第5讲 指数函数与对数函数- 《温故知新》2025-2026学年高一数学上学期暑假复习课（人教A版2029必修第一册）

第5讲 指数函数与对数函数 考点一 指对数的运算 【例1】（24-25高一下·四川资阳·开学考试）计算下列各值． (1) (2) (3)； (4)． (5)； (6)； 【变式】 1．（2025云南昭通·阶段练习）计算求值： (1)； (2). （3）； （4）． (5)； (6) （7） （8） （9） 考点二 定义域 【例2-1】（1）（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·浙江衢州·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围（    ） A．或 B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为 2．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 3．（2025·上海）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 考点三 值域 【例3-1】（1）（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． （2）（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . （3）（2025陕西商洛·期末）函数的值域为 【例3-2】（1）（24-25高一下·江西赣州·开学考试）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2）（24-25高一上·江西九江·期末）已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 2．（2025·湖北宜昌 ）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是 3． （2025·河北）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是 。 考点四 单调性 【例4-1】（1）（24-25高一上·北京·阶段练习）函数的单调递减区间为 ． （2）（24-25高一上·山西运城·期末）函数的单调递减区间是 ． 【例4-2】（1）（2025·山东济宁）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 （2）（24-25高一上·陕西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的最大值是 【变式】 1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数单调递减区间是 ． 2．（24-25高一上·辽宁大连·期末）若函数在区间上是增函数，则的取值范围为 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五 定点 【例5-1】（2024浙江）已知函数（，且）的图象过定点（m，n），则（   ） A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高一下·黑龙江黑河·开学考试）已知函数（，且）图象经过定点，若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一下·山西朔州·阶段练习）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 2．（24-25高一下·湖南·期中）函数且的图象所过定点的坐标为 . 3．（24-25高一下·上海·期中）函数（常数且）的图像必定经过点 ． 考点六 图像 【例6-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A．B．C． D． 【例6-2】（24-25高一上·福建泉州·期末）函数的图象可以是（    ） A．B．C． D． 【变式】 1．（24-25高一上·天津·期末）在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能为（   ） A．B．C．D． 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（    ） A．B．C．D． 3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（    ）    A． B． C． D． 考点七 解不等式 【例7-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围为 ． 【例7-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数则不等式的解集是 ． 2．（2025·辽宁 ）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东潮州·期末）已知函数，且满足，则实数m的取值范围是 . 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，，则关于的不等式的解集为 ． 考点八 比较大小 【例8-1】（2025·辽宁 ）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例8-2】（2025·河南 ）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【例8-3】（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·天津河西）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南永州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北沧州）已知，且为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点九 反函数 【例9-1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若函数与互为反函数，且，则（    ） A． B． C．6 D．3 【例9-2】（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数的反函数图象过点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式】 1．（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知是函数（且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为 ． 2．（24-25高一上·福建泉州·期末）若指数函数的反函数过，则 ． 3．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若满足满足则等于 ． 考点十 综合应用 【例10-1】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【例10-2】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知函数 (1)当时，求的最小值； (2)若为偶函数，求的值； (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【变式】 1．（2024辽宁）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 2．