单元综合复习(三)轴对称&综合与实践 最短路径问题-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（人教版2024）

单元综吕复习 ■■■热门考点突破■■● 考点1轴对称与轴对称图形 1.(中考·重庆B)下列标点符号中，是轴对称图 形的是 () 7 9 9 A 9 C D 2.如图，△ABC与△DEF关于直线MN成轴对 称，则以下结论不一定成立的是 () A.AB∥DF B.MN垂直平分AD C.∠B=∠E D.AB=DE B6251C 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，D是BC上一点，点E与 点D关于直线AB对称，点F与点D关于直 线AC对称.若∠B=62°，∠C=51°，则∠EAF 考点2用坐标表示轴对称 4.(中考·通辽)剪纸是我国民间艺术之一，如图 放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标 系的坐标轴重合，则点A(一4,2)关于对称轴 对称的点的坐标为 () A.(-4,-2) B.(4,-2) C.(4,2) D.(-2,-4) 5.(厦门期中)如图所示，在平面直角坐标系中， 已知△ABC和△DEF的顶点均在格点上，其 中，A(-1,1),B(-2,3),C(-3,0) (1)在平面直角坐标系中画出△ABC关于 y轴对称的图形△A'B'C'(点A,B,C的对应 点分别为A',B,C): 三】 轴对痛 (2)判断△A'B'C和△DEF是否成轴对称？ 如果是，请在图中画出对称轴（用字母1表 示)：如果不是，请说明理由： (3)已知P为x轴上一点，若△PBC的面积为 3,求点P的坐标 12343 考点③线段垂直平分线的性质与判定 6.(中考·镇江)如图，△ABC的边AB的垂直 平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD =5,则BD= 第6题图 第7题图 7.(承德阶段练习)如图，在△ABC中，∠B 90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：BD=DE:乙：∠CDE=∠CAB;丙：AB+ EC=AC. 下列判断正确的是 A.只有甲对 B.只有乙对 C.只有丙对 D.三人说的都对 8.如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC交 BC于点D,过点D作DE⊥AB,DF LAC,分别 第十五章68 交AB,AC于点E,F.求证：AD垂直平分EF. 考点④互逆命题与互逆定理 9.(中考·宿迁)请写出定理“两直线平行，同位角 相等”的逆定理： 10.(上海期末)写出命题“全等三角形的面积相 等”的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假 命题：逆命题是： ,这个命题是 (填“真”或 “假”)命题 考点⑤等腰三角形的性质与判定 11.(中考·湖南)若等腰三角形的一个底角的度 数为40°，则它的顶角的度数为 12.(渭南期末)如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，在△ABC 的内部取一点O,连接OA, OB,OC,恰有OA=OC. ∠OBA=20°，∠OCA=40°.给出下列说法： ①∠BOA=140°：②△OAB是等腰三角形： ③∠OBC=30°：④△OBC是等腰三角形： ⑤△ABC是等边三角形.其中说法正确的序 号有 13.(浙江期末)如图，△ABC是等边三角形，延 长BA至点D,延长CB至点E,使AD=BE, 连接AE,CD,EA的延长线交CD于点F. (1)求证：△ABE≌△CAD: (2)求∠CFE的度数. 69探究在线八年级数学（上） 考点6含30°角的直角三角形的性质 14.