第13章 微专题4 全等三角形的构造方法-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（冀教版2024）

4 微专题4全等王 堡型①添加公共边构造全等三角形 1.如图，已知AB=AC,BD=CD (1)求证：∠B=∠C: (2)当∠BAC=2∠B时，直接写出∠BDC与 ∠BAC之间的数量关系， 类型②“截长补短”法构造全等三角形 +方法指导+++++ 藏长补短法的具体做法：在某一条线段 上戴取一条线段与特定线段相等，或将某条 线段延长，使之与特定线段相等，再利用全等 三角形的性质加以说明，这种方法适用于证 明线段的和、差、倍，分等关系。 2.(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠B =90°，AD是角平分线，交BC边于点D.求 证：AC=AB十BD:(用截长法解决) (2)如图②，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是 △ABC的角平分线.求证：AC=AB+BD.(用 补短法解决) (提示：在同一个三角形中，如果两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等) D 图① 图② 37探究在线八年级数学（上）·刀 三角形的构造方法 3.(石家庄期未)问题背景： (1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别 是BC,CD上的点，且∠EAF=60°.探究图中 线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学 探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG =BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再 证明△AEF≌△AGF,可得出结论：EF=BE 十DF,请你写出证明过程； 探索延伸： (2)如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B+∠ADC=180°.E,F分别是BC,CD上 的点，且∠EAF-=2∠BAD,上述结论是否仍 然成立？并说明理由 图① 图② 类型③“"倍长中线"法构造全等三角形 方法指导++++++叶 先将三角形的中线延长一倍，构造出全等三角 形(“8”字形)，再利用全等三角形的知识解题. (1)如图①，已知D为BC的中点，延长AD 到点E,使DE=AD,连接BE: (2)如图②，已知D为BC的中点，延长MD 到点E,使DE=MD,连接CE: (3)如图③，已知E为DC的中点，延长FE 交BC的延长线于点G. 模型 展示 4.【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了 如下问题：如图①，在△ABC中，若AB=8, AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决 方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小 明的方法思考 (1)选择：由已知和作图能得到△ADC≌ △EDB的理由是 () A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)填空：求得AD的取值范围是 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可 以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已 知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中 【问题解决】 (3)如图②，已知CD=AB,∠BDA=∠BAD, AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE. 图① 图②园 第十三章38∠A■∠C 4,(1)B A,D,4,E四点在一条直线上 ∠1=∠2， (2)1<AD7 ∠CBM+∠HE=180 BE-DF. (3)证明：延长AE到点F,使EF ∠E+∠CBE=180 △ABE≌△CDF(AAS). -AE,造接DF,如图断示 15.(1)6-2a ∠B=∠D.AB∥CD (2)如图②，延长AB到点F,使AF-C,连接DF, ,AE是△ABD的中线， (2》△.BPD☑△CQP.用由： AB-AC. AD是△ABC的角平分线， .BE-DE. 4.(1D证用：在△B4D和△CAE中，：AD-AE. :D为AB的中点AB-B,DB-三AB-4 BD-CE. ∠FAD-∠CAD 在△ABE当△FDE中， AFAC (AE-FE :点P,Q的运动速度相等，4=1 ,△HAD2△CAE(S8S.∠1=∠CAE. .BP=CQ-2...CP4-BD. 在△FAD和△CMD中，”《∠FAD=∠CMD, ∠AEB-∠FED, ∠I+∠DAC=∠CAE+∠DAC AD=AD. BE-DE. BD-CP. ∠HMC=∠DAE. 在△BPD和△CQP中，，{∠B=∠C △FAD2△CAD(5A5 △ABQ△FDE(SA5) (2)∠3∠1+∠2现由如下： .AB-DF,∠F-∠BAE BP-CQ. .