第13章 微专题3 全等三角形的基本模型-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（冀教版2024）

微专题3全等 类型① 平移模型 +方法指导+++++++++++++++ 模型 展示 模型 特点 沿同一直线平移可得两三角形重合 解题 (1)加（减）共线部分CE,得BC=EF; 思路 (2)利用平行线的性质找对应角相等 1.(秦皇岛期中)已知：如图，点A,D,C,F在一 条直线上，AB∥DE,∠B=∠E,AD=CF. (1)求证：△ABC≌△DEF; (2)若∠A=50°，∠F=70°，求∠B的度数。 类型②对称（翻折）模型 +方法指导 有公 模型 共边 展示 有公 共点 模型 特点 沿某条直线折叠，两个三角形完全重合 (1)找公共角、垂直、对顶角等条件得 解题 对应角相等； 思路 (2)找公共边、中点、相等边、线段的和 差等条件得对应边相等 35探究在线八年级数学（上）·刀 三角形的基模型 2.如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AB上一 点，其中AD为∠CAB的平分线，AC=AE. (1)求证：△ACD≌△AED; (2)若∠C=105°，∠B=35,求∠EDB的大小 类型3 旋转模型 +方法指导 共 顶点 模型 展示 不共 顶点 此模型可看成是将三角形绕某一个点 模型 特点 旋转而成，故一般有一对相等的角隐含 在平行线、对顶角、某些角的和或差中 共顶点：加（减）共顶，点的角的共角部 分得一组对应角相等： 解题 思路 不共顶点：①加（减）共线部分CF,得 BC=EF;②利用平行线的性质找对 应角相等 3.如图，已知B,E,F,D在一条直线上，BF= DE,∠A=∠C,∠1=∠2.求证：AB∥CD. 4.如图，已知AB=AC,AD=AE,BD=CE. (1)求证：∠BAC=∠DAE; (2)猜想∠1，∠2，∠3之间的数量关系，并证明. 类型④一线三等角型 八方法指导++ 1.同侧型 4A酒 条件：A,P,B三点共线，且∠1=∠2=∠3 AC=BP(或AP=BD或CP=PD). 结论：△CAP≌△PBD,AB=AC+BD 2.异侧型 A 条件：A,P,B三点共线，且∠1=∠2=∠3， AC=BP(或AP=BD或CP=PD). 结论：△CAP≌△PBD,AB=BD-AC ++++++++++44+十+“4+十+++十+ 5.(跨学科·物理)小西在物理课上学习了发声 物体的振动实验后，对其作了进一步的探究： 在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一 个小球A,小球A可以自由摆动，如图①，OA 表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠 近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过 点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC位 置时，OB与OC恰好垂直（点A,B,O,C在同 一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E 1今4，是 图①D 图② 图③ (1)【初步探究】请你直接写出线段DE,BD, CE之间的数量关系；（不要求证明） (2)【全等模型】如图②，在△ABC中，∠BAC =90°，AB=AC,直线I经过点A,BD⊥直线 l,CE⊥直线I,垂足分别为D,E,则DE,BD, CE之间的数量关系为 :(不 要求证明) (3)【类比探究】如图③，在△ABC中，AB= AC,直线MN经过点A,E,D,且∠BDM= ∠BAC=∠DEC,请判断DE,BD,CE之间的 数量关系，并说明理由； (4)归纳上述(1)(2)(3)，请用简洁的语言表述 DE,BD,CE的关系. 第十三章36众.三角彩的稳定性7.书 (2)∠=∠E, 能力在极 ∠-∠C=∠E-∠E, 8.hD,A10.111.4 W∠ET■∠GE-∠，∠C1E=∠E 12.1)t明：BE=F, ∠E,∠AE=2, 二RE+=CF十C.pC=EF .∠GfC=∠CAE=2 AB一DE 拓展在线 在△ABC和△DEF中，：AC-DF 1我如图，在AD上霞取AF,便得AB=AF -EF. :AE平分∠BAD. ÷△AB0☑△DEF(sss).,∠A-∠D ∠BAE-∠FAE 《21:∠A=70,∠B=40,∠A+∠B+∠AC 在△AE和△AFE中 =180', (. ∠A=18一∠1-∠B=8-70-4 ∠HAE=∠FE =70, AAF. 由(1)知.△AH2△D5F △ABA△AFE(SAS). ∠DFE-∠，AH-0 ,B-FE,∠EA-∠AEF :F平分∠DFE.∠GFC-∠DF-5 ∠AED=B0∠BEM+∠D=0 ∠AEF+∠DEF-0.∠DE℃=∠DEF ∠GFC+∠F=∠ACB. :E是边C的中点，E-BE一下E L∠GF∠AH-∠GFC=T0-1-3 ED-ED. 拓展在线 在△DEE和△DEF中.” ∠DEC=∠DEF .图①，图图，图心的网格中简出三角形1图乐示 ECEF. 容紧不唯 .△DEC2△DEF5AS)..D-FD AD-AF+DF-AB+CD-AB+2AB-3AB =1月. AB@6, 第3课财扇边角矿角角垃”个形全等 第课时 利用“造边“定两个三形全等 基础在域 基础在线 1.A1A3.D ,一定多力 4,在△A(C和△DB中 太：AB平分∠CAD.二∠CAB-∠DAB I∠-B, 在A,ABC雅△ABD中 5O=B. AC-AD. ∠A-∠OB. :∠CAB-∠DAB △Xa△DB AB-AB. 5,AG.∠A=∠D .△.1Q△ABD(sAS). ?.嘉嘉的自编遇无误，正明1下 BF-EC.8F+FC-EC+FC.BC-EF. CD⊥AB.BE⊥AC,∠AEB=∠ACm0- :AHDE.品∠B=∠ 在△ABE餐△ACD中， 在△ABC韩△DEF中， ∠AB-∠AD AB-DE. ∠B4E-∠CAD ∠B-∠E AN-AC. BC-FF. ,△ABE☑△ACD(AAS). ,△AB2△DEF(8As. 能力在线 ,∠ACB=∠DFE.,AC/DF 4.sAs成边角边友1？.目 R.B 9.D 10.C 11.DE-7AG 伦力在线 121)t明：由道意，得∠A十∠B=o,∠A-∠D, .1D3.A10,9011,100 ,本中∠0 12,1明：∠BD=∠CAE ∠BPD0.ALDE ∠HAD+∠DAC=∠AE+∠DA (2)AH⊥DE.ACD. ∠BAC=∠DAE ∠BPD-∠ACB=o AB-AD. ∠A=∠D, 在△ABC△ADE中，：∠BAC=∠DAE 在△AC和△DP中， ∠ACB-∠DP AC-AF. =BΨ， ,△AC@△ADE(SAS.,∠C-∠E. △Aa△DBP(A) 20 一探究在线·八年 3.《1证明：MND, 1L在△1E和△CDF中， ∠HMN=∠BPD ,∠BPD-∠AP BEDF .∠BMN=∠APC AE-CF. ∠C+∠MND=I,∠NM+∠ND-1, △AHE☑△CDF(SS5) ∠C=∠BNa. .∠AB-∠CFD ∠'∠BNAI. .∠AO=∠CFO 在△ACP种△BNM中，CP=MN, ∠A-∠C ∠AC-∠BMN 在△AME和△COF中，：∠AOE-∠CF AACPABNMCASA A“", (2)由1)知，△AC2△BNM.,BM=AP ,△E△CF(AAs),U=F AB-7AP3..BM-AP-3. 拓展在 .PM-AB-AP-BM-1. 12可题发现：AE=BD,AE上D 拓展在线 5展探究：域立，建由如下： 14.11 设CE与D相交于应：，如图所示， 第时其有精味丝置的个三形全羊 '∠AD-∠BCE-0, 基硅在线 ∠ACE-∠CD L.D2.一C(答案不准一》 在△，1CE和.△B中， 3.:C是AB的中点，，AC-BC 2=CI, 在△AD和△CBE中 :∠AE-∠B, A=上E AC-IC. CD=BE. ,△AE2△DCISAS AC-. AE-BD.∠AEC-∠DC △ACD≌△.CBE(sSs ∠BD+∠B90 ,∠A=∠CE. .∠AEC+∠DF-o. 又∠BE+∠EA=1”, ∠AFB=90,.BDLAF ∴∠A十∠ECA=1 即AE一BD,AE⊥D仍然成立 4.AC-AE武答案不隆一5.D 微专m小全等三角形的本模型 乐.1正明，，U为F的中点，0E=F 1I)证明：AD=F 在△A(E和△F中。 ,AD+DC=CF十DC,周AC=DF ∠A∠B, 'AB∥DE.∠A=∠EDC ∠ADE=∠wF. 在△A和△DEF中， OF-OF. ∠=∠E, ∴，△AEa△OF(AAS) 《21面1)得△A2a△BF,1-进 ∠A-∠EEX LAC-DF, AH=12,0A=号君=6 △AB☑△DEF(AA5. 能力在线 2)△AI△DEF,,∠CA=∠F 7,30m&①85，H ∠4-g,∠BCA-∠下-W, 10,《1U条件：①AC=DF, ∠B=8一∠A一∠w=1一0-0=6 ③BE=C下，洁论：②，∠ANC-∠DEF 之(1)T明，AD为∠CAB的平分线， 理由，E-F,,C-F. ∠CAD-∠EAD AB-DE,C-DF,△AC△DEF, 在△ACD和△AED中： ∠ABC=∠DFF AC-AE. 条件：©∠ABC=∠DEF,BE=CF ∠CAD-∠EAD 结论，①AC-DF AD-AD. 理由，BE=F,=EF .△ACD2AAE7DsAS :AB=DE,∠AB=∠DEF 2):△ACD2△AED.∠C=105, '△ABCO△DEE,ACDF ,∠AED-∠C=10i. (g)ADBF,∠DA4C=8, "∠AED=∠H+∠DB.∠B-5 :∠ACB=∠DAC-4g ∠DB=70, 由(1)可得∠A=∠DEF=55 3.BF-DE..BF-EF-DE-EF.BE-DF. ”∠(15■180-5-48=777 在△AHE和△CDF中， 双学（上）+小 ∠Am∠C, 21∠2 君EaDF. ∴△A日E2△CDF(AAS). ∠H=∠D,AB//CD. AB-AC. (2)如图©，延长AB到点F,使AF-AC,连推DF 4.《1证明：在么BAD释△CAE中.：AD-AE. “AD是△ABC的角平分线 BD-CE. ∠FAD=∠CAD. ,△BAD△CAE(SsS.∠1=∠CAE 在△FAD和△AD中，∠FAD=∠CD ,∠1+∠DAC=∠CAE+∠DAC. AD量AD, ∠C=∠DAE. .△FA2△AD(5M5). 42∠3=∠1十∠2理h如下： .∠C=∠F 由1)9△BAD☑△CAE.∠ABD=∠2 :∠4'-2∠C,∠A-∠F+∠BDF, g∠3∠ABD+∠1，”∠3=∠I+∠2， ,∠F=∠BDF.BD=BF. 5.4)DECE-BD. :AC=AF-AB+BF-AB十BD (2E-BD+CE 3.(1)在明如下，在△A出E和△AG中 (3)DE-CE-D理由如下： BE-DG. ∠BDf-∠AC,∠BDM-∠DHA+∠BAD ∠HAC-∠B4D+∠DAC, ∠H=∠AG, AN=AD. ,∠DA-∠DAC同理∠BAD-∠AE △AHEa△ADGISAS), ∠DBA∠EAG AE-AG∠BAE=∠DAMG 在△41D餐△ACE中。：AB-A ∠FAF-02,∠BAD=120 ∠BAD=∠AE ∴△NAD2△ACE SAE=BD.E=AD .∠GAF-∠DG+∠DAF=∠BAE+∠DAF -00,∠EAF-∠GAF .DE-AD-AE-CE-BD. AE-AG- (4当点B,C在AE同侧时，DE-D+CE,当点 B,C在AE异判时，DE一E一BD 在AEF阳△AGF中，，∠EAF-∠GAF, AF-AF. 微专题！舍等三角形的构透方浅 △AEFa△GF(sAs.EF-F 41证明，如形，炎楼AD, FG-DG+DE-HE+DF..EF-HE+DF 在AADN△ACD中， (2)结论EF=BE十DF仍整成立 AB-AC,UD-CD.AD-AD 理由如下：廷长D列点G,便D △AD59△ACD(Ss) =BE.直报A,如圈 。/ ∠B+∠ADF-I8.∠ADF (2)∠HDC-∠BAC程示：如图，延长AD到点 ∠ABG-180. E,h1》划，∠B=∠C .∠B=∠ADG :∠HMC=P∠B, 在△AHE和△ADG中 ∴.∠BAC-∠B+∠C :ZBDE-∠B+∠HAD,∠CDE-∠C+ [BE-DG. ∠-∠AG. ∠CAD. AB-AD. +∠BDC-∠B+∠BAD+∠C+∠CAD ,△AB@△ADGSAS). .∠BD-2∠4C, AE=AG∠AE=∠DLG, 三1如图①：在AC上截取AE=AH,连接DE, ?AD是箱平分线 ∠EAF-T∠AD: 六∠AD-∠EAD ∴.∠GAF=∠DG+∠DAF=∠BAE+∠BAF AB-AE. 在△ADBN△ADE中， ∠BAD=∠EAD. -∠AD.∠EF-∠GAE AD-AD. AE-AG. ∴，△ADB@AADE(SAS). 在△AF和△AGF中，∠EAF-∠GAF 六∠AED=∠I-g',DE-Dk AF-AP. 又：△AC是等腰直角三角形， .△AEF☑△MGF5AS, 六，∠C-特.△DC是等服直角三角形， ∴EF=FG DEECEC-on. FG-DG+DP-ME+DP C=AE+C■AB十BD EFBE+DF 一探究在版·八年 4.1)B A,D,B,E四点在一条直线上 (2)1AD ∠CA+∠CIE=18a (3)证明：延长AE到点F,使F ∠公+∠CE=18即， =AE,走视DF,如图斯求， 15.(1)6-2 :AE是△ABD的中线， (》△BPD☑△CQP.理由： BE一DE 在△ABE当△FDE中， D为A出的中点A-M,D-B- (AE-FE ?点P.Q的运动速度相等，4=1 ∠AED=∠FED, BPuQ2..CP=4■BD (BE-DE. BD-CP. 品△ABE2△FDE(SA$, 在△BPD胸△QP中，：∠B-∠C ∴AH=DF,∠F-∠BAE BP-CQ. YCD-AB...CD-DF. ÷△，HPDa△CQP :∠F=∠BAE,.ABDE a影，△BDPa△QP,∠B=∠C, ∠D+∠ADF=18 BP-CP.BD-CQ. :∠BDA+∠ADC=10∠HDM=∠BAD ∠ADF=∠ADC 2-6-2t=,解得-受n-号 AD-AD. 1还1三角形的尺规作图 在△ADF和△ADC中，廿 ∠ADF-∠ADC 燕在线 DF-DC 1.D之B △ADFG△ADCXSAS),∠F=∠C 工因醇，作法如下： ∠C=∠BAE. (1)作∠N=∠： 阶段测评2113.1-13.3 ()在时线CN上戴WCB=a L.C 2.B 3.A 4.C 5.B 6.D 3)作∠CHA一∠a交C1f于点A,则直角△A 7.授有A.∠B=∠D(答案不唯一)3.不全等 为断求作的三角形， 几，(1)三角思其有稳定性 2)3 能力在线 LD 11.14412.①④ 生正编.证明 1.(1)递命逐：如果用个角相等，那么这两个角是同 位角. 在△AC和△PA中。 CB-AP. 山于原命巡及连食延均为假命题，因此原命题相 ZAB-∠CAD. 通角想不是互递定理， AC-AC. ()通奇整是：加果三条线段中，任夏两第线取长 △MH△CPA(SA5),∠AP=∠A 度之和大干第三线双的长度，那么这三条线及的 拓黑在线 成三角彩 6(1)如国 由于原衡题与道合题邦是定理，因比原食题和道 (2)证明：△BAD2△ABC, 句题是互是定现， .AD-BC.BD-AC. 1选择条件：AD4C, 在△ADC和△BCD中 ,M是CD的中点，.CM=DM AD-BC. ,ADNC,∴∠DEM=∠CF AC-BD. ∠DEM=∠CPM DC-CD. 在△DE和△FM,∠D=∠FC, ,△ADC2△BD88S. MD-=MC. 135 △DEMF☑△C'FMCAAS) 单元除合复习（二》全等三角形 选择条件：M品E下的中点，可用边角边进行 热门考点实破 定. 1书 1,《1ADE, 2C构直线平行，内错角相等口穷内角互 .AD+DB=BE+DB.甲AH=DE 种，鸡直线平行 在△ABC阳△DEF中 1A4.目C6.D7.A&40°Dw2 (AB-DE. )F用，M为EF,的中点- AC-DF. EM-FM.BM-CM. BC-EF. E.M,下恰好在一条直线上， .△A2△DEF(SSs, .∠BE-∠CMf 2)由1》年：△A倒0△EF,∠CH1=∠E 在△NBE和△ACF中， 吸级学（上》川 21