第18讲：三角恒等变换【知识梳理+题型总结】讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第18讲：三角恒等变换】 【新高考课程标准要求】 1.推导公式：会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。并能以此为基础，推导出两角差的正弦、正切公式，进而推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解这些公式之间的内在联系。 2.理解公式：理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等，记住公式的结构特征和符号变化规律，能够正确正用、逆用及变形使用公式。例如要清楚两角和与差的正切公式变形为后的应用场景。 3.恒等变换应用：能运用上述公式进行简单的恒等变换，包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆这三组公式。通过恒等变换，使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少，尽量让式子中的分母和被开方数不含三角函数等，常与同角三角函数的基本关系、诱导公式等综合应用。 【知识梳理】 一、基础公式（核心推导与应用） 1. 两角和与差公式 余弦： *（由向量数量积推导，是所有公式的基础）* 正弦： *（可由余弦公式结合诱导公式推导）* 正切： （） （） *（由正弦、余弦公式相除推导）* 2. 二倍角公式 正弦： 余弦： （基本形式） （降幂：） （降幂：） *（降幂公式是化简高次三角函数式的关键）* 正切：（且） 二、常用变形公式（逆用与拓展） 1. 公式逆用与凑角技巧 正切公式变形： *（用于化简含与的式子）* 凑角公式： ，，等 *（例：）* 2. 辅助角公式（合一变形） 对于（不同时为0），可化为： 其中（的终边过点），或写作（）。 *（核心：将不同名三角函数合并为单一三角函数，便于求最值、周期等）* 3. 半角公式（不要求记忆，需会推导） 由二倍角公式变形可得（为任意角）： *（符号由所在象限决定，后两个正切公式无需考虑符号）* 4. 和差化积与积化和差（不要求记忆，需了解推导思路） 和差化积： 积化和差： *（推导：令两角和与差公式中的，，联立消元即可）* 三、常用结论（简化计算与解题技巧） 1. 特殊角相关： （辅助角公式的特殊情况） ，（由半角公式或两角差公式推导） 2. 平方关系变形： （常用于已知求） （由展开推导） 3. 角的互补/互余关系： 若，则， 若，则， 四、公式应用原则 1. 化简优先：项数最少、次数最低、角与函数名最少，分母/被开方数不含三角函数。 2. “角”是核心：观察式子中角的关系（如和差、倍半），选择对应公式（如凑角、二倍角）。 3. 灵活逆用：如（二倍角公式逆用），（代换技巧）。 【课前自测】 1．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习） ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、和角公式及二倍角公式计算可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）下列式子的运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判断C. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：， 所以，故B正确； 对于C： ，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：ABC 3．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化为，再结合二倍角公式进一步化简求值即可. 【详解】因为，所以 . 故选：B 4．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两角和差的正切公式求出判断AB；根据角的范围及特殊角的正切值判断CD. 【详解】因为， 所以， ，故选项AB正确； 因为，所以，又，， 所以， 因为，所以即，所以C错误，D正确. 故选：ABD 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则 ， . 【答案】 / / 【分析】根据半角公式及结合的范围即可求解. 【详解】由半角公式可得，. ∵，∴，即是第二象限角，∴，. ∴，. 故答案为：；. 6．（2025高一·全国·专题练习）已知，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，两式平方相加可得，分两种情况，求出，利用正切二倍角公式进行求解. 【详解】设，又， 两式平方相加得，得． 由得，故，； 或由得，故，． 综上所述，． 故选：A． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则等于 【答案】 【分析】先确定的取值范围，根据同角三角函数的平方关系求出，再利用求值. 【详解】∵，， 所以，所以 ∴. 故答案为： 8．（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，，求，的值． 【答案】，． 【分析】将条件等式平方后相加，结合和角余弦公式求，应用和差化积公式得、，再作商并应用万能公式求. 【详解】， ， 两式相加，得， 由，得， 由，得， 两式相除，得， 所以． 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：三角函数式的化简】 【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】解法一：根据式子结构，利用半角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解；解法二：根据式子结构，利用二倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解. 【详解】解法一：原式 . 解法二：原式 . 故选：B. 【针对训练】2．（2025高三·全国·专题练习）化简： . 【答案】 【分析】根据二倍角公式及同角三角函数的商数关系即可求解. 【详解】原式. 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）化简: . 【答案】 【分析】弦切互化将变为，利用诱导公式将变为，结合完全平方式和二倍角余弦公式化简即可. 【详解】原式. 