第二章 圆锥曲线（复习课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

单元复习课件 第二章 圆锥曲线 北师大版2019·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和标准方程. 2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质. 3.掌握直线与圆锥曲线的位置关系（相离、相切、相交）. 4. 掌握椭圆、双曲线的中点弦问题和抛物线的焦点弦性质. 单元学习目标 单元知识图谱 一、椭圆 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 特别说明：其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： ①若2a＞2c，则集合P为椭圆； ②若2a＝2c，则集合P为线段； ③若2a＜2c，则集合P为空集． 考点串讲 一、椭圆 2．椭圆的标准方程与几何性质 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 图形     性 质 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝(0，1) a，b，c间的关系 c2＝a2－b2 考点串讲 二、双曲线 1．双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|-|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 特别说明：数学表达式：集合P＝{M|||MF1|＋|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为两条射线； ③若a>c，则集合P为空集． 考点串讲 二、双曲线 2．双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 (a>0，b>0) (a>0，b>0) 图形     性 质 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝(1，＋∞) 实虚轴 实轴：线段A1A2，|A1A2|＝2a 虚轴：线段B1B2，|B1B2|＝2b a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 考点串讲 三、抛物线 1．抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 特别说明：其数学表达式：{M||MF|＝d }(d为点M到准线l的距离)． 考点串讲 三、抛物线 2．抛物线线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 开口方向 向右 向左 向上 向下 图形         顶点 O (0，0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F ( , 0) F ( - , 0) F ( 0 , ) F ( 0 , - ) 准线方程 x＝ x＝ y＝－ y＝ 考点串讲 四、直线与圆锥曲线 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点． (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离． ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行； 若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合． 考点串讲 四、直线与圆锥曲线 2．圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(，)，B()， 则|AB|＝|－|＝ 或|AB|＝|－|＝ 其中，k为直线斜率且k≠0. 考点串讲 题型一：椭圆的定义和标准方程 例题1：已知椭圆的上、下焦点分别为F1，F2，过点F1作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是 . 解析：因为椭圆的焦点在y轴上,故 分析可知，的周长为，则 椭圆的标准方程是 归纳总结训练 方法总结 椭圆的定义和标准方程 （1）定义法：根据椭圆定义，确定a的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出a，b，c，从而求得标准方程.   变式训练 变式1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点，则它的标准方程为 . 解析：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，所以， 解得，所以椭圆的标准方程为. 题型二:椭圆的简单几何性质 例题2：已知椭圆的左、右焦点分别是F1、F2 ，点P为椭圆上一点，<F1PF2 =则下列关于椭圆的结论正确的有（   ） A．长轴长为10 B．离心率为 C．F1PF2 的周长为20 D．F1PF2 的面积为12 解析：易知，长轴长为10，故A项正确； 离心率为，故B项错误；，故C项错误； ，解得，故D项错误.故选A. A 归纳总结训练 方法总结 椭圆的几何性质 1、长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c 2、离心率为e＝(0，1)； 3、a、b、c间的关系：c2＝a2－b2 4、， 5、椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为a-c，椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为a+c，   变式训练 变式2：若椭圆的方程为，则椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 . 解析：易知， 则椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为a-c=- - 题型三：双曲线的定义和标准方程 例题3：双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 解析：易知，设点与另一个焦点的距离为x，因为与它的一个焦点的距离等于1，所以由双曲线定义知：， 解得（舍）， 所以点与另一个焦点的距离为. 归纳总结训练 方法总结 双曲线的定义和标准方程 （1）定义法：根据双曲线定义，确定a的值，再结合焦点位置，直接写出双曲线方程. （2）待定系数法：根据双曲线焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出a，b，c，从而求得标准方程.      变式训练 变式3：求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为（0,3），一个焦点的坐标为（0,）． 解析：（1）易知，则 则双曲线的方程为； （2）易知，双曲线的焦点在y轴上，故 则双曲线的标准方程为． 　 题型四：双曲线的简单几何性质 例题4：已知双曲线C的方程为：，则下列结论正确的是（    ） A．实轴长为4 B．渐近线方程为 C．顶点坐标为（-3,0）,（3,0） D．