的各项均为正数,B不正确; 对于C,若是等差数列(公差),则由不能推出,例如数列:,满足,但,C不正确. 对于D,若是等比数列,则.设公比为q, 若,则,不满足题意; 若,则,从而,故有; 由可得数列的公比为, 可得,故D正确. 故选:D. 二、多选题 9.(25-26高三上 山东德州 期中)已知数列的首项,且满足,则( ) A. B.是等比数列 C.是等差数列 D. 【答案】ACD 【分析】先由题设分和依次求出和数列是以2为公比,为首项的等比数列,进而得到数列是以为公差,为首项的等差数列求出,接着求出即可逐一计算即可得解. 【详解】数列的首项,且满足, 所以时,, 当时,, 整理得, 所以数列是以2为公比,为首项的等比数列, 所以,所以, 所以数列是以为公差,为首项的等差数列, 所以, 所以,, 所以常数, . 综上,ACD正确,B错误. 故选:ACD 10.(25-26高三上 山西运城 期中)在公比为的等比数列中,,则下列说法正确的是( ) A. B.的公比为4 C.当时,的前20项积为 D.当时,数列是公差为2的等差数列 【答案】BC 【分析】先由等比数列的基本量法求出,再由等比数列的性质可得A错误B正确;结合指数运算和等差数列的求和公式可得C正确;由对数的运算性质及等差数列的概念可判断D. 【详解】由题意可得,所以解得, 当时,;当时,, 对于A,,故A错误; 对于B,的公比为,故B正确; 对于C,当时,, 所以的前20项积为,故C正确; 对于D,当时,数列的通项公式为,公差为,故D错误. 故选:BC. 11.(25-26高三上 云南红河 月考)已知公差为的等差数列,为其前项和,下列说法正确的是( ) A.若,则 B.若,成等比数列,则 C.若,,数列中最小的项为 D.若,,则 【答案】AC 【分析】利用等差数列性质判断A,利用等比中项性质并结合题意建立方程求解参数判断B,利用等差数列前项和的性质判断C,逐步求出等差数列的前项,再求和判断D即可. 【详解】对于A,由等差数列性质得, 解得,故A正确; 对于B,因为,,成等比数列,所以, 可得, 解得或,故B错误; 对于C,由等差数列性质得,, 则,所以数列中最小的项为,故C正确; 对于D,因为为等差数列,且,, 所以,,则. 则 ,故D错误. 故选:AC 三、填空题 12.(25-26高三上 四川成都 期中)已知各项均为正数的等比数列满足,,则 . 【答案】/ 【分析】由等比数列通项公式化简等式求公比,然后由等比数列通项公式变形求出. 【详解】设正项等比数列的公比为, 则,所以, 所以. 故答案为: 13.(25-26高三上 山东德州 月考)已知是公差不为0的等差数列,,若成等比数列,则 . 【答案】16 【分析】由是公差不为0的等差数列,根据等差数列的通项公式将用和表示,由成等比数列,根据等比数列得到,代入,得到和的等式,将代入计算出,将用和表示,代入和得解. 【详解】是公差不为0的等差数列, , 成等比数列, , , , , 或, ,,. 故答案为:16. 14.(25-26高三上 江西赣州 期中)已知数列满足则数列的前10项和为 . 【答案】1409 【分析】分奇偶项应用等差数列求和及等比数列求和公式分组求和计算求解. 【详解】. 故答案为:. 四、解答题 15.(25-26高三上 北京 月考)已知等比数列满足,. (1)求的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据等比数列的通项公式进行求解即可. (2)根据等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】(1)因为等比数列满足, 则,两式相除可得,解得. 所以的通项公式为. (2). 所以 16.(25-26高三上 宁夏银川 期中)已知等差数列满足,,等比数列是首项为的递增数列,且. (1)求数列与的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 【答案】(1), (2) 【分析】(1)应用等差数列及等比数列基本量运算求解; (2)应用错位相减法结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】(1)设等差数列的公差为, 因,,则,得, 所以, 所以,即,解得或, 因数列为单调递增的等比数列,所以数列的公比为,即. 