故答案为： 【解题策略】 一、异名化同名（统一函数类型） 通过公式将不同三角函数（如sin、cos、tan）转化为同一类，常用工具： 同角关系：，（实现切化弦）； 诱导公式：如（实现弦与弦的转化）； 辅助角公式：（或形式），其中（将不同名的正弦、余弦合并为单一三角函数）。 二、异角化同角（统一角的形式） 通过角的拆分与组合，将复角（如、、）转化为单角或已知角，常用思路： 角的拆分：如，，等； 利用和差角公式、二倍角公式：直接将复角表达式展开，转化为单角的三角函数。 三、降幂与升幂（调整次数） 降幂：将高次项（二次及以上）转化为低次（通常为一次），核心公式： 升幂：将低次项转化为高次，用于凑平方或和差公式，核心公式： 四、消去特殊结构（简化表达式） 分式：通过通分、约分或分子分母同乘某式（如弦化切后约分）消除分式； 根号：利用升幂公式将根号内表达式化为完全平方形式（结合角的范围确定开方后的符号）； 绝对值：根据角的范围判断三角函数值的正负，去掉绝对值符号。 五、合并与整理（减少项数） 利用代数运算（如提取公因式、平方差公式、完全平方公式等）合并同类项； 对化简后的式子进行最后的整理，确保项数最少、形式最简（如化为单一三角函数或常数）。 总结 化简时需结合式子特点，灵活组合上述策略，优先处理明显可转化的部分（如先切化弦、再降幂、最后统一角），逐步将复杂式子简化为“函数单一、角单一、次数低、项数少”的形式 【考点二：三角函数式的求值】 【角度1：给角求值】 【例题】1．（24-25高一下·辽宁大连·期中）计算下列各式值，其结果为1的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用二倍角公式、诱导公式及和差角公式一一判断即可. 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：因为， 所以， 所以 ，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：AD 【针对训练】2．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）求值： (1)； (2). 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）将已知式中的切化弦，通分后利用辅助角公式，再利用二倍角公式和诱导公式化简即可； （2）由二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦余弦公式将题中角统一为，进一步转化为，展开后化为特殊角即可求值. 【详解】（1） （2） 3．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：C. 【角度2：给值求值】 【例题】4．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，，，则 . 【答案】/ 【分析】由齐次商数关系可求，再利用正切差角公式可求，最后根据同角三角关系求值即可. 【详解】或. ，，，. 故答案为：. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，，求，及的值. 【答案】，， 【分析】由题中条件及同角三角函数的平方关系可求得和的值，利用两角和与差的余弦公式即可求解，的值，结合角即可求解的值. 【详解】因为，且，所以. 因为，且，所以. 所以， . 又因为，，所以，所以，即. 【针对训练】6．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】根据和差公式及辅助角公式化解得，再利用二倍角公式可求得值. 【详解】， ， 故答案为：. 7．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知且则tanβ=（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据求得，代入题意中的等式，利用二倍角的余弦公式求出，结合同角的商数关系计算即可求解. 【详解】因为，所以， 得，又， 解得，由，解得， 所以， 所以. 故选：C 【角度3：给值求角】 【例题】8．（24-25高一下·辽宁大连·期末）在中，已知，是关于的方程的两个实根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理和和差公式即可得解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 所以， 所以， 因为，所以. 故选：D 9．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系切化弦之后，结合正弦两角和公式、三角函数取值关系即可得结论；或者根据三角恒等变换利用半角公式化简，结合正切函数的性质得结论. 【详解】解法1：由得，， 又因为，所以，则或， 整理得或（舍去）. 故选：C． 解法2：因为，所以， 又因为，所以，则， 整理得. 故选：C． 【针对训练】10．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得. 【详解】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C 11．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 【解题策略】 一、给角求值：已知非特殊角，求其三角函数值 核心思路：将非特殊角通过拆分、组合转化为特殊角（如等）的和、差、倍、半等形式，再利用恒等公式计算。 常用策略： 1. 角的拆分与组合：观察非特殊角与特殊角的关系，例如： ，； ，等，通过和差角、半角公式转化。 2. 降幂与升幂：对于高次三角函数，先降幂转化为一次，再结合角的变换。 3. 辅助角公式：将化为单一三角函数，再代入角计算。 二、给值求值：已知某角的三角函数值，求另一表达式的值 核心思路：分析已知角与待求角的关系（如和差、倍数、互余等），通过恒等公式将待求式用已知角的三角函数表示，再代入计算。 常用策略： 1. 分析角的关系：确定待求角与已知角的联系，例如： 若已知，待求，则（直接用和角公式）； 若已知和，待求，则（间接拆分）； 常见配角技巧：，等。 2. 确定角的范围：根据已知条件判断角的象限（或范围），避免三角函数值符号错误（如求时，需明确在第几象限）。 3. 选择合适公式： 已知或，求同角的其他函数值：用同角关系、； 已知单角函数值，求复角函数值：用和差角公式、二倍角公式； 涉及高次项：先降幂，再转化为一次表达式。 三、给值求角：已知三角函数值，求对应的角 核心思路：先确定角的范围（缩小到唯一解），再求出该角的某个三角函数值（通常选单调函数，如正切），最后结合特殊角或反三角函数确定角的具体值。 常用策略： 1. 确定角的范围：根据题目条件（如“为锐角”“”）或隐含信息（如三角函数值的符号），缩小角的范围（通常缩到某一单调区间，确保解唯一）。 2. 选择目标三角函数：优先选择在该范围内单调的三角函数（如正切在单调，余弦在单调），避免多解混淆。 3. 计算目标函数值：通过恒等变换求出该角的目标三角函数值，对比特殊角的函数值，确定角的大小。 4. 验证唯一性：若范围内含多个可能角，需结合其他条件（如另一三角函数值的符号）排除，确保解唯一。 总结 三类求值问题的共性是“利用角的关系与恒等公式建立转化”，差异在于： 给角求值侧重“非特殊角→特殊角”的拆分； 给值求值侧重“已知角→待求角”的联系构建； 给值求角侧重“范围限定+函数值匹配”的唯一性确定。 解题时需灵活运用和差角、二倍角、同角关系等公式，结合角的范围判断符号，确保结果准确。 【考点3：三角恒等变换的综合应用】 【例题】1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的最值及相应x的值． 【答案】(1)， (2)当时，取最大值为，当时，取最小值为 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，然后利用整体代入法求得函数的单调递增区间； （2）根据三角函数最值的求法求得的最值及相应x的值． 【详解】（1）（1）因为 ， 所以令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为：，， （2）因为，所以， 令，则函数在单调递增，在单调递减； 所以时，； 时，； 所以当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为． 【针对训练】2．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知函数，且函数为最小正周期为的周期函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域； (3)若，其中，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用倍角公式以及辅助角公式化简可得，由周期求出，即可求得答案； （2）利用整体代换并结合正弦函数性质，即可求得答案； （3）由，可得，继而求出，利用两角差的余弦公式，即可求得答案. 【详解】（1）根据题意（1）化简可得 ， 又因为函数的最小正周期为，所以，可得， 所以． （2）设，所以， 所以的值域为． （3）因为，所以， 可得， 因为，可得，所以， 所以 ． 3．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知函数． (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合正弦函数的对称轴求解即得； （2）利用正弦函数的单调递增区间列不等式，求解即得； （3）先由给定区间求出整体角的范围，结合正弦函数的单调性即可求得函数的值域. 【详解】（1）因， 由，可得， 即函数的图象的对称轴方程为； （2）由，可得， 即函数的单调递增区间为； （3）因，当时，取， 因函数在上单调递增， 故的值域为. 【解题策略】 三角恒等变换在三角函数图像中的综合应用，核心是通过恒等变换将复杂的三角函数表达式转化为标准形式（如，等），进而利用标准形式的参数（）分析图像特征（周期、振幅、对称轴、单调性等）或解决图像变换、解析式求解等问题。以下是具体解题策略： 一、化简表达式为标准形式：图像分析的前提 三角函数图像的性质（周期、振幅、相位等）由其标准形式的参数直接决定，因此需先通过恒等变换将复杂表达式化简为标准形式。 常用变换工具： 1. 降幂公式：处理含、的表达式，转化为一次三角函数（如，）； 2. 二倍角公式：处理（如），转化为倍角的正弦； 3. 辅助角公式：合并不同名的正弦、余弦（如，其中），转化为单一三角函数； 4. 角的合并：通过和差角公式处理含复角的表达式（如可化简为）。 目标：将原式化为（或余弦、正切形式），明确参数（振幅）、（周期相关）、（相位）、（上下平移量）。 二、利用标准形式分析图像特征 化简为标准形式后，可直接通过参数分析图像的核心性质，解决与图像相关的问题： 1. 周期与奇偶性 周期：由决定，（正弦、余弦）或（正切）； 奇偶性：若（正弦）或（余弦），函数可能为奇偶函数（结合），需通过恒等变换验证。 2. 对称轴与对称中心 对称轴：正弦函数的对称轴满足（），余弦函数满足（），通过解方程可得； 对称中心：正弦函数对称中心满足（），对应点为，需结合恒等变换后的表达式求解。 3. 单调性与最值 单调性：利用标准形式的单调区间模板（如的增区间为），令，解不等式得原函数的单调区间； 最值：振幅决定最值范围，最大值为，最小值为（正弦、余弦），需通过恒等变换确保表达式已化为“单一三角函数+常数”形式。 三、图像变换问题：从标准形式逆向推导 已知图像变换过程（平移、伸缩）求目标函数，或已知目标函数反推变换步骤，需先通过恒等变换将函数化为标准形式，再分析参数变化。 关键步骤： 1. 明确变换规则： 横向平移：（左移，）； 横向伸缩：（周期变为，）； 纵向伸缩与平移：（振幅为，上移）。 2. 结合恒等变换处理非标准形式： 若目标函数为非标准形式（如），需先化简为标准形式（如通过降幂公式转化为，再配方或辅助角变换），再分析变换过程。 四、由图像求解析式：参数确定与恒等验证 已知三角函数图像的关键点（顶点、零点、周期等）求解析式，需通过恒等变换建立参数关系，步骤如下： 1. 求和：由图像的最值（最高点、最低点） 2. 求：由周期（相邻最值点间距为，相邻零点间距为）得（正弦、余弦）； 3. 求：代入图像的关键点（如最高点、零点），结合恒等变换（如），并根据图像相位（左偏、右偏）确定的唯一值（注意范围限定，通常取）。 总结 三角恒等变换在三角函数图像中的应用，核心是“化简为标准形式→利用参数分析图像→逆向解决变换与解析式问题”。解题时需灵活运用降幂、辅助角、和差角等公式，确保表达式化简正确；同时结合图像的几何特征（周期、最值、对称等），建立参数与图像的对应关系，实现“代数变换”与“几何特征”的衔接。 【考点四：半角公式】 【例题】4．（2025高三·全国·专题练习）已知，求值． 【答案】 【分析】由题意得，结合半角公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 解得或（舍去）， 所以， 所以由半角公式可得 . 【针对训练】5．（2025高三·全国·专题练习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定的范围，再利用半角公式即可得到结果. 【详解】因为是第一象限角，所以， 则，所以是第一象限角或第三象限角. 又知，， 所以， 故选：D. 6．