(邯郸期中)如图，在平面直角坐标系中，直线 AB与x轴的夹角为60°，且点A的坐标为 (一2,0)，点B在x轴上方，设AB=2a,那么 点B的横坐标为 () A.-2+a B.-2-a C.2-a D.2+a yB A609目 D 第14题图 第15题图 15.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=8,D 为BC的中点，AD⊥AB,则AB的长为 ■■核心素养提升■■■ 16.(教材P76习题T6变式)（北京期中）台球桌 的形状是一个长方形，当母球被击打后可能 在不同的边上反弹，为了使母球最终击中目 标球，击球者需作出不同的设计，确定击球方 向.如图①，目标球从A点出发经B点到C 点，相当于从A'点出发直接击打目标球C,其 实质上是图形的轴对称变换，关键是找母球 关于桌边的对称点的位置， 如图②，小球起始时位于点(3,0)处，沿所示 的方向击球，小球运动的轨迹如图所示.如果 小球起始时位于点(2,0)处，仍按原来方向击 球，那么在点A,B,C,D,E,F,G,H中，小球 会击中的点是 D 125678 图① 图② ©综合与实践 ①基础在线 知识要，点分美练 知识点1牧民饮马问题 1.如图，直线1是一条输水主管道，现有A,B两 户新住户要接水人户，图中实线表示铺设的管 道，则铺设的管道最短的是 D 知识点2牧民饮马问题的拓展 2.如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处 牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最 短路径 马 B 河 知识点3造桥选址问题 3.有一以互相平行的直线a,b为岸的河流，其两 侧有村庄A和村庄B,现在要在河上建一座桥 梁MN(桥与河岸垂直)，使两村庄之间的距离 最短，从作图痕迹上来看，正确的是 最短路径问题 ②能力在线沙方法规球檬合耀 4.如图，某条护城河在CC处直角转弯，河宽均 为5m,从A处到达B处，须经过两座桥（桥宽 不计，桥与河垂直)，设护城河以及两座桥都是 东西、南北方向的，恰当地造桥可使从A到B 的路程最短，请确定两座桥的位置。 B ③拓展在线沙塔桃救尖提升雄 5.(1)如图①，在∠AOB内部有一点P,若在 OA,OB上分别存在点E,F,使得E,F,P三 点组成的三角形的周长最小，找出E,F两点： 若∠AOB=40°，则∠EPF= (2)如图②，在∠AOB内部有两点M,N,是否 在OA,OB上分别存在点E,F,使得E,F,M, N四点组成的四边形的周长最小？找出E,F 两点 .N B 图① 图② 第十五章70商2十25，不合题意，青去，放便长为等m ∠AH成=∠MQ ∠HAD=∠H=5 42)△ABl2△AE, 宿△ABE和△ACQ中，〈AB一AC AD=BD.∠ADB=0, BD-AE-5.A0-CE- 徽专哑？精殊三角形中常见辅助战的作法 ∠RAE=∠CAQ E=BF.∠DLE=∠B=45'.AD BD DEAE-AD-BD-CE-5-21. L如国，连援AM AABEAACOCASA).ABE-CO. ADAEADBF(SAS). 阶双测深415.3】 '∠BAC=120,AB=AC BD平分∠ABC,∠QBD=∠CBD DE-DF. LC &C I.B LC 5.D ∠n=∠C'. :∠D-9时，∠C-∠DQ- (2,△DA8△DIF, 4,5码7,4,40只不量1091L :AMN是AB的乘袁平分线， .△9△QD ∠AB=∠DF tAB=AC∠C-, M=AM六∠AM=∠H=0 ∠D=∠阳D,厚△×双为等根三角感 :∠HUw十∠Ap=∠ADn=. ∠B=∠Cmr ∠AC=0',.C=2AM BD1CQ.-CD-DQ ABE-CQ-2CD. ∠ADE十∠AD=, ∠&MC-12 .CM-28M 3.方信，《装长热》在C上取点E,使 △DEF为等限直角兰角形 AB LAD,-∠AD-r. 2.2C4. BE=BA.