（24-25 浙江宁波·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围； (3)若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围． 1． 单选题 1.（2024湖南岳阳·期中）已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2026海南）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 5．（24-25高一上·四川绵阳·期末）函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 6．（24-25江西赣州·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25湖南）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 8.（2025安徽）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）已知且，则函数的图像必经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．的值域为 11．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）下列选项正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．已知，，则 C．若函数的定义域为，则的取值范围是 D．函数的值域是 3． 填空题 12．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若函数为奇函数，则 . 13．（2025·江苏泰州 ）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 14．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 . 4． 解答题 15（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数且的图象过点. (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，函数和函数． (1)若函数图象的过点，求满足不等式的t的最小整数值； (2)当时，对任意的实数，若总存在实数使得成立，求正实数m的取值范围． 17．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 19．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，若，，，使得对都成立，则称为型函数． (1)证明：每一个指数函数（且）都是型函数； (2)若函数是型函数，求实数，的值： (3)已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数：当时，的解析式为 ①求当时，求的解析式； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 指数函数与对数函数 考点一 指对数的运算 【例1】（24-25高一下·四川资阳·开学考试）计算下列各值． (1) (2) (3)； (4)． (5)； (6)； 【答案】(1)(2)5(3)(4)8(5)(6) 【解析】（1）原式 ． （2） . （3）原式. （4）因为， ， 所以原式 （5） . （6） . 【变式】 1．（2025云南昭通·阶段练习）计算求值： (1)； (2). （3）； （4）． (5)； (6) （7） （8） （9） 【答案】(1)1(2)（3）；（4）3(5)(6)2（7）；（8）；（9）. 【解析】（1） . （2）. （3）． （4） ． （5） （6） （7）                                                                  （8）        （9） . 考点二 定义域 【例2-1】（1）（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】（1）D（2）B 【解析】（1）函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为，故选：D （2）函数 ，，， ．故选：B. 【例2-2】（24-25高一下·浙江衢州·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，所以，对恒成立， 当时，，符合题意；由，得， 综上：实数的取值范围是，故选：B 【变式】 1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为 【答案】 【解析】令，解得且，所以函数的定义域为.故选：D. 2．（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【解析】要使函数有意义，则，，取交集得. 故答案为：. 3．（2025·上海）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数f（x）＝lg（ax）的定义域为R，∴ax＞0恒成立，∴ax恒成立， 设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x； 令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线； 由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示； ∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0， 解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]． 考点三 值域 【例3-1】（1）（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． （2）（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . （3）（2025陕西商洛·期末）函数的值域为 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）由，则，所以函数的值域为.故答案为： （2）令，则，原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得，所以在的值域为.故答案为： 【解析】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即，可得的值域为. 【例3-2】（1）（24-25高一下·江西赣州·开学考试）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2）（24-25高一上·江西九江·期末）已知函数且的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】（1）A（2）C 【解析】（1）由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是．故选：A． （2）当时，可知的值域为， 设的值域为，依题意得. 当时，在上单调递减， 即当时，，不符合题意； 当时，在上单调递增， 即当时，，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围是.故选：C. 【变式】 1．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【解析】由题意可得：， 因为时，则，根据二次函数的单调性知， 时，y取得最小值为；时，y取得最大值为； 所以函数y的值域是故答案为： 2．（2025·湖北宜昌 ）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为，则当时，，解得，所以实数的取值范围是 3． （2025·河北）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是 。 【答案】 【解析】设的值域分别为， 当时，则，可得； 因为的值域为，可知， 则，且，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 考点四 单调性 【例4-1】（1）（24-25高一上·北京·阶段练习）函数的单调递减区间为 ． （2）（24-25高一上·山西运城·期末）函数的单调递减区间是 ． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）令，则， 由于函数在单调递减，而在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性的原则可知：的单调递减区间为 故答案为： （2）由，得，则函数的定义域为， 令，，则， 函数的对称轴为， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为为增函数，根据复合函数同增异减， 要使函数单调递减，则需函数单调递减， 所以原函数的单调递减区间为.故答案为：. 【例4-2】（1）（2025·山东济宁）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 （2）（24-25高一上·陕西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的最大值是 【答案】（1）（2）/0.5 【解析】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. （2）因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性可知在区间上单调递增且，所以，解得， 故答案为： 【变式】 1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）函数单调递减区间是 ． 【答案】 【解析】设， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减. 又在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 2．（24-25高一上·辽宁大连·期末）若函数在区间上是增函数，则的取值范围为 【答案】 【解析】易知在区间上是增函数， 由复合函数单调性可知在区间上是增函数， 所以，解得；且，解得， 综上可知，的取值范围为. 3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 【答案】D 【解析】对于函数，有，可得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数在区间上是增函数. 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得解得.故选:C. 考点五 定点 【例5-1】（2024浙江）已知函数（，且）的图象过定点（m，n），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以函数过定点，即，则， 故选：A. 【例5-2】（24-25高一下·黑龙江黑河·开学考试）已知函数（，且）图象经过定点，若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数， 令，可得，代入函数可得，所以定点的坐标为， 代入可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故选：C. 【变式】 1．（24-25高一下·山西朔州·阶段练习）已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】令，解得，此时， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 故答案为： 2．（24-25高一下·湖南·期中）函数且的图象所过定点的坐标为 . 【答案】 【解析】当时，，即时，，所以函数图象所过定点的坐标为. 故答案为： 3．（24-25高一下·上海·期中）函数（常数且）的图像必定经过点 ． 【答案】 【解析】对于函数（常数且），令，解得，此时， 即函数（常数且）的图像必定经过点.故答案为： 考点六 图像 【例6-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）二次函数与指数函数的图象可以是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】由选项中指数函数图象可知：， 令，解得：或， ，，可排除ABC. 故选：D. 【例6-2】（24-25高一上·福建泉州·期末）函数的图象可以是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】令，由或， 所以的定义域为，故可以排除AB选项， 令有，故C错误，D正确. 故选：D. 【变式】 1．（24-25高一上·天津·期末）在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】指数函数与轴没有交点，过点，故排除AC， 两个函数的底数互为倒数，一个在，另一个就在， 所以两个函数的单调性相反，故排除B. 故选：D 2．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】因为在同一坐标系中， 所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B， 故选：C. 3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）如图，曲线是函数的图象，曲线与曲线关于y轴对称，曲线与曲线关于直线对称，曲线与曲线关于x轴对称，则曲线，，对应的函数解析式分别是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，曲线与曲线关于y轴对称，且曲线是函数的图象， 所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于直线对称，所以曲线对应的函数解析式为， 由曲线与曲线关于x轴对称，所以曲线对应的函数解析式为，即. 故选：A. 考点七 解不等式 【例7-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，，函数单调递增， 当时，， 由复合型对数函数的单调性“同增异减”可知，函数单调递增， 作出函数大致图象如图： 所以函数是定义在R上的增函数， 因此,不等式等价于， 解得， 故答案为：. 【例7-2】（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象过第二、三、四象限，则，解得， 则函数是定义域R上的减函数， 不等式化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 【变式】 1．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】函数， 显然在上单调递增，在上单调递增， 且，即时函数连续，所以在上递增， 不等式可化为， 即，解得或， 则原不等式的解集为． 故答案为：. 2．（2025·辽宁 ）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得，即函数的定义域为， 由，则， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，函数， 由于函数在上单调递增， 且，则， 对于任意的、，且，即， 所以，，所以，，即, 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由，则， 解得，即不等式的解集为.