所以, 则数列的通项公式为,的通项公式为. (2)由(1)知, 所以, 所以, 两式相减得 , 所以. 17.(2025 陕西榆林 一模)已知数列中,,. (1)证明数列为等比数列,并求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)通过等比数列的定义利用题干给的关系即可证明; (2)利用分组求和的方法,结合等差和等比数列的求和公式即可求出. 【详解】(1)因为,且, 所以, 所以数列是以5为首项,以5为公比的等比数列, 所以,即. (2)因为, 所以 . 18.(25-26高三上 湖北 期中)已知数列满足,. (1)证明:为等比数列; (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由题意有,进而得,利用等比数列的定义即可得证; (2)由(1)得,利用分组求和方法即可求解. 【详解】(1)因为,,所以, 所以, 又因为,所以数列是以3为首项,3为公比的等比数列; (2)(2)由(1)可知,即, 所以. 19.(25-26高三上 河北沧州 月考)在数列中,,. (1)证明:数列为等比数列; (2)求数列的通项公式; (3)设,求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)() (3)() 【分析】(1)首先对等式进行等价变形可得:,然后再根据等比数列的定义进行证明即可; (2)由(1)可知为等比数列,先求解的通项公式,进而求解数列的通项公式; (3)首先根据(2)的结果求解的通项公式,然后再根据分组求和和错位相减的方法进行求和即可. 【详解】(1)已知,两边同时取倒数得:, 两边同时加可得:, 由此可得:,当时,, 因此得证:为等比数列,其首项为,公比. (2)由(1)可得:为等比数列,其首项为,公比. 因此可得:,得: () (3)由(2)可知:(),可得:() 设(1) (2) 由(1)(2)得: , 解得:. (). 能力提升 一、单选题 1.记为数列的前n项和,为数列的前n项积,若,,则满足的n的最小值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【分析】根据可得为公比为2的等比数列,即可求解,进而可得,根据的表示即可求解. 【详解】由可得,, 故为公比为2的等比数列,故, 所以,故, 因此 故, 要使,则, 当时,,时,,且在时,随着正整数的增大而增大,故的最小值为6, 故选:B 2.(25-26高三上 重庆 期中)已知数列的前项和为,且满足条件,若对恒成立,则整数的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据数列与的关系,可求得数列为等比数列,进而可求得其通项和前项和,代入不等式,化简,结合不等式即可求解. 【详解】因为,当时,,,解得, 又当时,得,两式相减,整理得到, 所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,所以,, 代入不等式得, 化简得,所以, 易知对勾函数在上单调递增,在上单调递减, 令,又易知, 所以当时取得最小值,所以的最大值为. 故选:B 二、多选题 3.(25-26高三上 河南郑州 期中)若首项为1的数列的前项和为,且,则下列结论正确的有( ) A. B.数列是等比数列 C.数列为递增数列 D.中存在三项构成等差数列 【答案】AC 【分析】由已知得出是以2为公比的等比数列,表示出和,再分别判断各选项即可. 【详解】由得,, 所以是以首项为,公比为2的等比数列, 所以,即,所以,故A正确; 当时,, 所以,所以数列不是等比数列,故B错误; 对于C,因为,当时,, 所以,数列为递增数列,故C正确; 对于D,取,且, 假设存在能构成等差数列,则, 有,即,所以, 因为,所以,与矛盾; 假设存在能构成等差数列,则,即, 则,即,显然当时无解, 所以中任意三项不能构成等差数列,故D错误; 故选:AC. 4.(2024�浙江绍兴�二模)已知等比数列的公比为,前项和为,前项积为,且,,则( ) A.