连接DE 【雯式1证明，连接D,如丽③所示. ∠C-10'0=初'■∠ 反.过成A传AFLC于点F. NBD平分∠BC, H=C,∠AC=0,D为C首中点： ADmCDo2 FAB=AC,AE⊥BC, ∠ABD=∠EBD ADI BCAD-BD-CD. AB LAD,∠B=3”,BD=2AD4. -C-言R,∠A-∠CAF AB-EB. ∠D=∠C-∠DAF=45 C=BD+CD=长 在△AD和△ESD中，∠AHG=∠ND, :∠p=∠A=0,∠成=∠AD球 131任刚，：△AC为等边三角参 支∠AC三线金- 8D-8D. 在△H泥和△ADF中， ∴AB=AC∠BC=∠C=0 △ABD2△EBD(SAS ∠BDE-∠ADF 在△ABE和△CAD中， CD-TBC.CF-CD. ∠&AC=∠BED=168 BD-AD. AB-CA. ∴∠DEC=2 ∠B=∠DMF, ∠&AC=∠C, 在△AFC别△AC中，CP-CD. IAC-Ac. AB-AC,&∠C-∠ABC-85 AE-CD. ∴.∠CD5=7I 0-AF. AAE△CADCSAS).IE=AD △AF0a:△ADCIHI3, 二∠C=∠C.CD= (结忙连成这，理推如下： ()出1)得△AHa△CAD, ∠IT∠CF-T∠&C 则=的+E-AB十C么 莲接A0如图心新示， ∠ABE=∠C 6如图，连援 方波2：（料题信延长A至点E,旋BE AB=C,∠AC=0,D为C的中点 ∠BPQ=∠MD+∠ABE∠AD+∠CAD0 BC,连接DE, AD⊥BC,AD=BD=CD, (3)由I)得AD=BE, 廿C-C,∠AMCB-0.0为A 程幕54S证明△EBD2△CBD,可再DE ∠B=∠C=∠DMCm45F, ,QLAD,∠NQ-9°，三∠P9=30 的中高： .BP-PQ-12 ∠B=∠ACO=∠B0O=45, =DC,再由三角思内角和R蓝∠EAD ∠DBE=∠DAF-18 又出AD=BE。 COLAB. ∠EDA-, ∠DF=∠D=0,∠DDE-∠AF .A=D=中同桂满C=A8+CD 在△H尾和△ADF中， AD-BE-BP+PE-+14 4,陆长FD至直H,使FD一HD,连接 :∠BOR=∠A1F, 翼：∠F=阳，∴∠C=∠ 4在AAC中，∠C=,CA=0 BD-AD. 1∠-∠W小， BH. 在△EOC和△FO8中，0-08. 在△BDH和△CDF中 ∠DBE=∠DLF :AB=的m:点P的适动速度为名和/ 06复， L∠OCE=∠H (BD-CD. △BD2△ADF(ASA. △BOC4△FOBLASA).CEOF. ∠BDH=∠CDF 点P的运动时为 HD-FD. ∴AP=2rm,D0=1.,BP=(6网-23Em 微专围8构透等露旦角形的常用方法 .△Da△CDF8A (1D当P-Q时，△P购等路三角影 L(I)证明，如图中，过成P作PFAC癸BC于或F.”点 ÷∠H=∠CFD,CF-BN P,Q同时出发，且流度附同，，P✉CO AE=EF,∠EAF=∠AF 六当一0时，△PBQ为等边世角题 PF8AQ,.∠PFB=∠ACI.∠DPF-∠DG 发，AH=AC,∠B=∠ACi ￥∠AFE-∠CFD,∠EAF=∠H ()寿△PQ为直角角形， AB-BH.AB-CF. D 汽∠QP=9时. ∠B=∠PF.HP=FP,FP=Q 2在BE上熊取BF=CE,违接AF 5.□图，鼠长DM到成E,使AE 在△PFD和△QD中，∠DPF=∠DC,∠PF= 品E∠AF=∠AC5, AC,∠E-∠ACE 闻0一2=21，解得=15： ∠QDC.FP-CQ △AH△AMCE(8A, ∴∠C=∠E+∠ME=2∠E @当∠BPQ=0时， H△PFD△OCDAAS.PD=QD .AF=R,∠&MF=∠CE, W∠B,∠BQPm.BQ2BP D线段5D的长度株特不变.理自如下， 5∠nC-∠ ∠且C=∠且AF+∠FAD=0 P=2c60一24》，解得1=24. 阳②，过点P容PFAC交C于点F.