故选：A. 3．（24-25高一上·广东潮州·期末）已知函数，且满足，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为，所以为奇函数， ， 又在R上单调递增，所以在R上单调递增， 所以为R上的增函数. 因为，为奇函数， 所以， 又为R上的增函数，所以，即， 解得或，即实数m的取值范围为. 故答案为： 4．（24-25高一上·广东深圳·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】结合题意：若，则， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以，即， 因为是定义在上的奇函数，所以， 所以， 当时，，而，此时不满足； 当时，，而，此时不满足； 当时，要使，只需， 即，令， 则在上单调递增，且， 而，解得. 即的解集为. 故答案为：. 考点八 比较大小 【例8-1】（2025·辽宁 ）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，由于在单调递增，所以， 对于，由于单调递减，故. 所以. 故选：D 【例8-2】（2025·河南 ）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，， 所以， 因为，，所以， 因为在上单调递减，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 故． 故选：A 【例8-3】（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以函数在上为减函数， 又 ，， 所以，则， 故选：B 【变式】 1．（2025·天津河西）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，即；而，即； 又，因此，所以.故选：D 2．（24-25高一下·湖南永州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数是内的单调减函数，，所以，， 由函数是上的单调增函数，所以， 而，，所以．故选：A. 3．（2025·河北沧州）已知，且为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的定义域为为奇函数，所以，则， 由于为减函数且值恒为正数，则为单调递增函数，因此为增函数. 因为，所以，所以，故. 故选：A 4．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为函数在上单调递增，所以，即， 因为函数在上单调递减，所以，即， 故.故选：D. 考点九 反函数 【例9-1】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若函数与互为反函数，且，则（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】A 【解析】因为函数与互为反函数，且，根据反函数的性质，当中的时，， 那么在反函数中，当时，，所以.故选：A. 【例9-2】（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数的反函数图象过点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】依题意函数的反函数图象过点， 所以的图象经过点， 所以，解得.故选：D. 【变式】 1．（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知是函数（且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】 【解析】由恒过点，又是函数（且）的反函数， 所以的图象经过的定点坐标为. 故答案为： 2．（24-25高一上·福建泉州·期末）若指数函数的反函数过，则 ． 【答案】2 【解析】由题意得过点，即，又且，解得.故答案为：2 3．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）若满足满足则等于 ． 【答案】 【解析】由题意，故有 故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标. 根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故曲线和曲线的图象交点关于直线对称. 即点和点构成的线段的中点在直线上， 即，解得，故答案为：. 考点十 综合应用 【例10-1】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 【例10-2】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知函数 (1)当时，求的最小值； (2)若为偶函数，求的值； (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)的最小值为 (2) (3)的取值范围是 【解析】（1），由于恒成立， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； （2）若为偶函数，则， 所以， 即恒成立，所以； 当时，函数定义域为，满足， 故若为偶函数，则； （3）若对于任意，存在，使得不等式成立， 则恒成立， 令，当时，， 所以，所以当时，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 【变式】 1．（2024辽宁）已知函数. (1)若，求实数的值； (2)当时，的最小值为，求函数的解析式； (3)若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为函数且，所以，即，解得； （2）令，因为，所以，则转化为， 此抛物线开口向上，且对称轴， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调的递减，在上单调递增， 则. 综上，； （3）由，得， 令，则， ，令， 则由得，当且仅当时等号成立， 所以， 由题意知恒成立，令，则， 显然在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 2．（24-25 浙江宁波·期中）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若对于任意实数x恒成立，求实数t的取值范围； (3)若函数在上存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为，可知函数的定义域为， 若函数为偶函数，则， 即，可得，即， 此时， 则，即函数为偶函数， 所以. （2）因为，即， 可得， 即对于任意实数x恒成立， 因为，则，可得， 所以实数t的取值范围为. （3）由（1）可知：， 若存在，使得成立， 即， 整理可得， 则， 令，当且仅当，即时，等号成立， 可得， 构建，可知在内存在零点， 因为的图象开口向上，对称轴为， 若，可知在内单调递增， 则，解得； 若，可知在内单调递减，在内单调递增， 则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 1． 单选题 1.（2024湖南岳阳·期中）已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令在单调递增，单调递减，所以函数在单调递减，单调递增，故选:C. 2．（2026海南）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为减函数，所以， 又因为为增函数，所以，所以．故选：A． 3．