数列是递增数列 B.数列是递减数列 C.若数列是递增数列,则 D.若数列是递增数列,则 【答案】ACD 【分析】写出的表达式,根据,,得到或,由此即可判断AB,进一步根据递增数列的定义分别与的关系即可判断CD. 【详解】由题意可知,且,, 故有且(否则若,则的符号会正负交替,这与,,矛盾), 也就是有或, 无论如何,数列是递增数列,故A正确,B错误; 对于C,若数列是递增数列,即,由以上分析可知只能,故C正确; 对于D,若数列是递增数列,显然不可能是,(否则的符号会正负交替,这与数列是递增数列,矛盾), 从而只能是,且这时有,故D正确. 故选:ACD. 5.若数列的首项,且,则( ) A.数列为等比数列 B. C.数列为递增数列 D.存在正整数、、,使得 【答案】AC 【分析】将题干等式变形为,结合等比数列的定义可判断A选项;由A选项中的结论结合等比数列的通项公式可判断B选项;利用数列单调性的定义可判断C选项;假设存在正整数、、满足题设条件,,判断等式两边不成立即可得出结论. 【详解】对于A选项,因为,由可知,,, 以此类推可知,对任意的,, 在等式两边同时取倒数得, 所以,且, 所以数列是首项为,公比为的等比数列,A对; 对于B选项,由A选项可知,故,B错; 对于C选项,, 即,故数列为递增数列,C对; 对于D选项,假设正整数、、,使得, 由于数列单调递增,不妨设,则, 所以, 所以①, 若,则, 所以,所以,即, 若,则,即矛盾, 若,则为奇数,为偶数,等式不成立, 若,等式①的左边为奇数,右边为偶数,不成立, 综上所述,不存在、、,使得,D错. 故选:AC. 6.(2024�江西赣州�一模)已知等比数列的前项和为,则( ) A. B. C.数列为单调数列 D.数列为单调数列 【答案】BC 【分析】根据条件得到或,再对各个选项逐一分析判断,即可求出结果. 【详解】设数列的首项为,公比为, 由题有,解得或, 对于选项A,当,为奇数时,,所以选项A错误, 对于选项B,因为,当,显然有,当时, ,所以,故选项B正确, 对于选项C,当时,数列是首项为,公比为的递增数列, 当时,数列是首项为,公比为的递减数列,所以选项C正确, 对于选项D,由选项B知,所以, 当时,,此时不具有单调性,所以选项D错误, 故选:BC. 7.(25-26高三上 黑龙江牡丹江 期中)数列前n项和,,则数列的最小项为(用具体数字作答) . 【答案】 【分析】利用先求,进而得,最后分类讨论即可求解. 【详解】由题意有:当时,, 当时,由有,即, 所以是以为首项,为公比的等比数列, 所以, 所以, 所以, 当为奇数时,,随着增大而减小, 当为偶数时,,令,, 所以在单调递减,当时,, 所以当时,即时,, 故数列的最小项为. 故答案为:. 8.已知数列满足对任意的,都有且. (1)求,的值; (2)求数列的通项公式; (3)设数列的前n项和为,不等式对任意的正整数n恒成立,求实数a的取值范围. 【答案】(1) ,;(2) ;(3) 【分析】(1)令n=1,2可以求a1=1,a2=2. (2)由已知可得a13+a23+…+an+13=(a1+a2+…+ an+1)2,两式相减,结合an>0可求得an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1,则可得an2=2(a1+a2+…+an−1)+an,n≥2,两式相减整理可得an+1-an=1,从而可得数列{an}是等差数列,可求通项公式 (3)由(2)知,利用裂项可求和,即可求出的最小值,从而解决问题. 【详解】解:(1)当时,有, 由于,所以. 当时,有, 将代入上式,由于,所以. (2)由于,① 则有.② ②-①,得, 由于,所以.③ 同样有,④ ③-④,得, 所以, 由于,即当时都有, 所以数列是首项为1,公差为1的等差数列. 故. (3)由(2)知 则, 所以 . , ∴数列单调递增. 所以. 要使不等式对任意正整数n恒成立, 只要., ,即.所以,实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项,及构造等差数列求解通项公式,还考查了裂项求解数列的和,要注意中的系数不要漏掉. 2 学科网(北京)股份有限公司 $