∠C=∠F 由(1)0△BAD☑△CME,∠ABD=∠2 ∠ABC=2∠C,∠ABC=∠F+∠BDF, CD-AB.CD-DF. ,△BPD2ACQP ∠3■∠ABD+∠1，∠3m∠1+∠2. ∠F=∠BDF,,BD=BF '∠F-∠BAE,ABDF (a》,△BDP≌△CQP,∠B=∠C, 5(1)DE-CE-BD. BP-CP.BD-CQ. AC-AF-A8+8F-AB+BD. ∠BAD+∠ADF=180 (2DE-BD+CE 8.(1)证明如下，在△ABE和△ADG中， :∠BDA+∠ADC=150,∠BDA=∠BAD: (3)DE=CE-BD现由加下： 2=0-2=4解得4-是a-号 ,∠BDM=∠BAC,∠BDM=∠DBA+∠BAD. (BE~DG, ∠ADF=∠ADC AD-AD. 1床4三角形的尺规作图 ∠B=∠ADG ∠BAC-∠BAD+∠DAC, A出=AD, 在△ADF和△ALDC中，：∠ADP=∠ADC 基国在辑 ÷,∠DBA=∠DAC司理∠BAD=∠ACE 1.D2B △AHE≌△ADG(SAS) DF-DC I∠DBA-∠EAC 3图略，作法如下 在△HMD和△ACE巾，：AB=CA. AE=AG,∠BAE=∠DG, .△ADFa△ADCSAS).,∠F=∠C ∠C=∠BAE, (I》作∠CN=∠ ∠EAF=60°，∠BAD■120° ∠BADm∠ACE 阶段测深218.113.31 (2)在射线CN上截最CH=a: .∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAEt∠DAF △HMD☑△ACE,AE=BD,CE=AD. L.C2.B3.A4.C5.B6.D (3》作∠CHA=∠a交M于点A,则直角△A -60,∠EAF-∠GAF ∴，DE=AD一AE■CE-BD AE-AG. 7.授有8.∠B=∠D(答案不唯一)9.不全等 为所求作的三角形， (4)当点B,C在AE同侧时，DE=BD十CE,当点 10,(1)三角思其有的定性(2)34 能力在线 在△AEF和△AMGF中，：∠EA下-∠GA下， B,C在AE时，DE=CE一BD LD AF-AF, 11.14412.①8④ 陵专服4全等三角形的构资方注 13.(1)逆合慧：知果两个角相等，那么这两个角是同 5正编.证明： ,△AEFa△AGF(sASD..EF=PG 1.(1)证明：如图，速接AD, FG-DG+DP-BE+DF,EF-BE+DF 校角 在△ABC和△CPA中， 在△ABD△ACD中 CB-AP. (2)结论EF■BE+DF仍然成立 山手原命题及边命愿均为假食驱，因比原命题和 AB-AC,BD-CD.AD-AD 通命思不是互道定理， :∠ACB-∠CAD. ,△ABDa△ACD(SS8). 型由如下，廷长FD到底G,使DG LAC-AC. =BE,连接AG,如图， (?)逆食题是：如果三条线段中，任室两条线段长 ,∠Bm∠C ∠B+∠ADF=I8r∠ADF 度之和大于第三线取的长度，那么这三条线最能 △MHC≌△CPA(SAs),∠APC=∠AC (2)∠HDC-2∠BAC,捏示：如图，延长AD列点 拓展在领 ∠ADG=180'. 国成三角形. E,由1)知，∠B-∠C 6,(1)如 .∠B=∠ADG 山乎原命题与边命题都是定理，因比原命题和逆 :∠BAC=2∠B, (2)证明：：△BA☑△ABC 在△ABE和△ADG中， 命题是耳遵定理， ∠BAC-,∠B+∠C AD-AC.BD-AC BE DG. 14,武是条件②：ADC, '∠BDE-∠B+∠BAD,∠CDE-∠C+ 在△ADC和△BCD中， ∠B=∠ADG ,M是CD的中点，CM=DM ∠CAD, [AD-BC, A8-AD. AD∥BC,,∠DEM=∠CFM ∠HDC=∠B+∠HMD+∠C+∠CMD AC-BD. ,△ABEa△ADG(SAS) ∠DM=∠CFM, IDC-CD. ∴∠BDC-2∠BAC AE=AG.∠BAE=∠DAG 在△DEM和△CFM申，∠MD=∠PMC, △ADC2△CD(35S. 2.《1)知图①：在AC上餐取AE=AH,连接DE, MD-MC. “∠EAF-7∠BAD, (3)35 :AD是角平分线。 .△DEMa△CFMCAAS). 单元偏合复习（二）全等三角形 .∠BAD=∠EAD ∠GAF=∠DG+∠DAF=∠BME+∠DMF 珠择条件①：M是E下的中点，可用功角功建行 热门考点突破 AB-AE. -T∠BAD.∴∠EAP-∠GAR 利定： 1.B 在△ADB和△ADE中.：∠BAD=∠EAD, t5.(1)AD-BE, 之C两直线平行，内错角相等C网旁内角互 ADeAD, AE-AG. .AD+DB=BE+DB.甲AH=DE 补，两直线平行 ∴△ADBQ△ADE(5A5D. 在△AEF和△AGF中，，∠EAF-∠GA下， 在△ABC和△DEF中， 3.A4.B5C6.D7.A&.40°DM2 ∴，∠AED=∠B-O',DE=DB AF-AF. (AB-DE. 1)证明：M为EF,BC的中点， 又△ABC是等暖直角三角形， ,△AEFG△AGF(SAS. AC-DF. .EM-FM.BM-CM. 占∠C=45:△DEC是等要直角三角形， .EFFG. IBC-EF. E,M.F恰好在→条直线上 .DE-EC.EC-DB. FG-DG+DF-BE+DF. .△ABCG△DEF(SSs). ∠RME=∠CMF AC=AE+℃AB+D “EF=E+DF (2)由(1》年，△ABCa△DEF,∠CBA=∠E 在△MBE和△ACF中， -探究在统·八年报数学上)·一 21