微专题2 与三角形角平分线有关的角度计算&微专题3 利用数学思想求角度-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（人教版2024）

微专题2与三角形角平分线有关的角度计算 模型① 两内角平分线的夹角 很型3 两外角平分线的夹角 模型与结论：如图，在△ABC中，∠ABC与 模型与结论：如图，在△ABC中，∠CAE与 ∠ACB的平分线相交于点P,则∠BPC ∠ACD的平分线相交于点P,则∠APC 90°+ ∠A 90-∠B 1.如图，BE,CF分别是∠ABC,∠ACB的平分 3.如图，将△ABC沿着DE剪去一个角后得到 线，∠A=50°，那么∠BDF的度数为() 四边形BCED,若∠BDE和∠DEC的平分线 A.80 B.65° C.100 D.115 交于点F,∠DFE=a,则∠A的度数是() A.180°-a B.180°-2a C.360°-a D.360°-2a 第1题图 第2题图 模型2 一内角一外角平分线的夹角 模型与结论：如图，在△ABC中，∠ABC与 ∠ACD的平分线相交于点P,则∠BPC= 第3题图 第4题图 2∠A 像型④“8字形"内角平分线的夹角 模型与结论：如图，AC,BD相交于点O,BP, CP分别平分∠ABD,∠ACD,且相交于 2.(中考·达州)如图，在△ABC中，AE,BE分 点P,则∠P=(∠A+∠D. 别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等分线，且 ∠EAD=3∠CAB,∠EBD=3∠CBD,在 △ABE1中，AE2,BE2分别是内角∠E1AB,外 角∠EBD的三等分线，且∠E2AD= 4.如图，AC,BD相交于点O,BP,CP分别平分 3∠EAB,∠EBD=号∠EBD,…,以此规 ∠ABD,∠ACD,且交于点P.若∠A:∠D: 律作下去.若∠C=m°，则∠En= ∠P=2:4:x,则x的值为 13探究在线八年级数学（上） 微专题3利用数学思想成角度 类型①方程思想 类型③转化思想 1.如图，已知AB∥CD,E是直线AB,CD之间 4.由A→B→C→D→E→A组成的线段图如图所 的一点，F为CD上一点，∠FEC=∠EFC, 示，求∠A十∠B+∠C十∠D+∠E的度数， ∠AEF=4∠FEC,若∠A=120°，则∠C的度 数为 D 2.(安庆期中)如图，D是△ABC的边BC上 点，AE平分∠BAD,∠CAE=∠CEA,∠C 堡型④分类讨论思想 5.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC= ∠BAD,若∠B=40°，求∠CAE的度数. 40°，∠CAD=30°，则∠BAC的度数是() A.20 B.80°或30° C.20°或80 D.60 6.(准南期末)当三角形中一个内角a是另一个 内角B的两倍时，我们称此三角形为“特征三 角形”，其中a称为“特征角”.如果一个直角三 角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度 数是 7.已知在非直角三角形ABC中，∠A=40°， △ABC的两条高BD和CE所在直线交于点 H,求∠BHC的度数. 类型②整体思想 3.如图，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2= 80°，求∠B的度数 第十三章14温聚提承：墙做究后再看容象【 A+AE+OR十>HE+O (架园团，当高AD在△AKC的内第时，则以=D十D= 《2)1)中的结论奶脑成立型出知下： 出图可年，A星十义=AC,=期十泥 4,.C=2=10, 女ADLC,R⊥AH,÷∠D=∠=T ∴AB+A+ROB+0+OR 参考答案 得中<AI+AC 8=-言×10×4-38， ∠2+∠ABD-a,∠I+∠CE=o 义￥∠A0-∠C银.∴∠1-∠ (2):则十C,湖十7， 如周9，青高AD有AAC的并第时，群C-D-(D-1, 13,3?