第4讲 函数性质的应用- 《温故知新》2025-2026学年高一数学上学期暑假复习课（人教A版2029必修第一册）

第4讲 函数性质的应用 考点一 奇偶性的应用---求解析式 【例1-1】（2025河北沧州·阶段练习）已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【变式】 1.（2025河南·阶段练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆璧山）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．（2025湖北）已知函数是奇函数，当时，，则 ． 考点二 单调性的应用---值域（最值） 【例2】（2024江西）求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【变式】 （2025浙江）求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6） 考点三 单调性与奇偶性的综合应用--解不等式 【例3-1】（2025河南）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025云南）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南邵阳）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古呼和浩特 ）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·河北衡水·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 ． 考点四 单调性与奇偶性综合应用---比较大小 【例4-1】（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知函数，设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2023安徽）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2024·甘肃）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025广东）已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·江西）已知定义域为R的函数在上单调递减，且是奇函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 考点五 单调性与奇偶性综合应用---求值 【例5-1】（2025黑龙江）已知，.求 . 【例5-2】（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【变式】 1．（24-25高一上·海南·期中）设函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2024·全国·模拟预测）设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 3．（23-24安徽）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．6 B．3 C．0 D． 考点六 抽象函数的函数性质 【例6】（2025海南）设函数的定义域为，且满足，，又当时，． (1)判断的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)解不等式． 【变式】 1．（24-25高一上·云南昭通·期中）（多选）函数对任意，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是上的减函数 C．在上的最小值为2 D．若，则实数的取值范围为 2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数在上有意义，且任意，满足． (1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若时，，判断在上的单调性，并说明理由． 3．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 1． 单选题 1．（2025河南）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建 ）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（       ） A． B．或 C．或 D．或 3．（2025·银川）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25 云南 ）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25湖南永州）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25高一上·湖南株洲·期中）设函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．1 B．2 C．0 D．4 7．（24-25 天津）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 8．（2025·江苏南京）已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法不正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时， D．在上单调递减 2． 多选题 9．（2025海南儋州）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·陕西汉中·期末）对于函数，下面几个结论中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在上是减函数 11．（2024江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 3． 填空题 12．（2025·湖南）若是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则________. 13．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， 14．（2025·云南）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______. 4． 解答题 15．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的最大值和最小值． 16．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 17．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数为奇函数，其中. (1)求和实数的值； (2)若满足，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·广东江门·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求及； (2)求函数在上的解析式； (3)若，恒成立，求实数m的取值范围． 19．（24-25吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)当时，，解不等式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 函数性质的应用 考点一 奇偶性的应用---求解析式 【例1-1】（2025河北沧州·阶段练习）已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，则，所以， 又因为函数是奇函数，所以，所以当时．故选：B 【例1-2】（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，则， ∵函数是定义域为的偶函数，∴， ∴.故选：A. 【变式】 1.（2025河南·阶段练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为奇函数，所以，即． 当时，，． 故选：C 2．（2024·重庆璧山）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，由于是偶函数，所以.故选：C 3．