精品解析：四川省绵阳富乐学校2024-2025学年九年级上学期期末（模拟预测）数学试题

初中2022级期末质量监测模拟试题 数学（九年级上学期） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，答题卡共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、考号． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 1 2. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 红豆生南国 4. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 5. 2023年8月24日，金砖国家宣布扩容，新增六个国家，使金砖国家数量变为十一个．如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 公司以元/的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，统计后发现损坏率大约在左右，再大约确定每千克柑橘的售价，从而计算大约每千克柑橘的实际售价为（ ）元时（精确到0.1），可获得12000元利润． A. 4.5 B. 4.6 C. 4.7 D. 4.8 7. 如图，内接于，若半径为，，则阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 9. 如图，线段在直角坐标轴中，已知，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（ ）． A. 10 B. 20 C. 30 D. 10或30 11. 已知m、n是关于x的一元二次方程的两实数根，则代数式的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共104分） 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝35°，则∠BOC的度数为_____°． 14. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则_____． 15. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 16. 已知m是方程的根，则代数式的值为______． 17. 如图，点P抛物线上一点，且点P位于直线BC的上方，D为对称轴与直线BC的交点，连接PC，PD，过点P作轴，交BC于点M，则的面积的最大值为________． 18. 如图，在中，，，的内心、外心分别为点I、点O，且有，则的长度为______． 三、解答题（本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程：； （2）某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售．水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价：如果不能，请说明理由． 20. 一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，将上面分别标上数字1，2，3，4． （1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率？ （2）先从口袋中随机摸出1个小球，将小球上的数字记为a，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为b，求a，b能使有两个实数根成立的概率． 21. 我们常见的炒菜锅是抛物线面，锅盖是圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的圆弧记为． （1）求的解析式和所在圆的半径； （2）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 22. 已知：在中，，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，使点落在边上的点处，为点的对应点，连接． （1）如图，当点在线段上时，连接． 填空：的形状为_____；与的数量关系为____． （2）如图，在（1）的基础上，当时，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图，连接，当时，直接写出的长． 23. 如图所示，矩形在平面直角坐标系中，，边与y轴交于点E，M为边上的点，以M为圆心，为半径作的一部分弧，交于点F，连接，且与弧相切，平分，反比例函数的图象经过点M，交于点N． （1）求反比例函数的解析式及点N的坐标； （2）在直线上是否存在点P，使的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接并延长交的延长线于点M． 此题考查了圆和三角形的综合题，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）求证：直线是的切线； （2）当时，，连接交于点P，求的长； （3）若点Q为的中点，连接，在（2）的条件下，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点为y轴上的动点，点P是第一象限抛物线上的动点，分别将点B、P绕点M旋转得到、，顺次连接得到四边形． （1）若点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）在（1）条件下，当时，求四边形面积S的最大值，并求此时点P的坐标； （3）当点P与抛物线的顶点重合时，探究满足什么条件时，存在点M，使得四边形为菱形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中2022级期末质量监测模拟试题 数学（九年级上学期） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，答题卡共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、考号． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案：非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 2. 剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，正确理解轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键，“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，根据两类图形的定义即可得到结果． 【详解】解：A，图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； B，图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C，图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D，图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 3. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 红豆生南国 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类，准确区分必然事件、随机事件、不可能事件是解题的关键．根据事件发生的可能性，“手可摘星辰”是不符合客观现实的，属于不可能事件． 【详解】解：：“黄河入海流”是必然事件； ：“大漠孤烟直”是随机事件； ：“手可摘星辰”是不可能事件； ：“红豆生南国”是随机事件． 故选：． 4. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 5. 2023年8月24日，金砖国家宣布扩容，新增六个国家，使金砖国家数量变为十一个．如图是金砖国家的图标，其可近似看作一个圆内接正五边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，由是正五边形可得，，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出，从而得解． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ， 故选：C． 6. 公司以元/的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，统计后发现损坏率大约在左右，再大约确定每千克柑橘的售价，从而计算大约每千克柑橘的实际售价为（ ）元时（精确到0.1），可获得12000元利润． A. 4.5 B. 4.6 C. 4.7 D. 4.8 【答案】C 【解析】 【分析】先算出完好柑橘的质量，再根据成本、利润的关系列出方程求解售价．本题主要考查一元一次方程在利润问题中的应用，熟练掌握利润 = 售价×销售量 - 成本，根据等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：设每千克柑橘的售价为元．由题意得， 化简得 移项得 解得 故选： ． 7. 如图，内接于，若半径为，，则阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据圆周角定理可得，然后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的半径， ∴阴影部分的面积=扇形的面积的面积 ， 故选：C． 8. 若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定反比例函数比例系数的符号，判断函数图像所在象限与增减性，再依据各点纵坐标的正负确定其所在象限，进而比较横坐标大小．