由(1)每，Pn ∠FAE∠FAD+∠CAE= 4m日 日上所连，当=15或1=24时，△F阳方直角三角形， PN ,△FAE为等直角三角用.∠AEB=45 :CD平分∠ACH: 单元棉合复习（三}辕对瑞 PE1BF,E-EF.由1知，△PFDa△@ ∠AD=∠BCD &时点A作AF1AE交BE干点F,周等 艇直角三角廖AFE,是E△AFG ,AA3,134,C FD=CDED-EF+FD-E+C-C ,∠ADC=∠B+∠BCD=∠B+∠ACD △AsAs) 5.《1)如围所求，△A'BC题为所求 又"∠D笔=∠ACE+∠CD-∠B+∠ACD ∠AAE=∠AE 2)AA'C和△DEF成能对称，划图厢承：直线1为时 。A飘=1 .DE-CE ,∠BEBC=∠aC=T 整触厚为两术 dAC+AD-AE+AD-DE-EC-BC BCE⊥BD 微专是9等缓直角三角形中常见的解题模型 4(1》AD-E里由如下： 1.4)座接A :∠IAC=9,DLAE 2,然酸8AC0相交于点Q YR1△AC中，∠BAMC-0,AB- ∠ABD=∠CAE AC. 在△ABD则△CAE中， +∠CQ=∠BAE∠8D=9的'： ∠ADB=∠CEA. ∠AQ+∠Q=0 ∠ABE+∠Q9 “∠AC-o',AB=AC,D是C的中点 ∠ABD=∠CAE )设点P的坐为红D,P=1十3 ∠A=∠BAD=4 AC ∠AQ=∠AnE △AH△CAETAAS,.A=E 一探究在线·八年奴取学（上》 23 “x=-1减-5， 陵力在就 16,2整式的真法 6十140=×45十3×4X1=6十12=10)， 直P的坐标为《-1,0》减（一50） 10A1,B12,1)-(n-w”(2)0 第1课时单项式与单明人相来 所过绿化多分的衡积为0感时 1线2全14,4 蒸德在核 .-22+4x十72 &.'AD平分∠BC,DE⊥B,DF⊥C 5件，4,2=x, 142++ryC 鲜力在成 DE=DF,∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=0 3.C10.A 在△EAD程△FAD中， 6=12a-2. &原式-立w 1.《-2,-15)12.3/-7y+2y13-3 ∠AD-∠APD. ■+=+=一中多×2甲-严 2)原式=/ 14.(图睛茶 ∠RAU=∠FAD. 斯展在线 (3原式-号aPc 由丽可舞，卧成的长方图的长为《4中A),意 AD-AD. 1我4T7 为4十)， △EA△FADCAAS,AE=AF. 16,上上都的■方与积的雨方 4.A 3.D)6.3'y e 所以大长方形的周积为（年十b1a十2）， 世AE=AF,DE=DF,D看直界分EF 基码在线 能力在线 四为耕民的大长方罪的面飘月十妇十 9.同位角相等，再直线平行 .C2.0&010(2a T.D &C 29. 1经.国积相等的博个三角图全等限 4.59 原式-(=3)·4)+12·4“2一4 所以大长方形的代数意义为(a十(e十)=a十h+ 1.19012.2 1,13-=(7==7 =-12十74-ax 20. 11.1)延明：：△AC是等边三角影， (1中=了1=9P=1 137 .AB=AC,∠AC-∠C1B i.1)XX/合(201X 当一2一1时.式m一8×（一1×（一2■ 陌展在战 ∠ABE-∠CA I 8.9D -4×(一10×(-52)m-192. 1(2-1(2x2-1 ADBE. 1机1》厚式2梦·auu=4a 拓黑在地 (1+1+2+…+2+《2-1)(”+2+…+ :△ABEe△CAD(SAS), 2)YAABC是等边三角B,∠AC=6的 原式-（一受）y…一喜 10.B +2+1)■24一1 丽？课时羊项其与影明支相乘 第本渠对梦人的峰走 AARE△CAD,∠B=∠D. 11.1》((3得是锋的.成正如下， 蓄毯在线 蒸得在成 ·∠(FE=∠DAF+∠D=∠4B+∠E=∠AuC=-r (1》0a)=.2)3Y=7:4 1.D22:(=1)2=1e I.C 2 B 3.D 4.2 5.B 6.D 7.D 8.C 1.A151G:点B和点F (3(-3w2- 入n(a十0+》=4情+M十(m 饺曲与实线量冠略径代超 能力在线 人-w,- 基碗在规 2CA4.