（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 4．（24-25高一上·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 【答案】A 【解析】的反函数满足，化简可得， 所以，因为反函数的图象关于直线对称， 即与关于直线对称， 故选：A. 5．（24-25高一上·四川绵阳·期末）函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以函数的定义域，排除B,D, 定义域关于原点对称，因为，所以函数是偶函数，排除C， 所以函数的图象大致为A.故选：A. 6．（24-25江西赣州·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以在上单调递增，且在上单调递增， 当时，当时， 因为的值域是，所以，解得， 即实数的取值范围是.故选：C 7．（24-25湖南）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（    ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 【答案】C 【解析】因为大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半， 所以可近似认为时，， 又与死亡年数之间的函数关系式为， 所以，故，所以， 令，可得， 两边取以为底数的对数可得，又， 所以， ， 所以该生物体大约死亡于公元年，即该生物体死亡时间属于西晋. 故选：C. 8.（2025安徽）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 可得，，所以，． 因为 ，所以为奇函数． 当时，为增函数，且为连续函数， 则在上单调递增，所以原不等式等价于， 即，即，解得． 故选：D． 2． 多选题 9．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）已知且，则函数的图像必经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【解析】当时，函数的图象经过第一、二、四象限； 当时，函数的图象经过第一、二、三象限， 综上可知，函数的图象必经过第一、二象限． 故选：AB 10．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ACD 【解析】对于函数，令，解得或， 即函数的定义域为， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确，B不正确； 又由， 因为在上单调递减，且在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，所以C正确； 当时，所以，即； 当时，所以，即， 所以的值域为，故D正确． 故选：ACD. 11．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）下列选项正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．已知，，则 C．若函数的定义域为，则的取值范围是 D．函数的值域是 【答案】ABD 【解析】对A，要使函数有意义，需使解得或． 故的定义域为，故A正确； 对B，令，则，则可化为， 因为，所以，解得，故B正确； 对C，由题意知恒成立．∴恒成立， ∴，∴，故C错误； 对D，因为，则，， 即函数的值域是，故D正确； 故选：ABD 3． 填空题 12．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若函数为奇函数，则 . 【答案】1 【解析】由解析式知，函数定义域为R，结合奇函数性质有，可得， 此时，则，满足题设. 所以. 故答案为：1 13．（2025·江苏泰州 ）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由函数的值域为R，得函数的值域包含， 因此，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 14．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上是减函数且恒成立， 所以,解得,综上，实数a的取值范围为. 故答案为： 4． 解答题 15（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数且的图象过点. (1)求的解析式； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解析】（1）因为函数且的图象过点， 所以 解得 故. （2）因为都为增函数，且， 所以函数在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故实数的取值范围是. 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，函数和函数． (1)若函数图象的过点，求满足不等式的t的最小整数值； (2)当时，对任意的实数，若总存在实数使得成立，求正实数m的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【解析】（1）因为函数图象过点， 则，解得， 所以，即， 于是等价于，即， 又，解得， 故满足不等式的的最小整数为2. （2）当时，， 因为， 所以的值域是. 依题意知，对任意的实数，若总存在实数使得成立， 则的值域是在上的值域的子集， 而且，所以在上不能单调递增， 且只需在上的最小值小于等于， 故， 或（舍去）， 即正实数m的取值范围为. 17．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解析】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. （2）由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 18．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值与函数的定义域． (2)若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围． 【答案】(1)；函数的定义域为； (2) 【解析】（1）因是奇函数，故， 即得，则有，因不恒为0，故， 当时，，由，可得， 即函数的定义域为：， 又，故是奇函数； 当时，因，函数没有意义. 综上，且函数的定义域为. （2）由（1）得， 因，函数在上为减函数，故得， 又因在上为增函数，故有，即， 依题意对任意的恒成立，故，解得， 故实数m的取值范围为. 19．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数的定义域为，若，，，使得对都成立，则称为型函数． (1)证明：每一个指数函数（且）都是型函数； (2)若函数是型函数，求实数，的值： (3)已知函数在定义域上的函数值恒大于0，且为型函数：当时，的解析式为 ①求当时，求的解析式； ②若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①；② 【解析】（1）对于指数函数，有， 故每一个指数函数（且）都是型函数. （2）因为函数是型函数， 所以，所以，其中 即，整理得到：在上恒成立， 故，故. （3）①因为为型函数，故，故， 而，故. 故，则，故， 故， 故当时，. ②因为在上恒成立，而， 故时，，且当时，，故， 故时，恒成立， 故在上恒成立，设， 故在上恒成立，故在上恒成立， 设，则在上为增函数，故， 设，由双勾函数的性质可得在上为增函数， 故，故. 综上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$