本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数比例系数的符号对函数图像所在象限及增减性的影响是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴反比例函数的图像在第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ∵点，，中，， ∴点在第四象限，点，在第二象限， ∴，即． 故选：D． 9. 如图，线段在直角坐标轴中，已知，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过作辅助线，利用旋转的性质，找到对应线段的关系，从而确定点 的坐标．本题主要考查了坐标与图形变化 - 旋转，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ． 线段 绕点 逆时针旋转 ， ，， ，，， ， ， ，， ，， ，， ， ． 故选：D． 10. 已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（ ）． A. 10 B. 20 C. 30 D. 10或30 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 11. 已知m、n是关于x的一元二次方程的两实数根，则代数式的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二次根式的性质以及关于x的一元二次方程有两个实数根，可列出关于k的不等式组，求解即可得到k的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系可得；进而求得y关于k的函数解析式，然后根据二次函数的图象与性质解得y的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两实数根， 且， ∴， ∵m、n是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， ∴ ， ∴对称轴为直线，且该函数的开口向上， ∵，且， ∴当时，y取得最小值，最小值为， 当时，y取得最大值，最大值为16， ∴代数式的取值范围是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、二次根式的性质、解不等式组、一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的图像与性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 12. 如图，在半径为4的中，为直径，弦且过半径的中点，为上一动点，于点，即点在以为直径的圆上，当从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先找到当E与B、D重合时相应的F点、，因为在以为直径的圆上，所以劣弧即为点所经过的路径，连AO，由，得，依据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，得到，，运用锐角三角函数求出，依据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形，可得是等边三角形，从而，最后用弧长公式计算即可. 【详解】解：∵为直径， ∴于点， 如图，取的中点为， ∵当E与B重合时，于点，当E与D重合时，于点， ∴劣弧即为点所经过的路径， 连AO， ∵, ∴ ∴，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形，, ∴==， 故选：C. 【点睛】本题考查的圆中的动点问题，化动为静并掌握动点的特点是解题的关键，掌握圆周角定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、弧长公式是解题的基础. 第Ⅱ卷（非选择题，共104分） 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上） 13. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝35°，则∠BOC的度数为_____°． 【答案】70 【解析】 【分析】先根据垂径定理得到＝，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：∵OC⊥AB， ∴＝， ∴∠BOC＝2∠ADC＝2×35°＝70°． 故答案为70． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理． 14. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据，列出方程，求出k的值． 【详解】解：如图，延长交x轴于点C， ∵过上任意一点作y轴的平行线交于点B． ∴，， ∵，， ∴， 解得，， ∵在第二象限内， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会_________名同学． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可解答． 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 16. 已知m是方程的根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，即，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17. 如图，点P抛物线上一点，且点P位于直线BC的上方，D为对称轴与直线BC的交点，连接PC，PD，过点P作轴，交BC于点M，则的面积的最大值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】设点，则线段的长度可得，利用，得到与x的函数关系式，利用配方法即可求得的面积的最大值， 【详解】∵ ∴对称轴为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为, ∵， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 设抛物线的对称轴于x轴交于点E，如图， 设点， ∴ ∵， ∴当时，有最大值1． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，掌握上述知识点是解题的关键． 18. 如图，在中，，，的内心、外心分别为点I、点O，且有，则的长度为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，延长交外接圆于点D，连接，作于点G，根据三角形的内切圆和圆周角定理求出，利用证明，可得，根据点I是的内心，，进而可得的长度． 【详解】解：如图，延长交外接圆于点D，连接，作于点G， ∵， ∴， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是半径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：8． 三、解答题（本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程：； （2）某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售．水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价：如果不能，请说明理由． 【答案】（1），；（2）葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元． 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，一元二次方程与销售利润问题的综合运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法，正确列式求解是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）设降价元，则销售量为公斤，得到一元二次方程，因式分解解一元二次方程，结合尽快减少库存，即可求解． 【详解】解：（1）， 移项得， 配方得，即， 开方得， ∴，； （2）能达到800元，理由如下， 设降价元，则销售量为公斤， ∴，整理得，， ∴， 解得，，， 当降价2元时，销售量为（公斤），当降价4元时，销售量为（公斤）， ∵减少库存，， ∴降价4元，此时的销售单价为（元）， ∴葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元． 20. 一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，将上面分别标上数字1，2，3，4． （1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率？ （2）先从口袋中随机摸出1个小球，将小球上的数字记为a，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为b，求a，b能使有两个实数根成立的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，一元二次方程根的判别式，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）根据判别式可得，且，再画树状图得到所有等可能性的结果数，然后找到满足，且的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四个小球，每个小球被摸出的概率相同，且数字是奇数的小球有2个， ∴从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是奇数的概率为； 【小问2详解】 解：∵a，b能使有两个实数根成立， ∴， ∴，且， 画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中满足，且的结果数有3种， ∴a，b能使有两个实数根成立的概率为． 