（24-25高一下·辽宁·期中）已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是第四象限角结合同角三角函数关系及半角公式计算求解. 【详解】因为是第四象限角，又因为，则， 所以. 故选：D. 【解题策略】 一、明确半角公式的三种形式及适用场景 半角公式的本质是二倍角公式的变形，针对、、有不同表达式，需根据已知条件选择合适形式： 1. 无理形式（含根号） 适用场景：已知的值，求、或，需结合的终边所在象限判断符号（“”的选择）。 2. 有理形式（切化弦或含） 适用场景： 已知和的值，避免根号运算，直接通过分子分母的整式运算求解； 化简含与的分式（如可直接化为）。 二、符号判断：半角公式的关键 无理形式中“”的选择是易错点，需严格根据的终边所在象限确定三角函数的符号： 1. 先确定的范围，进而推出的范围（如，则，）； 2. 根据的象限判断三角函数符号（如在第二象限时，，）。 三、半角公式的常见应用场景及策略 1. 已知全角三角函数值，求半角三角函数值 步骤： ① 确定的象限，判断符号； ② 选择合适公式（已知用无理形式，已知和用有理形式）； ③ 代入计算。 2. 化简含半角的三角函数式 核心思路：通过半角公式将半角化为全角，减少角的种类，便于进一步化简。 例：化简，可直接用的倒数，得； 若表达式含根号（如），可利用，化为，再结合象限去绝对值。 3. 证明三角恒等式 策略：从等式一边（通常含半角）出发，用半角公式转化为全角表达式，逐步向另一边推导。 例：证明，可从右边入手，分子用二倍角公式，分母用，约分后得。 4. 与其他公式结合使用（如和差角、二倍角） 半角公式常作为“桥梁”，连接不同角的三角函数。例如： 已知，可将视为的二倍角，用半角公式将的三角函数表示为的函数； 处理（即的半角）时，可连续使用半角公式，逐步降角（如，再代入的表达式）。 四、注意事项 1. 半角公式与二倍角公式是“互逆”关系，解题时需根据角的倍数关系灵活转换（如是的二倍角，是的半角）； 2. 有理形式的公式（）可避免符号判断，在化简和求值中更便捷，优先选用； 3. 当的范围不明确时，需保留“”或用绝对值表示结果，避免符号错误。 总结 半角公式的解题核心是“明确角的倍数关系→选择合适公式形式→判断符号（无理形式）→结合其他公式化简或求值”。熟练掌握三种形式的转化及符号规则，可有效解决与半角相关的化简、求值、证明问题，同时为复杂角的恒等变换提供更多角度。 【考点五：和差化积积化和差公式】 【例题】7．（2025高三·全国·专题练习）设是锐角，且，求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据题意得到的范围，利用降幂公式与和差化积公式计算，结合正弦函数的值域即可证得结论. 【详解】由 （*）， 因可得，, 则,, 由（*）可得， ，则，可得， 由此可得， 代入（*）式，得， 则有,故得， 又，，. 8．（2025高三·上海·专题练习）已知，则 . 【答案】 【分析】先利用二倍角公式、和差化积公式求出，结合条件求出，再利用商数关系即可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式，得， 因为，所以， 由， 可得， 所以. 故答案为：. 【针对训练】9．（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）已知函数，，若有两个零点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于AB，由结合余弦函数的性质求出，进行分析判断，对于C，通过分析和的正负进行判断，对于D，结合三角函数恒等变换公式直接计算进行判断. 【详解】令，得，故或， 所以，或，， 解得 ①，或②，， 因，由①可得：当或时，可得，； 由② ，因，方程无解. 综上可知，A、B错误； 因为，，所以，故C错误； 又，故D正确. 故选：D. 10．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得. 【详解】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于， 故选：A． 12．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得，再根据，，计算即可求解. 【详解】因为 ， 由题意可知，，所以， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为， ， 所以. 故选：C. 【解题策略】 一、明确两组公式的形式及转化本质 两组公式是“互逆”关系，需熟记结构及系数特征： 1. 积化和差公式（将“积”化为“和差”） 本质：将两个角的三角函数乘积，转化为这两个角的和、差的三角函数的和或差，消除“乘积”运算。 2. 和差化积公式（将“和差”化为“积”） 本质：将两个角的三角函数的和或差，转化为这两个角的半和、半差的三角函数的乘积，便于提取公因式或利用二倍角等公式进一步化简。 二、适用场景：何时选择积化和差或和差化积？ 两组公式的应用需结合表达式的“形式特征”和“问题目标”判断： 1. 积化和差的适用场景 表达式中存在三角函数的乘积项（如、等），且需化简为和差形式以消去某些项（如正负抵消）； 求值时，乘积项中的角通过和差后可化为特殊角（如、等），便于计算具体值； 证明恒等式时，左侧为积式，右侧为和差式，需通过积化和差转化。 2. 和差化积的适用场景 表达式中存在三角函数的和或差（如、等），且需转化为积式以提取公因式（如与其他项约分）； 求值时，和差项中的角通过半和、半差后可化为特殊角或同角（如、等），便于简化运算； 处理三角形中的角关系（如）时，利用和差化积将角的和差转化为积，结合三角形内角和性质化简（如，则）。 三、核心解题策略：转化目标与操作步骤 1. 化简三角函数式：消项、降次或统一角 目标：通过积与和差的互化，减少项数、降低复杂度，或统一角的形式（如转化为同角、特殊角）。 步骤： ① 观察表达式形式：若为“积”，优先用积化和差；若为“和差”，优先用和差化积； ② 代入公式转化后，合并同类项或利用诱导公式化简（如）； ③ 若存在多余项，尝试通过角的关系（如与的互补、互余）消去。 2. 求值问题：转化为特殊角或已知角的三角函数 目标：将待求式中的角通过和差化积或积化和差，转化为已知值的角或特殊角（如、、等）。 关键技巧： 对于和差化积：设，，则，，即通过“设元”将两个角的和差转化为、的积（如）； 对于积化和差：若已知和的三角函数值，可直接代入公式计算积的值（如已知和，求，可转化为）。 3. 证明三角恒等式：从复杂端向简单端转化 策略： 若等式一侧为“积式”，另一侧为“和差式”，从积式端用积化和差转化，逐步向和差式端推导； 若两侧均为“和差式”或“积式”，通过和差化积或积化和差统一形式后，对比两侧是否相等； 利用角的关系（如）辅助转化，结合诱导公式或二倍角公式简化中间过程。 4. 与其他公式结合使用：形成“转化链” 积化和差与和差化积常作为中间步骤，与二倍角、半角、和角公式等配合使用： 例如：化简，可先将两项分别用积化和差： ，，相加后得； 再如：化简，用和差化积得，若需进一步化简，可结合二倍角公式处理。 四、易错点与注意事项 1. 系数与符号：积化和差公式中均含系数，且的公式前有负号；和差化积公式中均含系数，且的公式前有负号，需严格记忆避免出错。 2. 角的范围：转化后若涉及开方或符号判断（如与半角公式结合时），需根据角的范围确定三角函数的符号。 3. 公式的灵活性：和差化积中，“角的拆分”是关键（如，），需熟练掌握这种“凑角”技巧。 总结 积化和差与和差化积公式的核心解题逻辑是“观察形式→判断转化方向（积化和差或和差化积）→利用角的关系辅助转化→结合其他公式化简或求值”。其价值在于通过“积与和差的互化”打破表达式的固有结构，使复杂项简化、非特殊角转化为特殊角，最终实现问题的求解。熟练掌握公式特征及适用场景，可有效提升处理复杂三角表达式的能力。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（   ） A．1 B．2 C．或2 D．1或2 3．（2011·海南海口·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）计算（   ） A．2 B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）实数α，β满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江西吉安·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则 ． 10．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）求值： ． 11．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，，则 . 12．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，若，则 三、解答题 13．（2025·广东·一模）已知函数，其中． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若时，的最小值为4，求的值． 14．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，且． (1)求的值： (2)求的值． 15．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C A D B D 1．D 【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【详解】，故，故， 所以. 故选：D 2．B 【分析】先根据角的范围和题设条件求出与的值，再由和角的余弦公式求出，即可求得. 【详解】由可得， 因，则， 又，则， 因， 则， 故 ， 因，故. 故选：B. 3．A 【分析】根据题意结合诱导公式以及两角和差公式可得，再根据齐次式问题分析求解. 【详解】由题意得，解得， 所以. 故选：A. 4．C 【分析】应用两角和差正弦公式及余弦公式及弦化切得出，再应用二倍角正弦公式及弦化切计算求解. 【详解】因为， 即，则. 故选：C． 5．A 【分析】将和两边平方并分别相加和相减，利用三角函数公式化简可得结果. 【详解】由题意，，， 则， 化简可得，所以， 又， 则， ， 即， 所以， 所以， 由，可得. 故选：A. 6．D 【分析】根据题意利用诱导公式和倍角公式可得，分子、分母同乘，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为 . 故选：D. 7．B 【分析】由，利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有， 故选：B. 8．D 【分析】根据诱导公式和二倍角公式将已知化简得，然后同除得，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 即， 所以，即，解得1或2. 故选：D 9． 【分析】根据题意，化简求解可得，由诱导公式及二倍角公式化简，再利用齐次式求解即可. 【详解】因为，则， 即，显然， 可得，整理得， 解得或， 又因为，可得， 所以． 故答案为：. 10． 【分析】应用诱导公式及差角余弦公式、二倍角余弦公式可得，即可求角的大小. 【详解】由， 所以，又， 所以，而， 所以. 故答案为： 11． 【分析】用已知角来表示所求的角，再进行弦化切即可求解. 【详解】，， . 故答案为：. 12．1 【分析】根据同角三角函数的基本关系及降幂公式、诱导公式求解. 【详解】 ， 故答案为：1 13．(1) (2) 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，得，由， 得，则 ， 所以. 14．(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正切公式和两角差的正切公式即可求解； （2）根据已知角的范围及三角函数值，结合同角三角函数的平方关系和商数关系求出，由二倍角的正切公式求出，再由及差角正切公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， ， 则， 因为，所以. 15．(1)；单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间． （2）由已知找到取最小值为4时的值，得到关于的方程． 【详解】（1）， ． 由，，求得，， 函数的单调递增区间为． （2）由时，，， ， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第18讲：三角恒等变换】 【新高考课程标准要求】 1.推导公式：会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。并能以此为基础，推导出两角差的正弦、正切公式，进而推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解这些公式之间的内在联系。 2.理解公式：理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等，记住公式的结构特征和符号变化规律，能够正确正用、逆用及变形使用公式。例如要清楚两角和与差的正切公式变形为后的应用场景。 3.恒等变换应用：能运用上述公式进行简单的恒等变换，包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆这三组公式。