焦距为 解析：易知，实轴长为6，故A项错误；渐近线方程为，故B正确； 顶点坐标为（0,-3）,（0,3），故C错误； 焦距为，故D错误. 故选：B. B 归纳总结训练 方法总结  双曲线的几何性质 1、实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c 2、离心率为e＝(1，)； 3、a、b、c间的关系：c2＝a2+b2 4、渐近线y＝±x（x型），y＝±x（y型）   变式训练 变式4：若双曲线(a>0，b>0)的两个顶点三等分两焦点间的线段，则此双曲线的离心率为 . 解析：因为两个顶点三等分两焦点间的线段， 所以，即，故离心率为3. 3 题型五：抛物线的定义和标准方程 例题5：点（5，3）到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是 . 解析：当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得=12，所以抛物线方程为； 当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为解得=-36或=12（舍去），所以抛物线方程为． 或 归纳总结训练 方法总结 求抛物线的标准方程的步骤： （1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： （2）根据题目条件列出p的方程 （3）解方程求出p，即得标准方程 变式训练 变式5：已知动点P到点F(2,0)的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为 . 解析：由题意可知，动点P到点F(2,0)的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义可知，点P在以F(2,0)为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为. 题型六：抛物线的简单几何性质 例题6：过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________. 解析：因为直线AB过焦点F(1,0)， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 8 归纳总结训练 方法总结 抛物线的简单几何性质  标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦点 F ( , 0) F ( - , 0) F ( 0 , ) F ( 0 , - ) 准线方程 x＝ x＝ y＝－ y＝ 焦点弦 x1＋x2＋p -(x1＋x2)＋p y1＋y2＋p -(y1＋y2)＋p 通径 2p 变式训练 变式6：抛物线的方程为，下列描述正确的是（    ） A．开口向右 B．焦点为（0，4） C．准线方程为 D．通径为8 解析：因为的方程为，所以抛物线开口向上，焦点为（0，4），其准线方程为，通径为16. 结合选项可得B正确.故选：B. B 题型七：直线和圆锥曲线的位置关系 例题7：已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有两个公共点． 解析：联立，消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． 当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交，故k的取值范围为 归纳总结训练 方法总结 直线与圆锥曲线交点问题的解题思路 （1）将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式； （2）注意讨论二次项系数是否为0； （3）若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．   变式训练 变式7： 若椭圆的方程为直线l过点A(2，0)， 则直线l与椭圆的位置关系为（ ） A.相交 B. 相切 C.相离 D.无法确定 解析：易知， 所以直线l与椭圆相交，故选A. A 题型八：弦长问题 例题8：已知抛物线的方程为，直线 交于两点，则 . 解析： ， |AB|＝== 归纳总结训练 方法总结 圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(，)，B()， 则|AB|＝|－|＝ 或|AB|＝|－|＝ 其中，k为直线斜率且k≠0. 变式训练 变式8：已知直线过双曲线:右焦点（2，0），双曲线交于两点，满足|AB|＝6，求直线的方程． 解析：当直线的斜率不存在时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，联立 消去得：，所以， 设， |AB|＝=== 所以=1，=，则直线的方程为或或. 题型九：中点弦问题 例题9：已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为 . 解析：设，因为两点在曲线上，所以有用①式减去②式可得=0 点是线段的中点，根据中点坐标公式得：=2， =2 =0. 所以直线的斜率. 归纳总结训练 方法总结 圆锥曲线的中点弦问题 （1）点差法， 设弦端点坐标代入曲线方程，作差得斜率与中点的关系； （2）联立方程，利用韦达定理中点坐标公式，避免漏解斜率不存在的情况。  变式训练 变式9：已知直线与双曲线:相交于点，且弦的中点是点，则此双曲线的渐近线方程为 . 解析：设，因为两点在曲线上，所以有用①式减去②式可得=0 点是线段的中点，根据中点坐标公式得：=2， =2 ，故有所以双曲线的渐近线方程为. 1．已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（    ） A．6 B．3 C．4 D．2 解析：由椭圆，得，即，设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a=6，因为|PF2|＝4，所以|PF1|=2，即点到左焦点的距离为2.故选:D. D 课堂总结 2.设F1、F2是两定点，|F1F2|=6，动点P满足|PF1|-|PF2|=4，则动点P的轨迹是（     ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在 解析：依题意，F1、F2是两个定点，P是一个动点，且满足: |PF1|-|PF2|=4<|F1F2|=6， 所以动点P的轨迹是双曲线的一支. 故选：B B 课堂总结 3.已知F为抛物线C:的焦点，过F的直线交C于两点，若弦的中点的横坐标为4，则 . 解析： 设，则=8， 由抛物线的焦点弦公式可得 12 课堂总结 4.已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若4，则这样的直线l有 条 解析：当直线l的斜率为0时，直线的方程为，此时4，符合题意， 当直线l的斜率不等于0时，设方程为，设，联立，整理可得1=0，解得， = ，，又 |AB|＝ , |AB|===解得， 综上所述，符合题意得直线有3条. 3 课堂总结 5. 已知直线（斜率存在）过点，且与椭圆相交于不同的两点，若中点的纵坐标为，求直线的方程.  解析：根据题意可设直线的方程为，设 ，联立，整理可得5=0， 易知==，解得=-2 或 =-（舍去）， 因此直线的方程为2. 课堂总结 课堂总结 感谢聆听! $$