三角思的粉角 第十三章三角形 :0期+OC<AB+M, 基础在线 ∴M+CI1..7<0840<11. L.C 27 3 30 4.A 5,C 6B 13.1三角聪的概念 11三2三角形的中城、角平分接、高 7,①∠a=0,②∠a=158,s 基稻在城 基键在线 能方在线 LC 2C 1.B:So S c 10 3,510A1:A12.1111,63 a,S△ABD,△BDC△BDC,△AB0AB∠AC 2.3 3.4.A 5.JAC HAC 4.1图为∠B=45,∠84D=0, ∠A:∠ABD,∠ADB ,DEAC,∠4=∠CAa ■1 所∠A:-∠B中∠AD=1a LA S.C 6A 7.C ∠EDA=∠AD,∠CA-∠EAD 13,3三角形的内角与外角 因为∠=45“， 易力在银 AD是△A的角平分线， 133.1三角形的内角 质且∠DAE=r-∠G-∠AC=10 8.D线010B11.@④1284415.-1 7,AD⊥AXC周A,A 第1球时三角利的内角中 14,1)且点B为属点的角邢是△ABD,△ABE,△AB 质H∠ADB-∠AED1回-S (DAC BC 基健在线 2D以AC为效的区角形是△ACE.△ACD.△C& (2)如图所承 1B2.1)4520713.324.C5.308.40 E以∠CDE-∠ADC-∠ADE-N H)周中岭等W三角形是△LD,△ADE,△AFC T.Y∠CGD=4,∠EF=∠GD=4 2)∠BAD2∠CDE理如下 △AC,等地三角用是△ADE a1:8a=-号AC,BC-号ABCD, ∠F=32, 像∠8D=r,周∠ADC-∠H+∠BD=+ 拓展在线 :.CD-AC-BC-1X3-1. AH ∠GFE-1-∠F-∠B-好-4r-1=1e 因为∠C例4”， l5.8610512883号+1)+2知 形以∠AE=1一∠C-∠ADC■0一盖 0C1.9政16 Y∠ACB-s,∠GFE+∠ACB-14.EFBC &A3时 13,2与三偏形有关的线极 能力在就 ADE-∠A5D-IDL-+ 能力在城 13无1三角形的迪 2B1山，0)两〔甲3)乙 10.B11.D12,A1xC14,45 蓝随在线 140政5015,41,1s 居H∠CE-∠ADC-∠AE-宁= I5.CD平分∠ACB. 打，AK=1m,D=2m =以∠民AD=2∠CDE 七1)3+1一5，：不圳域三角形. 65m-7AE,CGD-7X×2-到✉ 后展在性 ∠B=1'-∠CD-∠2，∠4=1 ()36+4k=k>5从，像组成三角愿. 5.【程究】证有，是被A以年感民，如图中 -∠AD-∠1∠1=∠2. (3》a十+1>w+6+1h,”a,b为较框边的民面： 5-子CE,A8-3m.A-8m V∠BOM是△AO的外- ∠B=∠4， 又，a十e+6+1,不组或三角形， ∠&MO+∠=∠BM.① 五A6.D7.中&B ÷E=1m ∠A=∠3 ,∠则是AOC的外角 ∠AED=1-4∠3十∠4)mB一∠A+∠B)■ 霍力在线 麵展在酸 '∠CA0+∠C=∠O0l9 ∠C& 8.Bi0D11.A 1(11 ①十心.再 ,呢成BC 12,小平三角形周边之帮大第三造3.4 ()当CP起△ABC的面氧分成相等的两影分时，P为 ∠BAO+∠B+∠CAO+CC-∠B+∠CM, AB的中点 陌属在域 14.1)直三角形的三边美系用，AC-之AB之AC+C 厚∠C∠MC+∠B+∠C. 品底户运离的路程为十号-旱一要+2-早 16.B 聊一3A<3+1,,6<AB12. 17.1)0 【位m1(1),∠AC=54',∠BCD4B 又：△AC的用长为偶数，面AC,C为青数， ∠2-180-∠ABC-∠CD=18-4-4=70 ,AB为偶数，且AB为正餐数故AB=8点10 9一时于把△AK的南积分拔标琴的两影分， (?)∠A作x+∠X的大小不变，理由加下： .∠1=∠2=70. ∠A=, )AC+C=15,AAC的周张为偶数： (3》周点P在MP上时，△BCP的面积为4m, 南【w】可理，∠AED=∠A+∠D+∠1=28+1” ∠BC+∠B=1'-∠A=10', ,AB为王限数，且B为春数 7w114”. 在△CX中，∠BXC-则'， AB<AC+BC=15,AB的量大黄方1月. 六5ag-BC~CP-子×3×2-L解博-于 (2)连援AD,如图①， ∠XC+∠XCB=1-∠BXC=0 15.1)量庭边长为am,期餐长为2.54m 南【探宽1可，∠F+∠FAD+∠EDA-∠DEF,3 六当=子时，△CP的南飘为4可 ∠LBX+∠ACX=4∠LBC-∠XC)+《∠B 2.w十2.w十一30，解得a=.