（2025湖北）已知函数是奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【解析】由函数是上的奇函数，得， 而当时，，所以有． 综上所述，故答案为： 考点二 单调性的应用---值域（最值） 【例2】（2024江西）求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. 【解析】（1），，故值域为； （2），故值域为； （3），故值域为； （4），定义域为， 由得，即， 当即时，，符合题意； 当即时，方程有解需满足，解得， 综上所述，值域为； （5）设，则， ， 故值域为； （6）， ，，故值域为. 【变式】 （2025浙江）求下列函数的值域： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）. 【解析】（1）， ∴的值域为. （2）设（），则原函数可化为. 又∵，∴，故， ∴的值域为. （3）， ∵，∴， ∴函数的值域为. （4）设，则， ∴原函数可化为，∴， ∴原函数值域为. （5）， 当时，，当时，，∴，∴函数值域为. （6）∵恒成立，∴函数的定义域为. 由得：    ① ①当，即时，①即，∴， ②当，即时，∵时，方程恒有实根， ∴，∴且， ∴原函数的值域为. 考点三 单调性与奇偶性的综合应用--解不等式 【例3-1】（2025河南）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为定义在上的奇函数，当时,， 由得，即，解得， 当时，，则，则， 由得，即，解得，又， 所以的解集为.故选：D. 【例3-2】（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知函数，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且，所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数，所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数，函数中，， 由得，解得或.故选：D. 【变式】 1．（2025云南）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵，∴，解得或.故选：C. 2．（2025·湖南邵阳）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，定义域为， ，为奇函数， 又，所以在上单调递增， 所以即， 即的取值范围是. 故选：C 3．（2025·内蒙古呼和浩特 ）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，求导得， 函数在R上单调递增，由，得， 即，则，因此，解得， 所以所求的取值范围是. 故选：C 4．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数， 则，所以为偶函数， 当时，， 函数单调递减，函数单调递减， 则函数单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则由不等式，得， 则，化简得， 解得，则不等式的解集为. 故选：A. 5．（24-25高三下·河北衡水·开学考试）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 且，所以在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为．故答案为：． 考点四 单调性与奇偶性综合应用---比较大小 【例4-1】（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知函数，设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在上为增函数，且，所以， 因为在上递增，且，所以，即， 所以， 因为和在上均为增函数，所以在上为增函数， 所以，所以.故选：C 【例5-2】（2023安徽）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对任意的，有， 所以当时，，所以在上是减函数， 又是偶函数，所以，， 因为，所以，即．故选：D 【变式】 1．（2024·甘肃）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为偶函数，所以， 又因为在上是增函数，且， 所以，即， 故选：D. 2．（2025广东）已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又因为且在上单调递增，所以， 所以，故选：B. 3．（2024·江西）已知定义域为R的函数在上单调递减，且是奇函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是奇函数，所以的图象关于对称， 且在上单调递减，所以在单调递减， 又因为定义域为R，所以，所以在连续且单调递减， 由于，所以.故选：D. 考点五 单调性与奇偶性综合应用---求值 【例5-1】（2025黑龙江）已知，.求 . 【答案】 【解析】令，则的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 从而，即， 因为，所以. 答案：. 【例5-2】（24-25高一上·广西玉林·期末）若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】4 【解析】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以． 故答案为：4． 【变式】 1．（24-25高一上·海南·期中）设函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】，设，,则为奇函数， 设的最大值为，则最小值为，则,,所以. 故选：B. 2．（2024·全国·模拟预测）设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】B 【解析】由恒成立可知函数的定义域为， 由可知为奇函数， 则. 故选：B 3．（23-24安徽）已知函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．6 B．3 C．0 D． 【答案】A 【解析】令，则 所以是定义域上的奇函数，因此. 又的最大值为，最小值为， 的最大值是，最小值是； ，则．故选：A. 考点六 抽象函数的函数性质 【例6】（2025海南）设函数的定义域为，且满足，，又当时，． (1)判断的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）令，得，． 令，则， 即， ， 即函数是奇函数； （2）设，，， 在上是增函数； （3），， ， 由单调性得，解得．故不等式解集为 【变式】 1．（24-25高一上·云南昭通·期中）（多选）函数对任意，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是上的减函数 C．在上的最小值为2 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】对于A，取，则，解得， 令，则，即，且函数定义域是， 所以函数是奇函数，故A错误； 对于B，令，，且，则， 因为当时，，所以， 则，即， 函数是上的减函数，故B正确； 对于C，因为函数是上的减函数， 所以函数在上的最小值为， 又， ，故， 在上的最小值为，故C错误； 对于D，，即， 因为函数是上的减函数，所以，解得， 所以实数的取值范围为，故D正确， 故选：BD. 2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数在上有意义，且任意，满足． (1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若时，，判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)，奇函数，证明见解析 (2)单调递减，理由见解析 【解析】（1）令，则，解得， 令，则，则， 又因为定义域为，关于原点对称，所以为奇函数． （2）在上单调递减，理由如下： ，设，令， 则， 即， 因为，所以，， 所以，所以， 因为时，，所以，故， 所以，所以在上单调递减． 3．