通过恒等变换，使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少，尽量让式子中的分母和被开方数不含三角函数等，常与同角三角函数的基本关系、诱导公式等综合应用。 【知识梳理】 一、基础公式（核心推导与应用） 1. 两角和与差公式 余弦： *（由向量数量积推导，是所有公式的基础）* 正弦： *（可由余弦公式结合诱导公式推导）* 正切： （） （） *（由正弦、余弦公式相除推导）* 2. 二倍角公式 正弦： 余弦： （基本形式） （降幂：） （降幂：） *（降幂公式是化简高次三角函数式的关键）* 正切：（且） 二、常用变形公式（逆用与拓展） 1. 公式逆用与凑角技巧 正切公式变形： *（用于化简含与的式子）* 凑角公式： ，，等 *（例：）* 2. 辅助角公式（合一变形） 对于（不同时为0），可化为： 其中（的终边过点），或写作（）。 *（核心：将不同名三角函数合并为单一三角函数，便于求最值、周期等）* 3. 半角公式（不要求记忆，需会推导） 由二倍角公式变形可得（为任意角）： *（符号由所在象限决定，后两个正切公式无需考虑符号）* 4. 和差化积与积化和差（不要求记忆，需了解推导思路） 和差化积： 积化和差： *（推导：令两角和与差公式中的，，联立消元即可）* 三、常用结论（简化计算与解题技巧） 1. 特殊角相关： （辅助角公式的特殊情况） ，（由半角公式或两角差公式推导） 2. 平方关系变形： （常用于已知求） （由展开推导） 3. 角的互补/互余关系： 若，则， 若，则， 四、公式应用原则 1. 化简优先：项数最少、次数最低、角与函数名最少，分母/被开方数不含三角函数。 2. “角”是核心：观察式子中角的关系（如和差、倍半），选择对应公式（如凑角、二倍角）。 3. 灵活逆用：如（二倍角公式逆用），（代换技巧）。 【课前自测】 1．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习） ． 2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）下列式子的运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）已知，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则 ， . 6．（2025高一·全国·专题练习）已知，，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则等于 8．（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，，求，的值． 题型分类 知识讲解与常考题型 【考点一：三角函数式的化简】 【例题】1．（2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D．2 【针对训练】2．（2025高三·全国·专题练习）化简： . 3．（2024高三·全国·专题练习）化简: . 【解题策略】 一、异名化同名（统一函数类型） 通过公式将不同三角函数（如sin、cos、tan）转化为同一类，常用工具： 同角关系：，（实现切化弦）； 诱导公式：如（实现弦与弦的转化）； 辅助角公式：（或形式），其中（将不同名的正弦、余弦合并为单一三角函数）。 二、异角化同角（统一角的形式） 通过角的拆分与组合，将复角（如、、）转化为单角或已知角，常用思路： 角的拆分：如，，等； 利用和差角公式、二倍角公式：直接将复角表达式展开，转化为单角的三角函数。 三、降幂与升幂（调整次数） 降幂：将高次项（二次及以上）转化为低次（通常为一次），核心公式： 升幂：将低次项转化为高次，用于凑平方或和差公式，核心公式： 四、消去特殊结构（简化表达式） 分式：通过通分、约分或分子分母同乘某式（如弦化切后约分）消除分式； 根号：利用升幂公式将根号内表达式化为完全平方形式（结合角的范围确定开方后的符号）； 绝对值：根据角的范围判断三角函数值的正负，去掉绝对值符号。 五、合并与整理（减少项数） 利用代数运算（如提取公因式、平方差公式、完全平方公式等）合并同类项； 对化简后的式子进行最后的整理，确保项数最少、形式最简（如化为单一三角函数或常数）。 总结 化简时需结合式子特点，灵活组合上述策略，优先处理明显可转化的部分（如先切化弦、再降幂、最后统一角），逐步将复杂式子简化为“函数单一、角单一、次数低、项数少”的形式 【考点二：三角函数式的求值】 【角度1：给角求值】 【例题】1．（24-25高一下·辽宁大连·期中）计算下列各式值，其结果为1的有（   ） A． B． C． D． 【针对训练】2．（24-25高一下·内蒙古包头·阶段练习）求值： (1)； (2). 3．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【角度2：给值求值】 【例题】4．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，，，则 . 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，且，，求，及的值. 【针对训练】6．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则的值为 . 7．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知且则tanβ=（    ） A．3 B．2 C． D． 【角度3：给值求角】 【例题】8．（24-25高一下·辽宁大连·期末）在中，已知，是关于的方程的两个实根，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】10．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【解题策略】 一、给角求值：已知非特殊角，求其三角函数值 核心思路：将非特殊角通过拆分、组合转化为特殊角（如等）的和、差、倍、半等形式，再利用恒等公式计算。 常用策略： 1. 角的拆分与组合：观察非特殊角与特殊角的关系，例如： ，； ，等，通过和差角、半角公式转化。 2. 降幂与升幂：对于高次三角函数，先降幂转化为一次，再结合角的变换。 3. 辅助角公式：将化为单一三角函数，再代入角计算。 二、给值求值：已知某角的三角函数值，求另一表达式的值 核心思路：分析已知角与待求角的关系（如和差、倍数、互余等），通过恒等公式将待求式用已知角的三角函数表示，再代入计算。 常用策略： 1. 分析角的关系：确定待求角与已知角的联系，例如： 若已知，待求，则（直接用和角公式）； 若已知和，待求，则（间接拆分）； 常见配角技巧：，等。 