21. 我们常见的炒菜锅是抛物线面，锅盖是圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的圆弧记为． （1）求的解析式和所在圆的半径； （2）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）；5 （2） 将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖不能正常盖上，理由如下： 在中，当时，； 设直线与交于， 由（1）可得，的半径为5， ∴， ∴或（舍去） ∴， ∵， ∴，即 ∴将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖不能正常盖上． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理，圆的基本性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出对应的函数解析式；设所在圆的圆心为T，连接，则，证明垂直平分，则点T在直线上，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）在中，当时，；设直线与交于，则，解得或（舍去），再证明，据此可得结论． 【小问1详解】 解：设解析式为， 把代入中得，， ∴， ∴解析式为； 设所在圆的圆心为T，连接，则， ∵， ∴ ∵， ∴垂直平分， ∴点T在直线上， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴所在圆的半径为5； 【小问2详解】 略 22. 已知：在中，，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，使点落在边上的点处，为点的对应点，连接． （1）如图，当点在线段上时，连接． 填空：的形状为_____；与的数量关系为____． （2）如图，在（1）的基础上，当时，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图，连接，当时，直接写出的长． 【答案】（1）等边三角形， （2）菱形， 理由：由（1）得，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，所以，，，，又因为，，所以，，又因为，所以是等边三角形．因为，，，所以，，又因为，，所以，，因为，，故的形状为等边三角形，与的数量关系为． （2）由（1）得，，因为，，，所以，因为，所以，，，因为，，所以四边形是平行四边形，又因为，所以四边形是菱形． （3）延长，交于点，由上可得为等边三角形，，又因为，，和均是等腰直角是等腰直角三角形，，，即，，因为，，，即，因为，，所以，，因为，，所以，，因为，所以，，，因为，，所以，所以． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可得， ∴，，，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故的形状为等边三角形，与的数量关系为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 延长，交于点，如图所示： 由上可得为等边三角形，， 又∵，， ∴和均是等腰直角是等腰直角三角形，，， 即，， ∵， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，菱形的判定，解直角三角形的相关计算，熟练掌握以上性质是解题的关键． 23. 如图所示，矩形在平面直角坐标系中，，边与y轴交于点E，M为边上的点，以M为圆心，为半径作的一部分弧，交于点F，连接，且与弧相切，平分，反比例函数的图象经过点M，交于点N． （1）求反比例函数的解析式及点N的坐标； （2）在直线上是否存在点P，使的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，点N的坐标为 （2）存在点，点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可得到，然后根据勾股定理求出长，再在中，利用勾股定理求出长，得到点M的坐标，求出反比例函数解析式，即可求得点N的坐标； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而得到，求出点G的坐标，进而得到直线的解析式，根据三角形三边关系的应用得到当B，M，P三点共线时，取得最大值，计算解答即可． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为， ∴，， 连接， ∵与弧相切， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点的纵坐标为， ∴横坐标为， ∴点N的坐标为； 【小问2详解】 解：∵是矩形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当点P在直线上，根据三角形三边的关系可得， 当B，M，P三点共线时，取得最大值， 即点P的横坐标为10， 当时，， ∴存在点，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系，待定系数法求函数解析式，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接并延长交的延长线于点M． 此题考查了圆和三角形的综合题，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）求证：直线是的切线； （2）当时，，连接交于点P，求的长； （3）若点Q为的中点，连接，在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，     ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可推出，即可证明直线是的切线； （2）证明，，得到，推出是等边三角形，利用含30度的直角三角形的性质求得，得到等边的边长，在中，利用余弦函数即可求解． （3）过点作，连接，直径得到，解直角三角形求出的长，圆周角定理，推出为等腰直角三角形，进而求出的长，勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵，，即， ∴． 【小问3详解】 过点作，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴，， ∵点Q为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】此题考查了圆和三角形的综合题，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点为y轴上的动点，点P是第一象限抛物线上的动点，分别将点B、P绕点M旋转得到、，顺次连接得到四边形． （1）若点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）在（1）条件下，当时，求四边形面积S的最大值，并求此时点P的坐标； （3）当点P与抛物线的顶点重合时，探究满足什么条件时，存在点M，使得四边形为菱形？请说明理由． 【答案】（1）； （2）四边形面积S的最大值为，此时点P的坐标为； （3） 解：，理由如下： ∵抛物线与x轴相交于，两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； 如图所示，取中点H，则， ∵四边形为菱形， ∴， 由（2）可得三点共线，三点共线， ∴； ∴点M在以H为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当与y轴有交点时，存在M使得四边形为菱形， 当与y轴相切时，此时轴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴当时，与y轴有交点，即此时存在M使得四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，切线的性质，两点间距离计算公式，求二次函数解析式等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）由旋转的性质得到，且三点共线，三点共线，则可证明四边形是平行四边形，得到；求出，进而得到直线的解析式为；过点P作轴，交于D，设，则，则，可求出，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）可求出对称轴为直线，则，进而可得，则可求出抛物线的顶点坐标为；取中点H，则，由菱形的性质得到，则点M在以H为圆心，的长为半径的圆上运动，故当与y轴有交点时，存在M使得四边形为菱形，求出当与y轴相切时，a的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：把，，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵分别将点B、P绕点M旋转得到、， ∴，且三点共线，三点共线， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵点B绕点M旋转得到， ∴点M为点B，点的中点， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴，交于D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， 此时， ∴四边形面积S的最大值为，此时点P的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $