第一册归纳总结及测试- 《温故知新》2025-2026学年高一上学期数学暑假复习课（人教A版2029必修第一册）

必修第一册归纳总结与测试 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25 北京·期末）荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%.而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍，至少经过了（    ） （参考数据：，，） A．41天 B．70天 C．111天 D．181天 3．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（云南省丽江地区中学等学校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题）若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽亳州·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 7．（2025·四川 ）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24 内蒙古）已知函数为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25江西）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 10．（24-25贵州）设函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．是的零点 D．在上单调递增 11．（24-25 陕西西安）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有，当时，恒成立，则（   ） A． B．在上是单调函数 C．当时， D．当时， 三、填空题 12．（2025北京）已知函数．若在区间上的值域为，则的取值范围为 ． 13．（2025 北京）已知函数，.设函数， 给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②的最大值为2； ③方程有两个不同的实数解. 其中所有正确结论的序号是 . 14．（24-25高一下·四川泸州·期末）若，，且，则的最小值是 . 四、解答题 15．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知函数. (1)求函数图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求的值域； (4)求不等式的解集. 16．（24-25 广东）已知函数（且）的图象过点. (1)求； (2)当时，存在偶函数和奇函数，使得. （i）求和的解析式； （ii）求不等式的解集. 17．（四川省绵阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，且，求的值． 18．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 (1)当，求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时，，使得，求实数的取值范围 19．（24-25 北京 ）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第一册归纳总结与测试 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·期末）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 因为集合， 所以. 故选：D. 2．（24-25 北京·期末）荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%.而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍，至少经过了（    ） （参考数据：，，） A．41天 B．70天 C．111天 D．181天 【答案】B 【解析】设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a，设当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天， 由题意得,即,所以 由于,故 所以,解得： 从学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍到3倍至少经过了：天. 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 4．（云南省丽江地区中学等学校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题）若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的零点是与图象交点的横坐标， 函数的零点是与图象交点的横坐标， 由于与互为反函数，其图象关于直线对称， 直线与直线垂直， 故直线与直线的交点即是的中点， ，， 当且仅当时等号成立，故， 故所求的取值范围是． 故选：B． 5．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵对任意的实数，都有成立，不妨设， ∴，，∴函数在上单调递减. 当时，单调递减，∴，解得； 当时，单调递减，∴，即； 又函数在上单调递减，∴，解得， 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 6．（24-25高一下·安徽亳州·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】由题意可知：，m是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 7．（2025·四川 ）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A 8．（23-24 内蒙古）已知函数为的最小正周期，且对任意的恒成立，若函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：的最小正周期， 又对任意的恒成立， 所以为的一条对称轴， 所以， 解得，又，则， 所以． 当时，， 由函数在区间上恰有3个零点， 可得，解得， 即的取值范围是．故选：D． 二、多选题 9．（24-25江西）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】由题可知为复合函数，其中对数函数的底数，对数函数单调递减，令. 对于A 选项，当时，，的定义域为，根据复合函数的单调性可知，只需求 的减区间即可，的单调递减区间为，的增区间为，故A正确. 对于B 选项，当时，，此时的定义域为，此时，的最小值为，即内层函数可取，即，的值域为，故B错误. 对于C 选项，的值域为,只需要内层函数能取到所有的正实数，即判别式，解得，故C错误. 对于D 选项，内层函数关于直线对称，而函数的图象是由经过对数变换得到的，的图象形状由决定，即函数的图象关于直线对称（也可验证是否成立），故D正确. 故选：AD. 10．（24-25贵州）设函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．是的零点 D．在上单调递增 【答案】ABC 【解析】最小正周期，所以A对； 因为，所以B对； 当时，，所以C对； 当时，， 当，即时单调递减； 当，即时单调递增，所以D错． 故选：ABC 11．（24-25 陕西西安）已知函数是上的奇函数，且过点，对于一切正实数，都有，当时，恒成立，则（   ） A． B．在上是单调函数 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对一切正实数，都有，， 对于A，令，，得； 令，，得，A正确； 对于B，由函数是上的奇函数，得， 因此函数在上不单调，B错误； 对于C，令，则，因此，C正确； 对于D，，，，而当时，， 则， ， 函数在上单调递增，在上单调递增， 而， 当时，由，即，得， ，， ， 当时，， 解得， 因此当时，，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2025北京）已知函数．若在区间上的值域为，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意可得， 由，得， 要使在区间上的值域为， 则需，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 13．（2025 北京）已知函数，.设函数， 给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②的最大值为2； ③方程有两个不同的实数解. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【解析】根据题意，作出函数的草图如下： 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以方程只有一解，为，且. 所以函数的图象，如图所示， 所以在区间上单调递增，故①正确； 函数的最大值是时取得的，为，故②正确； 因为函数的图象与直线的交点有两个，所以方程有两个不同的根，故③正确. 故答案为：①②③ 14．（24-25高一下·四川泸州·期末）若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【解析】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知函数. (1)求函数图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求的值域； (4)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）因， 由可得， 即函数图象的对称轴方程为：. （2）由，可得， 即函数的单调递增区间为. （3）由可得，而在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则当，即时，函数取得最大值2；当，即时，函数取得最小值， 故函数的值域为. （4）由可得， 结合正弦函数的图象，可得，解得， 则不等式的解集为. 16．（24-25 广东）已知函数（且）的图象过点. (1)求； (2)当时，存在偶函数和奇函数，使得. （i）求和的解析式； （ii）求不等式的解集. 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【解析】（1）因为（且）， 由题意可得，解得. （2）（i）因为为偶函数，为奇函数， ， 由， 所以， ； （ii）由，即，即， 因为，即，即，得， 所以原不等式的解集为. 17．（四川省绵阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意可得，又因为过点，所以， 所以，又，所以，所以， 又因为过点，所以， 所以，所以， 所以，又函数的最小正周期，所以， 所以，解得，又，所以，所以； （2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到，所以， 又，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以 ， 所以 18．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 (1)当，求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时，，使得，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解析】（1）当时， 所以 （2） ，得，时，对应方程的两根为 当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为          综上：当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 （3）当，的对称轴方程为， 由图可知，的值域为； 当时，的值域为； 又因，使得，则， 所以，得，又，所以 19．（24-25 北京 ）已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)证明：，并求函数、的解析式； (2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：； (3)设，，对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，， (2)增函数，解集为 (3) 【解析】（1）因为函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①. 则，即②，故得证. 联立①②可得，. （2）函数为上的增函数，证明如下： 任取，由 ， 因，则，且，故得， 即函数为上的增函数. 由得， 所以，即，解得或， 故所求不等式的解集为. （3）因为，易得函数在上单调递增， 当时，，故； 又因为 ， 令，即有， 而函数， 故当时，，即. 因为对于，，使得. 故需使解得. 因此，实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$