} L0源武-6-2+(-)×4-2- 1511线>17.4@5w575 10C11,A12,A 1 18(1》D火=-7：“+5x“-x 2原式-4u-1-- 1)由题意，得所舒的二次三项式为《3一P十3)+ 2.如西，AQ+Pg+P厚为周求 (》原式--《ry-1y) 3r=-2r十 miry-iry+3y 当x-子时d-2+1-(-广-x(-） =一(n一”(m一和Pg《m一) =2y-4 =一明一 G.A +1- 3,0 (粉算式=+×2×2*+1一2)×2 整力在线 解为在线 6.D T.B 酸力在线 =-+《-2) 银-33.31+74')m10.72n+5m CB1品161以号+}14m13,4 4,如周，作依如下 1(1》,=0=4, 11.1)a《w-4a+3)-W(4+)=6网=1+0 2机(10愿式=一名，(0顺式42一1 ①道点A作AF⊥M使AF等于同文) 《=,= 6→45==20十 过NB作BC⊥CN.使G等干河宽： 21.21+▣+y)+《-10△+xy-: 六4-=，路=6六= 当4=-2时，螺式=-0×（一2十3×(-）=-94 ②涯援GF,分捌型CQ,CP相变干 2y2+《-1xy0)=-1时2y,y+(-7ry》=- a十b=4十3=1 202ry《2y-1y-y)=2y-6r2y-y 5ry·(-t)=一y, 点E,了年 ①过点D作DDLM于点D,甘点E (20■2， 2《子21-4(4)-y W年1xy-35xy十x7)+4一y》 《8)1-10() 当xy=1时：题其=2×1一4X3一6×3=一24 作常⊥GN于点B,则DD,EB博为两座都的位置 -3ry+5ry-y. 后晨在俊 =9x11-10(x) 拓误在拔 出口处教兼掉的内物是一5之子，△处数擦掉岭内容是 =9X-10X 12. 5,(1如周①，作点P关于 04的对称点C,关于CB -9×8-10×4 帚3课时寥重其与多项人相乘 蹈展在暖 17. 落选有线 的时称点D接D,分刷 n(1》2=,Y=3 1（-)(-)2-b-P [(+(告×H]-[(是×)'x CM,C用于点E,F,E 《-y) 2D &D F度是所要术作的点， 10 y 4(1值k--3xy+r-4--4: -(A+n)*-+n ()存在点￡，P,如图@， =《)””(y) (2》原式=6'=102+5=904+15 作直M美于M的对群点C,作点N美争形的对将点 =2×Y (》原式=￥+42+4·h+。·以十(=4》· 即蕾要（宁+3H个站样的杯子 =144. 量专露10露周蒂的运算法测巧计算的常见燕型 D,连推D,分剂交M,形于点B,求，男E,N就是所要 (2》2×31-6, 求作的点， .102)-8-d 《2×》+=41, 5(2十2w一4)&B 第十大章整式的意法 2.l)解式■r+2分，（卧眼式一红一y 了.1四为3a十2)×2+)■2+3a+4十2W=( 1.24=”，=欲×4■28 16,1都的远算 +7ab+2)m, 1.27×9=J)*×-×=3- 16,L1属连数喜的乘法 解得=？， 所促长方形AD地块的自积为+T+2界)m, 解得=1 基萄在越 防展在桃 (2因为2a+)×26=(4h+21m, 5.4■x·mr+=2×3=24 LCx1354.25,28,D7,787,43 2L(1》 所属修建醇像的小长本思EF可H流块的育积为4以 9,1)=,=9, (2■=严-)4=24,==44)“-254， 原本程，()-[()门 =·=3×=7 --(5)4=12%,且125<243256： (》国为绿化辉出的积为6，+7的+敢=(44+w) (2)4'=n=8, 10<2434<25", =〔和中4h)m, 断u()-( 2=23=2w 所以当44,1时 听以一1一4解择一4 24 一探究在线·八年纽图学（上）一