周2.5u=12.. ∠HAD+∠ADC+∠C=∠ABC,① ∠XCBm=(∠ABC+∠ACB)-(∠XC+∠CB)= 紫以，三角限三三动的长分别是5n:25a北5 襟专丽1三角形的中线：离线的坛用 15”-=W. +D,群∠F+∠FLD+∠EBM+∠AD+∠ADC+ 2)园为长为m的边可像是堰，依可峰是底，所以要分 ∠C=∠DEF+∠ABC=180+1=230. 闲种情瓦计论， 1.02.0片(24 ,∠AnX+∠ACX的大本不爱. ∠EB+∠C+∠EDC+∠F=20 家2国时直用文角形的两复用互伞 背等程三角的边长为6时，长为（一6》+2 1“E-Cgc2-} 蓄德在雄 -12(c. 1.B2.n 则等限三角形三边，长为6：12m:12,数构成三 98-65m一5w-吉X6- 器△AC是直角三角形：理由短F, 角形： AD-28D.So-6,8n-Sm:-t D⊥AB,∴∠A量=o',△A0R是直角三角感 ②等等暖三角形的烟长为6拉时，庭边长为3约 ∠1十∠A= 2×6m14(ctm ,8-5=〈Sm一5a》(SAAn-SAMO}=5Am 又”∠1=∠2，∠2+∠A-,△AC是直角角那， 做专题2与三角形角平分极有美的角度计算 因为8十心1B,不符合“三角形两边的和大于第三边” 5:=4-3=1. 4.00 所以不物构嘎丽长是6由岭等限三角形. 期5，一S的售为1 能力章墙 等厘三角思其离边的长为12,12m .莲接AD 5C4.A 微专题3料用数学思想求角度 Saa-SaAm十5A单 拓属在线 1,14 14.1)如圈.延长O交C于点E,根圆 ∴C·G-子AM:DE+二AC·DN T1》∠1=∠2由如下。 2,廿AE平背∠MD 三角带的三边关系可以得铜。在 ADLAC.CELAB, △ABE中，AB十AF>E,在△O 又AB=MC,DR+DF-a 二△AD期凸CE年是直角三角形 ∠4=∠1十∠8=x十40 中，十C>0两不等式相，得 5,8”减 ∠1+∠=，∠2+∠=,∠1=∠ 一探究在线·八年贝服学（上》 5∠CA星=∠(EA,二十4=gt∠3，.∠1=40 国为AD是造C上的中线 第十因章全等三角形 A8=A: ∠1+∠g+∠+∠B+∠C-Ir.∠C-∠BAD-2x: 所以CD-是C-& 14.1全等三角形及其性置 ∠BAC=∠EAD, 十g+40+4+2-1,-招园 MC-AD. ∠CAF=∠2t∠a=当+40=6的， (2①因为∠D=36,∠C=4, 慕配在拔 所队∠aC-r-∠H-∠C-1一6-=r. 1D2C △ABa△AX4S8) ,新叠， a点A和点A',点B和点B',点C和点CE和H ,在△AC和△：BD中， ∠8ED-18-∠)-0-音∠1，∠BDE 时为AD平分∠.衡以∠-空∠4C- AB-KF. AB和AE',AC胞AC ∠A和∠A',∠B南∠AFC, ∠CA8=∠DF 壹10-∠0-90-7∠a 国为AE⊥B以，新以∠AEB=0 ∠CB和∠C2 LAC-ED. 所民∠A1E=”-∠B=3, △ADC△AEB .△Aa△8A5),.∠AC作=∠ “∠B=L0-∠BDE-∠ED=∠1+支∠2 所∠BAE=∠&AE-∠HD=5达'-4U=15 明虎道AD和A￡，AG和AA,D如B .∠=∠CAC8 1e 对皮角∠D4朝∠EE 5,1两查和它门的夹角对位阳等香，后1，不拿等 号（∠1+∠-4 1k(1)12台 5C6.9 2在△AB银E中，∠UKC十∠CB=1一∠A=1一m 陵力在酸 ?,ADL BC.理舟如F: 4,如用，由角形外角可再∠1=∠B+ 5,H队C1A(3.4)度3，-4) :0阳m分手分∠AC和∠ACH4 △AHQ△ACD,∠ADB=∠ADC ∠C∠2=∠0+∠E. 11.(1任考，：∠AB=∠CAD, +∠0C号∠ABC,∠0CH-∠ACH 又：点，DC在同一条直拔上， H∠2+∠1+∠A=1 ∠MB-∠DAE-∠CAD-∠DAE ∠AD+∠AIC=180. ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E■ ∠MD=∠CAE 2☑-是xt∠n-}-a ∠ADBa∠ADC=0, 180. 在△ABD和△ACE中： AD⊥BC 6.C&36或 在△0BC中，∠C-180-〔∠0C+∠0CB) (AN-AC. N(1)L周：，△A经G△MN, 7,分简种情况树轮： 1面-n-的-9w47 ∠AD=∠CAB, ∠A-∠D..AEOF ①出△A是钱角三角形时，复图D AD-AE. 