精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

2023-2024学年度第一学期高二第三次月考数学试卷 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分.） 1. 若三条直线，，相交于同一点，则实数（ ） A. －12 B. －10 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】通过解方程组，运用代入法进行求解即可. 【详解】由，，可得交点坐标为， 代入直线，可得，所以． 故选：A 2. 对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ） A. 四点必共面 B. 四点必共面 C. 四点必共面 D. 五点必共面 【答案】B 【解析】 【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 而，其中，所以四点共面. 故选：B. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由求解. 【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆， 则， 解得：， 故选：B. 4. 平行六面体中，，，则的长为（    ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质即可求解． 【详解】如图， 由题知，, ，， . ， ， 即的长为. 故选：B 5. 平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（ ） ①直线：过点 ②直线在轴的截距是2 ③直线的图像不经过第四象限 ④直线的倾斜角为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①代入验证即可；②当时可得在轴的截距；③由可判断；④先求斜率可得倾斜角. 【详解】①将代入得，故正确； ②当时，，故在轴的截距是，故错误； ③由得， 故， 故其图像不经过第四象限，故正确； ④的斜率为，故倾斜角为，故正确； 故选：C 6. 已知直线过定点M，则点M关于直线对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，联立方程组求解定点，再求解点关于直线的对称点，利用垂直平分性质建立方程组求解即可. 【详解】直线过定点， 由，解得， 则定点为. 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 则关于直线r的对称点的坐标为. 故选：C. 7. 椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题： ①过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8； ②椭圆上存在点，使得； ③椭圆的离心率为； ④为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为3. 则以下选项正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出a、b、c及焦点坐标，由椭圆定义求焦点三角形的周长判断①，根据椭圆的性质及余弦定理求的最大值，进而确定其范围判断②，直接法求离心率判断③，根据圆的方程确定与椭圆的位置关系，进而判断的距离范围，即可判断④. 【详解】由题设，椭圆参数为，且、， ①由椭圆定义知：，则△的周长为8，正确； ②当在y轴上时，，而，此时，易知为，故，存在点使得，正确； ③椭圆的离心率为，正确； ④由椭圆和圆的方程知：它们在y轴上的交点为椭圆上下顶点，而圆在x轴上的交点为，所以，故的最大距离为3，正确. 故选：C 8. 设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的重心坐标，再根据双曲线定义及切线长定理求出的内心横坐标，根据重心与内心横坐标相同得到方程，求出离心率. 【详解】将代入，解得：，即，不妨令，则，，所以重心坐标为，设的内心为D，内切圆与，的切点分别为A，B，与x轴切点为C，则PA=PB，，，且点D与点C横坐标相同，又由双曲线定义知：，从而，设，则，解得：，故点C为双曲线的右顶点，故D点的横坐标为a，因为的重心和内心的连线与x轴垂直，所以，解得：，即，解得：. 故选：A 二、多选题（每题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过空间向量平行和垂直的坐标运算，验证各选项是否正确. 【详解】A选项，因为，所以，A正确； B选项，因为，所以，B正确； C选项，设，则有，方程组无解，故不平行，C错误； D选项，，故，D正确. 故选：ABD 10. 已知方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，表示圆心为的圆 B. 当时，表示圆心为的圆 C. 当时，表示的圆的半径为 D. 当时，表示的圆与轴相切 【答案】BD 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解． 【详解】由题意，方程，可化为， 可得圆的圆心坐标为， A中，当时，此时，所以A错误； B中，当时，此时，表示圆心为的圆，所以B正确； C中，当时，表示的圆的半径为，所以C错误； D中，当时，可得，方程表示的圆半径为， 又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确． 故选：BD． 11. 设椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 的最小值为4 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切 【答案】CD 【解析】 【分析】根据椭圆的方程求，由此可求离心率，判断A，根据椭圆的定义和基本不等式求的最值，判断B，根据椭圆的性质，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，即可判断C项，利用圆心到直线的距离即可判断D项. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 因为椭圆的方程为， 故，所以离心率，故A错误； 由椭圆的定义可知， 所以，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为4，B错误； 由已知，， 当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大， 最大值为，故C正确； 以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为， 又直线方程为，故圆心到直线的距离为， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故D正确. 故选：CD. 12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 若，则直线的斜率为 D. 过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，进而根据抛物线的定义判断A；根据判断B；设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理，根据解方程即可得判断C；根据直线与曲线的位置关系得过点，分别与抛物线相切的直线方程为，，进而联立方程解得可判断D. 【详解】解：由题知，，准线方程为， 对于A选项，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，故，故正确； 对于B选项，设，故，故错误； 对于C选项，当直线的斜率不存在时，，不成立； 故直线的斜率存在，设方程为，与抛物线方程联立得， 所以， 因为， 所以，即，解得，故正确； 对于D选项，设过点与抛物线相切的直线方程为， 与抛物线方程联立得， 所以，整理得， 所以，故即为，整理得 同理得过点与抛物线相切的直线方程为， 所以，联立方程，解方程得， 因为，所以 所以，即点的横坐标为，故正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共20分.） 13. 已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为__________________； 【答案】 【解析】 【分析】 求出椭圆的顶点和焦点，进而可得，则椭圆方程可求． 【详解】解：对于直线， 当时，， 当时，， 则椭圆中的， 则， 所以椭圆方程为． 故答案为：． 14. 与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出的值，再由双曲线的离心率得出，进而可得双曲线的标准方程． 【详解】由椭圆方程，可得焦点为 设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则 故，所以， 所以双曲线的标准方程为： 故答案为： 15. 已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则的值为_________. 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线的定义知，且，得为等边三角形，从而，在直角三角形求解即可. 【详解】如图， 由抛物线的定义可知：， 又∵， ∴，则为等边三角形， 又，则， ∴，则. 故答案为：4. 16. 