2. 确定角的范围：根据已知条件判断角的象限（或范围），避免三角函数值符号错误（如求时，需明确在第几象限）。 3. 选择合适公式： 已知或，求同角的其他函数值：用同角关系、； 已知单角函数值，求复角函数值：用和差角公式、二倍角公式； 涉及高次项：先降幂，再转化为一次表达式。 三、给值求角：已知三角函数值，求对应的角 核心思路：先确定角的范围（缩小到唯一解），再求出该角的某个三角函数值（通常选单调函数，如正切），最后结合特殊角或反三角函数确定角的具体值。 常用策略： 1. 确定角的范围：根据题目条件（如“为锐角”“”）或隐含信息（如三角函数值的符号），缩小角的范围（通常缩到某一单调区间，确保解唯一）。 2. 选择目标三角函数：优先选择在该范围内单调的三角函数（如正切在单调，余弦在单调），避免多解混淆。 3. 计算目标函数值：通过恒等变换求出该角的目标三角函数值，对比特殊角的函数值，确定角的大小。 4. 验证唯一性：若范围内含多个可能角，需结合其他条件（如另一三角函数值的符号）排除，确保解唯一。 总结 三类求值问题的共性是“利用角的关系与恒等公式建立转化”，差异在于： 给角求值侧重“非特殊角→特殊角”的拆分； 给值求值侧重“已知角→待求角”的联系构建； 给值求角侧重“范围限定+函数值匹配”的唯一性确定。 解题时需灵活运用和差角、二倍角、同角关系等公式，结合角的范围判断符号，确保结果准确。 【考点3：三角恒等变换的综合应用】 【例题】1．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的最值及相应x的值． 【针对训练】2．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知函数，且函数为最小正周期为的周期函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域； (3)若，其中，求的值． 3．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知函数． (1)求函数的图象的对称轴方程； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域． 【解题策略】 三角恒等变换在三角函数图像中的综合应用，核心是通过恒等变换将复杂的三角函数表达式转化为标准形式（如，等），进而利用标准形式的参数（）分析图像特征（周期、振幅、对称轴、单调性等）或解决图像变换、解析式求解等问题。以下是具体解题策略： 一、化简表达式为标准形式：图像分析的前提 三角函数图像的性质（周期、振幅、相位等）由其标准形式的参数直接决定，因此需先通过恒等变换将复杂表达式化简为标准形式。 常用变换工具： 1. 降幂公式：处理含、的表达式，转化为一次三角函数（如，）； 2. 二倍角公式：处理（如），转化为倍角的正弦； 3. 辅助角公式：合并不同名的正弦、余弦（如，其中），转化为单一三角函数； 4. 角的合并：通过和差角公式处理含复角的表达式（如可化简为）。 目标：将原式化为（或余弦、正切形式），明确参数（振幅）、（周期相关）、（相位）、（上下平移量）。 二、利用标准形式分析图像特征 化简为标准形式后，可直接通过参数分析图像的核心性质，解决与图像相关的问题： 1. 周期与奇偶性 周期：由决定，（正弦、余弦）或（正切）； 奇偶性：若（正弦）或（余弦），函数可能为奇偶函数（结合），需通过恒等变换验证。 2. 对称轴与对称中心 对称轴：正弦函数的对称轴满足（），余弦函数满足（），通过解方程可得； 对称中心：正弦函数对称中心满足（），对应点为，需结合恒等变换后的表达式求解。 3. 单调性与最值 单调性：利用标准形式的单调区间模板（如的增区间为），令，解不等式得原函数的单调区间； 最值：振幅决定最值范围，最大值为，最小值为（正弦、余弦），需通过恒等变换确保表达式已化为“单一三角函数+常数”形式。 三、图像变换问题：从标准形式逆向推导 已知图像变换过程（平移、伸缩）求目标函数，或已知目标函数反推变换步骤，需先通过恒等变换将函数化为标准形式，再分析参数变化。 关键步骤： 1. 明确变换规则： 横向平移：（左移，）； 横向伸缩：（周期变为，）； 纵向伸缩与平移：（振幅为，上移）。 2. 结合恒等变换处理非标准形式： 若目标函数为非标准形式（如），需先化简为标准形式（如通过降幂公式转化为，再配方或辅助角变换），再分析变换过程。 四、由图像求解析式：参数确定与恒等验证 已知三角函数图像的关键点（顶点、零点、周期等）求解析式，需通过恒等变换建立参数关系，步骤如下： 1. 求和：由图像的最值（最高点、最低点） 2. 求：由周期（相邻最值点间距为，相邻零点间距为）得（正弦、余弦）； 3. 求：代入图像的关键点（如最高点、零点），结合恒等变换（如），并根据图像相位（左偏、右偏）确定的唯一值（注意范围限定，通常取）。 总结 三角恒等变换在三角函数图像中的应用，核心是“化简为标准形式→利用参数分析图像→逆向解决变换与解析式问题”。解题时需灵活运用降幂、辅助角、和差角等公式，确保表达式化简正确；同时结合图像的几何特征（周期、最值、对称等），建立参数与图像的对应关系，实现“代数变换”与“几何特征”的衔接。 【考点四：半角公式】 【例题】4．（2025高三·全国·专题练习）已知，求值． 【针对训练】5．（2025高三·全国·专题练习）若是第一象限角，且，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·辽宁·期中）已知是第四象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、明确半角公式的三种形式及适用场景 半角公式的本质是二倍角公式的变形，针对、、有不同表达式，需根据已知条件选择合适形式： 1. 无理形式（含根号） 适用场景：已知的值，求、或，需结合的终边所在象限判断符号（“”的选择）。 2. 有理形式（切化弦或含） 适用场景： 已知和的值，避免根号运算，直接通过分子分母的整式运算求解； 化简含与的分式（如可直接化为）。 二、符号判断：半角公式的关键 无理形式中“”的选择是易错点，需严格根据的终边所在象限确定三角函数的符号： 1. 先确定的范围，进而推出的范围（如，则，）； 2. 根据的象限判断三角函数符号（如在第二象限时，，）。 三、半角公式的常见应用场景及策略 1. 已知全角三角函数值，求半角三角函数值 步骤： ① 确定的象限，判断符号； ② 选择合适公式（已知用无理形式，已知和用有理形式）； ③ 代入计算。 2. 化简含半角的三角函数式 核心思路：通过半角公式将半角化为全角，减少角的种类，便于进一步化简。 例：化简，可直接用的倒数，得； 若表达式含根号（如），可利用，化为，再结合象限去绝对值。 3. 证明三角恒等式 策略：从等式一边（通常含半角）出发，用半角公式转化为全角表达式，逐步向另一边推导。 例：证明，可从右边入手，分子用二倍角公式，分母用，约分后得。 4. 与其他公式结合使用（如和差角、二倍角） 半角公式常作为“桥梁”，连接不同角的三角函数。例如： 已知，可将视为的二倍角，用半角公式将的三角函数表示为的函数； 处理（即的半角）时，可连续使用半角公式，逐步降角（如，再代入的表达式）。 四、注意事项 1. 半角公式与二倍角公式是“互逆”关系，解题时需根据角的倍数关系灵活转换（如是的二倍角，是的半角）； 2. 有理形式的公式（）可避免符号判断，在化简和求值中更便捷，优先选用； 3. 当的范围不明确时，需保留“”或用绝对值表示结果，避免符号错误。 总结 半角公式的解题核心是“明确角的倍数关系→选择合适公式形式→判断符号（无理形式）→结合其他公式化简或求值”。熟练掌握三种形式的转化及符号规则，可有效解决与半角相关的化简、求值、证明问题，同时为复杂角的恒等变换提供更多角度。 【考点五：和差化积积化和差公式】 【例题】7．（2025高三·全国·专题练习）设是锐角，且，求证： 8．（2025高三·上海·专题练习）已知，则 . 【针对训练】9．（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）已知函数，，若有两个零点，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 11．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 12．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、明确两组公式的形式及转化本质 两组公式是“互逆”关系，需熟记结构及系数特征： 1. 积化和差公式（将“积”化为“和差”） 本质：将两个角的三角函数乘积，转化为这两个角的和、差的三角函数的和或差，消除“乘积”运算。 2. 和差化积公式（将“和差”化为“积”） 本质：将两个角的三角函数的和或差，转化为这两个角的半和、半差的三角函数的乘积，便于提取公因式或利用二倍角等公式进一步化简。 二、适用场景：何时选择积化和差或和差化积？ 两组公式的应用需结合表达式的“形式特征”和“问题目标”判断： 1. 积化和差的适用场景 表达式中存在三角函数的乘积项（如、等），且需化简为和差形式以消去某些项（如正负抵消）； 求值时，乘积项中的角通过和差后可化为特殊角（如、等），便于计算具体值； 证明恒等式时，左侧为积式，右侧为和差式，需通过积化和差转化。 2. 和差化积的适用场景 表达式中存在三角函数的和或差（如、等），且需转化为积式以提取公因式（如与其他项约分）； 求值时，和差项中的角通过半和、半差后可化为特殊角或同角（如、等），便于简化运算； 处理三角形中的角关系（如）时，利用和差化积将角的和差转化为积，结合三角形内角和性质化简（如，则）。 三、核心解题策略：转化目标与操作步骤 1. 化简三角函数式：消项、降次或统一角 目标：通过积与和差的互化，减少项数、降低复杂度，或统一角的形式（如转化为同角、特殊角）。 步骤： ① 观察表达式形式：若为“积”，优先用积化和差；若为“和差”，优先用和差化积； ② 代入公式转化后，合并同类项或利用诱导公式化简（如）； ③ 若存在多余项，尝试通过角的关系（如与的互补、互余）消去。 2. 求值问题：转化为特殊角或已知角的三角函数 目标：将待求式中的角通过和差化积或积化和差，转化为已知值的角或特殊角（如、、等）。 关键技巧： 对于和差化积：设，，则，，即通过“设元”将两个角的和差转化为、的积（如）； 对于积化和差：若已知和的三角函数值，可直接代入公式计算积的值（如已知和，求，可转化为）。 3. 证明三角恒等式：从复杂端向简单端转化 策略： 若等式一侧为“积式”，另一侧为“和差式”，从积式端用积化和差转化，逐步向和差式端推导； 若两侧均为“和差式”或“积式”，通过和差化积或积化和差统一形式后，对比两侧是否相等； 利用角的关系（如）辅助转化，结合诱导公式或二倍角公式简化中间过程。 4. 与其他公式结合使用：形成“转化链” 积化和差与和差化积常作为中间步骤，与二倍角、半角、和角公式等配合使用： 例如：化简，可先将两项分别用积化和差： ，，相加后得； 再如：化简，用和差化积得，若需进一步化简，可结合二倍角公式处理。 四、易错点与注意事项 1. 系数与符号：积化和差公式中均含系数，且的公式前有负号；和差化积公式中均含系数，且的公式前有负号，需严格记忆避免出错。 2. 角的范围：转化后若涉及开方或符号判断（如与半角公式结合时），需根据角的范围确定三角函数的符号。 3. 公式的灵活性：和差化积中，“角的拆分”是关键（如，），需熟练掌握这种“凑角”技巧。 总结 积化和差与和差化积公式的核心解题逻辑是“观察形式→判断转化方向（积化和差或和差化积）→利用角的关系辅助转化→结合其他公式化简或求值”。其价值在于通过“积与和差的互化”打破表达式的固有结构，使复杂项简化、非特殊角转化为特殊角，最终实现问题的求解。熟练掌握公式特征及适用场景，可有效提升处理复杂三角表达式的能力。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知，则（   ） A．1 B．2 C．或2 D．1或2 3．（2011·海南海口·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）计算（   ） A．2 B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）实数α，β满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江西吉安·期末）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·四川绵阳·期中）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则 ． 10．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）求值： ． 11．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，，则 . 12．（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，若，则 三、解答题 13．（2025·广东·一模）已知函数，其中． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若时，的最小值为4，求的值． 14．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知，且． (1)求的值： (2)求的值． 15．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$