甘D,C诺是△AC首高线， (3》设∠A=',则∠C=(3)只 (8)YAACERADBF,AC-DB. △AD☑AACE ∠AD=90,∠BEC=9 由(2阳：∠C-可+含.0+登-红 C-BC=DB-C=4一4=2 (),∠4C+5, 在△ABD中，？∠A-0, 军AB=D=2 ÷∠AC+∠=1可-∠L4C-19-=9 ∠BD0-40=50. 第得工=a,D∠A-3, 六AD=AC+CD=+= △AID2△ME,∠AID-∠ACE-, 品∠BHC=∠AD+∠B=55+'=i4 单元绵合复习（一）三角形 级4成5 ∠BC+∠PN=(∠ABG+∠A市)=∠A8D 1,三角形具有稳定性 额力在线 ∠ACE=4--r=54 2.C 3.C LC 5.C 6.D 7.D &.C 9.A 10. 10,CB11.40°12.14》13，D14. ∠BC=0一（∠FC+∠CT)=1-= 15,《1)#△Am2△C,iC-Cg=1 1L(1D领耐所示 CD=DC=4-3=5 (影AD是边上的中线，C=4, 2)中Y△ABQ△DEC, 2BD<堂A8+9,理台每下 D-D-子BC-生 ∠BCA=∠ECD,∠BAC=∠EDC 如，日长BD到点E,使DE DB,连接E. 四当△A以C是地角以角形时，如丽西， :DE,C计渊为△ABD的边AB,BE “点BC,D在同一条直线上： BD,CE是△AC的高线， .∠=∠D= ?D是△AC中AC边上的中 上的高， D正则，，∠ACB=∠ECD-96, 线，AD=CD ∠A+∠=，∠+∠CD= -号DAC-于A:B ∠DE+∠CEDm', AD-CD. ∠AE=∠D, ∠BHC=∠A=0 "∠LEF=∠CED.∠&AC=∠CDE. 在△ADE和△DB中∠ADE-∠DB 峰上周北，∠BHC的度数是1或的”. 甲}×2X3-专×50E:制得D限-号 .∠AEP+∠AC=a DE-D8. .∠AFE=间，口D求⊥A因 △A☑△CDsA5AF=CH 阶段海深1[13.1-1从.3) 故或D到AB的即骂为号 在△A零中，由三角形的三直关系，料<U小+成， L C 2.D 3.A 4.B 5.C &B 7.B BA 拓黑在线 %,三角感的整定性1收411,4125 12B1kD14.D16D16.617.100 14,∠C=∠B-A 厚H<A+BC.'.BDC是AB+BO 11,171510425 AF⊥DE理由如下， △ADK9△AD,△AEHa△AEH 蹈展在明 15./∠CAD=,∠D=39, ABD,.∠AD=∠2 ∠ACU-∠C=e+∠AHE=∠f-A 11C ,∠CA=∠CAD+∠D6 N∠1=∠F,∠2=∠E,'∠E-∠AGD ∠CAD∠CAD=JF,∠E=∠AE=3 第兰绿时域明·角吃用画“青为地”证三消利全零 W∠EBD=16P, ∠I+∠D=∠E+∠F+∠AO ∠CDB=∠C+∠CAD=3+,∠CEB=∠BAE 基对在候 品∠B4C=∠EBD-∠BCA167-s=42 义：∠1十∠AGD+∠AG=-1', 十∠十 1:∠ACI=∠ACD 1,(1)题意，得C一ABCACCBC+AB. ∠AG=.AF1DK 2在△AB△AD中 ACACZ 1久55度5 ∠AC-∠CD0-+,∠ACU-∠EU-一5+g ∠A=∠A. 义二AC是整直，A-A 储合与美载确定匀质请板的重心位置 :∠BAC+∠AC+∠CB=18, AB-AC, ():D是△AC的中线 D4,15,3》4(得别 p35”+(35”+)+(35+》=1 ∠n=∠C .AD-CD. g十=5， 号AABD阵周长为0 玉由题原如，5w-4(m),50一方×2X1-3am ∠℃-∠G+∠A∠-∠+∠D, AD AE...AB-ADAC-AE BDCE AB+AD+BD10. ∠F℃-1“++9-3+g-110 L.BE=CD减AE=D A8-1AD+8D-9. 正方带0MB配的重0觉际为，一1)，AAO心的康心集解 14.2三角那全等的判定 1.)证明，在△AC和△BD中， △假D的周参为十0十D=C十边十A台= 为( ∠C=∠D 8+9=17, 蔷德在线 ∠CA=∠DLB 17.1)因为A5为边C上的高，A5-△AC的直积为4， LA 2.B LAB-BA. :幅金图彩的重化相坐标为一中) &∠BAE=∠CAD. 所以宁C×Af-4 △LB△&ADAAS 4x(-1+3×- ∠BAE+∠GAE-∠CD+∠CAE,w∠BMC-∠ED 42)30 所慰-1史 在△ABC和△AED中 5,D6,前 18 一探究在线·/八年贝图学（上）