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)，函数为偶函数，理由见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3)或 【解析】（1）由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，令，， 则，即， 因为，则，由题意知， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （3）由，得； 令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以， 当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，由，得， 所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 1． 单选题 1．（2025河南）设为奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，因为函数为奇函数，且当时，， ，即：. 故选：D 2．（2024·福建 ）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（       ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为，则，所以， 因为为偶函数，所以，因为在上单调递增， 所以，解得或，所以不等式的解集为或，故选：B 3．（2025·银川）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是偶函数，，， 当时，是增函数，且，，. 故选：B. 4．（24-25 云南 ）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是定义在上的奇函数，，所以， 因为在上单调递减，当时，，故， 因为是定义在上的奇函数，故在上单调递减， 又，当时，，故， 综上，的解集为.故选：D 5．（24-25湖南永州）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】令，所以; 所以转化为； 即 又函数在上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值为； 即当时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 6．（24-25高一上·湖南株洲·期中）设函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】B 【解析】因为， 设，，且， 可知为奇函数，可得， 又因为，则，， 所以，即． 故选：B． 7．（24-25 天津）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，当时函数单调递增，所以， 当时，为单调递增函数，所以， 又因为，，使得， 即在的最大值不小于在上的最大值， 即，解得，即. 故选：A. 8．（2025·江苏南京）已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法不正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时， D．在上单调递减 【答案】B 【解析】因为， 令，，可得，所以， 令，，可得，所以，所以，A正确； 由，令可得，， 再将中的替换为，可得，所以， 所以，所以函数为奇函数，B错误； 当时，将中的用替换，可得，即， 当时，，由已知可得，所以，， 又函数为奇函数，所以当时，，，所以当时，，C正确； 因为，所以若，则， 任取，且，则， 因为，所以，，所以，所以， 所以函数在上单调递减， 设，当时，， 因为，所以，因为函数在上单调递减，所以，所以， 所以在上单调递减.故选：B 2． 多选题 9．（2025海南儋州）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】若为偶函数，则， ∵在上是增函数， ∴ 即，，， A、C、D正确，B错误. 故选：ACD. 10．（23-24高一上·陕西汉中·期末）对于函数，下面几个结论中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在上是减函数 【答案】BD 【解析】因，函数定义域关于原点对称，且，，即函数是奇函数，故A项正确，B项错误； 对于C项，当时，，因函数在上为减函数，则为增函数，故，即； 当时，因函数，因函数在上为减函数，则为增函数，故，即. 故函数的值域为，C项正确； 对于D项，通过C项分析知函数在上是增函数，故D项错误. 故选：BD. 11．（2024江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数在上的值域为 【答案】AC 【解析】对于A，因为的定义域为，所以， 解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，， 所以，即函数的值域为，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，，其图象的对称轴为直线，且，， 所以函数在上的值域为，故D不正确． 故选：AC． 3． 填空题 12．（2025·湖南）若是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则________. 【答案】 【解析】∵是定义在上的奇函数，当时，（为常数），，解得，∴当时，．．故答案为：. 13．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， 【答案】 【解析】当时，，故， 又是定义在上的奇函数，故， 所以，故. 故答案为： 14．（2025·云南）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】因为函数满足，所以，即，所以是奇函数；，且，不妨取，因为，所以，所以是减函数.因为，可得， 即 ，所以，解得，所以的取值范围是 故答案为： 4． 解答题 15．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)奇函数，理由见解析； (2)单调递增，证明见解析； (3)最小值，最大值. 【解析】（1）函数是奇函数，理由如下： 函数的定义域为， ， 所以函数是奇函数. （2）函数在区间上的单调递增，证明如下： ，，， 由，得，，则，即， 所以函数在区间上的单调递增. （3）由（1）（2）知，函数是奇函数，且在上的单调递增， 因此函数在上单调递增， 所以当时，. 16．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)为奇函数 (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数. （2）任取，且， ， 因为，且， 故，，，，， 所以，， 故函数在上单调递增； （3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增， 变形为， 则要满足，解得：， 故不等式的解集为 17．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数为奇函数，其中. (1)求和实数的值； (2)若满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）由，则； 因为函数是奇函数，所以， 即， 即，则，所以， 又因为，所以. （2）由（1）知， 由，解得， 则的定义域为， 因为，所以在上为减函数， 又因为，即， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 18．（24-25高一上·广东江门·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求及； (2)求函数在上的解析式； (3)若，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即， 由题意知，解得 所以当时，， ， 所以 （2）当，则，所以， 又为奇函数，所以， 故当时， 综上： （3）由，得 因为是奇函数，所以 当时，，所以函数在上单调递增， 由是奇函数，所以函数在上单调递增， 所以对恒成立 即对恒成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以． 所以实数m的取值范围为 19．（24-25吉林白城·期中）定义在上的函数，满足对任意x，，有，且. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性，并证明你的结论； (3)当时，，解不等式. 【答案】(1)， (2)奇函数，证明见解析 (3) 【解析】（1）令，得，所以. 令，，得， 所以. （2）为奇函数，证明如下： 由题意，任意x，， 令得，，即， 所以函数为奇函数. （3）设，，且，则， 所以， 所以， 故在上为增函数. 等价于， 所以，解得， 故原不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$