已知直线l经过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【详解】当直线过B时，设直线的倾斜角为，则 当直线过A时，设直线的倾斜角为，则 综合：直线l经过点且与以，为端点的线段有公共点时，直线的倾斜角的取值范围为 四、解答题（共70分） 17. 已知直线和圆． （1）求与直线垂直且经过圆心的直线的方程； （2）求与直线平行且与圆相切的直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据垂直关系设直线,再结合直线过圆心求参即可; （2）先根据平行设直线方程，再根据圆心到直线距离为半径求参得出直线方程. 【小问1详解】 设与直线垂直的直线的方程为． 圆可化为，圆心为， 因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线的方程为． 【小问2详解】 设与直线平行的直线的方程为． 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即， 所以或10， 故所求直线的方程为或． 18. 已知圆与圆． （1）求两圆公共弦所在直线的方程； （2）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两个圆的方程相减即可得到公共弦直线方程； （2）先由圆的方程解出交点坐标，再列方程求解圆心即可得到答案. 【小问1详解】 因为圆与圆， 所以将代入， 得两圆公共弦所在直线的方程为 【小问2详解】 由， 解得，则交点为，， 圆心在直线上，所以设圆心为， 则，即， 解得，故圆心，半径， 所求圆的方程为 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，是线段上靠近的三等分点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线、、所在直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图： 则、、、、、， ，， ，. （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，直线、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知平面的一个法向量为， ， 所以，直线与平面的夹角的正弦值为. 20. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据点在抛物线上及焦半径公式，列方程组求解即可； （2）设出坐标，代入抛物线方程，结合弦中点，利用点差法即可求得直线的斜率. 【小问1详解】 由题可知，，解得，故抛物线的方程为. 【小问2详解】 设，则，两式相减得， 即.因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线的斜率为2. 21. 已知焦点在轴上，焦距为的椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线交椭圆于A，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知得出，结合椭圆上的点以及的关系，求解即可得出答案； （2）根据已知设直线方程为，点，.联立直线与椭圆的方程，得出.计算得出的范围，由韦达定理得出的关系，代入弦长公式，根据已知得出方程，求解即可得出的值，代入直线方程即可得出直线方程. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 由已知可得，且，， 所以，， 解得，， 故椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】 由已知可得，直线的斜率， 设直线方程为，点，. 由方程组，化简得：， 由， 可得，解得． 由韦达定理可得，，， ， 整理可得，，解得， 直线方程或． 22. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点，直线与只有一个公共点. （1）求C的方程； （2）直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以为直径的圆经过点A，求证：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） 证明：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立得. 由得, 所以， . 因为以为直径的圆经过点，所以，即 整理得，所以或. 当时，直线l的方程为，所以直线l过左顶点，不符合题意； 当时，直线l的方程为，所以直线l恒过定点. 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为， 代入，得，所以. 因为，整理得， 解得（舍去）， 此时直线l的方程为，直线l也过点.综上所述，直线l恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据直线与双曲线的位置关系求解； （2）利用韦达定理以及以为直径的圆经过点A，所得的向量关系即可求解. 【小问1详解】 因为直线过曲线的右顶点，又与曲线只有一个公共点，所以平行于渐近线， 所以，所以双曲线方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第一学期高二第三次月考数学试卷 考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分.） 1. 若三条直线，，相交于同一点，则实数（ ） A. －12 B. －10 C. 10 D. 12 2. 对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（ ） A. 四点必共面 B. 四点必共面 C. 四点必共面 D. 五点必共面 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 4. 平行六面体中，，，则的长为（    ） A. 10 B. C. D. 5. 平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中，正确的有几个（ ） ①直线：过点 ②直线在轴的截距是2 ③直线的图像不经过第四象限 ④直线的倾斜角为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知直线过定点M，则点M关于直线对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，给出以下四个命题： ①过点的直线与椭圆交于两点，则△的周长为8； ②椭圆上存在点，使得； ③椭圆的离心率为； ④为椭圆一点，为圆上一点，则点的最大距离为3. 则以下选项正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③④ D. ①②④ 8. 设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，表示圆心为的圆 B. 当时，表示圆心为的圆 C. 当时，表示的圆的半径为 D. 当时，表示的圆与轴相切 11. 设椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 的最小值为4 C. 面积的最大值为 D. 以线段为直径的圆与直线相切 12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点，则的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 若，则直线的斜率为 D. 过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共20分.） 13. 已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为__________________； 14. 与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为______． 15. 已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作准线的垂线，垂足为Q，若，则的值为_________. 16. 已知直线l经过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为____． 四、解答题（共70分） 17. 已知直线和圆． （1）求与直线垂直且经过圆心的直线的方程； （2）求与直线平行且与圆相切的直线的方程． 18. 已知圆与圆． （1）求两圆公共弦所在直线的方程； （2）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，是线段上靠近的三等分点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率. 21. 已知焦点在轴上，焦距为的椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线交椭圆于A，两点，且，求直线的方程． 22. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点A是C的左顶点，直线与只有一个公共点. （1）求C的方程； （2）直线l与C交于M，N两点（M，N异于双曲线C的左、右顶点），若以为直径的圆经过点A，求证：直线l恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $